Bất đẳng thức

http://violet.vn/tbadanh A Đặt vấn đề I Lí chọn đề tài : Bất đẳng thức đại số chuyên đề tương đối khó chương trình đại số phổ thông Các toán bất đẳng thức đại số phong phú , đa dạng Đòi hỏi cần vận dụng phương pháp giải vào cách hợp lí , để đem lại kết toán cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều độc đáo bất ngờ Việc giải toán giúp tiếp cận làm quen dần với toán thực tế :So sánh biểu thức ,tìm giá trị lớn , tìm giá trị nhỏ biểu thức Đối với - giáo viên THCS , việc tập dượt nghiên cứu khoa học cần thiết để củng cố đào sâu kiến thức Từ truyền đạt cho học sinh cách linh hoạt có hệ thống Đặc biệt qua thực tế giảng dạy môn toán nhận thấy giải toán bất đẳng thức tương đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình lạ ,là khó thực tế cho thấy : - Học sinh lúng túng trước vấn đề cần chứng minh mà không theo hướng -Học sinh có suy luận , dùng lập luận thiếu , không xác , lập luận dài dòng , chí có mâu thuẫn , tư suy luận chưa cao -Học sinh mắc lỗi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phương trình -Với sử dụng giả thiết không tìm lời giải học sinh thường bế tắc , sáng tạo dẫn đến em ngại khó bỏ qua Hơn , chương trình đại số THCS chưa sâu vào phần Vì , chọn chuyên đề " Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức trường thcs " làm đề tài nghiên cứu PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Nội dung đề tài tìm tòi , hệ thống toán hay ; phân loại tìm phương pháp giải toán Do tính đa dạng phong phú tập bất đẳng thức nên trình bày số dạng thông qua phương pháp giải phương pháp giải số tập tiêu biểu kèm theo lời giải chi tiết II Mục đích nghiên cứu : Đối với giáo viên : - Nâng cao trình độ chuyên môn , phục vụ cho trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học , nâng cao kiến thức Đối với học sinh : Giúp học sinh học tập môn toán nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực môn toán giúp em tiếp thu cách chủ động , sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập Gây hứng thú cho học sinh làm tập sách giáo khoa , sách tham khảo , giúp học sinh tự giải số tập Thông qua việc giải toán bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu : - Tìm hiểu thực tiễn trường THCS - Đưa số giải pháp - Đưa số kiến thức bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức học sinh THCS - Trang bị cho học sinh số phương pháp giải toán bất đẳng thức áp dụng để giải tập - Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải số bất phương trình dạng đặc biệt PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Phạm vi đề tài : Phát triển lực tư học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức học sinh Lớp , lớp Đối tượng nghiên cứu : - Học sinh lứa tuổi 14 -15 trường THCS đa số em thích học toán bước đầu thể lực tiếp thu cách ổn định - Đối tượng khảo sát : học sinh lớp ,9 luyện tập, ôn tập Luyện thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS Phương pháp tiến hành : - Học sinh có kiến thức , đưa phương pháp giải, vận dụng tập áp dụng , sai lầm hay gặp - Học sinh nhà làm tập Dự kiến kết đề tài : - Khi chưa thực đề tài : Học sinh giải số tập bất đẳng thức đơn giản , hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm tập bất đẳng thức - Nếu thực đề tài học sinh có hứng thú giải toán bất đẳng thức , làm tập tốt , tự giải tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế nhiều sai lầm giải toán bất đẳng thức IV Phương pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu tài liệu lí luận - Tham khảo , thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp - Thử ngiệm sư phạm - Kiểm tra , khảo sát chất lượng học sinh , nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều tra trực tiếp thông qua học - Tổng kết , rút kinh nghiệm ,tự đánh giá chất lượng giảng dạy thân từ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh B Giải vấn đề Chương i : Cơ sở lí luận sở thực tiễn I Cơ sở lí luận Trong điều kiện , với phát triển chung đất nước,ngành giáo dục bước thay đổi chương trình , sách giáo khoa , phương pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế Việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cần thiết giáo viên Người thầy đóng vai trò chủ đạo , hướng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , tư lô gic học sinh học tập sống điều cần thiết , điều mà dạy học Toán dễ dàng thực Việc trang bị cho học sinh kiến thức Toán không gồm khái niệm, tính chất, định lí , qui tắc mà kĩ , phương pháp giải tập vận dụng vào thực tế sống Vì trình giảng dạy việc hướng dẫn học sinh tìm tòi tri thức phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm Khi giải toán không đòi hỏi học sinh linh hoạt việc áp dụng lí thuyết mà khai thác , phát triển toán theo chiều hướng thuận lợi cho việc giải Mỗi giáo viên trình giảng dạy muốn đem tâm huyết vốn kiến thức truyền thụ cho học sinh mong em hiểu yêu thích môn Toán Việc giảng tìm phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh kích thích lòng ham mê em, từ tìm học sinh có khiếu bồi dưỡng trở thành học sinh giỏi Giải toán bất đẳng thức, bất phương trình rèn cho học sinh tư phân tích, tổng hợp, phát huy tính tích cực chủ động tư II Cơ sở thực tiễn Bài toán bất đẳng thức có mặt hầu hết đề thi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn THCS, THPT PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Qua thực tế giảng dạy môn toán nhận thấy giải toán bất đẳng thức tương đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình lạ khó thực tế cho thấy : - Học sinh lúng túng trước vấn đề cần chứng minh mà không theo hướng -Học sinh có suy luận , dùng lập luận thiếu , không xác , lập luận dài dòng , chí có mâu thuẫn , tư suy luận chưa cao -Học sinh mắc lỗi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phương trình -Với sử dụng giả thiết không tìm lời giải học sinh thường bế tắc , sáng tạo dẫn đến em ngại khó bỏ qua - Tài liệu dùng cho học sinh dẫn đến việclựa chọn giải tập nhiều hạn chế CHƯƠNG II : GIảI QUYếT VấN Đề I Một số kiến thức bất đẳng thức Hai biểu thức A B số chữ thay số , liên hệ với quan hệ lớn ( > ) ; bé ( < ) ; lớn ( ) ; bé ( ) ; khác ( ) gọi bất đẳng thức Viết : A>B; A b b < a Tính chất : Nếu a > b b > c a > c Tính chất : Nếu a > b c a + c > b + c Tính chất : Nếu a > b + c a - b > c Tính chất : Nếu a > b c > d a + c > b + d Nếu a > b c < d a - c > b - d Tính chất : Nếu a > b c > ac > bc PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Nếu a > b c < ac < bc Tính chất : Nếu a > b c > d ac > bd Tính chất : Nếu a > b , ab > 1 < a b Tính chất : a > b > an > bn ( n > 0) a > b an > bn ( n lẻ ) a > b an > bn ( n chẵn ) 10.Tính chất 10: Nếu a > b > n số nguyên dương n a > n b II.Những toán bất đẳng thức phương pháp giải Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương * Phương pháp : A B A-B Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh * Ví dụ : Bài : Cho số dương a b thoả mãn điều kiện a + b = Chứng minh : ( + 1 )( + ) a b Giải : Ta có : (1+ 1 )(1+ ) a b (1) a +1 b +1 a b ab + a + b + 9ab ( ab > ) a + b + 8ab 8ab ( a + b = ) 4ab ( a + b )2 4ab ( a + b = ) ( a + b )2 (2) Bất đẳng thức ( ) ,mà phép biến đổi tương đương , bất đẳng thức ( ) ( đpcm) Dấu " = " xảy a = b Bài : Cho a , b , c , d , e số thực Chứng minh : a , a2 + b2 + ab + a + b PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) Giải : a , Ta có : a2 + b2 + ab + a + b, ( a2 + b2 + ) - ( ab + a + b ) ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + ) + ( b2 - 2b + ) ( a - b )2 + ( a - )2 + ( b - )2 Bất đẳng thức cuối với a , b Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy a = b = b , Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae (a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 Bất đẳng thức cuối với a , b , c , d , e Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e Bài : Cho ab Chứng minh : 1 + 2 + ab 1+ a 1+ b Giải : Ta có : ( 1 + 2 + ab 1+ a 1+ b 1 1 )+( )0 2 + ab + ab 1+ a 1+ b ab a ab b + (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) a (b a) b( a b) + (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) (b a ) + b a - (1 + a )b (1 + a ) (1 +b ) (1 +ab) (b a )(a + ab b a b) (1 + a )(1 + b )(1 + ab) (b a)(b a)(ab 1) (1 + a )(1 + b )(1 + ab) [( ) ] PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (1) http://violet.vn/tbadanh (b a ) (ab 1) (1 + a )(1 + b )(1 + ab) (2) Bất đẳng thức ( ) với ab Do bất đẳng thức ( ) chứng minh * Bài tập vận dụng : Bài : Cho ba số a , b , c Chứng minh : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Bài : Cho hai số a, b Chứng minh : a , ( a2 + b2 )( a4 + b4 ) ( a3 + b3 )2 b , ( a + b )( a3 + b3 ) ( a4 + b4 ) Bài : Cho hai số a, b > Chứng minh : a , 2( a3 + b3 ) ( a + b )( a2 + b2 ) b , 4( a3 + b3 ) ( a + b )3 Phương pháp : Dùng phương pháp phản chứng * Phương pháp : Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức Ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lí Điều vô lí điều trái với giả thiết , điều trái với điều ,cũng sai hay vô lí hai điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh * Ví dụ : Bài : Cho a2 + b2 Chứng minh : a + b Giải : Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế (hai vế dương ) ta : a2 + 2ab + b2 > (1) Mặt khác ta có : 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2( a2 + b2 ) Mà 2( a2 + b2) ( giả thiết) , a2 + 2ab + b2 mâu thuẫn với (1) Vậy điều giả sử sai Vậy a + b Bài 2: Chứng minh a1a2 2( b1 + b2 ) hai phương trình x2 + a1x + b1 = x2 + a2x + b2 = có nghiệm PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Giải : Giả sử hai phương trình cho vô nghiệm Khi : = a12 - 4b1 < = a22 - 4b2 < => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < a12 + a22 < 4( b1 - b2 ) Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2a1a2 a12 + a22 2a1a2 Do : => a12 + a22 - 2a1a2 => ( a1 - a2)2 ( vô lí ) Vậy hai phương trình cho có nghiệm Bài : Chứng minh ba bất đẳng thức sau có bất đẳng thức : a2 + b2 (b + c) 2 (c + a ) b +c 2 c2 + a2 ( a + b) 2 Giải : Giả sử ba bất đẳng thức sai Ta có : a + b2 < (b + c ) 2 (1) b2 + c2 < (c + a ) 2 (2) c2 + a2 < ( a + b) 2 (3) Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta : a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 < (b + c ) + (c + a ) + (a + b) 2 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) < ( vô lí ) Vậy ba bất đẳng thức có bất đẳng thức PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh * Bài tập vận dụng : Bài : Cho a3 + b3 = chứng minh a + b Bài : Cho ba số a , b ,c khác đôi Chứng minh tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a + b + c )2 Bài : Chứng minh a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > a > 0, b > , c > Phương pháp : Dùng bất đẳng thức tam giác * Phương pháp : Nếu a , b , c số đo ba cạnh tam giác a , b , c > |b - c| < a < b + c |a - c| < b < a + c | a - b| < c < a + b Trong số toán mà đại lượng biểu thức vế bất đẳng thức không âm , tồn tam giác mà cạnh giá trị đại lượng ta vận dụng bất đẳng thức để chứng minh * Ví dụ : Bài : Chứng minh a , b , c độ dài cạnh tam giác a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) ta có : Giải : Vì a , b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : < a < b + c => a2 < a( b + c ) < b < a + c => b2 < b( a + c ) < c < a + b => c2 < c( a + b ) Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta : a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b ) a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) (đpcm) Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + a + b a + c b + c 10 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Ta có a = b+c a b+c b b c+a b+c c c a +b b+c Cộng vế theo vế ta : a b c a +b+c + + b+c c+a c+b b+c Hay a b c a + + + < 1+ = b+c c+a c+b b+c Vậy a b c + + ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c ) 11 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Phương pháp : Dùng bất đẳng thức Cauchy * Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số không âm a1 , a2 , a3 , ,an Ta có bất đẳng thức : a1 + a + + a n n n a1 a a n Dấu " =" xảy a1 = a2 = = an Trong trường hợp ta thường đề cập đến số toán mà sử dụng trường hợp đặc biệt bất đẳng thức Cauchy : Cho hai ba số không âm ta có : a1 + a a1 a a1 + a + a3 ; a1a a3 * Ví dụ : Bài : Chứng minh a , b hai số dương ta có : 3a3 + 7b3 > 9ab2 Giải : Ta có : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có : 3a3 + 3b3 + 4b3 3 3a 3b 4b => 3a3 + 7b3 3ab2 3 2.4 > 9ab2 Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (đpcm) Bài : Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức : a2 b2 c2 a +b+c + + b+c c+a a +b a2 b+c Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm b+c ta có : a2 b+c a2 b+c a + =2 =a b+c b+c Suy a2 b+c ab+c 12 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh b2 a+c bc+a Tương tự c2 a +b ca +b Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta : a2 b2 c2 a +b+c a +b+c + + (a+b+c)= b+c c+a a +b 2 Vậy a2 b2 c2 a +b+c + + (đpcm) b+c c+a a +b Bài : Cho a, b, c > với Chứng minh : Giải : Ta có 1 + = a c b a+b c+b + 2a b 2c b 1 2ac + = => b = a c b a+c Khi : 2ac a+b a + c = c + 3a = 2ac 2a b 2c 2a a+c Và c+b = 2c b a+ 2ac a + c = c + 3a 2ac 2c 2c a+c c+ Do : a+b c+b a + 3c c + 3a c a c a + = + = + + + =1+ ( + ) 2a b 2c b 2a 2c 2 a 2 c a c áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm c a ta có: a c ca c a + =2 a c ac Nên + Vậy : c a ( + ) + 2 a c a+b c+b + 2a b 2c b ca = ac (đpcm) Bài : Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh : (1+ 1 )( + )( + ) 64 a b c 13 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : 1+ 2(a + bc ) a +1 2a + b + c 2a + bc a bc = = a a a a a a 1+ Chứng minh tương tự : + 1+ bc 44 a a b ca b2 ab 44 c c Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta : ( abc) 1 34 ( + )( + )( + ) a b c a b c (1+ 1 )( + )( + ) 64 a b c Dấu " = " xảy a = b = c = ( đpcm) * Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho a, b, c số không âm a + b + c = Chứng minh: a +1 + b +1 + c + < 3,5 Bài : Cho số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : a + b+c b + a+c c >2 a+b Bài : Chứng minh bất đẳng thức với a b không âm ( a + b) a +b + a b +b a Bài : Cho a, b Chứng minh a b + b a ab Phương pháp : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki * Bất đẳng thức Bunhiacopxki : Cho n cặp số a1 , a2 , ,an , b1 , b , ,bn ta có bất đẳng thức ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22+ + an2)( b12 + b22+ + bn2) Dấu " = " xảy k : = kbi ( * ) 14 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh a1 a a = = = n ) b1 b2 bn (Nếu bi ( * ) viết Ta đề cập đến trường hợp : Cho hai ba số : a1 , a2 ; b1 , b2 a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta có : ( a1b1 + a2b2 )2 ( a12 + a22)( b12 + b22) ( a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ( a12 + a22+ a32)( b12 + b22+ b32) Dấu " = " xảy chi : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ( k R ) * Ví dụ : Bài : Cho x2 + y2 = Chứng minh : |2x + 3y| 13 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số ,3 ; x , y ta có : |2x + 3y| 2 + 32 Vậy |2x + 3y| = 13 x2 + y2 13 x2 y2 x2 + y2 x y = => = = = 13 13 Dấu " = " xảy : Hoặc x = 13 ;y= 13 x = 13 ;y= 13 Bài 2: Cho a b, c ba số không âm a + b +c = Chứng minh : a+b + b+c + c+a Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗp xki cho ba số : ;1 ;1 a+b , b+c , c+a Ta có : (1 a + b +1 b + c +1 c + a ) (1+1+1) ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ( a + b + b + c + c + a ) 3( a + b + b + c + c + a) = a+b + b+c + c+a (đpcm) Bài : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = Chứng minh : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )2 Giải : 15 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (x R) http://violet.vn/tbadanh x a b x c d áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số x x Ta có (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba số x x Ta có (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2) ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + )( 2x2 + ) = ( 2x2 + )2 ( a2 + b2 + c2 + d2 = ) (đpcm) Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ab + bc + ca a2 + b2 + c2 b2 + c2 + a ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (đpcm) * Bài tập vận dụng : Bài : Cho x y + y x = Chứng minh : x2 + y2 = Bài : Chứng minh số nguyên dương n : + + ++ n n n +1 Bài : Chứng minh : a + b = a2 + b2 Bài : Cho a, b, c > abc = Chứng minh : 1 + + a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b) Phương pháp : Dùng tính chất tỉ số giá trị tuyệt đối * Tính chất : - Tính chất tỉ số : Cho a , b ,c > : Nếu a a a+c < < b b b+c Nếu a a a+c > > b b b+c 16 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh - Giá trị tuyệt đối : | x | < -1 < x < Nếu | x | x2 | x| * Ví dụ : Bài 1: Cho a+ b > Chứng minh a4 + b4 > Giải: Ta có : a + b > > (1) Bình phương hai vế : ( a + b)2 > a2 + 2ab + b2 > (2) Mặt khác : ( a - b)2 a2 + 2ab + b2 (3) Cộng vế (2) (3) : 2( a2 + b2 ) > a2 + b2 > Bình phương hai vế (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (4) Mặt khác : ( a2 - b2)2 a4 - 2a2b2 + b4 (5) (6) Cộng vế (5) (6) ta có : 2( a4 + b4) > a4 + b4 > (đpcm) Bài : Cho a , b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : | ab bc ca + + | (a + c )(b + c ) + (a + d )(b + d ) ( a + b)( c + d ) a, b, c, d số thực dương CHƯƠNG III : THựC NGHIệM SƯ PHạM Mục đích thử nghiệm Tôi muốn thử nghiệm đề tài để kiểm tra tính khả thi , kiểm tra xem khả giải bất phương trình , bất đẳng thức học sinh có tiến không.Từ cần điều chỉnh để đề tài hoàn thiện Nếu có hiệu tốt nhân rộng cho giáo viên khác Nội dung thử nghiệm Trong trình giảng dạy , bồi dưỡng học sinh giỏi đưa toán đề tài , hướng dẫn học sinh giải sau cho học sinh áp dụng giải dựa vào phương pháp cụ thể Phương pháp thử nghiệm - Hướng dẫn học sinh cách áp dụng trường hợp - Cho học sinh áp dụng làm cụ thể trường hợp - Ra tập nhà yêu cầu học sinh tìm tòi thêm tập tương tự - Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng học sinh Kết thử nghiệm Trước áp dụng đề tài : 15% HS tiếp cận giải khoa học 30% HS hiểu Sau áp dụng đề tài : 50% HS tích cực phát giải khoa học 22 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh 35% HS hiểu C KếT LUận kiến nghị Có thể nói chuyên đề bất đẳng thức phần khó đóng vai trò quan trọng chương trình đại số THCS Tuy nhiên , tính đa dạng toán nên nghiên cưú số phương pháp , hy vọng góp phần việc bồi dưỡng học sinh giỏi Trong thực tế dạy cho học sinh đại trà trình bồi dưỡng học sinh giỏi thu kết bước đầu: Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu , em tránh sai sót , có kĩ vận dụng tốt , chất lượng làm nâng lên Tất nhiên trình làm không tránh khỏi sai sót Vì , mong đóng góp ý kiến thầy , cô để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! 23 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh Mục lục : Phần Trang A Đặt vấn đề 1-3 B Giải vấn đề Chương I : Cơ sở lí luận sở thực tiễn 4-5 Chương II : Giải vấn đề - 21 Chương III : Thực nghiệm sư phạm C Kết luận kiến nghị 22 23 Tài liệu tham khảo : Phương pháp dạy học Toán ( Nguyễn Bá Kim ) Một số vấn đề phát triển Toán - Nâng cao phát triển Toán - ( Vũ Hữu Bình ) Một số đề thi HSG năm cấp THCS Tuyển tập toán thi vào trường chuyên (Võ Giang Giai) 24 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com [...]... www.pdffactory.com http://violet.vn/tbadanh 4 Phương pháp 4 : Dùng bất đẳng thức Cauchy * Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số không âm a1 , a2 , a3 , ,an Ta có bất đẳng thức : a1 + a 2 + + a n n n a1 a 2 a n Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Trong trường hợp này ta thường đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy : Cho hai hoặc ba số không âm ta có : a1 +... minh bất đẳng thức : a + b+c b + a+c c >2 a+b Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm ( a + b) 2 a +b + a b +b a 2 4 Bài 4 : Cho a, b 1 Chứng minh rằng a b 1 + b a 1 ab 5 Phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki * Bất đẳng thức Bunhiacopxki : Cho n cặp số bất kì a1 , a2 , ,an , b1 , b 2 , ,bn ta có bất đẳng thức ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22+ + an2)( b12 + b22+ + bn2)... 9ab2 Giải : Ta có : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có : 3a3 + 3b3 + 4b3 3 3 3a 3 3b 3 4b 3 => 3a3 + 7b3 3ab2 3 3 2.4 > 9ab2 Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (đpcm) Bài 2 : Cho a, b, c là các số dương Chứng minh bất đẳng thức : a2 b2 c2 a +b+c + + b+c c+a a +b 2 a2 b+c Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm b+c 4 ta có : a2 b+c... version www.pdffactory.com (x R) http://violet.vn/tbadanh x a b 1 x c d 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba bộ số x x Ta có (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba bộ số x x Ta có (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1) Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được : ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2... http://violet.vn/tbadanh Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa ra một bất đẳng thức cần chứng minh về dạng để tính được tổng hữu hạn Phương pháp để tính tổng hữu hạn : n = u1 + u2 + + un ta biểu diễn số hạng tổng quát uk về hiệu hai số hạng liên tiếp nhau : uk = ak - ak-1khi đó : n = ( a1 - a2) + ( a2 - a3) + + ( an- an+1) = a1 - an+1 * Ví dụ : Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với n là số nguyên dương... vế với vế các bất đẳng thức trên ta được : 1 1 1 + < 2( 1 + + 2 3 2 (n + 1) n Vậy 1 1 1 + + + ... làm tập bất đẳng thức - Nếu thực đề tài học sinh có hứng thú giải toán bất đẳng thức , làm tập tốt , tự giải tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế nhiều sai lầm giải toán bất đẳng thức ... toán bất đẳng thức phương pháp giải Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương * Phương pháp : A B A-B Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức. .. toán bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu : - Tìm hiểu thực tiễn trường THCS - Đưa số giải pháp - Đưa số kiến thức bất đẳng