chuyen de 1 bat dang thuc

Ta có : P là hàm nghịch biến trong đoạn 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT

1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức

Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :

Giải:

, bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra

2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục

Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Giải:

Từ giả thiết Ta có :

P là hàm nghịch biến trong đoạn

3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà

có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán

Ví dụ 1:

Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng:

Giải:

Do giả thiết

(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

Ví dụ 3:

Giải:

1

Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0

4.Sử dụng tam thức bậc 2:

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có:

Giải:

- Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.

đpcm

Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với

5.Phương pháp quy nạp:

Ví dụ:

Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.

Giải:

Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:

Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):

- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với

Do khẳng định đúng với

Vì

Mà vế phải bằng

Vậy khẳng định đúng với

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị

Bài 1: Cho Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì

và

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó kết hợp với đk ta có

Dễ thấy khi a=3 thì Vậy khi a=3

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:

dụng Cosi cho 3 số ta có Thay vào ta có

Bài 3:

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:

Giải:

Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng

.Ở đây dễ thấy Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi".

Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi Ta chú ý tiếp đk

x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta được ngay:

Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1.

Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn:

Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:

Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ Dạng I)Phương trình dạng

Ví dụ 1:Giải phương trình :

3

Phương trình đã cho tương đương với:

Giải (1):

Giải (2):

Ví dụ 2:Giải phương trình :

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương tương với:

Giải (1) ta có: x=0.

Giải (2) ta có x=1.

Dạng II)Phương trình dạng

Ví dụ 3:Giải phương trình :

Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với :

Giải (1) x=1.

Giải (2) x=0.

Ví dụ 4:Giải phương trình :

Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với:

Giải (2) ta có:x=0.

Dạng III)Phương trình dạng:

Ví dụ 5:Giải phương trình :

Phương trình đã cho tương đương với :

Dạng IV)

Ví dụ 6:Giải phương trình :

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Giải phương trình :

Bài 1)

Bài 2)

Bài 3)

Bài 4)

Bài 5)

Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ngày 20-02-2008 Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh

THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật

Cô-Si ngược dấu.

Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải:

Ta luôn có :

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Ta có:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên

(1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

5

(3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:

Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN

Ví dụ 1.Cho ,chứng minh :

Giải : Ta có :

nên

Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng :

Giai: Ta có :

Mà

Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :

Giải: Ta có :

(x,y là các số dương)

tương tự 2 bài trên ta suy ra

Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ

1 BĐT Cô-si (AM-GM):

Dấu bằng xảy ra khi BĐT suy rộng: Cho là các số hữu tỉ dương mà

Cho dãy số không âm Khi đó

2 BĐT Bunhiacopski:Giả sử và là hai dãy số tùy ý.

Khi đó

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

3 BĐT Svac-xơ:

Khi đó

4 BĐT Trêbưsep:

Cho hai dãy đơn điệu tăng và (hoặc đơn điệu giảm)

Ta có:

Tạm thời cứ thế đã, lúc khác post tiếp Có ai biết thêm gì thì cứ post lên nhé!

Tiếp tục đây:5.BĐT Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.

Khi đó

6 BĐT Nesbit:+3 biến: Cho Khi đó

+4 biến: Khi đó

+6 biến: Khi đó

BĐT Minkowski:

Cho hai dãy số không âm và khi đó:

Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây:

ĐỊNH NGHĨA GTLN,GTNN:

.M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu

.Chú ý: M là GTLN của A thì nó phải thoả 2 điều:thứ nhất là nó lớn hơn hoặc bằng mọi phần

tử thuộc A.thú 2 phải tồn tại 1 phần tử thuộc A bằng M

Ví dụ: (0,1) ko có giá trị lớn nhất vì;

9

.với Mx>M vậy M ko phải GTLN của A.

.với M thì ko có phần tử nào thuộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A

.Vậy A ko có GTLN

.GTNN định nghĩa tương tự

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CHỨNG MINH BĐT:

A.PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: đây là phương pháp thường dùng nhất để cm các bđt:

1.SỬ DỤNG BĐT THỨC CAUCHY : bđt thường dung nhất

*nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những bài toán mà cả hai vế có số

“phần tử “ bằng nhau và bậc của chúng bằng nhau thì chúng ta có thể giải bằng bđt Cauchy

Ví dụ 1: với mọi a,b,c>0 CMR:

.dễ thấy cả hai vế có bốn hạng tử và bậc bằng 4 ta dung bđt cauchy

Áp dụng bđt Cauchy cho bốn số dương ta có;

.(1)+(2)+(3) suy ra đpcm

.dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2:với ba số a,b,c dương.CMR:

.có thể coi hai vế đều có bậc 1,và 3 hạng tử ta dùng bđt cau Cauchy :

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số ta có

(1)v à (2) suy ra đpcm

d âu “=’ x ảy ra khi v à ch ỉ khi a=b=c

V í d ụ 3: cho x,y,z d ư ơng CMR:

ta thấy mỗi vế có 3 hang tử và ta có thể coi nó cùng “ bậc -1” ta dung bđt Cauchy

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có;

cộng lại ta suy ra dpcm

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.

Ví dụ 4 : cho a,b,c dương.CMR:

ta thấy rằng đây là dạng đặc trưng cho pp sài bđt Cauchy hai lần

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số ta có:

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Ví dụ 5: tìm giá trị nhỏ nhất của M=

Ta có M+3=

=

Áp dụng bdt Cauchy ta có:

Suy ra M+3

Suy ra M

Mà với a=b=c ta có

vậy giá trị nhỏ nhất của M là

2.BẤT ĐẲNG THỨC BSC: mình ít sài bđt này lắm lên ko rành.

*với 2n số

Ta có

*VT là trị tuyệt đối của tích vô hưóng,VP là tích modun.

*khi ta có tổng mà thì ta áp dụng bđt này.

Ví dụ 1: CMR:

Áp dung bđt BCS ta có:

3.SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA 1 SỐ PT:

*hiện tại mới nhớ ra điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 và pt lượng giác bậc nhất;

Ví dụ 1: tìm GTLN và GTNN nếu có của

DK:x=! 0

Ta có

điều kiện tồn tại x là detal

tưong đương

11

vậy y ko có GTLN và GTNN của y là ( ta có thể thế y =3/4 vào (1) để tính giá trị x khi

y đạt GTNN.

Bai 15: tìm giá trị nhỏ nhất ;

1.

2.

3.

Bài 16;tìm giá trị lớn nhất của

1 Cho 3 số thực dương sao cho: Tìm GT lớn nhất của:

Giải theo nhiều cách nha các bạn

3 Cho 3 số thực dương sao cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tìm MIN VÀ MAX của

5 Tìm Min Max của

6 Cho hai số thực thỏa mãn:

7 Cho hai số thực thỏa mãn đẳng thức

Tìm giá trị bé nhất của:

8 Cho 4 số thực: thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

9 Cho 2 số thực dương thỏa mãn Tìm Min của:

10 Cho 2 số thực không âm Tìm Max và Min của biểu thức:

11.Cho 3 số thực dương thỏa mãn =1

CMR:

12 Cho 3 số thực dương CMR:

A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG:

ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau

GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số:

Bài làm

.a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1,2,3,4 9}

.b=!a suy ra có 9 cách chọn{0,1,2,3,4 9}\{a}

.c=!a,b suy ra có 8 cách chọn {0,1,2,3 9}|{a,b}

d=!a,b,c suy ra có 7 cách chọn {0,1,2,3 9{\{a,b,c}

Áp dụng qui tắc nhân ta có :9.9.8.7=4536 số thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 2:Cho các số {0,1,2,3,4,5,6}

a.Hỏi có bao nhiêu số tư nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số kia

b.tính tổng các số ở câu a

Bài làm

a*Chọn 4 trong số 7 số tự nhiên trên {0,1,2 6} sau đó hoán vị chúng,ta có số tự nhiên có 4 chữ số và đôi một khác nhau( trong này có cả những số mà a=0)

*Chọn a=0,sau đó chọn 3 trong số 6 số {1,2,3,4,5,6} ta có số tự nhiên có

4 chữ số mà a=0

*vậy ta có 840-120=720 số thỏa yêu cầu đề bài

b*Trong số 840 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ( tính cả a=0)

ta có 420 cặp số mà tổng bằng 6666 ( ví dụ 0123+6543=6666,4261+2405=6666)

suy ra tổng là 420.6666=2799720

*Trong số 120 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau mà a=0

ta có 60 cặp số mà tổng bằng 777 ( ví dụ 136+641=777,235+542=777 )

suy ra tổng là 60.777=46620

vậy kết quả câu b là 279920-46620=2753100

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 9

Bài làm

a.*Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là

*Số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là

Các số tự nhiên chia hết cho 9 là CSC vời công ứoc d=9

theo công thức cấp số cộng:

suy ra 9999=1008+(n-1)9

suy ra (n-1)=999 suy ra n=1000

Vậy có 1000 số thỏa yêu cầu đề bài

b.theo cong thức CSC ta có tổng các số này là:

13

Ví dụ 4:

a.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số và chia hết cho 3

b.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số hàng chục chia hết cho 3 Bài làm

gọi số có 5 chữ số là abcde

a

a=! 0 suy ra có 9 cách chọn{1,2,3 9}

b có 10 cách chọn

c có 10 cách chọn

d có 4 cách chọn {0,3,6,9]

e có 5 cách chọn {0,2,4,8}

Áp dụ qui tắc nhân suy ra có 9.10.10.4.5=18000 số thỏa yêu cầu đề bài

b

a=!0

TH1: Chọn a là 1 trong các số {1,2,4,5,7,8} suy ra a có 6 cách chọn

d chia hết cho 3 có 4 cách chọn{0,3,6,9}

b =!a,d có 8 cách chọn

c=!a,b,d có 7 cách chọn

e=!a,b,c,d có 6 cách chọn

suy ra Th1 có 6.4.8.7.6=8064 số

Th2:

Chọn a trong các số {3,6,9} suy ra có 3 cách chọn a

d có 3 cách chọn {0,3,6,9}\{a}

b=!a,d có 8 cách chọn

c=!a,b,d có 7 cách chọn

d=!a,b,c có 6 cách chọn

vậy Th 2 có 3.3.8.7.6=3024

Áp dung qui tắc cộng ; ta có 8064+3024=11088 số thỏa yêu cầu đề bài

BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC:

Cho giác giác n cạnh ,trong đó ko có 3 đỉnh nào thẳng hàng;

a.hỏi có bao nhiê tam giác tạo thành từ các đỉnh của da giác

b,Đa giác này có bao nhiê đừong chéo

c.Biết ko có 2 đừong chéo nào đồng qui tại 1 điểm.Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đừong chéo

Bài làm

a.lấy 3 trong n đỉnh cua da giác n đỉnh ( n cânh thì có n đỉnh) ta đựoc 1 tam giác suy ra có tam giác là tam giác

b.lấy 2 điểm bất kí ta đựoc 1 đừong chéo hoặc cạnh

vậy tổng số cạnh và đừong chéo là

suy ra số đừong chéo là đừong chéo

c.Cứ chọn 4 điểm trong n đỉnh của đa giác ta có 1 giao điểm của hai đường chéo

Vẩy số giao điểm của 2 đường chéo là

C.BÀI TOÁN VỀ LÀ THỨ

Cho n lá thư bỏ ngẩu nhiên vào n phong bì

a.tính xác xuất đề có đúng 1 lá thư đúng địa chỉ

b.Xác suất để đúng 2 lá thư gửi đúng địa chỉ

c.xác suất để ko lá thư nào đúng địa chỉ

Bài làm

Gọi là xác suất để các là thư thứ 1,2,3 n đúng địa chỉ

ta có

a.xác suất để đúng 1 lá thư đúng địa chỉ là

P=

=

=

b.xác suấ để có dúng 2 lá thư đúng dịa chỉ

Có n lá thư trong đó có đúng 2 lá thư đúng địa chỉ.vậy ta có cách chọn thứ tự cho các lá thư đúng địa chỉ

=

c,xác xuất để tất cả thư đều ko đúng địa chỉ là

P=

vậy xác suất để ít nhất 1 lá đúng

là

Bài tập

*mình sẽ pót bài tập ít 1 lên mọi ngừoi cùng phân tích nha

*các bạn có thể post những bài hay hoặc ko hiểu tại đây

Bài 1:Có 4 máy bay cùng ném bom 1 mục tiêu

Xác suất để các máy bay ném bom trúng mũc tiêu lần lưôt là 0,4;0,5;0,6;0,7

a.tính xac suất để có đúng 2 máy bay ném trúng mục tiêu

b.xác suất để mục tiêu bị ném bom trúng

Bài 2.Có 7 cuốn sách toán khác nhau,6 sách lý khác nhau và 5 sách văn khác nhau

a.hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sách vào kệ scáh

b.hỏi bao nhieu ccách sắp xếp sách vào kệt sao cho sách cùng môn học nằm cạnh nhau

c.lấy ngẫu nhiên 2 cuốn scáh.tính xác suất để 2 cuốn sách ko cùng môn

Bài 3

a.hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi 1 khác nhau

b.tính tổng các số câu a

Bài 4

Từ 5 bông hồng vàng,3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ(các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau)người ta muốn chọn ra 1 đóa hoa gồm 7 bông hoa

a.Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ

15

b.Có bao nhiêu cách chọn bó hoa có ít nhất 2 bôn hồng vàng và ít nhất 2 bông hồng đỏ.

Bài 5

Cho các số {0,1,2,4,6,8}.Từ các số này:

a.hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau

b.tính tổng các số ở câu a

c.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chia hết cho 4

d.có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi 1 khác nhau mà chia hết cho 4

Bài 6

Một nhóm bạn có 12 người ,trong đó có 8 bạn nam ,và 4 bạn nữ,rủ nhau đi chơi.Nhóm chia làm 6 cặp ,mỗi cặp đi chung 1 xe.Hỏi có bao nhiêu cách chia 12 người này làm 6 cặp sao cho: a.Chia sao cũng được miễn thành 6 cặp thui

b.Các bạn nữ đi chung,nam di chung( tức là 4 cặp nam,2 cặp nữ)

c.Yêu tiên các bạn nữ ko phải chở ,vì vậy mỗi bạn nữ đều đi chung với 1 bạn nam

Bài 7

Sau một thời gian ế,Analtic cũng rủ được 1 bạn gái đi chơi,vì vậy buổi chiều muốn mua hoa tặng bạn gái.Nhưng Analytic lại ko muốn mua những bông hoa bó sẵn mà muốn mua các bông hoa lẻ về tự bó lại cơ.Bạn đó rất thích những bông hoa hồng gồm có ba loại:hồng đỏ ,hồng vàng và hồng trắng mỗi loại này chị bán hàng đều còn 10 bông.Hỏi Analytic có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa hồng gồm 9 bông sao cho có đủ 3 loại hồng đỏ,hồng vàng,hồng trắng và thỏa:

a.Đủ 9 bông và ba loại hoa hồng là đủ rồi

b.Bông hoa đỏ đẹp nhất lại tượng trưng cho ty nữa lên số bông hồng đỏ phải ko ít hơn 1 nửa

số bông

Bài 8

Một đoàn tàu còn 3 toa trống trong đó: toa 1 còn 3 chỗ trống,toa 2 còn 4 chỗ trống,toa 3 còn 5 chỗ trống.Hỏi có bao nhiêu cách phân phối 9 người lên các toa (có 12 chỗ ngồi tất cả)tàu sao cho:

a.miễn 9 người đều lên tàu là được

b.có 1 cặp vợ chồng ,đương nhiên 2 người này phải ngồi cùng toa

Bài 9

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho:

a.Hai số đứng cạnh nhau ko bằng nhau

b.mổi số đều có số đứng trước và số đứng sau nó bằng nhau

c.Chúng xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

d.Chúng gồm đúng 3 số lẻ và 3 số chẵn

bài 10

a.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 5 và ko chia hết cho 3

b.tính tổng các số ở câu a

bài 11

Một hộp đựng 4 bi đỏ,5 bi trắng,6 bi vàng.Ngừoi ta chọn 4 bi từ hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách lấy bi thoả

a.Chỉ cần lấy đủ 4 viên

b.4 viên nhưng không đủ 3 màu

c.không có viên bi đỏ nào

bài 12