Chuyen de ve bat dang thuc

§èi víi c¸c gi¸o viªn cßn thiÕu kinh nghiÖm gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt lµ båi dìng häc sinh giái th× viÖc n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p BÊt ®¼ng thøc sÏ bæ sung kho kiÕn thøc cho hä.. §èi víi häc sinh kh[r]

A - phần mở đầu

I- Lý chọn đề tài 1- Cơ sở khoa học:

Nh biết, thông qua việc học tốn học sinh nắm vững đợc nội dung tốn học phơng pháp giải tốn từ học sinh vận dụng vào môn học khác mơn khoa học tự nhiên Hơn tốn học sở ngành khoa học khác, tốn học có vai trị quan trọng nhà trờng phổ thơng, địi hỏi ngời thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo phơng pháp dạy học giúp học sinh học giải toán

Bất đẳng thức nội dung quan trọng chơng trình tốn học từ tiểu học đến trung học Việc nắm vững phơng pháp giải Bất đẳng thức giúp học sinh học tốt mơn tốn mà cịn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều mơn học khác nh hoá học, vật lý, tin học Đặc biệt việc phát triển t sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học Nhng vấn đề đặt cho giáo viên toán giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung v Bấtà đẳng thức nói riêng

Trong q trình dạy tốn THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi tài liệu nhóm chúng em hệ thống đợc số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà chúng em thiết nghĩ giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh học sinh giải đợc tốn Bất đẳng thức góp phần phát triển t toán học, tạo điều kiện cho việc học toán THCS học môn học khác

2- C¬ së thùc tiƠn:

Bất đẳng thức loại tốn mà học sinh THCS coi loại tốn khó Nhiều học sinh khơng biết giải Bất đẳng thức phải đâu phơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh Thực tế cho thấy tốn Bất đẳng thức có nhiều chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành phơng pháp định, gây cho học sinh nhiều khó khăn gặp, giải toán Bất đẳng thức

Đối với giáo viên thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức bổ sung kho kiến thức cho họ

Đối với học sinh khắc phục đợc hạn chế trớc giúp cho học sinh có tinh thần tự tin học tập mơn tốn

II - Mục đích nghiên cứu:

Góp phần quan trọng việc giảng dạy tốn học nói chung Bất đẳng thức nói riêng Đặc biệt việc bồi dỡng học sinh giỏi học sinh thi vào lớp 10 THPH chuyên

Giúp học sinh biết phân loại vận dụng phơng pháp giải Bất đẳng thức cách nhanh chóng hiệu Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh trình học tập

III - Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Nhóm chia phơng pháp cho học viên nghiên cøu vµ qua thùc nghiƯm, rót bµi häc kinh nghiệm phơng pháp

- Nghiờn cu cỏc phơng pháp giải Bất đẳng thức

- Th«ng qua nội dung phơng pháp tập mẫu nhằm củng cố Lý thuyết phát triển trí tuệ cho häc sinh

- Rèn kỹ học sinh qua tập đề nghị

IV - Ph¹m vi nghiên cứu sử dụng:

- Cỏc phng phỏp chứng minh Bất đẳng thức THCS

- Båi dỡng cho giáo viên học sinh THCS

B - Những kiến thức Bất đẳng thức

I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nãi

sè a lín h¬n sè b, ký hiƯu lµ: a > b nÕu a - b > số a nhỏ số b, ký hiệu là: a < b nÕu a - b <

II - TÝnh chÊt:

1) a > b  b < a

2) a < b, b < c  a < c (tính chất bắc cầu) 3) a < b  a + c < b + c (tính chất đơn điệu)

5) a < b, c > d  a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta đợc Bất đẳng thức có chiều chiều Bất đẳng thức bị trừ) 6) Nhân hai vế Bất đẳng thức a < b với số m a<b

  

 

 



0 , . .

0 , . .

m m b m a

m m b m a

7) Nhân hai vế hai Bất đẳng thức không âm chiều ta đợc Bất đẳng thức chiều: <a<b, 0<c<d  a.c<b.d

8) a> b >0  an> b n; 0>a>b  an+1>b2n+1 vµ an<b2n

9) so sánh hai luỹ thừa sè: m>n>0; a>1  am > an; am < an

víi < a <1

10) Ngịch đảo hai vế Bất đẳng thức ta đợc Bất đẳng thức đổi chiều: a  b 

b a

1



Các tính chất chứng minh nhờ định nghĩa tính chất trớc

III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:

1) A 2k0 víi mäi A, DÊu"=" x¶y A=0

2) A 0,A DÊu "=" x¶y A=0

3)  A AA

4) AB  A  B DÊu "=" x¶y A.B0

5) A B A B Dấu "=" xảy A.B0 A B

Chó ý:

- Ngồi Bất đẳng thức số Bất đẳng thức khác mang tính tổng quát nên giải tập cần ý

- Khi chứng minh song Bất đẳng thức ab ta phải xét trờng hợp Dấu “=” xảy

ra nµo

c- phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức

I -Ph ơng pháp 1: phơng pháp dùng định nghĩa: (Ngời thực hiện: Nguyễn Mạnh Hởng)

-Nội dung phơng pháp:

2- KiÕn thøc cÇn vËn dơng

- Các đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)2=A+2AB+B2

- Tỉng qu¸t: Ai Ai n AiAj i j j

i n

i n

i

 

 



 



;

) (

2 , , 2

Các kỹ biến đổi đồng để biến đổi hiệu hai vế Bất đẳng thức hay điều kiện đề bài:

3-Bài tập áp dụng

Bi 1- Chng minh Bất đẳng thức a2+b2ab Giải

XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+

4 b2

-2

2 ab)+

4

b2=( a-

2

b)2+

4

b20 với

mäi a, b v× ( a-

2

b)20;

4

b20 DÊu "=" x¶y (a-

2

b)2=

4

b2=0 suy

ra a = b =

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh Chứng minh tơng tự cho Bài a2+b2

ab

Ta cã thÓ chøng minh cho Bài toán tổng quát: (an)2+(bn)2an.bn

Bài - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0<a  b c chøng minh r»ng:

b c c a a b a c c b b a

    

Gi¶i

XÐt hiÖu: (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2)

abc b c c a a b a c c b b a

     

    

)] (

) (

) [(

1 a2c b2c b2a a2b c2b ac2

abc     



=

abc

1

[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c2(a-b)]=

abc

1

(a-b)[c(a+b)-ab-c2]

=

abc

1

(a-b)(b-c)(c-a)0 (do 0<a b c ) Dấu "=" xảy a=b b=c a=c Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

2

by ax y x b

a 

  

Gi¶i

XÐt hiÖu:

2

by ax y x b

a 

  

=

4

(ax+ay+by+bx-2ax-2by) =

4

[(ay-ax)+(bx-by)]=

4

(x-y)(b-a)  ( x y vµ a  b )

DÊu "=" x¶y x=y hc a=b

Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:

3

cz by ax z y x c b

a  

    

Bạn đọc tổng qt tốn

Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e số thực chøng minh r»ng: a2+b2+c2+d2+e2

 a(b+c+d +e) Gi¶i

XÐt hiÖu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae

=

4

( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae)

=

4

[(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)]

=

4

[(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2]  0

Do (a+2b)2  vµ (a+2c)2  vµ (a+2d)20 vµ (a+2e )20

DÊu "=" x¶y b = c = d = e =

2

a Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 5: Tổng quát

Cho i=1,2, ,n sổ thực chứng minh rằng:

Chứng minh tơng tự

4- Bài tập ¸p dông:

Hãy chứng minh Bất đẳng thức sau: 1/ 4.x2+y 2 4xy

2/ x2+y2 +1

xy +x+y

 



 



n i

i n

i

i a a

n a

2 1

2

3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) 4(x11+y11)

4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995)(x+y+z):3

5/ (a3+b3+c3) (a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0

6/ Cho số dơng a,b,c chøng minh r»ng: a/

c b a abc

c b

a 1

) (

8 8

    

b/ abc

a b c c

a b b

c a b

a c a

c b c

b a

6 3 3 3

     

II - Ph ơng pháp : Dùng tính chất Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng: (Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyn)

1) Nội dung ph ơng pháp:

Khi chứng minh Bất đẳng thức ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với Bất đẳng thức Bất đẳng thức đợc chứng minh điều kiện đề

2) Kiến thức bản:

Cỏc tớnh cht Bất đẳng thức Các Bất đẳng thức thờng dùng

Kỹ biến đổi tơng đơng Bất đẳng thức Các HĐ thức

3- Bµi tËp mÉu

Bµi 1: Chøng minh r»ng:

x2+2y2+2z2 2xy +2yz+2z-1 (*)

Gi¶i

(*) x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0

 (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)

 (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2

0 Bất đẳng thức cuối với x,y,z

DÊu "=" x¶y x=y=z=1

Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh

Bài 2: Chứng minh Bất đẳng thức: (a10+b10) (a2+b2)  (a8+b8) (a4+b4)

Gi¶i

(a10+b10) (a2+b2)

 (a8+b8) (a4+b4)  (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) 0  a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 0

 a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) 0

 a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4)  0

 a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4)  với a, b

DÊu "=" xảy a2=b2 a=b a=-b a=0 hc b=0

Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

*Nhận xét: Từ kết qủa tốn ta có tốn tơng tự: Cho 0a  b Chứng minh Bất đẳng thức:

(a5+b5) (a+b)

 (a2+b2) (a4+b4) Bài 3: Chứng minh Bất đẳng thức

(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) -

a) Cho a  c  vµ b c chøng minh c(a c) + c(b c)  ab

Giải

a) Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) -  (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 

 (x2-7x +6)(x2-7x+12)+9   (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 

 (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9   (x2-7x +9)2  0

Bất đẳng thức cuối với giá trị x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) -

DÊu "=" x¶y x2-7x +9 =0  x=

13 7

b ) c(a c) + c(b c)  ab ( c(a c) + c(b c) )2 ( ab )2

 c(a-c)+c(b-c) +2 c(a c) c(b c)  ab  c2 +2c (a c) (b c) +(a-c)(b-c)  0

( c- (a c) (b c))2 

Bất đẳng thức cuối với giá trị a,b,c thoả mãn điều kiện đề c(a c) + c(b c)  abvới a  c  b c

Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:

ab

3

+

cb

3

+

ac

3

 (

b a

1

+

b c

1

+

c a

1

)2 biÕt a,b,c >0

Ta cã ab + cb + ac = abc c b a ) (  

Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a)  8abc

=> ab + cb + ac

 (a 8b.()(ab bc)(cc) a)

     Hay ab + cb + ac

 4(a (ab) b)(4(bb cc)()c 4(ac) a)

       

 2(

ab + cb + ac

) (ac)(8bc)+(a b)(8a c)

  +( )( ) c b b

a  (1)

Trong (1) Dấu "=" xảy a=b=c Mặt khác ta có (a+b)2  4ab 

ab

1

 ( )2

b

a t¬ng tù ta cã

cb

1

 ( )2

b

c vµ ac

1

 ( )2 c a suy ab + cb + ac

 ( )2

b

a + ( )2

4

b

c + ( )2

4

c

a (2)

Trong (2) DÊu "=" x¶y a=b=c Tõ (1) vµ (2) Ta cã

ab + cb + ac

 (

b a + b c + c a )2

DÊu "=" x¶y a=b=c

Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều ta biến đổi từ Bất đẳng thức có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh Sau ví dụ kiểu nh

Bài 5: Cho < a ,b, c abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:

1 3  b

a +

1

3

 b

c +

1 3

 c

a 

Gi¶i

Do  a b  c => (a-b)2(a+b) 0 DÊu "=" x¶y a=b

 (a-b)(a+b)(a-b)0

 (a2-b2)(a-b)   a3-a 2b-ab2+b3   a3 +b3 a 2b+ab2

 a3 +b3 +1a 2b+ab2+abc  a3 +b3 +1(a+b+c)ab

 1 3  b

a  ( )

1

c b a

ab   =(a b c)

c



 (do abc= => ab c

1 ) suy 1 3  b

a  (a b c)

c

 

T¬ng tù ta cã

1 3  b

c  (a b c) a



vµ

1

3 3c 

a (a b c)

b



 DÊu "=" x¶y a=c

Cộng vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc:

1

3

 b

a +

1

3

 b

c +

1 3

 c

a 

DÊu "=" xảy a=b=c =1 - Bài tập áp dơng:

Bµi 1: Cho 0 x,y,z 1 chøng minh:

A)  x+y+z -xy-yz-zx 1 B) x2+y2+z2  1+x 2 y +y2 z +z2 x

C) 1



yz x

+

1 

xz y

+ 1



yx z



Bài 2: Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác, có chu vi Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc < 2

Bµi 3: Chøng minh víi mäi x, y > ta cã:

x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2

Bµi 4: Cho a, b ,c ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1] Chứng minh: 1- a2+b2+c2  1+ a2b +b2 c +c2 a

2- 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) 

3-1 

bc a

+ 

1

ac b

1 

ba c



III - Ph ¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cđa tØ sè (Ngời thực hiện: Đào Thuỷ Chung)

1- Nội dung phơng pháp:

Khi dng cỏc tớnh cht tỷ số việc chứng minh Bất đẳng thức trở nên nhanh gọn

2- KiÕn thøc cần vận dụng:

- Với ba số dơng a,b.c NÕu

b a

 Th×

b a



c b

c a

 

DÊu "=" x¶y a=b NÕu

b a

 Th×

b a



c b

c a

 

DÊu "=" x¶y a=b NÕu b, d >0 vµ

b a



d c



b a



d b

c a

 



d c

3- Bµi tËp mÉu:

Bµi 1: Cho a,b, c số đo ba cạnh tam giác: Chứng minh r»ng:1<

c b

a

 +a c

b

 +b a

c

 <2

Giải

Do a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có: a, b, c >0 vµ a+b > c; b+c > a Vµ c+a >b

Tõ a+b > c 

b a

c

 <  a b

c

 < a b c

c c    = c b a c    b a c

 <a b c

c

 

2

Chøng minh t¬ng tù ta cã:

c a

b

 <a b c

b   vµ b c a

 <a b c

a

 

2

Cộng vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc

c b

a

 +a c

b

 +b a

c

 <a b c

a   + c b a b   + c b a c   = - Ta cã

c b

a

 +a c

b

 +b a

c

 >a b c

a



 +a b c

b



 +a b c

c



 =1 Do a, b, c d¬ng

VËy 1<

c b

a

 +a c

b

 +b a

c

 < (®pcm)

Nhận xét: ta sử dụng tính chất:

- Víi ba sè d¬ng a,b,c NÕu

b a

 Th×

b a  c b c a  

DÊu "=" x¶y a=b

Bµi 2: Chøng minh r»ng

n n b b b a a a       2

Nằm giá trị nhỏ gÝ trÞ

lín nhÊt cđa (

1 b a , 2 b a , …, n n b a

) bi s dng i=1,2, ,n Gii

Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn (

1 b a , 2 b a , …, n n b a

) thứ tự m M Khi ta có m 

i i

b a

 M víi mäi i=1,2,…,n  mbi   bi.M Do bi>0 víi mäi i=1,2,…,n

 m < n n b b b a a a       2

< M Do ( b1+b2++bn) >0 (đfcm)

Bài 3:

Cho a>0 ,b>0 chøng minh r»ng:

2 (  a a +  b b ) <    b a b a <  a a +  b b Gi¶i

Ta chøng minh

2 (  a a +  b b ) <    b a b a

Do a > ta cã

1 

a a

< 

1  a a <    b a b a

T¬ng tù ta cã:

1  b b <    b a b a

Cộng vế với vế hai Bất đẳng thức cuối ta đợc: (  a a +  b b

) <

1    b a b a  (  a a +  b b ) <    b a b a (1) *) Ta chøng minh

1    b a b a <  a a +  b b

Do a, b d¬ng ta cã

1  a a >  b a a vµ  b b >  b a a

Céng vÕ víi vÕ cđa hai

Bất đẳng thức ta đợc:

1    b a b a <  a a +  b b (2) Từ (1) Và ( 2) Ta đợc:

2 (  a a +  b b ) <    b a b a <  a a +  b b

4- Bµi tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh

3 < 2005 2004         <2005 2004

Bµi 2: Cho a, b lµ số dơng thoả mÃn ab =1 chứng minh rằng:

2

1 

a +2

1 

b < a b

b a

 



1 <

1 

a +

1 

b

Bµi 3: Cho yx 

b a



n m

chøng minh r»ng yx 

n b a m a x 2005 2004 2005 2004     n m

IV - Ph ơng pháp Phơng pháp phản chứng (Ngời thực hiện: Đỗ Văn Thành)

chng minh A  B ta giả sử phản chứng A<B  điều vô lý với giả thiết Bất đẳng thức từ khẳng định A  B

2- KiÕn thøc cÇn nhí:

Các tính chất Bất đẳng thức Các Bất đẳng thức có sẵn

Kỹ biến đổi tơng đơng Bất đẳng thức Các đẳng thức Bất đẳng thức 3- Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh có Bất đẳng thức sau sai: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25

Gi¶i

Giả sử ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 (1)

Mặt khác ta có

a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2 a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 0,25  a(1-a)  0.25 T¬ng tù ta cã b(1-b)  0,25 vµ c(1-c)  0,25

Nhân vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc:

a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 (2) ta nhËn thÊy (1) mâu thuẫn với (2) điều

gi s sai suy ra: Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 có Bất đẳng thức sai

Bài 2: Chứng minh khơng có ba số x,y,z mà thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức sau: x < y z , y  x z , z  y x

Giải: Giả sử phản chứng ba Bất đẳng thức khơng có Bất đẳng thức sai nghĩa ba Bất đẳng thức ta có: : x < y z  x2 < (y-z )2  x2 -(y-z )2 <0  (x-y+z)(x+y-z) <

Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 (z-y+x)(z+y-x )<0 Nhân vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc: [(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]2 <0 vơ lý

Vậy khơng có ba số x,y,z thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức: x < z

y , y  x z , z  y x

Bµi 3: Cho số thực a,b,c thoả mÃn điều kiện

    



  

  

0

0 0

abc

ca bc ab

H·y chøng minh r»ng: a,b,c > (*)

Giải: Giả sử (*) khơng  có số a,b,c phải  Khơng tình tổng quát giả sử a 0 abc >0  bc <0

XÐt trêng hỵp a 0 b>0 c<0  a+c<0

tõ gØa thiÕt ta cã b >-a-c  b(a+c) < -(a+c)2  ac + b(a+c) < ac-(a+c)2  ac + b(a+c) < -(-ac+a2+c2)  ac +ba +bc < -(a-0.5c)2- 0.75c2 0 Trái giả thiÕt ab +bc +ca >0

Tơng tự đồi với trờng hợp A  b<0 ,c>0 ta  điều vơ lí Vậy (*) đợc chứng minh

Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng phân số dơng với nghịch đảo khơng nhỏ

Gi¶i:

Gi¶ sư ph¶n chøng

b a

>0 ta cã

b a

+

a b

< 

b a

+

a b

- <0



ba ab b

a2 2



 <0



ab b

a )2

( < Điêù vô lý

b a

+

a b



Vậy Tổng phân số dơng với nghịch đảo khơng nhỏ

4-Bµi TËp ¸p dông:

Bài1 Cho ba số dơng nhỏ a,b,c: chứng minh Bất đẳng thức sau sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1 Bài Cho a,b,c ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) 

Bài Cho a+b+2cd chứng minh Bất đẳng thức sau đúng:

c2> a: d2 > b

Bµi 4: Cho a,b,c,x,y,z số thực thoả mÃn:



   

0 4 )1 (

0

2 ac

b a

Chứng minh Bất đẳng thức sau có Bất đẳng thức sai

ax2+bx +c  y ; ay2+by +c  z ; az2 + bz +c x V- Ph ơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp;

1) Nội dung phơng pháp;

Cú rt nhiều Bất đẳng thức mà cách chứng minh thơng thờng khơng thể chứng minh đợc Thờng Bất đẳng thức có dạng dãy số Bất đẳng thức tổng quát Thông thờng để chứng minh Bất đẳng thức kiểu nh ta dùng phơng pháp quy nạp

Để chứng minh Bất đẳng thức với n ,bằng phơng quy nạp chứng ta thực bớc sau;

Bớc Kiểm tra xem Bất đẳng thức với  n0 đo ( thông thờng ta

chän n0 =0 hc 1)

Bớc Giả sử Bất đẳng thức với k

Bớc ta chứng minh Bất đẳng thức với k+1

Bớc Kết luận Bất đẳng thức với 2- Kiến thức cần vân dụng:

Các tình chất Bất đẳng thức:

Kỹ biến đổi đẳng thức Bất đẳng thức Bài tập mẫu:

Bµi 1: Chøng minh r»ng: a) [(a+b):2]n

 (an+bn):2 víi a+b  vµ Nn

b)         dau n

a a

a

,

 

 <

2

1 a a  Gi¶i

a) +) Với n =1 ta có (a+b):2  (a+b):2

+) Giả sử Bất đẳng thức với n=k tức [(a+b):2]k

 (ak+bk):2

+) Ta chừng minh Bất đẳng thức với n =k+1 Tức là: [(a+b):2]K+1

 (ak+1+bk+1):2 ThËt vËy:

xÐt [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2]  [(ak+bk):2][ (a+b):2]

Ta chøng minh

(ak+bk) (a+b)  2(ak+1+bk+1)  ak+1+bk+1+ak b+abk  2(ak+1+bk+1)  ak+1+bk+1-ak bb - abk0  (a-b)( ak - bk)  *

Nếu a,b  *

NÕu a   b  a-b 

mà a+b 0 (gt)  a  -b  a  b  ak  b k ak - bk 0  *

Do a+b nên a, b không cïng <0

Vậy * với a,b thoả mãn điều kiện đề +) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n  (an+bn):2 với a+b  Nn

đợc chứng minh

b) + Với 1 Bất đẳng thức trở thành a <

2

1 a  2 a <

1

1 a

Ta có: 1 4a1 >1 +2 a >2 a a

+ Giả sử Bất đẳng thức với k tức là:

    

   

dau k

a a

a

,

 

 <

2

1 a a 

+ Ta chứng minh Bất đẳng thức với k+1 tức

    

   

dau k

a a

a

), (

 

 

 <

2

1 a a 

Đặt xn =   dau n

a a

a

,

 

  x

k=       dau k

a a

a

,

 

 x

k+1=       dau k

a a

a

), (

 

 

 =

k

x a

Ta chøng minh axk <

2

1 a a

  ( axk )2< (

1

1 a )2

 a+xk <

4

1 4

2 a a  4x

k <2=2 4a1  xk <

1 1 a

Đúng giả thiết quy nạp  Bất đẳng thức với n = k+1 + Vậy        

dau n

a a

a

,

 

 <

2

1 a a 

Bài 2: cho tan giác vuông a,b độ dài ba cạnh góc vng, c độ dài cậnh huyền tam giác chứng minh rằng:

b2n+a2n  c2n

Gi¶i:

+ Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức

+ Giả sử Bất đẳng thức với k tức b2k+a2k  c2k

+ Ta chứng minh Bất đẳng thức với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1)

 c2(k+1)

ThËt vËy: Ta cã c2(k+1) = c2k+2=c2k c2 (a2k+b2k)(a2+b2) =a2k+2 + a2k b2 +b2ka2

+b2k+2

 a2k+2 + b2k+2  b2(k+1)+a2(k+1)

Vậy cho tan giác vng a,b độ dài ba cạnh góc vng, c độ dài cậnh huyền tam giác ta có; b2n+a2n  c2n

Bµi cho m,n số nguyên dơng Chứng minh c¸c sè n m, mn cã Ýt nhÊt mét số không vợt 3 3

Giải:

Tríc hÕt ta chøng minh n  n3 *

 n, Z+  n b»ng quy n¹p

+ Với n =1: ta có  *

+ Với n =2: ta có  * + Với n =3: ta có 27  27 *

+ Với n = 4: ta có 81  64 *

Giả sử Bất đẳng thức * với n =k  tức k  k3

Ta chứng minh Bất đẳng thức * với n =k+1 tức k+1

 (k+1)3

ThËt vËy: Ta cã 3k+1 = 3k  k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 -3k -1 =

=(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) -1 > (k+1)3 k

 nên k2(k-3) +k(k2-3) >1  3k+1> (k+1)3  Bất đẳng thức * với n = k+1

VËy n  n3

 n, Z+  n

 3n3n  3nn3  3  nn  n, Z

+  n

- Víi m số tự nhiên

- Nếu m n  n m  n n  n m  3

- NÕu m  n  m m  mn  mn  3

Vậy với m,n số nguyên dơng c¸c sè n m, mn cã Ýt nhÊt mét số

không vợt 3.

4- Bài tập áp dụng:

Bài 1: a) Chứng minh víi n  ta cã 2n >2n +1 b) Chøng minh 1.2.3….n < 2-n (n+1)n

c)  n 1, Chøng minh:

d) 1+ 2

3

    

 n

n

Bài 2: Chứng minh Bất đẳng thức sau: a) 2n+2 >2n+5  n  1, N  n

b) [(n+1)!]n

 2!.4!….(2n)!  n , N*  n

VI-Ph ơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức tam giác: (Ngời thực hiện: Nguyễn Quang Hiền)

1- Néi dung ph¬ng ph¸p

Nhiều Bất đẳng thức mà yếu tố có liên quan tới số hình nên giải Bất đẳng thức ngồi việc vận dụng tính chất Bất đẳng thức ta phải sử dụng tính chất khác hình học đặc biệt Bất đẳng thức tam giác

2- Các kiến thức cần vận dụng:

Nếu a, b, c ba cạnh tam giác ta có

- a, b, c >0

- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c vµ |c-a| < b < a+c

- Mét số quan hệ khác tam giác:

3- Bài tËp mÉu:

Bài 1: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác chứng minh (a+b+c)2

 9bc BiÕt a  b  c

Gi¶i:

Ta cã a+b+c  2b+c a b Ta ®i chøng minh (2b+c)2  9bc (1)

(1)  4b2 + bc + c2

 9bc  4b2 - bc + c2

  4b2 -4bc -bc+ c2 

 4b(b-c) -c(b-c)   ( b-c)(4b-c)  (2)

ta thấy b  c  b-c  4b-c a+b-c +2b   (2) Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

Bài 2: cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 < (ab+bc+ca)

Gi¶i:

Do a,b ,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:

0<a<b+c  a2< ab + ac tơng tự ta có b2 < ba+bc c2 < ca +cb

Cộng vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc: a2 + b2 +c2 < (ab+bc+ca) (Đfcm)

Bài 3: Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

Gi¶i:

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

 a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0

 a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) >

 ( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0  (a+b-c)(c2 - a2- b2+2ab) > 0

 (a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) >

do a,b ,c độ dài ba cạnh ram giác Vậy a,c,b độ dài ba cạnh tam giác ta có:

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3 4- Bµi tËp ¸p dông:

Bài Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 +c3

Bài Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 +c3

bai3 Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: 2a2 b2+2b2 c2 + 2a2 c2-a4 -b4 -c4 > 0

VII - Ph ơng pháp 7: Phơng pháp lµm tréi: (Ngun Ngäc ChiÕn)

1- Nội dung phơng pháp:

Dựng cỏc tớnh cht ca Bất đẳng thức để đa vế Bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn tức biến

Tæng Sn = u1 + u2 +… + un =(a1 -a2) + (a2-a3) +( a3 -a4 )+….+(an-an+1)

Tich T= u1 u2 …… un =

1

2

 n

n

a a

a

a a

a

2- Kiến thức cần vận dụng: Các tính chất Bất đẳng thức Kỹ biến đổi tơng đơng …… 3- Bi mu:

Bài 1: cho số tự nhiên phân biệt u1 , u2 ,., un khác >1

Chøng minh r»ng:

(1-1

1

u )(1- 22

1

u )… (1-u2n

1

) > 0,5

Gi¶i:

không tính tổng quát giả sử u1 < u2 <….< un  u i > i +1

( Do ui phân biệt )

(1-1

1

u )(1- 22

1

u )… (1-u2n

1

) > (1- 2

2

)(1-32

)… (1-( 1)2 

=(1-2

)(1-31 )… (1-( 11)



n )(1+2

1

)(1+31 )… (1+( 11)



n )

=2.13..24. (3 1)



n n

.234.3 (.4 ( 21))

 

n n

=2(.( 21))

 

n n

=21 2( 1)

 

n >0,5

VËy

(1-1

1

u )(1- 22

1

u )… (1-u2n

1

) > 0,5

Nhận xét ta thay ui i+1 để đợc giá tri nhỏ VT

v× u i > i +1

Bµi Chøng minh r»ng  n tù nhiªn ta cã 1.23..45..67. (8 (2n2n)1) <

1  n Gi¶i: ta cã ) ( ) ( n n

= 2

2 ) ( ) ( n n  ) ( ) ( 2   n n = 2   n n

Lần lợt thay n= 1,2,3,… nhân vế với vế Bất đẳng thức ta đợc:

) ( ) ( n n < 

n (§fcm)

Bµi Cho hn =1+

3 + +….+  n

Chøng minh n số nguyên dơng ta có

1

1

h +3 22

1

h +5 23

1

h +…….+(2 1)

1 n

h

n < Giải:

n số nguyên d¬ng ta cã 

1)

2 (

1

k

h

n k hk

n h k ) )( ( 1  

  <

1



k

h - hk

1

(Do hk = hk-1 +

1

1 

n )  21

1

h +3 22

1

h +5 23

1

h +…….+(2 1)

1 n

h n <

1+ (

1

h - 2

1

h ) +(

1

h - 3

1

h )+… +(

1 

k

h -hk

1 ) 

h +3 22

1

h +5 23

1

h +…….+(2 1)

1 n

h

n < 1+ 1

h - 1

1 



1

1

h +3 22

1

h +5 23

1

h +…….+(2 1)

1 n

h

n < 1+ 1 h =2 VËy

h +3 22

1

h +5 23

1

h +…….+(2 1)

1 n

h

n < (đfcm)

Bài Chøng minh r»ng:

2

1

n

 + 2

) ( 1  

n +… + ( )2

1

k n  <

n n kn

Giải:

Trớc tiên ta chøng minh Víi ba sè x,y,z tho¶ m·n x+y+z =0 ta cã:

2 2 1 z y

x   = x y z

1 1



 * ThËt vËy:

XÐt ( 1x  1y 1z )2 =

2

1

x +

1

y +

1

z +2( xy

1

+

xz

1

+ zy1 )

= 12

x +

1

y +

1

z +2( xy z y x 

)= 12

x +

1

y +

1

z  2

1 1

z y

x   = x y z

1 1

 

¸p dơng * víi x=1, y=n, z= -(n+1) Ta cã

2

1

n

 < 2 2

) ( 1    n

n =1+ n

1 -1  n  1 n

 + 2

) ( 1  

n +… + ( )2

1 k n  <1+ n -1 

n +1 +

1 

n -

1  n + +1 + … k n -1  k

n =k+1+ n

1 -1  k

n < k+1+n

1

=

n n kn 1

4 - Bài tập áp dụng:

Bài Chứng minh rằng: a)

10 + 11 +….+ 100 >1 Tỉng qu¸t b)

n + 1 

n +….+

1

n >1 n nguyên dơng

.a) ) ( (

1

3

1

1

  

 

n n

.b) 1+

n n

1

1

1

2

2     

Bµi Chøng minh

2 1

2

2

2    

n

na a

a N*, n ak =

k

1

  

Bµi 4: Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n>1 ta cã:

4 1

       

n n n

n

VIII- Ph ơng pháp 8: Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopxky

(Ngêi thực hiện: Đỗ Ngọc Ngà)

1 - Kiến thức

Cỏc k nng bin i Bt ng thức

- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b  0:

ab b a

 

2 DÊu "=" x¶y a=b

- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, …, an

n a a

a1 2   n

 a1.a2 an DÊu "=" x¶y a1 =a2 = …= an

2- Bài tập mẫu:

Bài Cho n số dơng a1 ,, a2, …, an vµ a1, a2 … a n =1

Chøng minh r»ng: (1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n)  2n Gi¶i:

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số ai, i=1,2,3…,n ta đợc

Nhân vế với vế Bất đẳng thức ta đợc: (1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n) 2 a1.2 a2 …….2 an

 (1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n) 2n a1, a2 … a n =1

DÊu "=" x¶y 1= a1 ,1=a2 , … ,1=a n  a1 = a2 =… =an =1

Bµi Cho a,b  chøng minh r»ng 3a3+72 b3  18 ab2 Gi¶i:

Do a, b 0  3a3, 9b3, 8b3 0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a3, 9b3, 8b3

Ta đợc 3a3+ 9b3+8b3  33 3a39b38b3 = 18ab2

DÊu "=" x¶y 3a3= 9b3= 8b3  a=b=0

Bµi 3: Cho a>b >0 Chøng minh r»ng a + b(a1 b)

 3 Gi¶i

Ta thÊy a = b +( a-b ) a>b  a-b >0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a-b, b(a1 b)

 ta đợc:

a + b(a1 b)

 =b+(a-b) + ( )

b a

b  3 b(a-b) b)

-b(a =3

VËy a>b >0 ta cã a + b(a1 b)

 3 DÊu "=" x¶y b=a-b= ( )

b a b 

 b= 0,5 a = b(a1 b)

  a=2 vµ b=1

Bµi 3: Cho a,b p,q số hữu tỷ dơng thoả mÃn 1p +q1 =1

Chứng minh rằng:

q b p ap q

  ab * Gi¶i:

Do p,q số hữu tỉ nên 1p ,q1 số hữu tỉ, ú t gi thit

tồn số tù nhiªn m,n,k cho 1p =

k m

, q1 =

k n

m+1 Khi * 

k m

m k

a +kn n k

Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có

k m

m k

a + k

n n k

b = ( m k

a + m k

a +….+ m k

a + n k

b + n k

b +… + n k

b ): k 

k n k n k m k m k b b a

a = ab

VËy 

k m

m k

a +kn n k

b  ab DÊu "=" x¶y m k

a = n k

b ma n b

Bài 4: Cho số a1, a2,., an thoả mÃn điều kiện:

0< a   b víi i = 1, 2, …., n Chøng minh r»ng:

(a1+a2+… +an ) (

n a a a 1    )  ab b a n ) ( 2



Gi¶i:

Theo gi¶ thiÕt ta cã 0<a   b  ai2 -(a+b) +ab  víi i=1,2… ,n

 ai2 +ab  (a+b)  +

i a ab

 a+b >0 víi i=1,2… ,n

Lần lợt cho i =1,2,3,…,n cộng vế lại với ta đợc (a1+a2+… +an ) + (

n a ab a ab a ab   

) n(a+b) (1) áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta đợc (a1+a2+… +an ) + (

n a ab a ab a ab   

)2[(a1+a2+… +an ) (

n a ab a ab a ab    )] (2)

Tõ (1) vµ (2)  2[(a1+a2+… +an ) (

n a ab a ab a ab   

)]12 n(a+b)  4[(a1+a2+… +an ) (

n a ab a ab a ab   

)]n2(a+b)2  (a1+a2+… +an ) (

n a a a 1    )  ab b a n ) ( 2   ab b a n ) ( 2



 (a1+a2+… +an ) (

n a a a 1    ) ab b a n ) ( 2

( đpcm)

3-Bài tập áp dụng:

Bµi 1: Cho a,b,c >0 vµ a+b+c =1

Bµi 2: Cho a,b,e,c,d >0 vµ a+b+c +d+ e=1

Chøng minh (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) 1024

Bài 3: Ch a,b,c Là độ dài ba cạnh tam giác

Chøng minh r»ng: 8

1

        

a c

a c c b

c b b a

b a

Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích S Gọi E giao điểm hai đờng chéo Chứng minh SABE  0,25

Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxky

1 - Kiến thức

Cỏc k nng biến đổi Bất đẳng thức

Cho 2n sè a1, a2, …, an; b1, b2,…,bn ta lu«n cã

(a1b1+a2b2 +….anbn)2  (a21 + a 22+ …+a 2n ) (b 21+ b 22+…+b 2n )

DÊu "=" x¶y

1

b a

=

2

b a

=… =

n n

b a

Bµi tËp mÉu:

Bµi Cho ba sè x,y,z tho¶ m·n: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) 

4

Chøng minh r»ng x+y+z 

Gi¶i:

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky cho số 1, 1, 1, x, y, z ta đợc: (x+y+z)2  (1+1+1) (x2+y2+z2) =3(x2+y2+z2) (1)

ta cã x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) 

4

 (x2+y2+z2)-(x+y+z) 

4

(2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã

3

(x+y+z)2-(x+y+z) 

4

Đặt S = x+y+z ta có

3

S2-S 

4

 (S+1)(S-4) =  -1  S 4 VËy x+y+z 

DÊu "=" x¶y x=y=z =

3

Bµi Chøng minh phơng trình:

Giả sử x= t nghiệm phơng trình ta có: t# không nghiệm phơng trình t4 + at3 + bt2 + at +1 =0  t2 +

2

1

t +a(t+ t

1

) +b = (1) Đặt T = (t+

t

1

)  T2 = t2 +

2

1

t +2  t

2 +

2

1

t 

khi (1) Trở thành T2+aT +b -2=0  T2=-(aT +b -2)

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: T4 =(aT +b -2)2[a2 + (b-2)2] (T2 +1)

 a2 + (b-2)2 

2 

T T

=T2-1+

1 

T > 4-1 =3

VËy a2 + (b-2)2 > (đfcm)

Bài Tập áp dụng:

A ) Cho a,b,c >0 vµ p=(a+b+c):2 Chøng minh r»ng:

p b p c p a p

p       

b-Cho n sè bÊt kú a1 ,a2, …, an, Chøng minh r»ng:

(a1 + a2 + …+ an)2  n(a21 + a22 + …+ a2n)

c- Cho a,b,c Kh¸c chøng minh r»ng:

a c c b b a a c c b b a

   

 2

2 2 2

d- Cho a,b,c dộ dài ba cạnh mét tam gi¸c h·y chøng minh r»ng: a(2b+2c-a)-1 +b(2a+2c-b)-1 + c(2a+2b-c)-1

1

e- Cho ax- by  m Chøng minh r»ng ax2+by2 m2: (a+b)

.f- gi¶ sư Phơng trình x2 + ax + b =0 có nghiệm x = t

Chøng minh r»ng t<1+a2+b2

IX - Ph ơng pháp 9: Phơng pháp dùng tam thøc bËc hai (Ngêi thùc hiƯn: Lª anh Xuân)

1- Kiến thức cần vận dụng:

- Định lý dấu tam thức bậc hai:

Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c )

b) NÕu  =0 Th× a.f(x)  ,  x R  x DÊu "=" x¶y x=-b:2a

c) NÕu   th× f(x) cã nghiƯm x1, x2 ta cã

x x1 x2

af(x) +

NÕu tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c )

tån tai sè t cho a.f(t) < th× f(x) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 < t < x2

- NÕu tồn t,k ch f(t)f(k) < f(x) cã hai nghiƯm x1, x2 vµ

hai sè t,k có môt số nằm số nằm hai nghiệm 2- Bài tập mẫu:

a- Dạng thø nhÊt: §Ĩ chøng minh ax2 + bx+ c

0 ta ®i chøng minh a >0 vµ  0

Bµi 1: a Chøng minh r»ng: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2  4xy3

b) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2

 a (b + c + d + e ) Gi¶i:

a) Ta có x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy30 Biển đổi tơng đơng ta đợc:

x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy30  (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 0

Ta thấy (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 là tam thức bạc hai biến x

“a”= (y2+1)2 >0 XÐt ’ =[2 (1-y2)]2-(y2+1)2.4y2= -16 y2   y

 x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3   x,y  x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 

 VËy x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3 b ) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2

 a (b + c + d + e )

 a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) 

 Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) tam thức bậc hai đối với

biÕn a Ta cã “a”=1 >  =(b + c + d + e )2 -4 (b2 + c2 + d2 + e 2)

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc:

 (1+1+1+1)(b2 + c2 + d2 + e 2) - (b2 + c2 + d2 + e 2) =0 

b,c,d,e

 a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e )  a, b,c,d,e  VËy: a2 + b2 + c2 + d2 + e 2  a (b + c + d + e )

DÊu "=" x¶y b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2

Trong f(x) =ax2 +bx +c (a khác )

Bµi 2: Cho -1 ,= x  0,5; vµ

3

5   

y Chøng minh r»ng x2 +3xy +1 >0 Giải:

Đặt f(x) = x2 +3xy +1 ta cã

 = 9y2 - = (3y-2)(3y+2)   < 

3

2   

y 

3

4   

y

Theo bµi ta cã:

3

5   

y   <  x2 +3xy +1 >0

Bµi 3: Cho số thực x,y,z thoả mÃn điều kiện: x+y+z=xyz vµ x2 =xy

Chøng minh r»ng x2 3

Giải:

Theo ta cã x+y+z=xyz vµ x2 =xy  x+y+z = x3  y+z =x(x2 -1)

Vµ yz =x2 y,z nghiệm phơng trình t2 +(x-x3) t + x2 =0 (1)

XÐt  =(x-x3)2-4x2 =x2[(x2-1)2-4]  (1) cã nghiÖm  (x2-1)2-4 0  (x2+1)(x2-3)  (x2+1)   x2

3-Bài tập áp dụng:

1/ Cho số thực x,y,z thoả man điều kiƯn x+y+z =5 vµ xy+xz+yz =8 Chøng minh r»ng;  x,y,z 

3

2/ Gi¶ sư x1 ,x2 nghiệm phơng trình: x2+k.x + a =0 (a khác 0) tìm tất

c cỏc giỏ trị k để có Bất đẳng thức sau: (x1: x2 )3+(x2: x1 )3 52

3/ Gi¶ sư x1 ,x2 nghiệm phơng trình: x2+2k.x + =0 (a khác 0) tìm tất

c cỏc giỏ tr k để có Bất đẳng thức sau: (x1: x2 )2+(x2: x1 )2

X- Ph ơng pháp 10: Phơng Pháp hình học (Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Hải)

1- Kiến thứ c cần vận dụng:

- Bất đẳng thức tam giác:

- Với ba điểm A,B,C ta có AB +BC CA Dấu "=" xảy B năm A C

- Tổng quát: Cho n điểm bất khì A1,A2 ,.,An ta có

A1A2+A2A3++ An-1 An A1An

2- Bµi tËp mÉu:

Bµi 1: Chøng minh r»ng  a,b ta cã a24 (a b)21 (b 3)21  5

Gi¶i

Trên mặt phẳng toạ độ lấy điểm: A(0;-1) B(a;1 ), C(b,2) D(3,3) Khi ta có: AB= 4, ( )2 1, ( 3)2

   

 

 BC a b CD b

a ,

AD= (3 0)2 (3 1)2

=5 mà ta cã AB+BC+CD  AD

VËy a24 (a b)21 (b 3)21  5

Dấu "=" xảy B,C,D thẳng hàng theo thứ tự

Bµi 2: Cho < a,b,c  chøng minh a+b+c  1+ab +bc +ca

Gi¶i:

Xét tam giác ABC Gọi M, N, P lần lợt

điểm AB,AC,BC cho AM=a BP =b CN =c Khi diện tích tam giác AMN

S AMN = 0,5 AM.AN.sin A = 0,5 a (1-b) sin 60o =

3 a(1-c)

T¬ng tù ta cã SBMP=

3 b(1-a) vµ S CNP =

4

3 c(1-b)

Mặt khác ta có SAMN+S BMP +SCNP S =0,5.AB AC Sin 60o=

3



3 a(1-c)+

3 b(1-a)+

3 c(1-b) 

4

3  a (1-c)+ b (1-a)+ c (1-b) 

1

 a+b+c  1+ab +bc +ca

Bài 3: Cho x,y,z,t số d¬ng h·y chøng minh r»ng:

2 z

x  y2z2 + y2t2 x2z2  (x+y)(z+t)

Giải:

Vì x, y, z, t số dơng nên tồn tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD O OA=x , OC=y, OB =z, OD =t

khi ta có AB= x2 z2

 , BC= y2z2

CD = y2 t2

 , DA= x2z2

SABC= 0,5 AB h  0,5 AB.BC

SACD = 0,5 AD l 0,5 AD.DC

 SABCD  0,5 (AB.BC +AC.D C)  0,5(x+y)(z+t)  0,5 ( x2 z2

 y2z2+ y2t2 x2z2)

 x2 z2

 y2z2+ y2t2 x2z2 (x+y)(z+t) (đpcm)

3- Bài tập áp dụng:

1/ Chøng minh r»ng: 34 10

   

 x x x

x 

2/Cho a,b ,c đô dài ba cạnh tam giác a’,b’,c’ ba chiều cao t-ơng ứng chứng minh rằng: (a+b+c)2: (a’2+b’2+c’2)

4

3/Cho x,y thoả mÃn điều kiện 2x+y  2, 2x-y  vµ x+4  2y Tìm giá trị nhỏ x2+y2

4/ Cho a  b  c>0 chøng minh r»ng: c(a b) c(b c)  ab

5/ Cho a,b,c >0 chøng minh r»ng: a2 c2 b2 c2

 

= (a+b).c

6/ Tìm giá trị nhỏ cña 2

   

 x x x

x

Trên số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức cha đợc đầy đủ Nhng biết chơng trình tốn cấp II học sinh cha đợc học thật cụ thể bản, mà chủ yếu Bất đẳng thức đợc tập chung ỏ lớp luyện thi học sinh giỏi, kỳ thi vào cấp III thi vào đại học

Do ngời giáo viên phải thấy Bất đẳng thức đợc sử dụng rộng nên giáo viên hớng dẫn cho học sinh tổ chức buổi học ngoại khoá tự học nhà Tuỳ đối tợng mà giáo viên đa phơng pháp, toán phù hợp với trình độ học sinh để học sinh rễ cảm nhận ,tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy bị gị bó học Bất đẳng thức

Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt khơng máy móc sử dụng phơng pháp mà phải tìm phơng pháp có lời giải nhanh Một điều mà thấy chứng minh Bất đẳng thức cần vận dụng linh hoạt, kết hơp các phơng pháp

d- Một số ứng dụng Bất đẳng thức (Ngời thực hiện: Vũ Mạnh Dơng)

I Giải ph ơng trình: Dùng bất đẳng thức 1-

Ph ơng pháp giải: Để Giải phơng trình A(x) = B(x)

Cách 1: Ta biến đổi phơng trình dạng g(x) = h(x) mà g(x)a ; h(x)

Cách 2: Ta biến đổi phơng trình dạng h(x) = m; (m số) Mà h(x)  m m  h(x) nghiệm phơng trình giá trị x

làm Dấu ''='' xảy

2- Cỏc kiến thức cần nhớ : - Bất đẳng thức Côsi

- Bất đẳng thức Bunhiacôpxky - Bất đẳng thức Trebsep

- Một số bất đẳng thức khác

- Các kỹ biến đổi tơng đơng, biến đổi ng nht

3-Bài tập mẫu:

Bài 1: Giải phơng trình:

7

3

 x

x + 10 14

  x

x = - 2x -x2

Nhận xét: Thông thờng giải dạng tập có thức ta thờng làm thức cách sử dụng công thức n a na ®a vÒ a2k ak .

Đối với tốn học sinh tìm điều kiện bình phơng hai vế Với cách làm phơng trình cho tơng đơng với phơng trình bậc cao khơng giải đợc Vì nên ta tìm cách giải khác:

Ta thÊy VP= - 2x -x2

=5- 12

x Vì -x 120 Dấu ''='' xảy x = -1

Từ nghĩ đến việc đánh giá vế trái: Ta có:

  x

x = 3( 1)2

  

x DÊu ''='' x¶y x=-1

5x210x14  5(x1)29 3 DÊu ''='' x¶y x=-1

Suy VT  DÊu ''='' x¶y x=-1; VT=5 VP

DÊu ''='' x¶y x= -1

Vậy nghiệm phơng trình x= -1

Bài 2: Giải phơng trình:

2



x + 11

    x x x

TXD: 42

4 2 04 02

          

 

x x x x x

Ta thÊy VP= 32 2   

x  32  

DÊu ''='' x¶y x= 3.(*)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái ta có: VT = (1 x 2+ 4 x) 11x  24  x 2

DÊu ''=''x¶y x= (**) Tõ (*) vµ (**) suy

Nghiệm phơng trỡnh ó cho l: x=

Bài 3: Giải phơng trình:

2 5

5 ,

3 2

2      

 x x x x x

x

Gi¶i:

Ta cã:  

 2 1 1 2 2             x x x x x x

NhËn thÊy VT:    

2 2 , 3 2

2     

 

 x x x x x

x

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta đợc:

 5

) 2 ( ,

3 2

2      

 x x x x x

x DÊu ''=''x¶y khi:

2 3 2

2 x x  x  x   x

x

Vậy nghiệm phơng trình cho là: x= 3/2

Bµi 4: Giải phơng trình:

1

3      

 x x x

x

Gi¶i:

Phơng trình cho tơng đơng với:

    1 1 1

1 2

                    x x x x x x

áp dụng bất đẳng thức a b  a b

DÊu ''=''x¶y a.b 0

ta cã: x1 3 x  x 1 23 x1 1 DÊu ''='' x¶y

10 ) )( (                 x x x x x

Bài 5: Giải phơng tr×nh

(8x - 4x2-1)(x2 - 2x +1) = 4(x2 +x+1)

Thông thờng ta nhân phân phối đợc phơng trình bậc đầy đủ

Giải phơng trình nhiều cơng hiệu quả.Từ nghĩ đến việc hạ bậc phơng trình cách nhân hay chia hai vế phơng trình cho nhân tử cho hợp lý

Thư thÊy x=1 nghiệm phơng trình nên chia hai vế phơng trình cho 4(x-1)

Ta c phơng trình: 2 ) ( 4       x x x x x Ta có: 4 ) ( 4

8 2

     

 x x

x

DÊu ''=''x¶y x-1= suy x = Mặt khác ta có:

  4 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2                            x x x x x x x x x x x

DÊu ''='' x¶y 1      x x

Nhận thấy x= nghiệm phơng trình Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

Bài 6: Giải phơng trình

17 3 3

  x

x +17 3 3

  x

x =

Gi¶i:

áp dụngbất đẳng thức

2

2  

 k

k b

a )2

2

(  

 a b k

(bất đẳng thức chứng minh qui nạp tốn học) Dấu ''=''xảy a2=b2

Tađợc: ( ) (

3 17

17x3 x x x

   

 )17

2 ) ( 3

3 x x x

x     

 =1

 17 3 3

  x

x +17 3 3

  x

x 1

DÊu ''=''x¶y (17 3 3

  x

x )2 =(17 3 3

  x

x )2

 x3 3x (x3 3x)

   

Vậy nghiệm phơng trình cho là: x=

Bµi 7: Giải phơng trình 18 ) ( )

( 6

    x x Giải

Ta có (a)2k ( a)2k

 

áp dụng bất đằng thức:

k k

k b a b

a2 2

2

2 

      

(bất đằng thức chứng minh băng qui nạp tốn học) Dấu ''=''xảy a=b

5 18 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 6 6 6                                  x x x x x x VT

DÊu ''=''x¶y x+1=

-x-2 5  x 

vây nghiệm phơng trình cho là:

2 x

Bài tập 8: Giải phơng trình

527x10 5x6 5864

Giải:

Ta thấy x=0 nghiệm phơng trình: chia hai vế (*) cho x6

Ta đợc 27 5864    x

x  27( 

3 x  x  x

x +

1

x ) =5

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta đợc: VT = 27 ( 

3 x  x

x +

1

x )

5 27. ) ( ) 5

3 (

55

6  x x

DÊu ''=''x¶y khi: 

4

x

6

1

x 3 /103/

10

  

 x x

Vậy nghiệm phơng trình cho l: x /103/

4./Bài tập áp dụng: Giải phơng trình sau: a- 10 27

    

 x x x x b-

  x

x + 2 12 20 17

    

 x x x

x

d- x100+ 100

)

(x  =2.3100

e- ( 1)2002



x + 2002

)

(x  =1

g- 19x2 y2 x



 +19 x2y2x=219 y2 II T×m GTNN GTLN biêủ thức

Bài Tìm GTNN vµ GTLN cđa biĨu thøc sau a =

1

2

  

x x x

Gi¶i:

BiĨu thøc nhận giá trị phơng trình a=

1

2

  

x x x

(*) cã nghiÖm Do x2+1 >0 nªn (*)  víi x2 (a-2) -4x +a-5 =0

+ NÕu a=2 th× phêng tr×nh cã nghiƯm x=-3:4

+ NÕu a kh¸c (*) cã nhiÖm   =4-(a-2)(a-5)   a2 -7a +6   a 

NÕu a=1 th× x=-2

Nếu a=6 x =0,5 Vậy giá trị nhỏ BT cho x=-2 giá trị lớn BT cho l x=0,5

Bài 2: Tìm GTNN vµ GTLN cđa biĨu thøc B =2x2 +4xy +5y2.

BiÕt r»ng x2 +y 2 =a (1)

Víi a số

Giải:

Vì a 1 nªn ta cã B:a =(2x2 +4xy +5y2 ):(x2 +y 2) (*)

NÕu y=0 th× B:a =2  x

Nếu y khác Đặt x:y (*) trở thành B:a =

1

2

  

t t t

Theo bµi ta cã:  t 6  1 B:a   a  B 6a

Vậy giá trị nhỏ BT cho a x:y =-0,5  x=-2y thay vào (1) Ta đợc x=2

5

5a ,

y=-5

5a :; x=-2

5

5a ,

y=-5 5a

Giá trị lớn BT cho x:y =0,5  y=2x thay vào (1) Ta đợc x=

5

5a , y=2

5

5a ;

x=-5

5a , y=-2

5 5a

Giải:

Gọi S1, S2 lần lợt diệm tích hình vuông có cạnh AM vµ AN

 S1=AM2, S2+=BM2

S nhá nhÊt S1+S2 = AM2 +BM2 lín nhÊt

Ta cã AM2+MB2  0,5 (MA+MB)2=0,5 a2.

DÊu "=" xảy MA=MB hay M trung điểm củ AB

VËy: S lín nhÊt M lµ trung điểm AB Bài tập áp dụng:

1/ Chøng minh r»ng 3x+4

1 x 

2/ Tìm GTNN GTLN biểu thức

3

2

3

2

   

   

x x

x x

3/ T×m GTNN vµ GTLN cđa biĨu thøc x+ 12

x

x  biÕt x>0

Bài 4: Cho đờng tròn (O,R) điểm M thay đổi đờng kính AB Tìm vị trí điểm M để tổng diện tích hai đờng trịn đờng kính MA MB có diện tích nhỏ

E- PhÇn thùc nghiÖm:

Tổng quát Bất đẳng thức ứng dụng

Sau lần chứng minh sông Bất đẳng thức giáo viên cần định hớng cho học sinh tổng quát hoá Bất đẳng thức vừa chứng minh làm tốt đợc việc không làm đẹp phong phú Bất đẳng thức mà đem lại ứng dụng không nhỏ Giúp học sinh có vốn kiến thức rộng Bất đẳng thức tạo điều kiện cho việc học tốn nói chung Bất đẳng thức nói riêng

Sau ví dụ để chứng minh điều đó:

Chúng ta Bất đẳng thức quen thuộc sau:

Chøng minh r»ng: 2 )2 (

b a b

a 



 (1)

 a,b; R  a,b DÊu "=" x¶y

a=b

Chøng minh r»ng: 4 )4 (

b a b

a 



 (2)

 a,b; R  a,b DÊu "=" x¶y

Bất đẳng thức (1), (2) dễ dàng chứng minh

Giáo viên cho học sinh tổng quát Bất đẳng thức từ Bất đẳng thức (1) (2) Ta đợc Bất đẳng thức

Chøng minh r»ng: a2k b2k a b)2k

2 (

 

 (3)

 a,b; R  a,b k lµ sè tù nhiên

khác

Dấu "=" xảy a=b

Ta chứng minh Bất đẳng thức (3) phơng pháp quy nạp Vấn đề đặt với số mũ lẻ có xảy Bất đẳng thức tơng tự hay không ? Ta so sánh

2 3 b

a  Víi )3

2

(ab  a,b; R  a,b

Ta xÐt 3 )3 (

b a b

a 



 = … =

8

(a+b)(a-b)2.

Ta thÊy

8

(a+b)((a-b)2  nÕu a+b Dấu "=" xảy a=b a= -b

VËy 3 )3 (

b a b

a 



 (4)

 a,b; R  a,b víi a+b  0, DÊu "=" x¶y a2=b2

Ta thÊy

8

(a+b)((a-b)2  nÕu a+b  DÊu "=" x¶y a2=b2

VËy 3 )3 (

b a b

a 



 (5)

 a,b; R  a,b víi a+b  DÊu "=" x¶y a2=b2

Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (4) ta đợc Bất đẳng thức:

1

2

) (

 



 

 k k

k b a b

a

(6), a,b; R  a,b víi a+b  0, DÊu "=" x¶y a2=b2

Ta lại tổng quát Bất đẳng thức (5) ta đợc Bất đẳng thức:

1

2

) (

 



 

 k k

k b a b

a

(7), a,b; R  a,b víi a+b  0, DÊu "=" x¶y a2=b2

Chứng minh Bất đẳng thức

1

2

) (

 

 



 k k

k b a b

a (6)

a,b; R  a,b víi a+b  0, DÊu "=" x¶y

XÐt: )2

(ab k = a b)2k

2

(  )

2

(ab 

2 2k b k

a  )

2

(ab (*) Ta chøng minh

2 2k b k

a  )

2 (ab 

2 2k b k

a

Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát giả sử b a

Xét hiệu:

2 2k b k

a  )

2 (ab -

2 2k b k a  =

4

(a2k+1 +a2kb + b2ka + b2k+1 -2a2k+1

-2b2k+1 )

=

4

[a2k(b-a )-b

2k(b-a)]

=-4

(b-a)(b2k-a2k )

Do b a vµ ta cã a+b   b-a  vµ b2  a2  b2k  a2k

 b2k - a2k

 

-4

(b-a)(b2k-a2k )

 (**)

Tõ (*) vµ (**)ta cã 2 )2 (     

 k k

k b a b

a (6)

a,b; R  a,b víi a+b 

DÊu "=" x¶y a2=b2

Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:

1 2 ) (     

 k k

k b a b

a (7),

a,b; R  a,b víi a+b  0, DÊu "=" x¶y a2=b2

Bây ta kêt hợp Bất đẳng thức (2); (6); (7) ta đợc Bất đẳng thức tổng quát sau:

k k

k b a b

a ) (    (8)

a,b; R  a,b víi a+b  ,

DÊu "=" x¶y a2=b2 n lẻ; a=b n chẵn a, b bài tập áp dụng:

Bài - Cho ba số dơng a,b,c số nguyên k chứng minh rằng:

k c b a ) (  + k c a b ) (  + k a b c ) (

  2k

3

(*)

Gi¶i:

(*)  k

c b a ) (  + k c a b ) (  + k a b c ) (

 3

Theo Bất đẳng thức (8) ta có k a

c b

)

(  = k k

a c b ) (   k k k a c b

 = k

k k a c b   k c b a ) (

  k k

Chứng minh tơng tự cho trờng hợp lại cộng vế Bất đẳng thức lại ta đợc:

k c b

a

) (

 +

k c a

b

) (

 +

k a b

c

) (

  k k

k

c b

a



2

+ k k k

c a

b



2

+ k k k

a b

c



2

Ta chøng minh k k k

c b

a



2

+ k k k

c a

b



2

+ k k k

a b

c



2

 3 k k

k

c b

a

 + k k

k

c a

b

 + k k

k

a b

c

 

1,5

Ta thấy Bất đẳng thức cuối Bất đẳng thức Lepnit cho ba số ta rễ dàng chứng minh Vậy Bất đẳng thức (*) đợc chng minh

Bài 2: Cho k số nguyên lẻ x,y,z số thực thoả mÃn: x  z; y  t vµ k xk y k z k t k 2k1

  chøng minh r»ng k x z k y t

 

 

Gi¶i:

áp dụng Bất đẳng thức (6) ta có

(

2

k

k x z

)k =(

2

k k x  z

)k ( x-z):2 k lẻ x z

 k x z

 

2

k

k x z

.k 2 DÊu "=" xảy khi x2=z2.

Chứng minh tơng tự ta cã

k y t 

2

k

k y  t

.k 2 DÊu "=" x¶y khi y2=t2.

Cộng vế với vế hai Bất đẳng thức cuối ta đợc:

k k x z y t



2

k

k x z

.k 2+

2

k

k y t

.k 2

 k x z k y t  

 k 2(k xk y k z k t):2

 k x z k y t  

  k 2.k 2k1 :2 =1 (ĐPCM)

Các trờng hợp dấu xảy học sinh tự xét Bài Cho số dơng a,b ,c chøng minh r»ng:

(a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n  an +bn +cn (@) n số tự nhiên

Gi¶i:

Với 1 Bất đẳng thức

Với n Đặt x= a+b-c; y=b+c-a; z =c+a-b  x+y =2b 0

 b=

2

y x

0 t¬ng tù ta cã a =

2

y z

 0; c =

2

z x

 Khi Bất đẳng thức (@) trở thành xn +yn + zn  (

2

y z

)n +(

2

y x

)n+(

2

z x

)n

Theo Bất đẳng thức (8) ta có (

2

y z

)n+(

2

y x

)n+(

2

z x

)n 

2 n n y z  + n n y x  + n n z x

 = xn +yn + zn

VËy (a+b-c)n +(b+c-a)n +(c+a-b)n an +bn +cn n số tự nhiên

Bài Giải phơng trình 18 ) ( )

( 6

     x x Giải

ta có k k

a a 2

) ( ) (  

áp dụng bất đằng thức:

k k

k b a b

a2 2

2

2 

      

DÊu ''=''x¶y a=b

5 18 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 6 6 6                                  x x x x x x VT

DÊu ''=''x¶y x+1=

-x-2 5  x 

Vậy nghiệm phơng trình cho là:

2 5   x

Bµi tËp cđng cố nhà:

Bài Giải phơng trình sau x100 +(x+6)100=2.3100.

Bài 2:Chứng minh rằng: x2k +(x+4)2k+(x+2)2k+1

 2+2 2k+1

X lµ sè thực n số nguyên dơng

Bài 3: Cho k >1 số lể số thùc x1,x2, …., ,x n tho¶ m·n

2k.2-1 x

1  x2 ….,  x n  k-1 chøng minh r»ng:

k k x

1

2  + k x x

2

1  +……….+k

k x

x 2 1

F- KÕt luËn

1- Kết nghiêm cứu

Trờn õy l mt số phơng pháp giải Bất đẳng thức từ sở lý thuyết đến tập mẫu (trong phơng pháp có số dạng cụ thể ) có lời giải Từ học sinh áp dụng vào tập cụ thể, để củng cố dạng ph ơng pháp Nhng khả nhóm có hạn, kinh nghiệm giảng dạy nghiêm cứu cha đợc bao, nên phần trình trắc cịn nhiều hạn chế

Tuy nhiên trình nghiên cứu đề tài giúp nhóm chúng em tự tin hơn, say sa với nghề nghiệp

Các em học sinh học đề tài thấy mở mang nhiều Biết áp dụng vào học cách sáng tạo lơ gíc em thực say sa với môn học

2 Bài học rút đề nghị:

Các Bất đẳng thức không cần thiết học sinh THCS mà cần cho giáo q trình dạy tốn THCS nghiên cứu tỉ mỉ sâu thấy loại toán độc đáo hay giúp ta tự hồn thiện mình, từ chủ động kiến thức tự tin dạy học toán

Các tài liệu tham khảo

STT Tên tài liệu Tên tác giả

1 Cỏc phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức Nguyễn vũ

2 500 toán chọn lọc Bất đẳng thức (Tập I) Phan huy khải

3 500 toán chọn lọc Bất đẳng thức (Tập II) Phan huy

4 Phơng pháp tìm GTNN GTLN Phan huy kh¶i

5 Các tốn chọn lọc Bất đẳng thức Vũ hoàng lân

6 Tuyển tập 180 toán Bất đẳng thức Võ đại mau

7 250 toán đại số Võ đại mau

8 Một số vấn đề phát triển toán 8 VHB + TH +Đqt

9 Một số vấn đề phát triển toán 8 VHB + TH +Đqt

10 Phơng pháp giải Bất đẳng thức Trần văn thơng

11 Phơng pháp giải 35, 36 đề thi vào câp II BDHSG Võ đại mau

12 Những tốn hay khó Nguyễn đễ

Môc lôc

STT Tên mục Trang 1 A - phần mở đầu 2

2 I - Lý chọn đề tài 2

3 II - Mục đích nghiên cứu: 3

4 III - Phơng pháp nghiên cứu 3

5 IV - Phạm vi nghiên cứu 3

6 B - Những kiến thức Bất đẳng thức 4 7 các phơng pháp cm Bất đẳng thức 5 8 Ph ơng pháp 1: Phơng pháp dùng định nghĩa 5 9 Ph ơng pháp 2: đổi tơng đơng Dùng tính chất Bất đẳng thức để biến 8 10 Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất tỉ số 12 11 Ph ơng pháp 4: Phơng pháp phản chứng 15

12 Ph ¬ng pháp 5: Phơng pháp quy nạp 17

13 Ph ơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức tam giác 21

14 Ph ơng pháp 7: Phơng pháp làm tréi 23

15 Ph ơng pháp 8và Bất đẳng thức Bunhiacopxky : Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy 26 16 Ph ơng pháp 9:Phơng pháp dùng tam thc bc hai 31

17 Ph ơng pháp 10: Phơng pháp hình học 34

18 Mt s ứng dụng Bất đẳng thức 36 19 Phần thực nghiệm: 43 20 Kết luận 48 21 Tài liệu tham khảo 50

22 Muc lôc 51

http://huynhvumt.violet.vn