Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: a+b +... Chứng minh rằng:..[r]
(1)TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0 Chứng minh √ a+ √ b> √a+ b Giải: √a+ b ¿2 Cách 1: Ta có: √ a+ √ b ¿ 2> ¿ √ a+ √ b> √a+ b ⇔ ¿ ⇔ a+ √ ab+ b>a+ b ⇔ √ ab> (Bất đẳng thức đúng vì a, b > nên √ ab>0 ) Vậy √ a+ √ b> √ a+ b √ a+ √b ¿ ¿ Cách 2: (vì 22 √ ab>0 ) ¿ √ a+ √ b=√ ¿ 10 ≥ 2) Chứng minh rằng: x2 + + x +3 Giải: x +3 Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có: x +3 x +3 x +3 8 10 x 2+3+ = + + ( x2 +3) ≥2 + 3= + = 9 x +3 3 x +3 x +3 3) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c a+ c a+b Giải: a b c + + ≥ b +c a+ c a+b a b c ⇔ − + − + − ≥0 b+c a+c a+b 2 a − b −c b − a− c c − a −b ⇔ − + − + − ≥0 b+ c a+ c a+b a −b a − c b −a b −c c − a c −b ⇔ + + + + + ≥0 b+c b+c a+c a+ c a+b a+b 1 1 1 ⇔ (a− b) − +(a −c ) − +(b − c) − ≥0 b+c a+c b+c a+ b a+c a+b a−b a− c b −c ⇔ (a −b) +(a − c) +( b− c) ≥0 (b+c )(a+ c) ( a+b)(b+ c) (a+ c)(a+ b) a −b ¿ ¿ a − c ¿2 ¿ b − c ¿ (BĐT đúng) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ a b c + + ≥ Vậy b+c a+ c a+b 4) Cho a + b Chứng minh a2 + b2 Ta có: a + b a+b ¿ ≥ ⇒¿ Mà (a – b) Do đó (a + b)2 + (a - b)2 √ ( ) ( ) ( ) (2) 2 2 ⇒a +2 ab+ b +a −2 ab+b ≥ ⇒ 2(a2 +b 2) ≥1 ⇒( a2+ b2 )≥ 5) Cho a > b, b > c, c > Chứng minh rằng: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab Giải: Ta có: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab √ c (a − c)+ √ c (b −c )¿ ≤ √ ab2 ⇔¿ 2 ⇔ √ a −c √ c+ √ c √ b −c ¿ ≤ √ ab ¿ Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki √ a −c √ c+ √ c √ b −c ¿2 ≤ (a −c +c )(c +b − c)=ab=√ ab2 ¿ Vậy √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab 6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a , b , c ≤ và a+b+c=3 Chứng minh rằng: a2 +b 2+ c ≤ Giải: ¿ ⇒ a ,b , c ≥ −a ,2 −b , −c ≥ ¿ ⇒ a,b,c≤2 abc ≥0 (2 −a)(2 −b)(2 − c) ≥0 ¿ ¿{ ¿ ⇒ abc+( 2− a)(2− b)(2 −c )≥ ⇔abc +8 − a − b − c +2 ab+2 bc+2 ac − abc ≥0 ⇔ −2(ab+ bc +ac) ≤8 − (a+ b+c)=− ⇒ a + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) 32 − 4=5 7) Cho a,b,c là ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > Giải: Vì a, b, c là độ fài ba cạnh tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c 2 ⇒ a (b + c) > a a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c ⇒ a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > (đpcm) 8) Cho a,b,c là ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc < Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác) ⇒ a+a<a+b+c ⇒ 2a < ⇒ a < Tương tự b < 1, c < Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > ⇔ (1 – b – a + ab)(1 - c) > ⇔ – c – b + bc – a + ac + ab – abc > ⇔ – (a + b + c) =ab + bc + ca > Nên abc < -1 + ab + bc + ca ⇒ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – (vì a + b + c = 2) (3) a3 +b3 a+b ≥ 2 Giải: a3 +b3 a+b ≥ 2 ( ) ⇔ ( ) 9) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a3 +b a+b − ≥0 2 ( ) 2 (a+b)(a − ab+b ) a+b − ≥0 2 (a+ b)(a2 −ab+ b2) a+ b ⇔ − ≥0 2 a+b a+b ⇔ (a2 −ab+ b2 )− 2 2 2 a+b a − ab+4 b −(a + 2ab +b ) ⇔ ≥0 ⇔ (a+b)(4 a − ab+ b − a2 − ab −b2 )≥ ⇔ (a+b)(3 a2 − ab+3 b2 )≥ a −b ¿ ≥ (BĐT đúng) ⇔ 3( a+b) ¿ a3 +b3 a+b ≥ Vậy 2 10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab + a + b Giải: Ta có: a2 + b2 2ab b +1 2b a2 + 2a ⇒ 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b) ⇔ (a2 + b2 + 1) ab + a + b 11) Cho các số dương x,y,z và x + y + z = Chứng minh rằng: x + 2y + z Giải: Vì x,y,z và x + y + z = ⇒ x,y,z và 1-x, 1-y, 1-z Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có: 1− x +1 − y (1-x)(1-z) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1+y)2 ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) 1 + + ≥9 12) Chứng minh các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì a b c Giải: 1 1 1 ⇔ (a+b +c) + + ≥ (vì a+b+c=1) + + ≥9 Ta có: a b c a b c a a b b c c ⇔ 1+1+1+ + + + + + ≥ b c a c a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥6 b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: a b b c c a a b b c c a + + + + + ≥2 +2 +2 b a c b a c b a c b a c a b b c c a ⇔ + + + + + ≥ 2+ 2+ 2=6 b a c b a c ⇔ [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( √ √ ) √ 4(1-x)(1-y)(1-z) (4) 1 + + ≥9 a b c 13) Chứng minh a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thì: a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) Giải: a) Ta có: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca ⇔ 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) ⇔ (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca) Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a<b+c; b<c+a;c<a+b ⇒ a a< a(b+ c); b b <b(c+ a); c c< c(a+b) ⇒ a 2< ab+ac ; b 2< bc + ba ; c 2< ca+ cb 2 ⇒ a + b +c <2(ab+ bc+ ac) Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1+b2 √ b2=2 b Tương tự: 1+c2 2c ; 1+a2 2a 2 ⇒ a(1+b ) + b(1+c ) + c(1+a ) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) 14) Chứng minh x+y+z=1 thì x2 + y2 + z2 Giải: Ta có: x2 + y2 + z2 1 ⇔ x 2+ + y + + z + − ≥ 9 1 1 1 2 ⇔ x − x + + y − y + + z − z + + ( x + y + z )− ≥0 9 3 2 z − ¿ 2+ 1− ≥ 3 ¿ y − ¿ +¿ x − ¿ 2+ ¿ ⇔¿ 2 z − ¿ + − ≥ 3 y − ¿ +¿ x − ¿2 +¿ ⇔¿ z− ¿ ≥0 y − ¿2 +¿ (là bất đẳng thức đúng) x − ¿ +¿ ⇔¿ 15) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì (5) 1 1 1 + + ≥ + + a b c √ ab √ bc √ ca Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1 1 + ≥2 = a b a b √a b 1 1 + ≥2 = b c b c √b c 1 1 + ≥2 = c a c a √c a 1 1 1 + + ) ⇒ 2( + + )≥2( a b c √ ab √ bc √ca 1 1 1 + + ≥ + + ⇔ a b c √ ab √ bc √ ca √ √ √ 16) Cho a 0, b Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 0,c Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 abc(a + b + c) 2ab hai lần 17) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với số thực x,y khác x y2 x y + +4 ≥3 + y x y x ( 2 x y x y + +4 ≥3 + y x y x Giải: Ta có: ( x2 y2 ⇔ ( + +2)+2 − y x ) ( xy + yx ) ) x y x y + −1+3 −3 + ≥ y x y x x y x y x y ⇔ + +1 + −1 −3 + − ≥ y x y x y x x y x y ⇔ + −1 + −2 ≥ y x y x x2 + y − xy x2 + y −2 xy ⇔ ≥0 xy xy ⇔ ( ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) x− y ¿ ¿ y x− + y ¿ ⇔¿ [( ) ] Vậy (là bất đẳng thức đúng) x y2 x y + +4 ≥3 + y x y x ( ) 18) Cho a,b là hai số dương có tích Chứng minh rằng: a + b + Giải: a+b (6) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: a+b + 1 1 = (a+b)+ + (a+b) ≥ √ ab+2 (a+ b)= +1= a+b a+b 4 a+b 2 √ 19) Chứng minh với a,b,c là các số dương thì ta có: a2 b2 c2 a b c + 2+ 2 ≥ + + 2 b +c c + a a + b b+ c c +a a+b Giải: Vai trò a,b,c nhau, không tính tổng quát, giải sử a 2 b c>0 Ta có a (b +c) − a(b + c ) a2 b +a2 c − ab2 −ac a b − ab2 +a2 c − ac ab(a − b)+ ac( a− c ) a2 a − = = = = b2 +c b+c (b 2+ c2 )(b+ c) (b 2+ c 2)(b+ c) (b 2+ c2 )(b+ c) (b 2+ c 2)(b+ c) Tương tự ta có: bc( b −c )+ ba (b − a) b2 b − = 2 c + a c +a (c2 + a2)( c+ a) ca (c −a)+cb (c − b) c2 c − = 2 a + b a+ b (a2+ b2 )(a+b) 2 ab(a −b)+ac (a − c) bc(b − c)+ ba (b − a) a b c a b c + + − − − =¿ Do đó: + 2 2 2 2 (b +c )(b+c ) (c +a2 )(c +a) b +c c + a a + b b+ c c+ a a+b 1 ca (c −a)+cb(c − b) − 2 + = ab(a-b) +…………………………………… 2 2 ( b +c )( b+c ) (c +a )(c +a) (a + b )(a+b) 20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = Chứng minh rằng: a + b 16abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: b+c ¿2 = (a + b +c)2 4a(b + c) ⇒ b+ c ≥ a ¿ Mà (b + c) 4bc nên b+c 4a.4bc hay b + c 16abc √5 21) Cho x2 + 4y2 = Chứng minh |x − y|≤ Hướng dẫn: Đặt x – y = A ⇒ x = A + y thay vào biểu thức x2 + 4y2 = 1…… dùng kiến thức phương trình bậc hai để suy điều phải chứng minh 22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc Giải: Ta có: a2 – (b – c2) a2 ⇒ (a+b-c)(a-b+c) a2 Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b (c+a-b)(c-a+b) c2 ⇒ [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2 ⇒ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc 23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2 với x,y,z Giải: 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2 2 ⇔ x +2 y +2 z −2 xy −2 yz − zx ≥ 2 2 x+ y+ z ¿ + x + y + z ≥ (BĐT đúng) ⇔¿ 2 Vậy 3(x + y + z2 ) (x+y+z)2 a2 b2 24) a) Chứng minh + ≥ √ a+ √ b (với a,b > 0) b a [ √ √ ] (7) b) Chứng minh a + b thì a3+b3 a4 + b4 Giải: a2 b2 a2 b2 a) + ≥ √ a+ √ b ⇔ + + √ a+ √ b ≥2 √ a+2 √ b b a b a a2 b2 ⇔ + √ b+ + √ a ≥2 √ a+2 √ b b a Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: √ √ √ 2 a b + √ b+ +√a b a √ √ √ 2 √ √ √ √ √√ √√ a √ b+2 b b √ a=2 √ a+ √b a a b + ≥ √ a+ √ b b a b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) b ¿ + 3b ¿ = (a – b)2[(a + ⇒ a4 + b4 a3b + ab3 ⇒ 2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3 4 ⇒ 2(a + b ) a3(a + b) + b3(a + b) ⇒ 2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3) 4 ⇒ 2(a + b ) 2( a3+ b3) vì a + b >0 3 4 Vậy a +b a +b 12 ab 25) a) Cho a 0, b Chứng minh: a+b ≥ 9+ab 2 4 b) Cho a +b ≥ Chứng minh rằng: a +b ≥ 32 Giải: 12 ab ⇔ (a + b)(9 + ab) a) a+b ≥ 12ab 9+ab Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: a+b ≥ √ ab; 9+ab ≥ √ ab ⇒(a+b)(9+ ab)≥ √ ab √ ab=12 ab b) Ta có: 1 a2 +b ¿2 = = 32 a2 − b2 ¿2 ≥ ¿ a + b4 = 2 a +b ¿ + ¿ ¿ 26) Cho a+b+c abc Chứng minh a2+b2+c2 abc Giải: Vì a+b+c abc nên có hai trường hợp xảy - Trường hợp : |a|≥ ;|b|≥ 1;|c|≥ Ta có: a2 +b 2+ c ≥|a|+|b|+|c|≥ a+ b+c ≥ abc - Trường hợp: ba số |a|;|b|;|c| có ít số nhỏ Không tính tổng quát, giả sử |c|≤1 2|ab|≥|abc|≥ abc Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 1 + ≥ 27) Cho x 1, y Chứng minh 2 1+ x 1+ y 1+ xy Giải: 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy Vậy () (8) 1 1 − + − ≥0 2 1+xy 1+ xy 1+ x 1+ y ⇔ 2 a+ b 28) Chứng minh √ a +b ≥ với a,b √2 Giải: Nếu tổng a+b < thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a+b 0, ta có: 2 2 a+ b ¿ ⇔ a + 2b − a −2 ab+b ≥ √ a2 +b2 ≥ a+2b ⇔ √2( a2 +b2 )≥ a+ b ⇔ 2( a2+ b2 )≥ ¿ √ a −b ¿ ≥ (BĐT đúng) ⇔¿ 2 a+ b Vậy √ a +b ≥ với a,b √2 29) Cho a,b,c là ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh: 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c Giải: 1 + ≥ Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh x y x+ y a3 b3 c 30) Cho a,b,c>0 Chứng minh : + + ≥ ab+ bc+ca b c a a3 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ; ab ;………… b (a+b)(1 − ab) ≤ 31) Chứng minh rằng: − ≤ 2 (a +1)(b 2+1) Giải: Ta có: xy |x|−| y|¿2 ≥ ⇔ x 2+ y −2|xy|≥ ⇔ 2 ≤1 (∗) x +y ¿ Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2 1− ab ¿2 a+ b ¿2 +¿ ¿ (a+ b)(1− ab) ¿ ( a+b)(1 −ab) ⇒ =¿ (a +1)(b2 +1) − ab¿ a+b ¿2 +¿ ≤ Áp dụng (*) ta có: ¿ (a+ b)(1− ab) ¿ ¿ ( a+b)(1 −ab) ⇒ ≤ (a +1)(b2 +1) ( a+b)(1 −ab) ⇔− ≤ ≤ (a +1)(b2 +1) ⇔ ( | | | | | | | | ) (9) 32) Cho a 0, b Chứng minh rằng: a+b ¿ 2+ (a+ b)≥ a √ b+b √ a ¿ Giải: 1 1 1 a+b ¿ 2+ (a+ b)= (a+b)(a+ b+ )= (a+b)(a+ +b+ ) 2 4 Ta có: ¿ Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 (a+ b)(a+ + b+ ) √ ab(2 a + b )=√ ab( √ a+ √ b)=a √ b+b √ a 4 4 a+b ¿ + (a+ b)≥ a √ b+b √ a Vậy ¿ 2 x +y 33) Cho xy =1, x>y Chứng minh ≥ √2 x− y Giải: x − y ¿ +2 xy ¿ ¿ Ta có: (theo BĐT côsi) x 2+ y =¿ x−y 1 + + + >1 , 999 34) Chứng minh: √ 1999 √2 1998 √ 1999 Giải: ≤ Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b √ ab ⇔ dấu ‘=’ xảy a = b √ ab a+ b Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy vì a b Ta có: 1 2 2 2 + + + > + + + = + + .+ 1+1999 2+1998 1999+1 2000 2000 2000 √1 1999 √2 1998 √ 1999 ⏟ √ √ 1999 so ,001+0 , 001+ +0 ,001 =1, 9999 ⏟ 1999so 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3 Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (a+b-c)2 2 ⇒ a +b +c +2ab+2ca-2bc ⇒ 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2 Mà a2+b2+c2=5/3 < ⇒ 2ab+2ca-2bc 2 bc+2 ca −2 bc ⇒ < (do abc>0) abc abc 1 1 ⇒ + − < a b c abc 36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Hướng dẫn: Chuyển vế đưa đẳng thức a+c b+d c+ a d+ b + + + ≥4 37) Cho a,b,c,d > Chứng minh rằng: a+b b+ c c+ d d+ a Giải: 1 1 + − < a b c abc (10) (a+ c) b) 4(a+b+ c+ d) = =4 ( a+b1 + c +d1 )+(d +b)( d 1+a + b+c1 ) ≥ a+(a+b+cc).+d4 + d+( d+a+b+ c a+ b+c +d 1 + ≥ ) x y x+ y 38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: √ a+1+ √ b+ 1+ √ c +1≤ √ 21 Giải: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+1+ 3 √ 21 10 ( a+1) ≤ = a+ √ a+1= 7 14 Tương tự: 21 10 √ b+ 1≤ √ b+ 14 √21 c + 10 √ c+ 1≤ 14 21 21 ⇒ √ a+1+ √ b +1+ √ c +1 ≤ √ (4 a+ b+ c+10)= √ 14= √21 14 14 Vậy √ a+1+ √ b+ 1+ √ c +1≤ √ 21 x +3 >2 với x 39) a) Chứng minh: √ x +2 2006 2005 + > √ 2005+ √ 2006 b) Chứng minh √ 2005 √ 2006 Giải: a) Ta có: x2 + = x2 + + √ (x 2+2) 1=2 √ x 2+2 (theo côsi cho hai số dương) dấu = không thể xảy vì x2 + 2>0 với x x +3 >2 với x Vậy √ x +2 2005+1 2006 −1 + > √ 2005+ √ 2006 2005 2006 √ √ b) 1 ⇔ √ 2005+ + √ 2006 − > √2005+ √ 2006 √2005 √ 2006 1 ⇔ − > (BĐT đúng) √ 2005 √ 2006 2006 2005 + > √ 2005+ √ 2006 Vậy √2005 √ 2006 √a+ √a −1+ √ a− √a − <1 40) Cho a chứng minh rằng: √a+ √2 a −1+ √ a− √2 a − Giải: (áp dụng bất đẳng thức phụ √√ ( ( √ ) ) ( ) (11) √ a− 1+ √a − 1+1+ √a − 1− √ a −1+1 ¿ ¿ √ 2a − 1+ √ a −1+1+ √ a− 1− √2 a −1+1 ¿ √ a −1+1 ¿2 ¿ a − √ 1− ¿ ¿2 ¿ √ a −1+1 ¿2 √2( √a − 1+1)+ √ a −1 −1 ¿ ¿ √ a− 1+1+ √2 a − 1−1 |√2 a − 1−1|¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √¿ √2 ¿ ¿ √a+ √a −1+ √ a− √a − = √ 2(√ a+2 √ a −1+ √ a −2 √ a −1) =¿ √a+ √2 a −1+ √ a− √2 a − √ a+2 √2 a −1+ √a − √2 a −1 √2 √ a −1 = √ 2a − = a −2 <1 vì a nên 2a – < 2a – ¿ a −1 √ a − √ 2a − b +d ¿ a+c ¿ +¿ 41) Chứng minh bất đẳng thức: ¿ 2 √ a +b + √ c +d ≥ √ ¿ Giải: b+d ¿2 ¿ b+d ¿2 ¿ ¿2 ¿ b+d ¿2 ¿ ⇔ √ a2 +b2 √c +d ≥2 ac+2 bd a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ √ a2 +b 2+ √c +d ¿2 ≥ ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ ¿ 2 √ a +b + √c +d ≥ √ ¿ Nếu ac + bd thì BĐT đúng Nếu ac + bd > thì ⇔ √( a2 +b2 )(c +d 2) ≥ ac+ bd ac+bd ¿2 ¿ bd ¿2 +2 acbd ¿ ac ¿2 +¿ ⇔ √(a 2+b 2)(c2 +d )2 ≥ ¿ √ (vì a 2) (12) ¿ bd ¿ +2 acbd ac ¿ 2+(¿ ⇔ a2 d 2+b c2 )− 2(ad).(bc)≥ ⇔ a2 c 2+ b2 d 2+ a2 d2 +b c ¿ ad − bc ¿ ≥ (BĐT đúng) ⇔¿ b +d ¿ a+c ¿ +¿ Vậy ta có: ¿ 2 √ a +b +√ c +d ≥ √ ¿ 42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1 + 2 ≥6 a) Chứng minh rằng: ab a + b + 2 ≥ 14 b) Chứng minh rằng: ab a + b Giải: Áp dụng các bất đẳng thức phụ: 1 + ≥ x y x+ y x+ y ¿2 ¿ ( HS tự chứng minh ) ¿ ¿ ≥ xy ¿ a) Ta có: a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 + 2= +( + 2 )≥ ¿ ab a + b ab ab a +b b) a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3 + 2= +( + 2 )≥ ¿ ab a + b ab ab a +b 2 43) Cho a,b Chứng minh a b – 3ab + ab2 + Dấu xảy nào? Giải: Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z √3 xyz Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab √3 a2 b ab - 3ab = 3ab – 3ab = Dấu xảy a2b = ab2 = ⇒ a = b = a2 b2 c2 a+ b+c 44) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c +a a+b (13) Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a2 b+ c b2 c+ a c a+b a b+ c b c +a c a+b + + + + + ≥2 +2 +2 b+c c +a a+ b b+ c c +a a+ b =a+b+c 2 a b c a+ b b+c c +a a+b a+b+ c ⇒ + + + ≥ a+ b+c − − − = b+c c+ a a+ b 4 4 2 45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện a + b = và (a – d)(b – c) = Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2 Giải: Ta có: a2 + b2 = và (a – d)(b – c) = Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 2(a – d)(b – c) + – = 2.1 – = - 46) Cho a + 4b = Chứng minh rằng: a2 + 4b2 ⇒ Hướng dẫn: a + 4b = a = – 4b vào biểu thức cần chứng minh dưa dạng đánh giá A2+ α≥α 47) Chứng minh x+y+z =1 thì x2+y2+z2 Giải: 2 2 2 2 x +3 y 2+3 z ( x + y + z =2 xy+ yz+2 zx)+( x + y −2 xy)+( y + z − yz)+( z + x − zx) x2+y2+z2 = = 3 z− x¿ ¿ x + y + z ¿2 ¿ ¿ y − z ¿2 +¿ x − y ¿2 +¿ x+ y+ z ¿2 +¿ ¿ ¿¿ 48) Chứng minh rằng: 2( √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) (với n là số nguyên dương) √n Giải: 2(n+1 −n) = < (1) Ta có: 2( √ n+1 − √ n)= n+1+ n n+ 1+ n √ √ √ √ √n 2(n −n+1) = > (2) Mặt khác: 2( √ n − √ n −1)= √ n+ √ n −1 √n+ √ n− √ n Vậy √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) √n ≤ x 3+ y ≤ 49) Cho x,y và x2 + y2 = Chứng minh √2 Giải: Ta có: x2 + y2 = ⇒ x2 và y2 mà x 0, y ⇒ x và x ⇒ x3 x2 , y3 y2 ⇒ x3 + y3 x2 + y2 = (1) = x2 + y2 = ( √ x √ x + √ y √ y ≤( √ x 2+ √ y 2)( √ x 32 + √ y 32)=(x + y )(x 3+ y3 ) (theo bunhiacopxki) Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = ⇒ x+y √2 (2) 3 3 3 ⇒ 1≤( x+ y )(x + y )≤ √2(x + y )⇒ x + y ≥ √2 √ √ √ (14) ≤ x 3+ y ≤ √2 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12 Chứng minh rằng: √ a+2 √ a+1+√3 b +2 √b+ 1+ √3 c +2 √ c+ 1≤ √17 Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: Từ (1) và (2) ta có: √ a+2 √ a+1= 1 a+ √ a+1+17 a+ 18+ √ a (3 a+ √ a+1) 17 ≤ = ≤ √ 2 √17 √17 a+18+ 4+a 2 a+ 40 ¿ √17 ( Tương tự: b+ 40 √17 √3 c +2 √ c+1 ≤ 117 c+4 40 √ √ b+2 √b +1≤ ( ( ) ) ) 7(a+ b+c )+ 120 12+120 = = 51 4 √17 √17 √17 ¿ √17 51) a) Chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 3( x + y 2+ z2 ) x2 + y2 + z2 b)Gọi m là số nhỏ ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: m≤ Giải: a) HS tự giải b) Vai trò x,y,z nhau, giả sử x y z Vì m là số nhỏ ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 ⇒ √ m là số nhỏ ba số |x − y|,| y − z|,|z − x| ⇒ (x-y)2 m, (y-z)2 m Mặt khác: |z − x|=x − z=( x − y )+( y − z )=|x − y|+| y − z|≥ √ m (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m ⇒ 3(x + y 2+ z2 ) x2 + y2 + z2 ⇒ m 2 √ab ≤ √ ab 52) Cho a,b là các số dương Chứng minh: √a+ √ b Hướng dẫn: Bình phương hai vế 53) Chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với a,b HD: Chuyển vế biến đổi tương đương x6 y6 4 54) Chứng minh với x,y khác ta có đẳng thức: x + y ≤ + y x HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương 1 <1999 55) Chứng minh 1998 < 1+ + + + √2 √ √1000000 HD: sử dụng bài toán phụ: 2( √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) để chứng minh √n 56) a) Cho a,b Chứng minh: a b b a ab ⇒ √ a+2 √ a+1+ √ b+2 √ b+1+ √ c+2 √ c +1≤ [ b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a+b+c = Chứng minh rằng: Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a (b − 1+1) ab a √ b −1=a √ (b −1) ≤ = 2 ] (1+ 1a )(1+ 1b )(1+ 1c )≥ 64 (15) Tương tự b √ a −1 ≤ ab Vậy a √ b −1+b √ a −1 ≤ ab ab + =ab 2 b) Vì a+b+c = nên: a+b+ c b c b c b c b c b c bc 1+ =1+ =1+1+ + =1+ + 1+ ≥ +2 =2 +2 ≥ 2 =4 √ a a a a a a a a a a a a a (theo BĐT côsi cho hai số không âm) Tương tự: ac ab 1+ ≥ √ ; 1+ ≥ √ b b c c 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 ⇒ a b c 57) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2 HD: biến đổi tương đương 58) Với a>0, b>0, c>0 Chứng minh các BĐT: ab bc + ≥2b a) c a ¿ bc ca a3 +b b3 +c c +a3 b ab ¿ + + ≥ a+ b+c ¿ c ¿ + + ≥ a+b+ c ¿ c a b ab bc ca Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số dương vế trái b) Áp dụng côsi cho hai số dương cặp tương tự câu a c) Chứng minh bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 suy điều cần chứng minh 59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c Giải: x2 + y2 Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với x,y 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a a +1 b + c + ⇒ ab+ bc+ ca+ a+b+ c ≤ + + + + + 2 2 2 2 a +b + c +3 (do a2 + b2 + c2 = ) ¿ a2 +b 2+ c2 + 3+3 ¿ 3+ =6 Vậy ab+bc+ca+a+b+c a b c + + ≤2 60) Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: a+b b+c c + a Giải: b c a a b c + + ≥ + + =1 Ta có: a+b b+c c + a a+ b+c a+b+ c b+c +a Mặt khác: a b c b c a a b b c c a + + + + + = + + + + + a+b b+c c+ a a+b b+c c +a a+b b+c b+c b+ c c +a c +a ¿ 1+1+ 1=3 a b c ⇒ + + ≤2 a+b b+c c+ a 61) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và p là nửa chu vi tam giác Chứng minh: abc (p – a)(p – b)(p –c) Giải: a+b+ c b+c −a −a= >0 (vì b + c >a – BĐT tam giác)) Ta có: p – a = 2 √ √ √ √ √ )( )( √√ √ √ √ ( )( )( ) ( )( )( ) (16) Tương tự: p – b>0, p –c>0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: p − a+ p −b p − a −b c = = (p – a)(p – b) 4 a b Tương tự: (p – b)(p –c) ; (p – c)(p – a) 4 abc p− c ¿2 ≤ 64 p −b ¿ ¿ p −a ¿ ¿ ¿ ⇒( p − a)( p− b)( p −c )≤ abc 8 8 a +b + c 1 ≥ + + 62) Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: 3 a b c b b c Giải: Ta có: 8 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c ≥a b + b c + c a ≥ a b b c + b c c a + c a a b ≥ a b c (a +b +c ) abc 1 a2 b2 c 2( ab+ bc+ca )=a b2 c (ab+ bc+ ca) =a3 b3 c + + abc a b c 8 a +b + c 1 ≥ + + ⇒ a b c b3 b3 c 63) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: a b c a b c + + ≤ ≤ + + 2 1+ a 1+b 1+c b+ c c +a a+b Giải: a ≤ Ta có: + a2 2a ⇒ 1+ a b c ≤ ; ≤ Tương tự: 2 1+b 1+c a b c ⇒ + + ≤ 2 1+ a 1+b 1+ c a b c ≤ + + Chứng minh: dung biến đổi tương đương b+ c c+ a a+b 64) Chứng minh: 1 1 2001 + + + .+ < (1+ √ 2) 5( √ 2+ √3) 7( √3+ √ 4) 4003( √2001+ √ 2002) 2003 2( √ n+1 − √ n) 2( √ n+1 − √ n) = < = − HD: Ta có: (2 n+1)( √ n+ √ n+1) √ n +4 n+1 √ n(n+ 1) √ n √n+1 Áp dụng bài toán trên suy BĐT 65) Cho ba số dương x,y,z có tổng Chứng minh rằng: √ x+ yz+ √ y +zx + √ z+ xy ≥1+ √ xy+ √ yz+ √ zx Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: x+ y ≥ √ xy ⇔ x + y + z ≥ z +2 √ xy ⇔ 1≥ z +2 √ xy ⇔ z ≥ z2 +2 z √ xy ⇔ z + xy ≥ z 2+2 z √ xy+ xy ¿ z + √ xy ¿2 ⇔ √ z + xy ≥ z+ √ xy ⇔ z + xy ≥ ¿ Tương tự: √ x+yz ≥ x+ √ yz ; √ y+zx ≥ y + √ zx ⇒ √ x+ yz+ √ y + zx+ √ z +xy ≥( x + y + z)+ √ xy + √ yz + √ zx=1+ √ xy + √ yz + √ zx ≥5 66) Cho x,y>0 và x+y = Chứng minh: 8(x4+y4)+ xy ( ) (17) Giải: x + y ¿2 ¿ ¿ Ta có: (x+y) 4xy ⇒ ≥¿ xy x+ y ¿ ¿ Mặt khác: (HS tự chứng minh) ¿ x4 + y4 ≥ ¿ ≥5 Suy ra: 8(x4+y4)+ xy 67) Cho các số dương a,b,c có tổng Chứng minh: Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: √( a+b+ √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 b+ c+ c +a+ )√ 2 2 2 2 (a+ b) + (b+ c) + (c +a) ≤ + + = 2= √6 3 3 3 2 4 3 68) Cho a+b+c = Chứng minh: a +b +c a +b +c Giải: Áp dụng bài toán phụ x4+y4 x3y+xy3 ta có: 3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = (a3+b3+c3) 4 3 Vậy a +b +c a +b +c 69) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = Chứng minh: 2 x y z + + ≥2 √1 − x √ 1− y √1 − z Giải: Vì x,y,z>0 và x3+y3+z3 = nên 1-x,1-y,1-z >0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: x2 2 2 x +1 − x ≥ √ x (1 − x ) ⇔1 ≥ x √ − x ⇔ ≥ x3 √1 − x 2 y z 3 ≥2 y ; ≥2z Tương tự: 2 √1 − y √1 − z 2 x y z2 + + ≥ 2( x 3+ y 3+ z )=2 Vậy 2 √1 − x √ 1− y √1 − z a+b ¿ ¿ 70) Cho a,b>0 Chứng minh: ¿ ¿ Giải: a+b ¿ ¿ Ta có: ¿ ¿ 71) Chứng minh: √ a2 − b2 + √ ab −b 2> a với a>b>0 HD: bình phương hai vế dung phương pháp biến đổi tương đương 72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1 Chứng minh: 1≤ x + y ≤ √ Giải: Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = ⇒ x + y ≤ √ 2 2 Và (x+y) = x +y +2xy = + 2xy Vậy 1≤ x + y ≤ √ 73) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = Chứng minh: ab + 2bc + 3ca Giải: √√ √√ √√ (18) a+b+c = ⇒ b+ c=− a; a+b=−c ⇒ ab+ bc+3 ca=ab+ca +2 bc+ 2ca=a(b +c)+2 c (a+ b)=a (−a)+2 c (− c)=− a2 −2 c ≤ a b c + + ≥ 12 74) Cho a,b,c > Chứng minh : √ b − √ c −1 √ a− Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: a a a + 4( √ b − 1)≥2 4( √ b − 1)=4 √ a ⇔ ≥ √ a −4 √ b+4 √b − √ b −1 √ b −1 b c ≥ √ b− √c + ; ≥ √ c −4 √ a+4 Tương tự: √c −1 √ a− a b c + + ≥ 12 Vậy √b − √ c −1 √ a− 75) Cho x,y là hai số thực cho x+y=2 Chứng minh xy(x2+y2) Giải: x+ y ¿ 2=4 ⇔ x 2+ y =4 − xy ¿ xy −1 ¿ +2≤ ¿ x+ y=2 ⇔¿ √ (19)