a) Cho a,b laø hai soá thoaû maõn ñieàu kieän a+b=2.[r]
(1)
20 – BÀI BẤT Đ ẲNG THỨC VÀ H Ư ỚNG DẪN
Cho a,b,c số thực dương Chứng minh: b c c a a ba b c 32
Hướng dẫn:
Ta đặt
2
2
2
y z x a
x b c
x z y
y c a b
z a b x y z
c
nên BĐT 12 y z x x x z y y x y z z 23
x y y z z x x y y z z x
y x z y x z y x z y x z
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy a b c
Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x2y2z2 3 Chứng minh : xy yz zx
z x y
Hướng dẫn:
Đặt
xy a
z yz b
x zx c
y
với a b c, , 0từ giả thiết x2y2z2 3 ab bc ca 3 Và BĐT cần CM CM BĐT a b c 3
mặt khác ta có BĐT sau: a2 b2 c2 ab bc ca a b c 3(ab bc ca) 3
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy x y z
Cho x, y, z >0 thoả x y z 1 Chứng minh: 1 36
x yz
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta đặt:
a x
a b c b y
a b c c z
a b c
(2)Nên BĐT CM a b c 4.a b c 9.a b c 36
a b c
b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22
a a b b c c
b 4.a c 9.a 4.c 9.b b.4.a c.9.a .9.c b 22
a b a c b c a b a c b c
(đúng)
Dấu “=” xảy
1
2
3
1
x
b a
y
c a
z
Cho x, y, z số thực dương Chứng minh: xyz(x y z y z x z x y )( )( ) Hướng dẫn:
Ta đặt
x b c y c a z a b
với a b c, , 0nên BĐT CM BĐT (a b b c c a )( )( ) 8 abc
mặt khác ta có (a b b c c a)( )( ) 8abc a b c( )2 b c a( )2 c a b( )2 0
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy x y z
Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : a 1 b 1 c 1
b c a
Hướng dẫn:
Do abc1 nên ta đặt
x a
y y b
z z c
x
với x y z, , 0
Nên BĐT viết lại x z y x z y
y y z z x x
xyz(x y z y z x z x y )( )( ) (đã CM VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh.
(3)Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 Chứng minh : 3
1 1
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b Hướng dẫn:
Ta đặt
1
1
a x b
y c
z
với x y z, , 0 abc1 nên xyz1
Nên BĐT
2 2 3
2
x y z
y z z x x y
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
2 2
2
x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y
2 2 33 3
2 2
xyz
x y z x y z
y z z x x y
Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy a b c 1
Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz x y z 2 Chứng minh :
2
x y z xyz
Hướng dẫn:
Từ 1 1
1 1
xyz x y z
x y z
Ta đặt , ,
1x a 1y b1z c với a b c, , 0
1 1
, ,
a b c b a c c a b
x y z
a a b b c c
Nên BĐT cần CM CM BĐT . . .
2
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c Mặt khác ta có:
2
a b a b
b c c a a c b c
b c b c
c a a b b a c a
c a c a
a b b c c b a b
Nên
2
a b b c c a a b b c c a
b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b
(4)Dấu “=” xảy x y z
8 Chứng minh bất đẳng thức sau: a2+b2+1
ab+a+b
a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e)
a3+b3
ab(a+b) a4+b4
a3b+ab3 Hướng dẫn:
a) a2+b2+1
ab+a+b 2a2+2b2+2 2ab+2a+2b
(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) ( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2
Bất đẳng thức cuối , suy : a2+b2+1
ab+a+b với a,b
b) a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e) a2+b2+c2+d2+e2-a(b+c+d+e)
4
4
2
2
2
2
ab b a ac c a ad d a ae e
a
2
2
2
2
b a c a d a e
a
Bất đẳng thức cuối , suy : a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e)
c) a3+b3
ab(a+b) a3+b3 - ab(a+b) (a+b)2(a2-2ab+b2)
(a+b)2(a-b)2
Bất đẳng thức cuối , suy : a3+b3
ab(a+b)
d) a4+b4
a3b+ab3 (a4- a3b )+(b4-ab3) a3(a- b )+b3(b-a)
(a- b )( a3- b3) (a- b )2( a2+ab+ b2)
(a- b )2
4
2
b b
a
Bất đẳng thức cuối , suy : a4+b4
a3b+ab3
Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
6abc
Hướng dẫn: a) (a+b+c)2
3(ab+bc+ca) 2(a+b+c)2 6(ab+bc+ca)
2a2+2b2+2c2+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2
Bất đẳng thức cuối đúng, suy : (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
(5) a2+a2b2+b2+b2c2+c2+c2a2-6abc (a-bc)2+(b-ac)2+(c-ab)2
Bất đẳng thức cuối đúng, suy : a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
6abc
10 a) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng: a4+b4
a3+b3
b) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a4+b4+c4
a3+b3+ c3 Hướng dẫn:
a) a4+b4
a3+b3
2(a4+b4) ( a3+b3)(a+b) (a-b)2 2 43
2
b b
a
Xảy dấu đẳng thức a = b =21 b) a4+b4+c4
a3+b3+ c3
3 ( a4+b4+c4 ) ( a3+b3+ c3)(a+b+c)
2 43 2 43 2 34
2
2 2
2 2
b a b b b c b c c c a c a a
a
11.Cho a,b,c số dương, Chứng minh rằng:
1 2
c a
c c b
b b a
a
Hướng dẫn:
Do a,b,c> neân: a a b ac a a b ( )a b c a a b ( )
a a b c a b a c a a c
a b a b c
Tương tự ta chứng minh được: bbc aabbc aac aabbc
,
Ta coù : a ab c aabaabcc
(1)
a bb c bbc aabbc
(2)
a cb c accabbcc
(3)
Cộng vế (1) , (2) (3) ta : 2
c a
c c b
b b a
a
(6)1 2 b a d d a d c c d c b b c b a a Hướng dẫn: Ta coù :
c a a c b a a d c b a a d b a d c b b d c b a b ……… Sau cộng vế BĐT
13.Chứng minh với a,b,c>0 thì:
a) a b c
c ab b ac a bc
b) aabb bbcc ccaa a2bc
c) ab bc ca
a c c b b a 3 Hướng dẫn: a) c b a a b c b ac a bc
(do a,b,c>0 )
Tương tự: a
c ab b ac
, b
a bc c ab Cộng vế ba bất đẳng thức
b) Aùp dụng bất dẳng thức xxyy x4y với x,y >0 , ta có : b a b a ab
,
c b c b bc
,
a c a c ca ,
Cộng vế ba bất đẳng thức c) Ta có: a3+b3
ab(a+b) với a,b>0 b aa b
b a
Tương tự : c bb c
c b , a ca c
a c
Cộng vế ba bất đẳng thức
14.Chứng minh với a,b,c>0 thì: a)ba ba2 baab
2 2
b) a b c
a c c b b a 2
(7)Hướng dẫn:
a Ta coù: A=
a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a 2 2 2 2
Do a,b>0 neân A 2 1
2 2 2 a b b a a b b a a b b a
b Xeùt : a
b ab b b a b b a 2 2
(do a,b>0 )
Tương tự: c b c
b
2
2
, a c
a c 2
Cộng vế ba bất đẳng thức suy điều phải chứng minh c Xét :
a
c b c b a c b c b a c b c b a 4 ) ( 4 2 (do b,c>0) Tương tự: c a b
a c b
, a b c b a c
Cộng vế ba bất đẳng thức ĐPCM
15 Cho x y z, , 0 xyz 1 Chứng minh
3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
x y z
y z z x x y
Hướng dẫn: Ta có
Dự đốn dấu đẳng thức xảy x y z
3 1 1 3
(1 )(1 ) 8
x y z
x
y z
16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da 1 Chứng minh:
3 3
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c Hướng dẫn:
Ta có
3 1 1
18 12
a b c d
a b c d
, …
3 3 1
3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
Ta có
2
2
1 ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) 4( )( )
ab bc cd da a c b d
a b c d a c b d a c b d a c b d
2 a b c d
(8)17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:
1 1 27
( ) ( ) ( ) 2( )
a a b b b c c c a a b c d
Hướng dẫn: Ta có
3
3
1 1 27
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 3 ( )( )( )
a a b b b c c c a abc a b b c c a abc a b b c c a
3
27 27
( ) ( ) ( ) ( ) abc.3 (a b b c c a )( )( ) a b c a b b c c a
18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2 y2 z2 3.
Chứng minh xyz yzx zxy 3 Hướng dẫn:
Nháp xy yz 2y z x , xy yz zx
x y z
z x y
, tới ta không sử dụng già thiết (x y z )23(x2y2z2) 9 , ngược dấu.Từ ta thấy cần thiết phải bình phương hai vế bđt cần chứng minh:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
3
xy yz zx x y y z z x x y y z z x
x y z
z x y z x y z x y
Ta có
2 2
2
2 2
x y y z y
z x ;
2 2
2
2
y z z x z x y ;
2 2
2
2 2
x y z x x
z y
19 Cho số dương x, y, x thỏa xyz = Chứng minh 5 xy 5 5 yz 5 5 zx 5
x xy y y yz z z zx x Hướng dẫn:
Ta C/m bất đẳng thức phụ:x5y5x y x y2 2( )
( C/m Bđt phụ: Áp dụng BĐT ( ) 1( )( )
n m n m n n m m
a b a b a b , ta có
5 1( 4)( ) 1( 2 2) ( ) 1(2 ) (2 ) 2( )
2 4
x y x y x y x y x y xy x y x y x y )
5 5 5 2( ) 2( ) 2( )
xy yz zx xy yz zx
x xy y y yz z z zx x x y x y xy y z y z yz z x z x zx
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xyz xyz xyz
xy x y yz y z zx z x xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz
z x y
x y z x y z x y z
(9)20 Cho a b c, , 0. Chứng minh:
4 4 4 4 4 4
1 1 1
abcd a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd
Hướng dẫn:
Xét bổ đề sau : x y z, , x4 y4 z4 xyz x y z( ). C/m bổ đề:
Ta có x4y z2 2x yz2 ,
Suy x4 y4 z4 (x y2 y z2 z x2 2) 2( x yz y zx z yx2 ) Ta lại có x y2 y z2 z x2 x4 y4 z4
Cách trình bày điêu luyện:
4 4 4 2 2 2 2
2(x y z ) x y z (x y y z z x ) 2(x yz y zx z yx) 2xyz x y z( )
Với a b c d, , , 0, ta có :
4 4
4 4
4 4
4 4
1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
abc a b c abcd abc a b c d
a b c abcd
bcd b c d abcd bcd a b c d
b c d abcd
cda c d a abcd cda a b c d
c d a abcd
dab d a b abcd dab a b c d
d a b abcd
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
( ) ( )
VT
abc a b c d bcd a b c d cda a b c d dab a b c d
d a b c
a b c d abc bcd cda dab a b c d abcd abcd bcda cdab
Cộng vế theo vế ta điều phải chứng minh Hoặc
4 4 4
1 1
( ) ( )
abc a b c abcd abc a b c d
a b c abcd a b c abcd
1
( ) ( )
d d
abc a b c abcd abcd a b c d a b c d