chuyen de 1 bat dang thuc

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT 1.Biến đổi tương đương : khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng : Giải: , bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra 2.Đưa về hàm số : khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Giải: Từ giả thiết . Ta có : Đặt với ; có P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi hoặc ). ( đạt khi ). 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Ví dụ 1: Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 3: Cho . Chứng minh: Giải: 1 Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: Giải: - Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. - Nếu thì với và đpcm Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với nên (1) đúng ( đpcm) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh rằng với thì Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. Giải: Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Với . Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n): - Với ( do . - Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với . Do khẳng định đúng với Vì Mà vế phải bằng Vậy khẳng định đúng với 2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị Bài 1: Cho .Tìm Min của: Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì và Ta áp dụng Cosi như sau: ta có Khi đó kết hợp với đk ta có Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3 Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau: Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có Bài 3: Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Giải: Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng .Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi". Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta được ngay: Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1. Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn: Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min: P= + + Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ 3 Dạng I)Phương trình dạng Ví dụ 1:Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với: Giải (1): Giải (2): Ví dụ 2:Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình đã cho tương tương với: Giải (1) ta có: x=0. Giải (2) ta có x=1. Dạng II)Phương trình dạng Ví dụ 3:Giải phương trình: Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với : Giải (1) x=1. Giải (2) x=0. Ví dụ 4:Giải phương trình: Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với: Giải (1) ta có (vô nghiệm) Giải (2) ta có:x=0. Dạng III)Phương trình dạng: Ví dụ 5:Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với : Dạng IV) 4 Ví dụ 6:Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với: Sau đây là một số bài tập áp dụng: Giải phương trình: Bài 1) Bài 2) Bài 3) Bài 4) Bài 5) Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ngày 20-02-2008 Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) 5 Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có: Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : Giải : Ta có : mà nên nên Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng : Giai: Ta có : Mà Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng : Giải: Ta có : (x,y là các số dương) tương tự 2 bài trên ta suy ra Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ 6 7 8 1. BĐT Cô-si (AM-GM): . Dấu bằng xảy ra khi BĐT suy rộng: Cho là các số hữu tỉ dương mà Cho dãy số không âm . Khi đó 2. BĐT Bunhiacopski:Giả sử và là hai dãy số tùy ý. Khi đó Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 3. BĐT Svac-xơ: Cho và là hai dãy số, trong đó với . Khi đó 4. BĐT Trêbưsep: Cho hai dãy đơn điệu tăng và (hoặc đơn điệu giảm) Ta có: Dấu bằng có hoặc Tạm thời cứ thế đã, lúc khác post tiếp. Có ai biết thêm gì thì cứ post lên nhé! Tiếp tục đây:5.BĐT Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1. Khi đó 6. BĐT Nesbit:+3 biến: Cho . Khi đó +4 biến: . Khi đó +6 biến: . Khi đó BĐT Minkowski: Cho hai dãy số không âm và khi đó: Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây: ĐỊNH NGHĨA GTLN,GTNN: .M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu. .Chú ý: M là GTLN của A thì nó phải thoả 2 điều:thứ nhất là nó lớn hơn hoặc bằng mọi phần tử thuộc A.thú 2 phải tồn tại 1 phần tử thuộc A bằng M. 9 Ví dụ: (0,1) ko có giá trị lớn nhất vì; .với Mx>M vậy M ko phải GTLN của A. .với M thì ko có phần tử nào thuộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A. .Vậy A ko có GTLN. .GTNN định nghĩa tương tự. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CHỨNG MINH BĐT: A.PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: đây là phương pháp thường dùng nhất để cm các bđt: 1.SỬ DỤNG BĐT THỨC CAUCHY : bđt thường dung nhất. *nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những bài toán mà cả hai vế có số “phần tử “ bằng nhau và bậc của chúng bằng nhau thì chúng ta có thể giải bằng bđt Cauchy. Ví dụ 1: với mọi a,b,c>0 .CMR: .dễ thấy cả hai vế có bốn hạng tử và bậc bằng 4 ta dung bđt cauchy. Áp dụng bđt Cauchy cho bốn số dương ta có; . (1) Tt ta có . (2) . (3) .(1)+(2)+(3) suy ra đpcm .dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 2:với ba số a,b,c dương.CMR: .có thể coi hai vế đều có bậc 1,và 3 hạng tử ta dùng bđt cau Cauchy : Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số ta có Suy ra (1) Suy ra (2) (1) v à (2) suy ra đpcm d âu “=’ x ảy ra khi v à ch ỉ khi a=b=c. V í d ụ 3: cho x,y,z d ư ơng CMR: ta thấy mỗi vế có 3 hang tử và ta có thể coi nó cùng “ bậc -1” ta dung bđt Cauchy Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có; 10 [...]... cách chọn nếu a.Phải co1 em nam và 3 em nữ b.Có ít nhất 1 em nam c.Có ít nhất 2 em nữ bài 13 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho số 2 xuất hiện đúng 1 lần và ko có số 1 nào bài 14 Từ các số{0 ,1, 2,3,4,5}.lập đựoc bao nhêiu số có 5 chữ số sao cho a)Ko chia hết cho 5 và là số lẻ b)Đôi 1 khác nhau và >2000 c)Đôi 1 khác nhau và số 1 có mặt đúng 1 lần bài 15 thầy giáo có 3 cuốn... abcde a a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1, 2,3 9} b có 10 cách chọn c có 10 cách chọn d có 4 cách chọn {0,3,6,9] e có 5 cách chọn {0,2,4,8} Áp dụ qui tắc nhân suy ra có 9 .10 .10 .4.5 =18 000 số thỏa yêu cầu đề bài b a=!0 TH1: Chọn a là 1 trong các số {1, 2,4,5,7,8} suy ra a có 6 cách chọn d chia hết cho 3 có 4 cách chọn{0,3,6,9} b =!a,d có 8 cách chọn c=!a,b,d có 7 cách chọn e=!a,b,c,d có 6 cách chọn suy ra Th1... Ví dụ 1: CMR: Áp dung bđt BCS ta có: 3.SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA 1 SỐ PT: *hiện tại mới nhớ ra điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 và pt lượng giác bậc nhất; Ví dụ 1: tìm GTLN và GTNN nếu có của DK:x=! 0 Ta có Suy ra (1) điều kiện tồn tại x là detal 11 tưong đương vậy y ko có GTLN và GTNN của y là ( ta có thể thế y =3/4 vào (1) để tính giá trị x khi y đạt GTNN Bai 15 : tìm giá trị nhỏ nhất ; 1 2 3... dương thỏa mãn 10 Cho 2 số thực không âm Tìm Min của: Tìm Max và Min của biểu thức: 12 11 .Cho 3 số thực dương CMR: thỏa mãn 12 Cho 3 số thực dương =1 CMR: A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG: ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số: Bài làm a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1, 2,3,4 9} b=!a suy ra có 9 cách chọn{0 ,1, 2,3,4 9}\{a}... số 6 số {1, 2,3,4,5,6} ta có số tự nhiên có 4 chữ số mà a=0 *vậy ta có 840 -12 0=720 số thỏa yêu cầu đề bài b*Trong số 840 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ( tính cả a=0) ta có 420 cặp số mà tổng bằng 6666 ( ví dụ 012 3+6543=6666,42 61+ 2405=6666) suy ra tổng là 420.6666=2799720 *Trong số 12 0 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau mà a=0 ta có 60 cặp số mà tổng bằng 777 ( ví dụ 13 6+6 41= 777,235+542=777... nhiên chẵn có 5 chữ số đôi 1 khác nhau b.tính tổng các số câu a 15 Bài 4 Từ 5 bông hồng vàng,3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ(các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau)người ta muốn chọn ra 1 đóa hoa gồm 7 bông hoa a.Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ b.Có bao nhiêu cách chọn bó hoa có ít nhất 2 bôn hồng vàng và ít nhất 2 bông hồng đỏ Bài 5 Cho các số {0 ,1, 2,4,6,8}.Từ các số này:... vậy kết quả câu b là 279920-46620=275 310 0 Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 9 Bài làm a.*Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là *Số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là Các số tự nhiên chia hết cho 9 là CSC vời công ứoc d=9 theo công thức cấp số cộng: suy ra 9999 =10 08+(n -1) 9 13 suy ra (n -1) =999 suy ra n =10 00 Vậy có 10 00 số thỏa yêu cầu đề bài b.theo cong... -> cũng may bài 8 ra duy nhất nghiệm một nghiệm x=2 thôi Tiếp nhé ! 9) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 ) Tớ có bài toán lôgic siêu khó vừa thi xong, cũng nghĩ là đề sai nhưng hỏi giám thị là Hiệu phó trường Trưng Vương Chiến bảo là đề hoàn toàn đúng, các bạn thử xem nhé!!! Xòe bàn tay trái ra đếm lần lượt từ trái sang phải Ngón cái là số 1, các ngón tiếp theo lần lượt là 2, 3, 4, 5 Sau đó đếm ngược từ phải sang... luôn đứng cạnh nhau.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy? bài 18 Có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hành 1 hàng ngang.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 hs này sao cho học sinh nam và nữ đứng xen kẽ nhau bài 19 Cho các chữ số 0 ,1, 2,3,4,5,6,7 có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số trong dó số 6 có mặt đúng 3 lần các chữ số khác có mặt đúng 1 lần Bài 20 Cho 9 chữ số từ 0 >8.Hỏi có thể lập đựoc bao nhiêu... gồm đúng 3 số lẻ và 3 số chẵn bài 10 a.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 5 và ko chia hết cho 3 b.tính tổng các số ở câu a bài 11 16 Một hộp đựng 4 bi đỏ,5 bi trắng,6 bi vàng.Ngừoi ta chọn 4 bi từ hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách lấy bi thoả a.Chỉ cần lấy đủ 4 viên b.4 viên nhưng không đủ 3 màu c.không có viên bi đỏ nào bài 12 Một lớp gồm 40 hs gồm 25 namvà 15 nữ.GVCN muốn chọn 4 em vào ban . có Suy ra (1) điều kiện tồn tại x là detal 11 tưong đương vậy y ko có GTLN và GTNN của y là ( ta có thể thế y =3/4 vào (1) để tính giá trị x khi y đạt GTNN. Bai 15 : tìm giá trị nhỏ nhất ; 1. 2. 3. Bài. số là abcde a. a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1, 2,3 9} b có 10 cách chọn c có 10 cách chọn d có 4 cách chọn {0,3,6,9] e có 5 cách chọn {0,2,4,8} Áp dụ qui tắc nhân suy ra có 9 .10 .10 .4.5 =18 000 số. đúng 1 lần và ko có số 1 nào. bài 14 Từ các số{0 ,1, 2,3,4,5}.lập đựoc bao nhêiu số có 5 chữ số sao cho a)Ko chia hết cho 5 và là số lẻ b)Đôi 1 khác nhau và >2000 c)Đôi 1 khác nhau và số 1 có