Bồi dưỡng HSG chuyên đề Đồng dư Toán 8

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh ng[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DƯ I Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa

Nếu hai số nguyên a b có số dư phép chia cho số tự nhiên m  ta nói a đồng dư với b theo mơđun m, có đồng dư thức: a  b (mod m)

Ví dụ:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10) + Chú ý: a  b (mod m)  a – b m 2 Tính chất đồng dư thức: - Tính chất phản xạ: a  a (mod m)

- Tính chất đỗi xứng: a  b (mod m)  b  a (mod m)

- Tính chất bắc cầu: a  b (mod m), b  c (mod m) a  c (mod m) - Cộng , trừ vế: a b (mod m) a c b d (mod m)

c d (mod m) 



   

   Hệ quả:

• a  b (mod m)  a + c  b + c (mod m) • a + b  c (mod m)  a  c - b (mod m) • a  b (mod m)  a + km  b (mod m)

- Nhân vế : a b (mod m) ac bd (mod m) c d (mod m)



  

   Hệ quả:

• a  b (mod m)  ac  bc (mod m) (c  Z) • a  b (mod m)  an  bn (mod m)

- Có thể nhân (chia) hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương a  b (mod m)  ac  bc (mod mc)

Chẳng hạn: 11  (mod 4)  22  (mod 8) - ac bc (mod m) a b (mod m)

(c, m) =  

  



Chẳng hạn : 16 (mod 7) (mod 7) (2, 7) =

 

  

 II Các ví dụ Ví dụ 1:

Tìm số dư chia 9294 cho 15 Giải

Ta thấy 92  (mod 15)  9294  294 (mod 15) (1)

(2)

Ví dụ 2:

Chứng minh: số có dạng 2n – 4(n  N), có vơ số số chia hết cho Giải

Thật vậy:

Từ 24  (mod 5) 24k  (mod 5) (1)

Lại có 22  (mod 5) (2)

Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k +  (mod 5)  24k + 2 -  (mod 5)

Hay 24k + - chia hết cho với k = 0, 1, 2, hay ta vô số số dạng 2n – (n  N) chia hết cho

Chú ý: giải toán đồng dư, ta thường quan tâm đến a   (mod m) a  (mod m)  an  (mod m)

a  -1 (mod m)  an  (-1)n (mod m) Ví dụ 3: Chứng minh

a) 2015 – chia hết cho 11 b) 230 + 330 chi hết cho 13

c) 555222 + 222555 chia hết cho Giải

a) 25  - (mod 11) (1); 10  - (mod 11)  105  - (mod 11) (2)

Từ (1) (2) suy 25 105  (mod 11)  205  (mod 11) 205 –  (mod 11) b) 26  - (mod 13)  230  - (mod 13) (3)

33  (mod 13)  330  (mod 13) (4)

Từ (3) (4) suy 230 + 330  - + (mod 13)  230 + 330  (mod 13) Vậy: 230 + 330 chi hết cho 13

c) 555  (mod 7)  555222  2222 (mod 7) (5)

23  (mod 7)  (23)74  (mod 7)  555222  (mod 7) (6) 222  - (mod 7)  222555  (-2)555 (mod 7)

Lại có (-2)3  - (mod 7)  [(-2)3]185  - (mod 7)  222555  - (mod 7) Ta suy 555222 + 222555  - (mod 7) hay 555222 + 222555 chia hết cho

Ví dụ 4: Chứng minh số 224n + + chia hết cho 11 với số tự nhiên n Thật vậy:Ta có: 25  - (mod 11)  210  (mod 11)

Xét số dư chia 24n + cho 10 Ta có: 24  (mod 5)  24n  (mod 5)  2.24n  (mod 10)  24n +  (mod 10)  24n + 1 = 10 k +

Nên 224n + + = 210k + + =4 210k + = 4.(BS 11 + 1)k + = 4.(BS 11 + 1k) + = BS 11 + 11 chia hết cho 11

(3)

Giải:

Ta có: 1998 ≡ (mod 111)

=> 1997 ≡ -1 (mod 111) 1999 ≡ (mod 111) Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000 ≡ (mod 111) (19971998 + 19981999 +19992000 )10 ≡ 210 (mod 111)

Mặt khác ta có: 210 = 1024 ≡ 25 (mod 111)

Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư 25

*Bài tập tự luyện Bài 1: CMR:

a) 228 – chia hết cho 29

b)Trong số có dạng2n – có vơ số số chia hết cho 13 Bài 2: Tìm số dư chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho

Bài 3: Chứng minh: 3100 – chia hết cho 13

Bài 4: Chứng minh 62n + + 5n + chia hết cho 31 với n số tự nhiên Bài 5: Tìm chữ số tận 20092010

Bài 6 : Tìm số dư chia A = 19442005 cho

Bài 7 : Chứng minh số A = 61000 - B = 61001 + bội số Bài 8 : Tìm số dư phép chia 15325 - cho

Bài 9 : Chứng minh A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19

Bài 10: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 Bạn Thắng đem số chia cho số dư 4, chia cho 12 số dư

a)Chứng minh bạn Thắng làm sai phép tính chia

(4)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí