Chuyên đề Các bài toán có liên quan khảo sát hàm số38706

I MỞ ĐẦU Dạy học toán Trường phổ thơng q trình rèn luyện tư sáng tạo thầy trị Thơng qua học Toán học, giúp cho người cách nghĩ , cách suy luận chặt chẻ lơ gíc Học sinh có khiếu Tốn học thường nhanh nhẹn thông minh kể mối quan hệ sống hàng ngày Tuy vậy, Tốn học mơn khoa học khó nói chung người Để thu hẹp khoảng cách người học nội dung chương trình, người thầy có vị trí quan trọng việc truyền thụ kiến thức đến với học sinh Việc làm thường xuyên người thầy hệ thống kiến thức chương trình chương, phần chuyên đề để luyện tập cho học sinh q trình dạy học Trong nhiều năm cơng tác Trường phổ thông nhận thức trách nhiệm tầm quan trọng môn học Chương trình tốn THPT rộng đa dạng thể loại, phân môn Trong nội dung đề tài tơi xin trình bày khía cạnh hàm số Bài tốn hàm số ln tốn điển hình chương trình Tốn THPT Nó thường xun xuất kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng Trung học chun nghiệp Vì tốn hàm số có vị trí quan trọng cần quan tâm mực Bài toán hàm số đa dạng, phong phú tốn khó học sinh Đặc biệt tốn có chứa tham số, chẳng hạn tốn định tính cực trị hàm số hay toán tiếp tuyến cố định họ đường cong… Vì tầm quan trọng tốn hàm số nên tơi chọn đề tài này, trình bày vài kinh nghiệm việc dạy học hàm số đặc biệt toán liên quan đến khảo sát hàm số Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học nhà trường năm học tới Đó điều mà tơi ln trăn trở từ công tác Trường cấp 2-3 Việt Đức Theo tơi, tốn liên quan đến khảo sát hàm số đa dạng phong phú nhiều Bài tốn khơng có đường lối giải rõ ràng Trong toán cần vận dụng phương pháp giải cách linh hoạt sáng tạo,đó phẩm chất người học toán cần rèn luyện phẩm chất người động Khi dạy thầy giáo xếp dạng tốn sau thành chủ đề để trình bày cho học sinh Bài toán điểm đặc biệt họ đồ thị hàm số Bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Bài toán tương giao hai đồ thị Bài toán cực trị- giá tị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài tốn tính đơn điệu hàm số Bài toán tâm, trục đối xứng đồ thị hàm số Ngồi cịn nhiều dạng khác nữa, tơi chưa trình bày hết đây, q thầy giáo nghiên cứu viết thành nhiều chủ đề khác CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn II NỘI DUNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Cm) : y = f(x, m) Giả sử có họ tham số y = f(x, m), mA( tập hợp A có nhiều giá trị ) Ứng với giá trị m ta có hàm số cụ thể tương ứng với đồ thị cụ thể Khi m thay đổi ta có họ hàm số có họ đồ thị Có thể chia điểm mặt phẳng tọa độ thành loại sau: a Điểm cố định họ đồ thị M(xo, yo)  (Cm), m  yo = f(xo, m), m  Am + B = 0, m A  A    (hay Am2 + Bm + C = 0, m)    B  Giải hệ, M(xo, yo) B C   b Điểm mà đồ thị họ đồ thị qua Điểm (Cm) không qua, m : M(xo, yo)  (Cm), m  yo  f(xo,m), m A   yo = f(xo, m) VN m  Am + B = VN m (hay Am2 + Bm + C = VN m)   (hay B A  A   ) Giải hệ , M(xo, yo) B      C   B  A Chú ý :  C VN  B =   B A  BC VN c Điểm có n đường cong họ (Cm) qua Có n đường (Cm) qua M(xo, yo)  yo = f(xo, m) có n nghiệm m Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm loại phương trình : bậc 2, bậc có điều kiện x  , bậc 3, trùng phương VD: Cho hàm số y  x  mx  ,  m  1 xm Tìm tất điểm cố định họ đường cong ° Giải : Xét trường hợp suy biến: Nếu m = hàm số có dạng:  d1  y = x +  x  1 Neáy m = -1 hàm số có dạng:  d  y = x –  x  1 Goïi M(xo, yo) điểm cố định cần tìm Khi đó:  x02  mx0   x0  y0  m   x02  x0 y0    0m   x0  y0   y  , m     x0  m   x0  x0 y0    x0  m x  m  Giải hệ tìm tọa độ điểm: M(1; -1) M(-1; 1) * Với M(1; -1) điểm cố định họ đường cong ứng với m  * Với M(-1; 1) điểm cố định họ đường cong M không thuộc  d  TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn a (C) : y = f(x), tiếp xúc (C/) : y = g(x) hệ phương trình sau có nghiệm :  f  x   g  x  Nghiệm x hệ hoành độ tiếp điểm   f '  x   g '  x  b Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo Dùng điều kiện tx tìm k Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc hay bậc / bậc số nghiệm x hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến) * // () : y = ax + b : (d) // ()  (d) : y = ax + m Tìm m nhờ đk tx *  () : y = ax + b (a  0) : (d)  ()  (d) : y =  x + m Tìm m nhờ đk tx a / c Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M  (C ) : g(x, y) = cho từ M kẻ đến (C) n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(xo,yo)  (C/)  g(xo,yo) = 0; (d) qua M :  f  x   k  x  x0   y0 Khử k ta phương trình ẩn  f '  x   k (d ): y = k(x – xo) + yo tiếp xúc (C) :  x, tham số xo hay yo Đặt đk để phương trình có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm xo hay yo  VD : Cho hàm số : y  x  3x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ ° Giải : Ta cã phương trình đường thẳng qua goỏc tọa độ có hệ sè gãc b»ng k (d): y  kx §Ĩ (d) lµ tiÕp tun cđa (C)  (d) tiÕp xóc (C) kx  x  3x  (1)  k  3x  x (2) (1), (2)  x  1 2x  1  x  1  k  3  (d ) : y  3x  x   k  15  (d ) : y  15 x  4  VD 2: Cho haøm soá y  x2  5x  (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d :x y40 D  R \ 1 ° Giaûi: TXÑ: y'  2x2  x   x  1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  x  có hệ số góc k = suy ra: CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn f '  x0    2x2  4x   x  1  x0   y0   y  x  1   x0   y0   y  x Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn : y  x  VD 3: Tìm tiếp tuyến cố định họ đường cong có phương trình: y   m  1 x  m , xm  m  0 ° Giải: Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến cố định họ đường cong hệ phương trình sau có nghiệm với m   m2   m =a x+b (1)  xm    m =a (2)   x  m  Ta coù: m2  a  x  m  ,  3  2   x  m Trừ theo vế (1) cho (3) biến đổi ta được: m  a  1  b  1  ,  4 2m  x  m  m  a  1  b  1 2 a   a  1 m   a  1 b  1 m   b  1  0m  4m  a  1  Kết hợp (2) (4) ta được:   2  a  1 b  1   a  b  1   b  1  Vậy họ đồ thị có tiếp tuyến cố định là: y = - x - SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ * Phương trình hđ điểm chung (C) : y = f(x) (C/) : y = g(x) : f(x) = g(x) Số nghiệm pt = số điểm chung * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) vaø (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm Nếu pt hoành độ điểm chung tách m sang vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) (d) : y = m có n điểm chung * Biện luận tương giao (Cm) (C/m) :  Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT F; số điểm chung (Cm) (C/m) = số điểm chung (C) (d)  PThđ điểm chung, không tách m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = (x  ) hay dạng bậc : x =   f(x) = : lập , xét dấu , giải pt f(x) = để biết m  nghiệm f, với m đó, số nghiệm bị bớt °ĐẶC BIỆT: Khi xét tương giao hàm số bậc với trục hoành ta cần ý: a Định lí Viet : Nếu PT ax3 + bx2 + cx + d = có ba nghiệm x1, x2, x3 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Số nghiệm phương trình bậc :  x =   f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) Khi đó: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn   nghiệm phân biệt   f ()    nghiệm phân bieät    f ()  nghieäm    f ()   = f    =   < hay   Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m  Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y =   nghieäm   y' y CĐ y CT    nghiệm   y' y CÑ y CT    nghieäm  y'    y' y CĐ y CT  c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC :     y' y uoán  d So sánh nghiệm với  :  x = xo  f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với   Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa  vào BBT  Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)  y'    y y   < x1 < x2 < x3   CÑ CT  y()  x  CÑ   y'   y y   x1 <  < x2 < x3   CÑ CT  y()     x CT  x1 x x x1  x2 x3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn   y'   y y   x1 < x2 <  < x3   CÑ CT  y()   x CÑ    y'    y y  x1 < x2 < x3 <    CÑ CT  y()  x   CT  VD1: Dựa vào đồ thị hàm số cos 2t  1  m  cos t   2m     t   y x2  x  x 1 x1  x2 x3 x1 x2  x3 biện luận số nghiệm phương trình:  Giải: cos 2t  1  m  cos t   2m  cos t  1  m  cos t   m  1     t     t   Đặt x  cos t  1  x   x2  x   x  1  m  x   m   m  2    x 1 Thu phương trình:  1  x  1  x   Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số x2  x   1;1 với đường thẳng y=m y x 1 Trên khoảng  1;1 hàm số có giá trị cực tiểu yct  f (0)  giá trị nhỏ Nghiệm x=1 (2) cho nghiệm t=0 (1) Mỗi nghiệm x   1;1 (2) cho hai nghiệm t (1) Vậy ta có kết sau: m  : PT(1) vô nghiệm m  : PT(1) có hai nghiệm : PT(1) có bốn nghiệm  m  f (1)  : PT(1) có ba nghiệm có nghieäm x=1 m  f (1)  : PT(1) có hai nghiệm m  f (1)   VD2: Biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị hàm số sau: C  : y  x  vaø  d  : y   x  m CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn  Giải: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là: 3x    x  m  x   x  m 1 Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y  x  3x  đường thẳng y= m phương với trục hoành Xét hàm số y  x  3x  treân R y '  1 3x 3x   3x   3x 3x   y '   x   3 x x  x      1   x   3 x   x x  6  6 y  Với x   Bảng biến thiên: Biện luận: Nếu m  ( d ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt Nếu m  ( d ) cắt ( C ) điểm Nếu m  ( d ) không cắt (C)  VD3: Cho hàm số y  x3   2m   x  3mx  5m Định giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn –  Giải: TXĐ: D= R y '  x   2m   x  3m (ycbt) thỏa đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x > -2 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn  '  m   18m     6.y'  2     m    y'    25  y CÑ y CT    2m    2 0m  y()   x y cd y ct  CÑ   y  2   9m  36   CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ * f có n cực trị  f/ đổi dấu n lần  f / (x )  * f đạt cực đại xo   // o  f (x o )   f / (x o )  f đạt cực tiểu xo   //  f (x o )  * f baäc (hay baäc / bậc 1) có cực trị  f có CĐ vaø CT   f / > * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị :  Bên phải (d) : x =   y/ = có nghiệm  < x1 < x2  Bên trái (d) : x =   y/ = có nghiệm x1 < x2 <    f /   beân (Ox)    yCD yCT    f /   beân (Ox)    yCD yCT  * Với hàm bậc / bậc 1, điều kiện yCĐ.yCT < (>0) thay y = VN (có nghiệm.) * Tính yCĐ.yCT :  Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = u  Hàm bậc 2/ baäc : y  v / u (x CÑ ).u / (x CT ) yCÑ.yCT = / , dùng Viète với pt y/ = v (x CĐ ).v / (x CT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT :  Hàm bậc : y = Cx + D  Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có cực trị  ab  0, cực trị  ab <  VD1: Cho hàm số : y   x3  3mx  3(1  m ) x  m3  m (1) (m tham số) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn  Giải: TXĐ: D=R y '  3 x  6mx  3(1  m )  3  x  m    x1  m   y1  f  x1   m  3m  y'     x2  m   y2  f  x2   m  3m  Xét dấu đạo hàm ta có x1 ; x2 điểm cực trị hàm số Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm soá M  x1 ; y1  ; M  x2 ; y2  laø: y  x  m  m x2  x  m  VD2: Cho hàm số : y  (C ) x 1 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị điểm cựu trị đồ thị nằm hai phía đường thẳng  d  : y  x  Giải: TXĐ: D  R \ 1 y'  x2  x  m   x  1 Daáu đạo hàm dấu tam thức f  x   x  x   m Hàm số có cực trị f  x   x2  x   m  có hai nghiệm phân biệt khác  '  m   m    f 1  m  Goïi x1 ; x2 điểm cực trị hàm số vaø M  x1 ; y1  ; M  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị ta có:  M  x1 ; y1   M  x2 ; y2  nằm hai phía đồ thị ;   y1  x1   y2  x2    y1  x1  y2  x2     x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2     x1  x2  ta coù: m > ( thỏa điều kiện toán)  x1 x2   m Áp dụng định lí Viet   VD 3: Cho ba số dương a,b,c cho : a  b  c  CMR : a b c 3  2  2 b c a c a b 2  Giaûi : Giaû thieát a  b  c    x, y, z  a b c a b c a2 b2 c2         b  c a  c a  b  a  b  c a 1  a  b 1  b  c 1  c  Xét hàm số f ( x)  x 1  x  đoạn  0;1 Đạo haøm f '( x)  3x    x  CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn   0;1 2     f (0)  0; f (1)  0; f   Maxf ( x)  f     3 3  3 3 a2 b2 c2 3 Dấu đẳng thức xảy a  b  c      2 2 a 1  a  b 1  b  c 1  c  Ta coù : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a i) ii) iii) Biện luận biến thiên hàm bậc : a > y’ = vô nghiệm  hàm số tăng R (luôn tăng) a < y’ = vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2  hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (, x1) + hàm số tăng (x2, +) + hàm số giảm (x1, x2) iv) a < vaø y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2  hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (, x1) + hàm số giảm (x2, +) + hàm số tăng (x1, x2) bậc b Biện luận biến thiên y = bậc1 i) Nếu a.m > y/ = vô nghiệm hàm tăng ( đồng biến) khoảng xác định ii) Nếu a.m < y/ = vô nghiệm hàm giảm ( nghịch biến) khoảng xác định iii) Nếu a.m > y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2 vaø x1  x2 p  m iv) Nếu a.m < y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2 x1  x2 p  m c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) miền x  I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với   VD: Cho hàm số : y   x2  x  m 1 (1) x 1 Tìm m để hàm số nghịch biến D   ;0    2;    Giaûi : Xét tập hợp D   ;0    2;   hàm số luôn xác định y'   x2  x  m 1  x  1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn 10 Để cho hàm số y= f(x) nghịch biến   x2  x  m 1 0 y '  0,  x  D    D   ;0    2;     x  1   f (0)  f (2)  1  m  m   x  x   m   x2  x 1  m  m  Xét hàm số f ( x)   x  x   f '( x)  2 x    x  Lập bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng  ;0  nghịch biến khoảng  2;   Khi yêu cầu toán tương đương với m  Maxf ( x)  f (0)  f (2)  1  1  m  TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ a CM hàm bậc có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc có tâm đx (gđ tc) I : đổi tọa ñoä : x = X + xI, y = Y + yI; vào hàm số : Y = F(X), chứng minh : F(–x) = – F(x), suy F hàm lẻ, đồ thị có tâm đối xứng gốc tọa độ I b CM hàm bậc có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; x = a nghiệm nghiệm nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy F hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng trục tung X = 0, tức x = a c Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I , giải hệ pt ẩn :  x M  x N  2x I  y  y  2y  M N I   y M  f(x M )  y N  f(x N ) d Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm ñ/x qua ñt (d) : y = ax + b : dt  (d) laø (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung (C) (d'); giả sử pt có nghiệm xA, xB, tính tọa a độ trung điểm I AB theo m; A, B đối xứng qua (d)  I  (d)  m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy yA, yB  VD: Cho hàm số y x2  x   C  Tìm cặp điểm A, B ( C ) mà đối xứng với qua x đường thẳng ( d ): y = x  Giải: Nếu A , B trùng với giao điểm ( d) ( C ) có toạ độ nghiệm heä  x2  x  x  y    A  B 1;1 x  y   y  x  Goïi (d’) đường thẳng vuông góc với ( d) I, (d’): y = -x + b  xI nghiệm phương trình: x = x + b  2x  b  xI  b, 1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn 11 Phương trình hoành độ giao điểm (d’) ( C ) laø: x2  x  2 x   b  1 x   *  x  b   x  x  1 b 1 b  b  b  thay vào (*) ta có:  xI ,   Từ ( ) ( ) ta có 2 x  x   Voâ nghiệm Kết luận: A  B 1;1 Suy ra: x A  xB  CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn 12 ... d : y  x  có hệ số góc k = suy ra: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn f '  x0    2x2  4x   x  1  x0   y0   y  x  1   x0   y0   y  x Vậy có tiếp tuyến... b  c a 1  a  b 1  b  c 1  c  Xeùt hàm số f ( x)  x 1  x  đoạn  0;1 Đạo hàm f '( x)  3x    x  CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn   0;1 2     f (0)... (1)   VD2: Biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị hàm số sau: C  : y  x  vaø  d  : y   x  m CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ DeThiMau.vn  Giải: Phương trình hoành độ giao