chuyen de boi duong HSG

[r]

Các chủ đề

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Chủ đề I

I/ Phương trình – Hệ phương trình vô tỷ

1/ phương trình vô tỷ

*/ Dạng :    

   

 

0 f x g x f x g x

g x

 



  

 



Ví dụ : Giải biện luận phương trình : x2 6x 6 m x

    (*)

Bài giải :

Ta có PT 

 2  

2 6 6 2 3 6;(1)

;(2)

m x m

x x m x

x m m x

        

 



 



  

 



*/ Neáu m-3 =  m =  PT vô nghiệm  hệ vô nghiệm  (*) vô nghiệm.

*/ Nếu m  PT (1) có nghiệm  

2 6

2

m x

m

 



*/ PT (*) có nghiệm     

2 6 3 3

0

2 3

m m m

x m m

m m

  

     

 

Kết luận : */ m > Phương trình có nghiệm   6

2

m x

m

 



*/ m 3 Phương trình vô nghiệm

2/ Daïng : f x   g x  h x 

Cách giải : Đặt ẩn phụ bình phương hai vế

Ví dụ : Giải phương trình : x 3 x1 x 8 x1 1 Giaûi :

PT     

2

1 1

x   x    x   x  

; ÑK :x1

*/ Với x10 PT  x1 1   x10 (i) */ Với 5 x 10 PT  = với  x (ii) */ Với 1 x 5 PT  2 x1 1   x5 (iii) Từ (i), (ii) ,(iii)  Nghiệm PT 5 x 10

Ví dụ : Giải phương trình 3x2 2x15 3x2 2x 8 7;( )i

Giải

Cách : PT 

2

7 0; u v u v

u v

  



 



  

 

7 1

4

1

3

1 0;

u v

u x

u v

v

x

u v

 

 

 



 

   

 

  

   

 

Cách : Nhân với lượng liên hợp vế : PT  7( 3 x2 2x15 3x2 2x8)

Từ (i)&(ii) ta có

1 x x

   



 là nghiệm PT

Ví dụ : Giải phương trình : x13 x 232x

Giaûi

PT       

3

3 3 3 3

3 x1 x  2x 3 x1 x x1 x 0

 33 x1.3 x 2.3 x 0

 3

1 1

2

3

2

x x

x x

x x



    

 

   

 

 

 

 

 



Ví dụ : Giải phương trình :

4 2

1

x x

x x

 

 

  (1)

Bài Giải Nhận xét : Vì vế trái có tích = 1; ÑK

2

x x



 >  -1 < x < Khi đó PT có dạng

1

2 1

y y y t

y

        

( Vì y > 0)

Vaäy  

4

4 2 2 15 12

1 18 12

x x

x

x x

  

      

  

Ví dụ : Giải phương trình : 324 x 12 x6

GIAÛI

3 24 x 12 x 6

Đặt

324

; 12

x u v x v

  



 

  

 ,

Vậy có hệ

 

3

0

6

12

36

3 10

u v

u v

u u u u v

u v

u v

 

 

 

  

       

  

 

    

 

Khi : x = -24 ; x = ; x = -88 nghiệm phương trình

Ví dụ : Giải phương trình

x 5 2  x 3 x2 9x

   

Giaûi : PT   x2 3x10 3 x29x Đặt

9

x  x t  Thay vào tìm t =  x = , x = -4

Ví dụ : Giải phương trình

3 2 x 1 x1

Giải

Nhận xét : Nếu Đặt 2 x u u3 2 x x; 1 v 0 v2 x 1

Như :    

3

3 2

1

1 (0;1;3) 1;2;10

1 u v

v v v x

u v

  

       

   

Ví dụ : Giải phương trình

 1  2

x x  x x  x Giaûi

Bình phương hai lần : xx36x3x 8  0 x0;x1

Chủ đề II

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng :

   

   

 

   

 

0

f x g x g x

f x g x

f x g x g x

 

 

  

  

 

  

 

  

Cách giải : Dùng phương pháp khoảng để làm GTTĐ , giải các bất PT hay PT khoảng tương ứng

Ví dụ 1: Giaûi BPT :

2 4 5

4

x x

x

  

 

  



GIẢI Hệ 

2

5 5;( ) 3;( )

x x i

x i

    

    

Giải (i) -1< x < ; Giải (ii) -4 < x < Như Nghiệm hệ – < x <

Ví dụ 2: Giải BPT : x  2x 3x  x 2

Giaûi

PP Chia khoảng xét dấu

Chủ đề III

Daïng BPT :

2

0 0

B A B A B

A B

 

    

  

   

   

Chủ đề IV : LƯỢNG GIÁC

I: Các Dạng Phương Trình : 1/ Phương trình : a/ sinu = m = sinv

2

u v k

u v k



 

  

    

 (k  Z)

b/ cosu = cosv  u  v k2 (k  Z)

c/ tgu = tgv  u v k   (k  Z)

d/ cotgu = cotgv  u v k   (k  Z)

2/ Phương trình bậc : acosx + bsinx = c

*/ Cách : Đặt

2 2 sin

1

2

1

t x

x t

tg t

t cosx

t





 

  



 

 



Phương trình  mt2 nt k 0 Giải PT tìm t sau tìm x

.

*/ Cách : - Chia vế cho a - Đặt b/a = tg

- Coù PT : cosx cos + sinxsin = c/a cos

- PT  cos(x-) = cos  x

*/ Cách : Chia vế cho

2 2

2 sin a

cos a b

a b

b a b

 



 

 

 



 





PT cos sin sin 2 c

xcos x cos

a b

  

   



Đkiện : a2 + b2 - c2 0

Cách : Có thể dùng bất đẳng thức để chứng minh

a.cos2x + b.cosx + c = 0 a.sin2x + b.sinx + c = 0 a.tg2x + b.tgx + c = 0 a.cotg2x + b.cotgx + c = 0

Cách giải : Đặt hàm = t ( Với sin cos thêm đk t 1)

Giải phương trình bậc hai  x

2/ Phương trình đẳng cấp ( toàn phương ) */ a.cos2x + b.sinxcosx + c.sin2x = d

Cách giải : Dùng công thức hạ bậc để đưa dạng : mcos2x + nsin2x = k

Cách giải : */ Chia vế cho cos2x ; với cosx

 0

PT trở thành PT bậc hai với tgx */ Nếu cosx = thoả x = k2

  

họ nghiệm */ Phương trình đối xứng

m(sinx + cosx) + nsinxcosx = k

Đặt sinx + cosx = 2cos x t t



 

   

 

 

Chủ đề : TAM GIÁC LƯỢNG 1/ Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho

2

2

3

:

16

x xy y

CMR xy yz xz

y yz z

   



   



  

 

Bài giải : Gọi x > , y > , z > A Dựng OA = x ; OB = y , OC = z

Sao cho AOB AOC COB 1200

   O Theo định lý hàm số cô sin ta có

B C

2 2 2 1200 3 3

AB x y  xy cos   AB Tương tự : BC =

0 0

1

.sin

2

1 1

.sin120 sin120 sin120

2 2

8

ABC

S AB BC B AB BC

xy xz zy

xy yz xz

  

   

   

*/ Bất đẳng thức Cô Si cho số dương : a b

ab

 

*/ Bất đẳng thức Cô Si cho n số dương : 2

n n

n

a a a

a a a n

   

VD: CMR :

1

1

1

1

n n

n n



   

  

   



   

Giải: Xét dãy:

1

1; n

a a a a

n



     

Theo BĐTCô Si cho n+1 số :

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 ;( )

1

n n

n n

n n

n

n n

n n n n

CMX

n n

 



   

     

 

   

        

   

     

   

       

   

HÀM SỐ MŨ

1/ Định nghóa : y = ax ( a > ; a  1)

2/ Tính chất :

*/ ax > với  x  y > với  x

*/ x =  y =1 với  x

*/ a > với x1 > x2  ax1 ax2(hàm số đồng biến )

*/ a < với x1 > x2  ax1 ax2(hàm số nghịch biến )

ĐỒ THỊ :

y

1

x