6 Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Trang 1
10 – BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN
1 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh: 3
2
b c c a a b+ + ≥
Hướng dẫn:
Ta đặt
2 2 2
y z x a
x b c
x z y
c
+ −
=
= +
+ −
x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x 6
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ = =a b c
2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2+y2+z2 3=
Chứng minh : xy yz zx 3
z + x + y ≥
Hướng dẫn:
Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y
=
=
với a b c, , >0từ giả thiết x2+y2+z2 3= ⇔ab bc ca+ + =3
Và BĐT cần CM ⇔CM BĐT a b c+ + ≥ 3
mặt khác ta có BĐT sau: a2+ + ≥b2 c2 ab bc ca+ + ⇔ + + ≥a b c 3(ab bc ca+ + ) 3=
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =x y z 1
3 Cho x, y, z >0 thoả x y z+ + =1 Chứng minh: 1 4 9 36
x+ + ≥y z
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có thể đặt:
a x
a b c b y
a b c c z
a b c
=
=
=
với a,b,c >0
Trang 2Nên BĐT ⇔ CM a b c 4.a b c 9.a b c 36
b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22
b 4.a c 9.a 4.c 9.b 2 b.4.a 2 c.9.a 2 4 .9.c b 22
Dấu “=” xảy ra
1 6
1 2
x
y
z
=
=
=
=
4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz≥ + −(x y z y z x z x y)( + − )( + − )
Hướng dẫn:
Ta đặt
x b c
y c a
z a b
= +
= +
= +
với a b c, , >0nên BĐT ⇔ CM BĐT (a b b c c a+ )( + )( + ≥) 8abc
mặt khác ta có (a b b c c a+ )( + )( + −) 8abc a b c= ( − )2+b c a( − )2+c a b( − )2 ≥0
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ = =x y z
5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : a 1 1 b 1 1 c 1 1 1
Hướng dẫn:
Do abc= 1 nên ta có thể đặt
x a y y b z z c x
=
=
=
với x y z, , >0
Nên BĐT có thể viết lại x 1 z y 1 x z 1 y 1
⇔ xyz≥ + −(x y z y z x z x y)( + − )( + − ) (đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =a b c 1
Trang 3Chứng minh : 3 3 3
a b c +b c a +c a b ≥
Hướng dẫn:
Ta đặt
1
1
1
a
x b
y c
z
=
=
=
với x y z, , >0 và do abc=1 nên xyz=1
Nên BĐT 2 2 2 3
2
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
xyz
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =a b c 1
7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z= + + +2
Chứng minh : 3
2
x+ y+ z ≤ xyz
Hướng dẫn:
xyz x y z
Ta đặt 1 , 1 , 1
1 x =a 1 y =b 1 z =c
+ + + với a b c, , >0
Nên BĐT cần CM ⇔CM BĐT 3
2
Mặt khác ta có: 1
2
1
2
1
2
Vậy BĐT luôn đúng
Trang 4Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =x y z 2
8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a2+b2+1 ≥ ab+a+b
a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
a3+b3≥ ab(a+b)
a4+b4≥ a3b+ab3
Hướng dẫn:
a) a2+b2+1≥ ab+a+b
⇔ 2a2+2b2+2≥ 2ab+2a+2b
⇔(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) ≥ 0
⇔( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2 ≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+1≥ ab+a+b với mọi a,b
b) a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
⇔ a2+b2+c2+d2+e2-a(b+c+d+e)≥ 0
4 4
4 4
2 2
2 2
2 2
2 2
≥
+
+
+
d ad a c ac a b
ab
a
2 2
2 2
2 2
2 2
≥
− +
− +
−
+
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
c) a3+b3≥ ab(a+b) ⇔ a3+b3 - ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)2(a2-2ab+b2) ≥ 0
⇔ (a+b)2(a-b)2≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a3+b3≥ ab(a+b)
d) a4+b4≥ a3b+ab3⇔ (a4- a3b )+(b4-ab3) ≥ 0 ⇔ a3(a- b )+b3(b-a) ≥ 0
⇔ (a- b )( a3- b3) ≥ 0 ⇔ (a- b )2( a2+ab+ b2) ≥ 0
⇔ (a- b )2
+
+
4
3 2
2 2
b b
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a4+b4≥ a3b+ab3
9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) ≥ 6abc
Hướng dẫn:
a) (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca)
⇔ 2a2+2b2+2c2+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0
⇔ (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥ 6abc
Trang 5Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥ 6abc
10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2
Chứng minh rằng: a4+b4≥ a3+b3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3
Chứng minh rằng: a4+b4+c4≥ a3+b3+ c3
Hướng dẫn:
a) a4+b4≥ a3+b3
⇔ 2(a4+b4) ≥ ( a3+b3)(a+b)
4
3 2
2
2
≥
+
+a b b
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =21
b) a4+b4+c4≥ a3+b3+ c3
⇔3 ( a4+b4+c4 )≥ ( a3+b3+ c3)(a+b+c)
4
3 2 4
3 2 4
3 2
2
2 2
2
2 2
2
2
+
+
− +
+
+
− +
+
+
a
Các bạn vào: vanxe67.violet.vn để xem nhiều chuyên đề toán học hay.