Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ

A Cơ sở lý thuyết – các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết : Phần 1 các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ 1.1 . Tỷ số của hai đoạn thẳng Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo Như thường lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó . Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là . Trong ký hiệu này , AB và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD . Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo . 1.2 . Tỷ lệ thức Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số . Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà = thì đẳng thức đó là một tỷ lệ thức của các đoạn thẳng . 1.3 Các tính chất của tỷ lệ thức Nếu = thì 1) AB . GH = CD . EF 2) = 3) = 4) == 5) == ( Nếu CD khác GH ) 1.3 .Trung bình nhân Đoạn thẳng AB được gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD EF nếu = VD . Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F FG 1.4 .Trung bình điều hoà Đoạn thẳng AB được gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu

Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ A/ Cơ sở lý thuyết các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết : Phần 1 các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ 1.1 . Tỷ số của hai đoạn thẳng Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo Nh thờng lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó . Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là CD AB . Trong ký hiệu CD AB này , AB và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD . Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo . 1.2 . Tỷ lệ thức Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số . Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà CD AB = GH EF thì đẳng thức đó là một tỷ lệ thức của các đoạn thẳng . 1.3 Các tính chất của tỷ lệ thức Nếu CD AB = GH EF thì 1) AB . GH = CD . EF 2) EF AB = GH CD 3) CD CDAB = GH GHEF 4) CD AB = GH EF = GHCD EFAB + + 5) CD AB = GH EF = GHCD EFAB ( Nếu CD khác GH ) 1.3 .Trung bình nhân Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD & EF nếu CD AB = EFCDhayAB AB EF . 2 = VD . Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG 1.4 .Trung bình điều hoà Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu EFCDAB 112 += VD : Cạnh nhỏ nhất của tam giác Ai Cập là trung bình điều hoà của cạnh góc vuông còn lại và chiều cao thuộc cạnh huyền . Tam giác Ai Cập là tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 3 , 4 , 5 . Nếu đặt AB = 3 AC = 4 thì BC = 5 và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH = BC ACAB. . Do đó Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 1 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ ABABAC BCAB ABACAB BCAB ACAB BC ACAHAC 2 4 43 . 1 . 1 111 = + = + = + =+=+ (Đpcm) 1.5 . Đoạn thẳng tỷ lệ : Hai đoạn thẳng AB & CD đợc gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A / B / và C / D / nếu có tỷ lệ thức : // // DC BA CD AB = . Chú ý : Hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A / B / & C / D / khi và chỉ khi AB.C / D / = A / B / .CD . Do đó , nếu hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A / B / và C / D / thì ta cũng có các cặp đoạn thẳng sau đây cũng tỷ lệ với nhau : - CD & AB tỷ lệ với C / D / & A / B / - AB & A / B / tỷ lệ với CD & C / D / - C / D / & CD tỷ lệ với A / B / & AB - A / B / & C / D / tỷ lệ với AB & CD - C / D / & A / B / tỷ lệ với CD & AB VD : Nếu AD , BE là hai trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì Vì BE BG AD AG == 3 2 nên hai đoạn thẳng AG & AD tỷ lệ với hai đoạn thẳng BG & BE Hai đoạn thẳng AG & BG cũng tỷ lệ với hai đoạn thẳng AD và BE . 1.5 . Điểm chia đoạn thẳng - Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k > 0 khi và chỉ khi C thuộc đoạn thẳng AB và k CB CA = . - Điểm D chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ số k ( 0 < k 1 ) khi và chỉ khi D thuộc đờng thẳng AB nhng không thuộc đoạn thẳng AB và k DB DA = VD : Trọng tâm G của tam giác ABC chia trong trung tuyến AD theo tỷ số k = 2 vì 2= GD GA . Trung điểm D của cạnh BC chia ngoài đoạn thẳng AG theo tỷ số 3 vì 3= DG DA . Phần 2 : Định lý thaleS 2.1 Định lý Thale \ s thuận Ba đờng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ . d d / a A A / Giả sử đờng thẳng d cắt ba đờng thẳng Song song a , b , c tại các điểm tơng ứng A , B , C và đờng thẳng d / b B B / cắt ba đờng thẳng a, b , c tại ba điểm A / , B / , C / . Khi đó ta có : // // CB BA BC AB = c C C / Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 2 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ 2.2 Định lý Thales đảo Cho hai đờng thẳng song song a và b định ra trên hai cát tuyến d & d / các đoạn thẳng tơng ứng AB và A / B / .Nếu một đờng thẳng c cắt d và d / tại hai điểm tơng ứng C (không trùng với A ) và C / ở cùng phía đối với đờng thẳng b mà ta có các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ // // CB BA BC AB = Thì đờng thẳng c song song với a & b 2.3 Định lý Thales trong tam giác : 2.3 .1 Định lý Thuận Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh đối diện thì nó chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh kia của tam giác thành những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ . A Tam giác ABC , DE / / BC ( với D thuộc đờng thẳng AB E thuộc đờng thẳng AC ) thì AC EC AB DB EC AE DB AD AC AE AB AD === ;; D E a B C 2.3.2 Hệ quả của định lý Thales Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh đối diện thì nó tạo với hai cạnh kia của tam giác một tam giác mới có các cạnh tỷ lệ với các cạnh của tam giác đã cho . G/s đờng thẳng a song song với cạnh BC của tam giác ABC nhng không đi qua đỉnh A cắt hai đờng thẳng AB , AC tại hai điểm tơng ứng D và E thì tam giác ADE có ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh của tam giác ABC . 2.3 .3 Định lý đảo Nếu một đờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì nó song song với cạnh còn lại của tam giác đó . Phần 3 : Các bài toán cơ bản áp dụng Định lý thaleS 3.1 Bài toán thứ nhất : Cho hai đờng thẳng song song cố định a và b . Hai điểm A và B theo thứ tự di động trên a và b . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 0= k MB MA cho trớc . a H A A / b K B B / c I M M / Lời giải : Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 3 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Phần thuận : Chọn một điểm H bất kỳ trên a rồi cho cố định lại ( hình vẽ trên ) qua H vẽ đờng thẳng vuong góc với b tại K . Khi đó có đúng một điểm I trên đờng thẳng HK sao cho k IK IH = Nếu A và B theo thứ tự trên a và b mà 0= k MB MA Thì IK IH MB MA = Nên theo định lý đảo đờng thẳng IM song song với a và b . Vậy điểm M nằm trên đờng thẳng đi qua điểm I cố định và song song với a , b . Ta gọi c là đờng thẳng đi qua I và song song với a , b . Phần đảo : Lấy trên c một điểm M / . Lấy trên a một điểm A / bất kỳ khi đó đờng thẳng A / M / cắt b tại điểm B / . áp dụng định lý thuận cho ba đờng thẳng song song a, b , c và hai cát tuyến HK và A / B / ta có k IK IH BM AM == // // . Vậy mọi điểm trên c đều thoả mãn ĐK đã cho đối với điểm M Vậy quỹ tích cần tìm là đờng thẳng c . 3.2 Bài toán thứ hai : Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Đờng thẳng đi qua giao điểm I của hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các điểm tơng ứng E , F . Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung bình điều hoà của hai đáy . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.3 Bài toán thứ ba : Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD . Đờng thẳng đi qua A và song song với BC cắt BD tại E . Đờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC tại F . Chứng minh rằng E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy của hình thang . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.4 Bài toán thứ 4 : Nếu góc BAC của tam giác ABC và góc B / A / C / của tam giác A / B / C / bằng nhau hoặc bù nhau thì tỷ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỷ số của tích các cạnh kề góc đó : //// . /// CABA ACAB S S CBA ABC = . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.5 Bài toán thứ năm : Cho tam giác ABC cố định , các điểm D , E di động trên các cạnh tơng ứng AB , AC sao cho EA CE DB AD = . Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng DE . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.6 Bài toán thứ sáu : ( Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t ) Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 4 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Cho trớc ba đoạn thẳng AB , m , n . Dựng các điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ số n m . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.7 Bài toán thứ bẩy( Định lý về chùm đờng thẳng đồng quy) : a/ Định lý thuận : Nếu ba đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song thì chúng định ra trên hai đờng thẳng song song ấy các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) b/ Định lý đảo 1 : Cho ba đờng thẳng , trong đó có hai đờng thẳng cắt nhau , định ra trên hai đ- ờng thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì ba đờng thẳng ấy đồng quy . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) c/ Định lý đảo 2 : Nếu hai đờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đờng thẳng đồng quy tạo thành các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau. Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.8 Bài toán thứ tám (bổ đề hình thang ) : a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đờng thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đờng chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang . b/ Hãy nêu ra cách dựng chỉ một cái thớc (không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trớc khi cho một đờng thẳng d song song với AB Và dựng qua điểm M cho trớc một đờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho trớc mà đã biết trung điểm I của AB . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.9 Bài toán thứ chín : Cho góc xOy và đờng thẳng d không đi qua O nhng cắt cả hai cạnh của góc đó . Đờng thẳng di động a không đi qua O nhng cùng phơng với d , cắt Ox tại A và cắt Oy tại B . Tìm quỹ tich trung điểm của đoạn thẳng AB . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) 3.10 Bài toán thứ mời ( chia một đoạn thẳng cho trớc ): Chia đoạn thẳng AB cho trớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b , c cho trớc . Lời giải : ( Xem tài liệu TK ) Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 5 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ 3.11 Bài toán thứ mời một ( Định lý Ménélaus ): Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hàng là 1= RB RA QA QC PC PB Lời giải : (Xem tài liệu TK ) 3.12 Bài toán thứ m ời hai ( Một ứng dụng của Định lý Ménélaus ): Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm tơng ứng M , N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN và MD . Chứng minh rằng ba điểm C , P , Q thẳng hàng . 3.13 Bài toán thứ m ời ba ( Định lý Cé va ): Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là 1= RB RA QA QC PC PB . Chú ý : Nếu P , Q , R theo thứ tự nằm trên các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó thì không thể xảy ra trờng hợp ba đờng thẳng AP , BQ , CR song song với nhau . Do đó nếu không dùng khái niệm độ dài đại số thì có thể phát biểu định lý Cé va nh sau : Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA , AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy là 1= RB RA QA QC PC PB 3.14 Bài toán thứ m ời bốn ( ứng dụng Định lý Cé va ): Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là điểm Gergonnecủa tam giác) 3.15 Bài toán thứ m ời năm ( ứng dụng Định lý Cé va ): Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đờng tròn bàng tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là điểm Nagel của tam giác .) 3.16 Bài toán thứ m ời sáu ( ứng dụng Định lý Cé va ): Cho tam giác ABC , một điểm D trên cạnh AB , một điểm E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC . Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi ba đờng thẳng AM , BE , CD đồng quy . Lời giải các bài toán 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng thờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông ) 3.17 Bài toán thứ m ời bẩy ( Định lý về đờng phân giác ): Đờng phân giác ( trong, ngoài ) của một tam giác chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề với hai cạnh ấy . 3.18 Bài toán thứ m ời tám ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ): Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 6 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Cho tam giác đều ABC và điểm D sao cho : 3 2 = DB DA Đờng thẳng CD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là E . Chứng minh rằng : 532 ECEBEA == . 3.19 Bài toán thứ m ời chín ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ): Cho tam giác ABC, có đờng trung tuyến AD . Đờng phân giác của góc ADB và ADC cắt các cạnh tơng ứng AB , AC tại E , F . Chứng minh rằng EF // BC và EF là trung bình điều hoà của AD , BD . 3.20 Bài toán thứ hai m ơi ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ): Cho tam giác ABC không cân tại A . Chứng minh rằng chân đờng phân giác ngoài của góc A và chân của hai đờng phân giác trong của hai góc B , C là ba điểm thẳng hàng . 3.21 Bài toán thứ hai m ơi mốt ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ): Cho tam giácABC vuông tại A . Chứng minh rằng : Đờng cao AH , đờng trung tuyến BD , đờng phân giác CE đồng quy khi và chỉ khi AB là trung bình nhân của BC và CA . 3.22 Bài toán thứ hai m ơi hai (Định lý đảo của định lý về đờng phân giác ) Đờng thẳng đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy là đờng phân giác( trong, ngoài) của tam giác đó . 3.23 Bài toán thứ hai m ơi ba ( Quỹ tích về đờng tròn Apollonius ): Quỹ tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân biệt A & B bằng một hằng số k ( 0< k # 1 ) là một đờng tròn có đờng kính là đoạn thẳng nối các điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo tỷ số k . 3.24 Bài toán thứ hai m ơi t ( ứng dụng Quỹ tích về đờng tròn Apollonius): Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng B , C , D . Dựng tam giác vuông ABC mà AD là đờng phân giác của góc vuông . Lời giải các bài toán 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng thờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông ) Phần thứ t Một số dạng toán cơ bản về định lý thales và đoạn thẳng tỷ lệ học sinh cần phải thông thạo A) Dạng toán thứ nhất : Chứng minh đoạn thẳng tỷ lệ ĐVĐ : Ngời ta thờng dùng đờng song , đờng phân giác của một góc hoặc tam giác đồng dạng để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ . Trong trờng hợp cả ba phơng pháp trên đều không có hiệu lực , thì ngời ta phải tìm hai đoạn thẳng tỷ lệ thứ ba làm trung gian , để chứng minh các đoạn thẳng khác tỷ lệ với nhau . 1) Lợi dụng đờng thẳng song song VD 1 : Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy một điểm D , kéo dài CB đến E, sao cho BE = AD, ED và AB cắt nhau tại F . Chứng minh rằng : Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 7 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ BC AC FD EF = Suy xét : Quan sát bốn đoạn thẳng tỷ lệ và hai đoạn thẳng bằng nhau cho trớc trong hình vẽ , ta thấy muốn làm cho ba đoạn E F , FD , EB có mối liên hệ , thì phải từ D dựng DG // AB , nh vậy ba đoạn thẳng trên và BG là những đoạn thẳng tạo nên bởi một đờng song song với một cạnh của tam giác EDG và cắt hai cạnh kia của tam giác đó . Đồng thời bốn đoạn thẳng AC, BC , AD , BG cũng có mối liên hệ nh bốn đoạn thẳng nói trên . F E B G D C A Lời giải ( Tóm tắt ) : Từ D dựng DG // AB ta có BC AC BG AD BG EB FD EF === 2) Lợi dụng đờng phân giác của một góc : VD 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt đờng phân giác BE tại F ( E thuộc AC ) . Chứng minh rằng : EC AE FA DF = . Suy xét : DF và FA là hai đoạn thẳng tạo nên bởi đờng phân giác của góc B trong tam giác BAD cắt cạnh đối diện với góc B nên tỷ số của chúng bằng BD : AB . Tơng tự AE và EC cũng vậy , tỷ số của chúng bằng AB : BC . Vậy muốn có tỷ lệ thức trong kết luận ta cần chứng minh : BD : AB = AB : BC là đợc . Ta nhận thấy ABCDBA mà BD &BA ; AB & BC là hai cặp cạnh tơng ứng của hai tam giác nói trên suy ra ĐPCM . D F E C B A 3) Lợi dụng tam giác đồng dạng : Trong ví dụ trên ta đã dùng định lý hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tơng ứng của chúng tỷ lệ với nhau để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ . 4) Lợi dụng các tỷ số khác làm trung gian : VD 3 : Từ một điểm A ngoài đờng tròn dựng hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn đó ;Trên đờng tròn lấy một điểm P tuỳ ý , dựng PD vuông góc với BC , PE vuông góc với AB , PF vuông góc với AC . Chứng minh rằng : PF PD PD PE = . Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 8 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Suy xét ( Cách 1 ) PE & PD là hai cạnh của tam giác PED , PD & DF là hai cạnh của tam giác PDF . Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác PDF thì bốn cạnh đó tỷ lệ với nhau . Muốn chứng minh hai tam giác đó đồng dạng với nhau thì phải chứng minh hai cặp góc tơng ứng bằng nhau từng đôi một . Để chứng minh hai cặp góc bằng nhau từng đôi một thì phải tìm những cặp góc khác làm trung gian . Từ những đờng vuông góc đã cho trong giả thiết ta thấy các tứ giác PEBD và PDCF nội tiếp cho nên có thể tìm đợc những góc nội tiếp bằng nhau . Từ tiếp tuyến đã cho trong giả thiết ta sẽ suy ra đợc góc giữa tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm bằng góc nội tiếp chắn cung mà dây đó căng A F E P C D B Suy xét (Cách 2 ) : Nếu chỉ nối PC , PB thì từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm ta biết góc PBE = góc PCD . Ta chứng minh đợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông PDC , và suy ra PE : PD = PB : PC . Với cách đó ta cũng chững minh đợc PD : PF = PB : PC và nh vậy qua tỷ số trung gian PB : PC ta chững minh đợc tỷ lệ thức trong kết luận . Cách giải này đơn giản hơn cách giải 1 . VD 4 : Ba đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC gặp nhau tại H . Chứng minh rằng : DA.DH = DE.DF . Suy xét : Muốn chứng minh DA.DH = DE . DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA : DF = DE : DH , rồi chứng minh tỷ lệ thức này . DA , DA là hai cạnh của tam giác DAE . DF , DH là hai cạnh của tam giác DFH ta phải tìm cách chứng minh hai tam giác này đồng dạng với nhau . Muốn cho hai tam giác đồng dạng thì cần phải có hai góc tơng ứng bằng nhau từng đôi một. Vì tứ giác A F DC nội tiếp nên có góc DAE = góc A FH và ta có gócADE = góc FDH nên ta có thể chứng minh hai tam nói trên đồng dạng đợc . H F D E C B A Dạng toán thứ hai : Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau . 1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau a/ phơng pháp 1 : Chứng minh tỷ số của hai đoạn thẳng bằng tỷ số nghịch đảo của chúng . Trong các bài tập dễ , muốn chứng minh a=b , thì ta có thể chứng minh a : b = b: a VD 5 : Cho tam giác ABC , từ điểm P trên AB dựng PQ // BC cắt AC tại Q ; từ Q dựng QR //AB cắt BC tại R ; từ R dựng đờng thẳng song song với AC , đờng này lại đi qua P . Chứng minh rằng P là trung điểm của AB . Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 9 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Chứng minh : AP : PB = AQ : QC ; PB : PA = BR : RC Nhng AQ : QC = BR : RC suy ra AP : PB = PB : PA suy ra 22 PBAP = suy ra AP = PB (đpcm) Q R P B C A b/ Phơng pháp 2 : Chứng minh hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai đoạn thẳng bằng nhau cho trớc . Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dựa vào hai đoạn thẳng bằng nhau cho trớc nào đó rồi chứng minh bốn đoạn thẳng ấy tỷ lệ với nhau VD muốn chứng minh x =y , mà ta đã biết a = b rồi ta có thể chứng minh a : x = b : y VD 6 : Từ một điểm D trên một đờng tròn dựng DE vuông góc với đờng kính AB ; tiếp tuyến qua A và D cắt nhau tại C; nối CB cắt DE tại F . Chứng minh rằng : DF = FE . Suy xét : Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn chứng minh DF = FE thì ta phải chứng minh CD : DF = CA : FE (1) Tỷ số của vế phải của (1) bằng AB : EB . Còn tỷ số ở vế trái rất khó chứng minh bằng AB : EB , CD và DF là hai cạnh của tam giác CDF cho nên nếu dựng tiếp tuyến qua B , cắt CD kéo dài tại G thì sẽ đợc tam giác CGB đồng dạng với tam giác CDF , nh vậy tỷ số ở vế trái của (1) bằng CG : GB , cũng bằng CG : DG . Từ CA // DE// GB , ta suy ra AB : EB = CG : DG , vậy tỷ số ( 1 ) đợc chứng minh . F B E A D G C c/ Phơng pháp 3 : Chứng min h hai đoạn thẳng này và một đoạn khác tạo thành một tỷ lệ thức . Muốn chứng minh x = y mà trong bài lại không cho các đoạn thẳng bằng nhau , ta có thể dựa vào một đoạn thẳng a và chứng minh a : x = a : y VD 7 : Cho một hình thang . Chứng minh rằng giao điểm của các đờng chéo chia đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy của hình thang đó . Suy xét : Trong hình vẽ không có những đoạn thẳng bằng nhau , nhng ta thấy đoạn BC có liên quan với FE và EG , nên có thể dùng nó để chứng minh FE = EG Vì FE // BC suy ra BC : FE = AB : AE . Tơng tự ta cũng có BC : EG = DC : DG Vế phải của hai tỷ lệ thức trên bằng nhau , vì đấy là những đoạn thẳng tạo nên bởi ba đờng thẳng song song cắt hai đờng thẳng khác , nên những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ với nhau B F E G C D A Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 10 [...]... của Định lý Ta lét là cái gì ? Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 20 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Em nào nói đợc ? Trả lời : - Sử dụng sự song song của các đờng thẳng để thiết lập tỷ lệ thức - Sử dụng tỷ lệ thức để chứng minh sự song song Cách giải thứ nhất : Ta sẽ sử dụng cả hai sức mạnh đó để giải bài toán Trớc hết ta phải kẻ thêm các đờng thẳng. .. minh E , F , H thẳng hàng ta dùng phơng pháp nói trên Ta có tam giác ADH đồng dạng với tam giác BCH và ta có AD : BC = AH : BH ta suy ra AE : BF = AH : BH , ta có thêm góc EAH = góc FBH suy ra hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc bằng nhau suy ra (đpcm) Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 12 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ 2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng... điển cho bài toán 7 : Cách thứ nhất là : Tìm các cặp tam giác đồng dạng sau đó quy đồng mẫu số chung , để suy ra đpcm ( xem lời giải trong TLTK ) Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 15 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Cách thứ hai là : áp dụng bài toán cơ bản trong SGK hình học lớp 9 sau đây : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và một điểm M.. .Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút ra đợc FE = EG d/ Phơng pháp 4 : Lợi dụng phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn Ngời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ một điểm bất kỳ ở ngoài một đờng tròn , ta kẻ tới đờng tròn đó một cát tuyến và một tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là trung bình nhân giữa toàn cát tuyến và phần... Bình 24 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Trờng hợp thứ nhất điểm I nằm trong đoạn AM (điểm I không trùng với A & M) chúng ta đã làm trong bài toán gốc Bây giờ chúng ta khảo sát trờng hợp thứ hai : Điểm M nằm ngoài đoạn AM Trờng hợp thứ hai : Điểm I nằm ngoài đoạn AM Xét hai khả năng sau : Khả năng 1 : Điểm I nằm trên tia đối của tia AM , thì kết luận của bài toán vẫn... thứ hai vào giải Toán : a) Bài toán tầm cỡ thi HSG cấp Tỉnh : VD 19 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AD Trên nửa đờng tròn ta lấy một điểm B , trên đờng kính AD ta lấy một điểm C sao cho AB = CD Chứng minh rằng : Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 22 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Trong tam giác ABC có phân giác kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ B và đờng... chỗ : f = =3 = G chính là trọng tâm của tam giác AG AG 2 ABC , tức là đờng thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC , Nghĩa là đờng thẳng MN luôn đi qua điểm cố định G đó Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 14 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ */ Mệnh đề tổng quát của bài toán VD 13 Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các... xuất hiện đoạn thẳng I J , mà chúng ta đã khá quen thuộc với bài toán chứng minh I J AM ( Đờng thẳng AM cũng chính là đờng thẳng KM ) Đến đây đơng nhiên chúng ta phải chứng minh I J // E F Vậy là chúng ta đã hình thành đợc kế hoạch giải bài toán nh sau : - Chứng minh AM I J Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 26 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ - Chứng... Gia Bình 25 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ A M B P C Q I F E C/ Bài Toán tầm cỡ thi quốc gia : VD 20 : Cho tam giác ABC vuông ở A ; có AM là đờng trung tuyến & AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A Trên tia đối của tia AM ta lấy một điểm K , đờng thẳng qua H và vuông góc với AB cắt KB tại E Đờng thẳng qua H & vuông góc với AC cắt KC tại điểm F Chứng minh rằng : KM và FE vuông... bằng AD : CD Mặt khác vì BD = DC nên AD : BD = AD : CD do đó tỷ số (1) đợc chứng minh E B F D C b) Phơng pháp thứ hai : Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình 11 Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc bằng nhau sau đó áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song đã học ở lớp 7 để suy ra hai đờng thẳng song . giác ABC gặp nhau tại H . Chứng minh rằng : DA.DH = DE. DF . Suy xét : Muốn chứng minh DA.DH = DE . DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA : DF = DE : DH , rồi chứng minh tỷ lệ thức này . DA , DA. tài li u TK ) c/ Định lý đảo 2 : Nếu hai đờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đờng thẳng đồng quy tạo thành các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau. Lời giải : ( Xem tài li u. tài li u TK ) 3.10 Bài toán thứ mời ( chia một đoạn thẳng cho trớc ): Chia đoạn thẳng AB cho trớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b , c cho trớc . Lời giải : ( Xem tài li u