Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ

A Cơ sở lý thuyết – các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết : Phần 1 các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ 1.1 . Tỷ số của hai đoạn thẳng Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo Như thường lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó . Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là . Trong ký hiệu này , AB và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD . Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo . 1.2 . Tỷ lệ thức Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số . Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà = thì đẳng thức đó là một tỷ lệ thức của các đoạn thẳng . 1.3 Các tính chất của tỷ lệ thức Nếu = thì 1) AB . GH = CD . EF 2) = 3) = 4) == 5) == ( Nếu CD khác GH ) 1.3 .Trung bình nhân Đoạn thẳng AB được gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD EF nếu = VD . Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F FG 1.4 .Trung bình điều hoà Đoạn thẳng AB được gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu

Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán

về đoạn thẳng tỷ lệ A/ Cơ sở lý thuyết – các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết : các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết :

Phần 1

các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ

1.1 Tỷ số của hai đoạn thẳng

Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo

Nh thờng lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ

đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó

Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là

và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD

Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo

EF AB

EF AB

VD Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì

đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG

1.4 Trung bình điều hoà

Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu

EF

CD

AB

1 1

2





VD : Cạnh nhỏ nhất của tam giác Ai Cập là trung bình điều hoà của cạnh góc

vuông còn lại và chiều cao thuộc cạnh huyền

Tam giác Ai Cập là tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 3 , 4 , 5 Nếu đặt AB = 3

AC = 4 thì BC = 5 và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH =

BC

AC AB.

Do đó

AB AB

AC

BC AB AB AC

AB

BC AB AC AB

BC AC

AH

AC

2 4

4 3

1

1

.

1 1

Hai đoạn thẳng AB & CD đợc gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ và C/D/ nếu có tỷ

lệ thức : // //

D C

B A CD

- CD & AB tỷ lệ với C/D/ & A/B/

- AB & A/B/ tỷ lệ với CD & C/D/

- C/D/ & CD tỷ lệ với A/B/ & AB

- A/B/ & C/D/ tỷ lệ với AB & CD

- C/D/ & A/B/ tỷ lệ với CD & AB

VD : Nếu AD , BE là hai trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì Vì

BE

BG AD

1.5 Điểm chia đoạn thẳng

- Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k > 0 khi và chỉ khi C thuộc

Ba đờng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ d d/

a A A/ Giả sử đờng thẳng d cắt ba đờng thẳng

Song song a , b , c tại các điểm tơng

C (không trùng với A ) và C/ ở cùng phía đối với đờng thẳng b mà ta có các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ // //

C B

B A BC

AB

 Thì đờng thẳng c song song với a & b

2.3 Định lý Thales trong tam giác :

2.3 1 Định lý Thuận

Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh

đối diện thì nó chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh kia của tam giác thành những đoạn

DB EC

AE DB

AD AC

AE AB

B C

2.3.2 Hệ quả của định lý Thales

Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh

đối diện thì nó tạo với hai cạnh kia của tam giác một tam giác mới có các cạnh tỷ lệvới các cạnh của tam giác đã cho

G/s đờng thẳng a song song với cạnh BC của tam giác ABC nhng không đi qua

đỉnh A cắt hai đờng thẳng AB , AC tại hai điểm tơng ứng D và E thì tam giác ADE

có ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh của tam giác ABC

2.3 3 Định lý đảo

Nếu một đờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc

ngoài ) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì nó songsong với cạnh còn lại của tam giác đó

Phần 3 : Các bài toán cơ bản áp dụng Định lý thaleS 3.1 Bài toán thứ nhất :

Cho hai đờng thẳng song song cố định a và b Hai điểm A và B theo thứ tự di

động trên a và b Tìm quỹ tích các điểm M sao cho k  0

Phần thuận : Chọn một điểm H bất kỳ trên a rồi cho cố định lại ( hình vẽ trên )

qua H vẽ đờng thẳng vuong góc với b tại K Khi đó có đúng một điểm I trên đờng thẳng HK sao cho k

IK

IH

 Nếu A và B theo thứ tự trên a và b mà k  0

MB MA

 Nên theo định lý đảo đờng thẳng IM song song với a và b

Vậy điểm M nằm trên đờng thẳng đi qua điểm I cố định và song song với a , b Tagọi c là đờng thẳng đi qua I và song song với a , b

Phần đảo : Lấy trên c một điểm M/ Lấy trên a một điểm A/ bất kỳ khi đó đờng thẳng A/ M/ cắt b tại điểm B/ áp dụng định lý thuận cho ba đờng thẳng song song

a, b , c và hai cát tuyến HK và A/B/ ta có

IK

IH B

3.2 Bài toán thứ hai :

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Đờng thẳng đi qua giao điểm I của hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các

điểm tơng ứng E , F Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung bình điều hoà của hai đáy

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.3 Bài toán thứ ba :

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD Đờng thẳng đi qua A và

song song với BC cắt BD tại E Đờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC tại F Chứng minh rằng E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy của hình thang

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

AD

 Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng DE

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.6 Bài toán thứ sáu : ( Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t )

Cho trớc ba đoạn thẳng AB , m , n Dựng các điểm chia trong và chia ngoài

đ-Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

c/ Định lý đảo 2 :

Nếu hai đờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đờng thẳng đồng quy tạo thành các

đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau.

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.8 Bài toán thứ tám (bổ đề hình thang ) :

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đờng thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đờng chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang

b/ Hãy nêu ra cách dựng chỉ một cái thớc (không dùng com pa) để dựng trung

điểm của đoạn thẳng AB cho trớc khi cho một đờng thẳng d song song với AB

Và dựng qua điểm M cho trớc một đờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho trớc

mà đã biết trung điểm I của AB

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.9 Bài toán thứ chín :

Cho góc xOy và đờng thẳng d không đi qua O nhng cắt cả hai cạnh của góc đó

Đờng thẳng di động a không đi qua O nhng cùng phơng với d , cắt Ox tại A và cắt Oy tại B Tìm quỹ tich trung điểm của đoạn thẳng AB

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.10 Bài toán thứ mời ( chia một đoạn thẳng cho trớc ):

Chia đoạn thẳng AB cho trớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b , c cho trớc

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.11 Bài toán thứ mời một ( Định lý Ménélaus ):

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hàng là  1

RB

RA QA

QC PC PB

Lời giải : (Xem tài liệu TK )

3.12 Bài toán thứ m ời hai ( Một ứng dụng của Định lý Ménélaus ):

Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm tơng ứng M ,

N Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN

và MD Chứng minh rằng ba điểm C , P , Q thẳng hàng

3.13 Bài toán thứ m ời ba ( Định lý Cé va ):

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là

Chú ý : Nếu P , Q , R theo thứ tự nằm trên các cạnh BC , CA , AB của tam giác

ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó thì không thể xảy ra trờng hợp ba

đờng thẳng AP , BQ , CR song song với nhau Do đó nếu không dùng khái niệm

độ dài đại số thì có thể phát biểu định lý Cé va nh sau :

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy là  1

RB

RA QA

QC PC PB

3.14 Bài toán thứ m ời bốn ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là

điểm Gergonnecủa tam giác)

3.15 Bài toán thứ m ời năm ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đờng tròn bàng tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là điểm Nagel của tam giác )

3.16 Bài toán thứ m ời sáu ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Cho tam giác ABC , một điểm D trên cạnh AB , một điểm E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi ba đờng thẳng AM , BE , CD đồng quy

Lời giải các bài toán 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng thờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

3.17 Bài toán thứ m ời bẩy ( Định lý về đờng phân giác ):

Đờng phân giác ( trong, ngoài ) của một tam giác chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề với hai cạnh ấy

3.18 Bài toán thứ m ời tám ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):

Cho tam giác đều ABC và điểm D sao cho :

5 3

Cho tam giác ABC, có đờng trung tuyến AD Đờng phân giác của góc ADB và ADC cắt các cạnh tơng ứng AB , AC tại E , F Chứng minh rằng EF // BC và

EF là trung bình điều hoà của AD , BD

3.20 Bài toán thứ hai m ơi ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):

Cho tam giác ABC không cân tại A Chứng minh rằng chân đờng phân giác ngoài của góc A và chân của hai đờng phân giác trong của hai góc B , C là ba

điểm thẳng hàng

3.21 Bài toán thứ hai m ơi mốt ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):

Cho tam giácABC vuông tại A Chứng minh rằng : Đờng cao AH , đờng trung tuyến BD , đờng phân giác CE đồng quy khi và chỉ khi AB là trung bình nhân của BC và CA

3.22 Bài toán thứ hai m ơi hai (Định lý đảo của định lý về đờng phân giác )

Đờng thẳng đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy là đờng phân giác( trong,

ngoài) của tam giác đó

3.23 Bài toán thứ hai m ơi ba ( Quỹ tích về đờng tròn Apollonius ):

Quỹ tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân biệt A & B bằng một hằng số k ( 0< k # 1 ) là một đờng tròn có đờng kính là

đoạn thẳng nối các điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo tỷ số k

3.24 Bài toán thứ hai m ơi t ( ứng dụng Quỹ tích về đờng tròn Apollonius): Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng B , C , D Dựng tam giác vuông ABC mà

AD là đờng phân giác của góc vuông

Lời giải các bài toán 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng thờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

Phần thứ t

Một số dạng toán cơ bản về định lý thales và đoạn

thẳng tỷ lệ học sinh cần phải thông thạo

A) Dạng toán thứ nhất : Chứng minh đoạn thẳng tỷ lệ

ĐVĐ : Ngời ta thờng dùng đờng song , đờng phân giác của một góc hoặc tam giác

đồng dạng để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ

Trong trờng hợp cả ba phơng pháp trên đều không có hiệu lực , thì ngời ta phải tìmhai đoạn thẳng tỷ lệ thứ ba làm trung gian , để chứng minh các đoạn thẳng khác tỷ

lệ với nhau

1) Lợi dụng đờng thẳng song song

VD 1 : Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy một điểm D , kéo dài CB đến E, sao cho BE = AD, ED và AB cắt nhau tại F Chứng minh rằng :

Suy xét : Quan sát bốn đoạn thẳng tỷ lệ và

hai đoạn thẳng bằng nhau cho trớc trong hình

vẽ , ta thấy muốn làm cho ba đoạn E F , FD ,

EB có mối liên hệ , thì phải từ D dựng DG //

AB , nh vậy ba đoạn thẳng trên và BG là những

đoạn thẳng tạo nên bởi một đờng song song với

một cạnh của tam giác EDG và cắt hai cạnh kia

của tam giác đó Đồng thời bốn đoạn thẳng

AC, BC , AD , BG cũng có mối liên hệ nh bốn

AD BG

EB FD

EF







2) Lợi dụng đờng phân giác của một góc :

VD 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt đờng phân giác BE tại F ( E thuộc AC ) Chứng minh rằng :

Suy xét : DF và FA là hai đoạn thẳng

tạo nên bởi đờng phân giác của góc B

trong tam giác BAD cắt cạnh đối diện với

thấy DBA  ABC mà BD &BA ;

AB & BC là hai cặp cạnh tơng ứng của

hai tam giác nói trên suy ra ĐPCM

D F

E

C B

A

3) Lợi dụng tam giác đồng dạng :

Trong ví dụ trên ta đã dùng định lý hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tơng ứng của chúng tỷ lệ với nhau để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ

4) Lợi dụng các tỷ số khác làm trung gian :

VD 3 : Từ một điểm A ngoài đờng tròn dựng hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn đó ;Trên đờng tròn lấy một điểm P tuỳ ý , dựng PD vuông góc với BC , PE vuông góc với AB , PF vuông góc với AC Chứng minh rằng :

PF

PD PD PE



Suy xét ( Cách 1 ) PE & PD là hai cạnh của

tam giác PED , PD & DF là hai cạnh của tam giác

PDF Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác

PDF thì bốn cạnh đó tỷ lệ với nhau Muốn chứng

minh hai tam giác đó đồng dạng với nhau thì phải

chứng minh hai cặp góc tơng ứng bằng nhau từng đôi

một Để chứng minh hai cặp góc bằng nhau từng đôi

một thì phải tìm những cặp góc khác làm trung gian

Từ những đờng vuông góc đã cho trong giả thiết ta

thấy các tứ giác PEBD và PDCF nội tiếp cho nên có

thể tìm đợc những góc nội tiếp bằng nhau Từ tiếp

tuyến đã cho trong giả thiết ta sẽ suy ra đợc góc giữa

tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm bằng góc nội

tiếp chắn cung mà dây đó căng

Suy xét (Cách 2 ) : Nếu chỉ nối PC , PB thì từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm

ta biết góc PBE = góc PCD Ta chứng minh đợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông PDC , và suy ra PE : PD = PB : PC Với cách đó ta cũng chững minh đợc PD : PF = PB : PC và nh vậy qua

tỷ số trung gian PB : PC ta chững minh đợc tỷ lệ thức trong kết luận Cách giải này đơn giản hơn cách giải 1

nhau tại H Chứng minh rằng : DA.DH = DE.DF

Suy xét : Muốn chứng minh DA.DH =

DE DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA :

DF = DE : DH , rồi chứng minh tỷ lệ thức

này DA , DA là hai cạnh của tam giác

DAE DF , DH là hai cạnh của tam giác

DFH ta phải tìm cách chứng minh hai tam

giác này đồng dạng với nhau Muốn cho

hai tam giác đồng dạng thì cần phải có hai

A

Dạng toán thứ hai :

Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau

1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

a/ phơng pháp 1 : Chứng minh tỷ số của hai đoạn thẳng bằng tỷ số nghịch đảo của chúng

Trong các bài tập dễ , muốn chứng minh a=b , thì ta có thể chứng minh a : b = b: a

VD 5 : Cho tam giác ABC , từ điểm P trên AB dựng PQ // BC cắt AC tại Q ; từ

Q dựng QR //AB cắt BC tại R ; từ R dựng đờng thẳng song song với AC , đờng này lại đi qua P Chứng minh rằng P là trung điểm của AB

VD 6 : Từ một điểm D trên một đờng tròn dựng DE vuông góc với đờng kính

AB ; tiếp tuyến qua A và D cắt nhau tại C; nối CB cắt DE tại F Chứng minh rằng : DF = FE

Suy xét : Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn

chứng minh DF = FE thì ta phải chứng minh CD :

DF = CA : FE (1) Tỷ số của vế phải của (1) bằng

AB : EB Còn tỷ số ở vế trái rất khó chứng minh

bằng AB : EB , CD và DF là hai cạnh của tam giác

CDF cho nên nếu dựng tiếp tuyến qua B , cắt CD

kéo dài tại G thì sẽ đợc tam giác CGB đồng dạng

với tam giác CDF , nh vậy tỷ số ở vế trái của (1)

A

D

G C

c/ Phơng pháp 3 :

Chứng min h hai đoạn thẳng này và một đoạn khác tạo thành một tỷ lệ thức

Muốn chứng minh x = y mà trong bài lại không cho các đoạn thẳng bằng nhau , ta

có thể dựa vào một đoạn thẳng a và chứng minh

a : x = a : y

VD 7 : Cho một hình thang Chứng minh rằng giao điểm của các đờng chéo chia đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy của hình thang đó

Vế phải của hai tỷ lệ thức trên

bằng nhau , vì đấy là những đoạn

thẳng tạo nên bởi ba đờng thẳng

song song cắt hai đờng thẳng

A

Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút ra đợc FE = EG

d/ Phơng pháp 4 :

Lợi dụng phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn

Ngời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ một điểm bất kỳ ở ngoài một đờng tròn ,

ta kẻ tới đờng tròn đó một cát tuyến và một tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là trung bình nhân giữa toàn cát tuyến và phần cát tuyến ở ngoài đờng tròn

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

VD 8 : Kéo dài hai dây cung AB , CD của một đờng tròn , chúng cắt nhau tại một điểm E ở ngoài đờng tròn đó ; dựng đờng song song với AD và đi qua E cắt

CB kéo dài tại F , từ F dựng tiếp tuyến FG với đờng tròn Chứng minh rằng FG

D

C

A

B E

2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đờng thẳng song song

Để chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau ngời ta thờng dùng hai phơng pháp sau đây :

a) Phơng pháp thứ nhất :

Lợi dụng các đoạn thẳng tỷ lệ trên hai cạnh của tam giác

VD 9 : Cho tam giác ABC , AD là đờng trung tuyến của tam giác , dựng các ờng phân giác của các góc ADB , & ADC cắt AB , AC tại E & F Chứng minh rằng : EF//BC

đ-Suy xét : Muốn chứng minh

E F // BC ta có thể chứng minh

AE : EB = A F : FC (1) Tỷ số ở vế

trái của (1) có các số hạng là hai

đoạn thẳng đợc tạo thành do đờng

phân giác của góc trong tam giác

DAB chia cạnh đối diện cho nên bằng

b) Phơng pháp thứ hai :

Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc bằng nhau sau đó

áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song đã học ở lớp 7 để suy ra hai đờng thẳng song song

VD 10 : Từ một điểm P ngoài đờng tròn dựng tiếp tuyến PA với đờng tròn đó ,

từ trung điểm B của PA kẻ một cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đờng tròn tại E và

F Chứng minh rằng FE//PA

Suy xét : Muốn cho FE // PA thì phải có

góc BPC = góc E , vì góc E = góc D do vậy

ta cần chứng minh góc BPC = góc D Muốn

vậy ta tìm cách chứng minh tam giác BPC

đồng dạng với tam giác BDP Hai tam giác

này đã có góc PBC chung , muốn cho chúng

Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng và đa giác nội tiếp

Để chứng minh các điểm thẳng hàng hoặc đa giác nội tiếp , ngời ta dùng các đoạnthẳng tỷ lệ để chứng minh hai tam giác đồng dạng trớc , rồi dựa vào các cặp góc bằng nhau của hai tam giác đó mà chứng minh kết luận của bài ra

1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng :

VD 11 : Chứng minh rằng các trung điểm của hai đáy của một hình thang , giao điểm của hai đờng chéo và giao điểm của hai cạnh bên kéo dài là bốn điểm thẳng hàng

mục đích trên ta nghiên cứu xem tam giác

AEG có đồng dạng với tam giác CFG hay

H

Để chứng minh E , F , H thẳng hàng ta dùng phơng pháp nói trên Ta có tam giác ADH đồng dạng với tam giác BCH và ta có AD : BC = AH : BH ta suy ra AE : BF = AH : BH , ta có thêm góc EAH = góc FBH suy ra hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc bằng nhau suy ra (đpcm)

2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh đa giác nội tiếp :

VD 12 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E sao cho :

AE BE = CE DE Chứng minmh rằng tứ giác ABCD

Suy xét :

Từ giả thiết có thể suy ra đợc

AE : DE = CE : BE , bốn đoạn thẳng trong tỷ

lệ thức là các cạnh tơng ứng của tam giác ACE

và tam giác DBE , các cạnh ấy lại kề với các

góc AEC = góc DEB (đ đ) do đó hai tam giác

D ) Dạng toán thứ t :

Chứng minh các quan hệ về tổng ( hiệu ) hai tỷ số

1) Chứng minh tổng ( hiệu) hai tỷ số bằng một hằng số :

a/ Bài toán gốc điển hình

VD 13 : Cho tam giác ABC ; G là trọng tâm của tam giác , đờng thẳng qua G cắt các cạnh AB & AC tại M & N Chứng minh rằng :

  3

AN

AC AM AB

Suy xét : Đặt vế trái của hệ thức cần chứng minh là f =

AN

AC AM

tâm trong tam giác

Gọi I là trung điểm của

G J

I E

Q P

C B

M

N A

BC , J là giao điểm của BP với AG , qua I kẻ IQ// BP , qua C kẻ CE // BP Xét tam giác CBP có

đờng thẳng IQ đi qua trung điểm I của CB lại song song với BP suy ra Q cũng là trung điểm của

CP do đó ta có AP = AQ – các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết : PQ ; AC = AQ + QC , mà PQ = QC suy ra AP + AC = 2AQ do đó

AQ AG

điểm của JE suy ra I J = I E

E I B

M

N

C A

Trong trờng học , chúng ta luôn đợc cảnh báo rằng sai lầm là việc sấu , nếu ta phạm sai lầm sẽ bị trừng phạt Nhng nếu ta xem xét phơng pháp học tập của loài ngời sẽ thấy rõ rằng ; loài ngời luôn học tập trong quá trình phạm sai lầm Trẻ con phải ngã mới học đợc cách đi , nếu chúng không bao giờ ngã cũng sẽ chẳng bao giờhọc đợc cách đi Cách giải thứ 3 là sự hoàn hảo song không phải tự nhiên mà có ,

nó đợc hình thành do quá trình lao động ở cách 1 hoặc cách 2

Vì vậy , nếu không tự mình làm theo cách 1 và cách 2 dài dòng , cồng kềnh thì sẽ không thể có cái gì đẻ cải tiến trở thành cách giải thứ 3 ngắn gọn nhất , và hay nhất

đợc Do đó trên cơ sở của sự vấp ngã thì con ngời đã lớn lên đợc , hoàn hảo đợc là thế

b) Khai thác bài toán

*/ Mệnh đề đảo của bài toán VD 13 :

Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB &

AC tơng ứng sao cho AB AC 3

AM  AN  Chứng minh rằng : Đờng thẳng MN luôn đi

qua một điểm cố định

Lời giải : Là nội dung chính của VD 13 : Gọi I là trung điểm của BC , nối AI cắt đờng

ABC , tức là đờng thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC , Nghĩa là đờng thẳng

MN luôn đi qua điểm cố định G đó