Đang tải... (xem toàn văn)
a) Cho a,b laø hai soá thoaû maõn ñieàu kieän a+b=2.[r]
(1)
BẤT Đ ẲNG THỨC VÀ H Ư ỚNG DẪN
Cho a,b,c số thực dương Chứng minh: b c c a a ba b c 32
Hướng dẫn:
Ta đặt
2 2
y z x a
x b c
x z y
y c a b
z a b x y z
c
nên BĐT 12 y z x x x z y y x y z z 23
x y y z z x x y y z z x
y x z y x z y x z y x z
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy a b c
Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x2y2z2 3 Chứng minh : xy yz zx
z x y Hướng dẫn:
Đặt
xy a
z yz b
x zx c
y
với a b c, , 0từ giả thiết x2y2z2 3 ab bc ca 3
Và BĐT cần CM CM BĐT a b c 3
mặt khác ta có BĐT sau: a2 b2 c2 ab bc ca a b c 3(ab bc ca) 3
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy x y z
Cho x, y, z >0 thoả x y z 1 Chứng minh: 1 36
x yz Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta đặt:
a x
a b c b y
a b c c z
a b c
(2)Nên BĐT CM a b c 4.a b c 9.a b c 36
a b c
b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22
a a b b c c
b 4.a c 9.a 4.c 9.b b.4.a c.9.a .9.c b 22
a b a c b c a b a c b c
(đúng)
Dấu “=” xảy
1
2
3
1
x b a
y c a
z
Cho x, y, z số thực dương Chứng minh: xyz(x y z y z x z x y )( )( )
Hướng dẫn: Ta đặt
x b c y c a z a b
với a b c, , 0nên BĐT CM BĐT (a b b c c a )( )( ) 8 abc mặt khác ta có (a b b c c a)( )( ) 8abc a b c( )2 b c a( )2 c a b( )2 0
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy x y z
Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : a 1 b 1 c 1
b c a
Hướng dẫn:
Do abc1 nên ta đặt
x a
y y b
z z c
x
với x y z, , 0
Nên BĐT viết lại x z y x z y
y y z z x x
xyz(x y z y z x z x y )( )( ) (đã CM VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh.
(3)Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 Chứng minh : 3
1 1
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b Hướng dẫn:
Ta đặt
1 1
a x b
y c
z
với x y z, , 0 abc1 nên xyz1
Nên BĐT
2 2 3
2
x y z
y z z x x y
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
2 2
2
x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y
2 2 33 3
2 2
xyz
x y z x y z
y z z x x y
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy a b c 1
Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz x y z 2
Chứng minh :
2
x y z xyz Hướng dẫn:
Từ 1 1
1 1
xyz x y z
x y z
Ta đặt , ,
1x a 1y b1z c với a b c, , 0
1 1
, ,
a b c b a c c a b
x y z
a a b b c c
Nên BĐT cần CM CM BĐT . . .
2
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c Mặt khác ta có:
2
a b a b
b c c a a c b c
b c b c
c a a b b a c a
c a c a
a b b c c b a b
Nên
2
a b b c c a a b b c c a
b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b
(4)Dấu “=” xảy x y z
8 Chứng minh bất đẳng thức sau: a2+b2+1
ab+a+b
a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e)
a3+b3
ab(a+b)
a4+b4
a3b+ab3 Hướng dẫn:
a) a2+b2+1
ab+a+b 2a2+2b2+2 2ab+2a+2b
(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) ( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2
Bất đẳng thức cuối , suy : a2+b2+1
ab+a+b với a,b
b) a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e) a2+b2+c2+d2+e2-a(b+c+d+e)
4
4
2
2
2
2
ab b a ac c a ad d a ae e
a
2
2
2
2
b a c a d a e
a
Bất đẳng thức cuối , suy : a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e)
c) a3+b3
ab(a+b) a3+b3 - ab(a+b) (a+b)2(a2-2ab+b2)
(a+b)2(a-b)2
Bất đẳng thức cuối , suy : a3+b3
ab(a+b)
d) a4+b4
a3b+ab3 (a4- a3b )+(b4-ab3) a3(a- b )+b3(b-a)
(a- b )( a3- b3) (a- b )2( a2+ab+ b2)
(a- b )2
4
2
b b
a
Bất đẳng thức cuối , suy : a4+b4
a3b+ab3
Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
6abc Hướng dẫn:
a) (a+b+c)2
3(ab+bc+ca) 2(a+b+c)2 6(ab+bc+ca)
2a2+2b2+2c2+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2
Bất đẳng thức cuối đúng, suy : (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
(5) a2+a2b2+b2+b2c2+c2+c2a2-6abc (a-bc)2+(b-ac)2+(c-ab)2
Bất đẳng thức cuối đúng, suy : a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
6abc
10 a) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng: a4+b4
a3+b3
b) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a4+b4+c4
a3+b3+ c3 Hướng dẫn:
a) a4+b4
a3+b3
2(a4+b4) ( a3+b3)(a+b) (a-b)2 2 43
2
b b
a
Xảy dấu đẳng thức a = b =21 b) a4+b4+c4
a3+b3+ c3
3 ( a4+b4+c4 ) ( a3+b3+ c3)(a+b+c)
2 43 2 43 2 34
2
2 2
2 2
b a b b b c b c c c a c a a