Bất đẳng thức cosi cho hai số đã được minh họa chi tiết và tỉ mỉ. Phần tài liệu bao gồm các phương pháp, bài tập minh họa và hướng dẫn chi tiết cách giải. Mỗi phần đều có các bài tập nâng cao cho học sinh tự ôn luyện và có đáp án để so sánh.
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CAUCHY I Kĩ thuật tách ghép số VD1: Cho số thực dương a, b, c, d CMR ac + bd ≤ ( a + b) ( c + d) Giải: Áp dụng bđt Cauchy ta có: ac + bd ( a + b) ( c + d) = a c + ( a + b) ( c + d) b d ( a + b) ( c + d ) a c b d ≤ + + + ÷ a + b c+d a + b c+d =1 → đpcm VD4: Cho số thực dương a, b CMR 16ab ( a − b ) ≤ ( a + b ) 2 Giải: Áp dụng bđt Cauchy ta có 16ab ( a − b ) = 4.4ab ( a − b ) 2 4ab + ( a − b ) ( a + b) ≤ ÷ = 4 ÷ = ( a + b) 2 VD5: Cho số thực dương a, b ab + CMR: a b + ≥ a + b +1 b a Giải: Áp dụng bđt Cauchy ta có: ab + a b ab a ab b a b + = + ÷+ + ÷+ + ÷ b a 2b 2a 2b 2a ≥ ab a ab b ab +2 +2 2b 2a 2ab = a + b +1 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn a ≥ 1; b ≥ 2; c ≥ 3;d ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức A= A= Giải: Ta có: bcd a − + acd b − + abd c − + abc d − abcd a −1 b−2 c−3 d−4 + + + a b c d Áp dụng bđt Cauchy ta có ( a − 1) ≤ a −1 + a a −1 = ⇒ ≤ 2 a b−2 c −3 d −4 ≤ ; ≤ ; ≤ b c d 2 Tương tự max A = 1 1 + + + 2 2 Vậy Dấu "=" a = 2; b = 4;c = 6;d = xảy x, y > Bài 2: Cho x+y≥6 thỏa mãn P = 3x + 2y + + x y Tìm giá trị nhỏ (Vòng 2, THPT chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm HN 2002 – 2003) Giải: 12 16 2P = ( x + y ) + 3x + ÷+ y + ÷ x y Theo Cauchy ta có 2P ≥ 3.6 + 3x 12 16 + y x y = 18 + 12 + = 38 ⇒ P ≥ 19 P = 19, x = 2; y = Chú ý: Có học sinh giải sau P = 3x + 8 + 2y + ≥ 3x + 2y x y x y ⇒ P ≥ + ⇒ P = + Cách giải sai P = +8 x+y≥6 x = 2; y = không thỏa mãn đk: Bài 3: Cho số dương x, y thỏa mãn x+y=2 x y2 ( x + y2 ) ≤ CMR: (THPT – TP Hà Nội, 2006 – 2007) Giải: Theo bđt Cauchy ta có: xy ≤ x+y = ⇒ xy ≤ ⇒ xy − x y = xy ( − xy ) ≥ ⇒ xy ≥ x y x y ( x + y ) ≤ xy ( x + y ) − 2xy Do = 2xy ( − xy ) Mà theo Cauchy ta lại có: xy + − xy xy ( − xy ) ≤ ÷ =1 x y2 ( x + y2 ) ≤ Từ suy Bài 4: Cho số không âm a, b, c, d cho số đồng thời CMR: a b c d + + + ≥2 b+c+d a+c+d d+a+b a+b+c (THPT chuyên HN – Amsterdam, 1998 – 1999) Giải: Ta có: a ( b + c + d) ≤ a ( b + c + d) a +b+c+d ⇒ ≤1 a +b+c+d Nhân vế bđt với a b+c+d ta a 2a ≥ b+c+d a +b+c+d Từ suy đpcm Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức (x P= + y3 ) − ( x + y2 ) ( x − 1) ( y − 1) x, y > với (Vòng 2, THPT chuyên ĐH Quốc gia HN, 2004 – 2005) P= x ( x − 1) + y ( y − 1) ( x − 1) ( y − 1) Giải: = x2 y2 + ≥ y −1 x −1 ( x − 1) + ≥ 2xy ( x − 1) ( y − 1) x −1 Mặt khác, ⇒ x ≥ 2, x −1 y ≥2 y −1 tương tự Pmin = Vậy x=y=2 x2 y2 z2 P= + + x + 2yz y + 2zx z + 2xy x, y, z > Bài 7: Cho Tìm giá trị nhỏ (Vòng 2, THPT chuyên ĐH Quốc gia HN, 1998 – 1999) x + y ≥ 2xy Giải: Do x + y + z ≥ z + 2xy nên ⇒ z2 z2 ≥ z + 2xy x + y + z y2 y2 ≥ y + 2xz x + y + z Tương tự x2 x2 ≥ x + 2yz x + y + z Pmin = Từ suy x=y=z>0 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x10 y10 Q = + ÷+ ( x16 + y16 ) − ( + x y ) 2 y x x, y ≠ với (Vòng 1, THPT chuyên – ĐHQGHN, 2004 – 2005) Giải: Áp dụng Cauchy ta có: Q ≥ x y + x y8 − ( + x y ) = 8 x y − 2x y − ⇒ Q ≥ ( x y − 1) + Q = Vậy −5 2 4 −5 x y − 1) − ≥ ( 2 ( x, y ) ∈ { ( 1,1) ; ( −1,1) ; ( 1, −1) ; ( −1, −1) } II Kĩ thuật tách nghịch đảo a2 + VD2 CMR: Giải: a2 +1 ≥ ∀a ∈ ¡ Áp dụng bđt Cauchy ta có: a2 + a2 +1 = a2 +1+1 a2 +1 = a2 +1 + ≥2 VD3 CMR: Giải: Với a2 +1 a + 1 a2 +1 3a ≤ ∀a ≠ + 9a a≠0 , áp dụng Cauchy ta có 3a 1 = = 4 1 9a + 9a + 3a + 2 3a 3a 3a =2 ≤ 1 = 2 3a 2 3a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 A = ( a + 1) + + ÷ ∀a ≠ −1 a +1 Giải a + 2a + A = ( a + 1) + ÷ a +1 Ta có ( a + 1) + = ( a + 1) + ÷ a +1 ÷ 2 = ( a + 1) + a + + ÷ a +1 =2 ( a + 1) + ( a + 1) ≥ 2 ( a + 1) + +2 ( a + 1) +2 = 2 +2 2 ( a + 1) = ⇒ A = 2 + ( a + 1) ⇔a= −2 ± 2 a, b,c > Bài 10 Cho S= CMR a2 3a + 8b + 14ab + b2 3b + 8c + 14bc c2 + 3c + 8a + 14ac ≥ a+b+c (Vòng 1, THPT chuyên ĐH Quốc gia HN, 2009 – 2010) Giải: 3a + 8b2 + 14ab = ( 3a + 2b ) ( a + 4b ) Ta có: ≤ Tương tự: 3a + 2b + a + 4b = 2a + 3b 3b + 8c + 14bc ≤ 2b + 3c 3c + 8a + 14ac ≤ 2c + 3a ⇒S≥ a2 b2 c2 + + 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a Mặt khác, theo Cauchy: a2 2a + 3b 2a + ≥ 2a + 3b 25 b2 2b + 3c 2b + ≥ 2b + 3c 25 c2 2c + 3a 2c + ≥ 2c + 3a 25 ⇒S+ ( 2a + 3b ) + 2b + 3c + 2c + 3a ≥ ( a + b + c ) ⇒S≥ a +b+c 25 III Kĩ thuật ghép đối xứng Trong kĩ thuật ghép đối xứng ta cần nắm rõ số thao tác sau Phép cộng Phép nhân a +b b+c c+a + + a + b + c = 2 2 ( a + b + c ) = ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) abc = ab bc ca 2 a b c = ab.bc.ca ( a, b, c ≥ ) a, b, c ≠ VD2: Cho số thực CMR a b c2 b c a + + ≥ + + b2 c2 a a b c Giải: Ta có: a b c2 a b2 b c2 c2 a + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ b c2 a 2 b c2 c2 a a b ≥ a b c + + c a b ∆ABC, AB = c, BC = a, CA = b; p = VD3: Cho ( p − a ) ( p − b) ( p − c) ≤ CMR: abc a+b+c V Kĩ thuật đổi biến số BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 + + =1 x y z x, y, z > Bài 21 Cho ( x − 2) ( y − 2) ( z − 2) ≤ CMR: (1) (THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa, 2005 – 2006) Giải: x = a + 2; y = b + 2; z = c + Đặt a, b, c > với ⇔ abc ≤ (1) với 1 + + =1 a+2 b+2 c+2 Theo bđt Cauchy ta có 1 1 1 =1− + ÷= − ÷+ − ÷ c+2 a +2 b+2 2 a +2 2 b+2 = a b + ≥ ( a + 2) ( b + 2) ≥ b+2 ab ( a + 2) ( b + 2) ca ( c + 2) ( a + 2) Tương tự: ≥ a+2 bc ( b + 2) ( c + 2) Nhân vế bđt ta abc ≤ Bài 23 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = P= x 2y 3z + + ≥ 2 + 4y + 9z + x CMR: Giải: Đặt b = 2y > c = 3z > ⇒ x+b+c =3 P= Ta có x b c + + 2 1+ b 1+ c 1+ x2 x ( + b ) − xb x = + b2 + b2 =x− Tương tự xb xb b 1 ≥ x − ≤ ÷ 2 1+ b 1+ b 2 b bc ≥b− 1+ c c cx ≥ c− 1+ x ⇒ P ≥ x +b+c− xb + bc + cx ( xb + bc + cx ) ≤ ( x + b + c ) = Ta có ⇒ xb + bc + cx ≤ ⇒P≥ Bài 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 1 + + x ( y + z) y ( x + z) z ( x + y) x, y, z > với xyz = Giải: a= 1 ;b = ;c = x y z Đặt ⇒ abc = =1 xyz x + y = c ( a + b ) ⇒ y + z = a ( b + c) x + z = b ( a + c ) A= Khi a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b (theo 11) mà a +b+c 3 ≥ abc = 2 ⇒A≥ Bài 26 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện xy z + x z + y = 3z Tìm giá trị lớn biểu thức P= z4 + z ( x + y4 ) (Vòng 1, THPT chuyên ĐHQGHN, 2005 – 2006) Giải: P= Ta có a= Đặt + x + y4 z ; b = x ; c = y2 z P= ta có Do z>0 a + b2 + c2 nên giả thiết cho tương đương với x2 y xy + + =3 z z2 Áp dụng bđt Cauchy ta có (x y 2 x y2 + y2 ) + x + ÷+ + ÷ z z z x2 y ≥ xy + + ÷ = z z Ta có a ≥ 2a − b ≥ 2b − c ≥ 2c − 2 a + b ≥ 2ab b + c ≥ 2bc c + a ≥ 2ca ( a + b + c2 ) ≥ ( ab + bc + ca + a + b + c ) − nên x y2 = x y + y + x + + + ÷− ≥ z z z ⇒ a + b2 + c2 ≥ ⇒ max P = x = y = z = BÀI TẬP Bài 27 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm GTNN A =a+b+c+ + + a 2b c Phân tích Dự đoán GTNN A đạt a + 2b + 3c = 20 a = 2; b = 3;c = tới điểm rơi Ta có sơ đồ điểm rơi a α = α a=2⇔ ⇒ = ⇒α= α 3 = a b β = β 3 b=3⇔ ⇒ = ⇒β= β 9 =3 2b c γ = γ c=4⇔ ⇒ =1⇒ γ = γ 4 =1 c Giải: Ta có 3a b c A = + ÷+ + ÷+ + ÷ a 2b c a b 3c + + + 4 ≥2 3a b c a + 2b + 3c +2 +2 + a 2b c ≥ + + + = 13 ⇒ A = 13 a = 2; b = 3;c = Bài toán có cực trị tâm VD1: Cho số thực dương a, b Tìm GTNN A= a+b ab + ab a + b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt Sơ đồ điểm rơi a + b 2a α ab = αa = α a=b⇔ ab = a = a + b 2a ⇒ = ⇒α=4 α Giải: a+b ab ( a + b ) A = + ÷ ÷+ ab a + b ab Dấu ≥2 a + b ab 3.2 ab + ab a + b ab = 1+ = 2 "=" xảy ⇔a=b BÀI TẬP Bài 30 Cho số thực dương a, b thỏa mãn A= Tìm GTNN Phân tích 1+ a + b 2 + 2ab a + b ≤1 a=b a=b= Dự đoán Sơ đồ điểm rơi = 2 1 + a + b 2 a=b= ⇒ ⇒ = 2 α = 2αab α ⇒α=3 Giải: A= Ta có ≥2 ≥ = ≥ 1+ a + b 2 + 1 + 6ab 3ab 1 + ( + a + b ) 6ab ab 1 + + a + b + 6ab 3ab 2 ( a + b) + + 4ab 3ab a+b ( a + b ) + + ÷ ≥ + ⇒ A = ⇔a=b= + a+b 3 ÷ VIi Kĩ thuật nhân thêm hệ số a, b, c ∈ [ −2; ] Bài 33 Cho CMR: a+b+c =3 thỏa mãn − a + − b2 + − c2 ≤ 3 Phân tích: Dự đoán 4 − a = a = b = c = ⇒ 4 − b = 4 − c = Giải: Áp dụng Cauchy ta có − a2 = ( − a2 ) ≤ ( − a + 3) − a = 3 − b2 4−b ≤ Tương tự − c2 4−c ≤ Cộng vế bđt ta 4−a + 4−b + 4−c ≤ a +b +c mà 2 ( a + b + c) ≥ 21 − ( a + b + c ) (theo Bu-nhi-a) ⇒ − a + − b2 + − c2 ≤ 3 VIII Kĩ thuật hạ bậc VD1 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn A =a +b +c 2 a + b +c =1 Tìm giá trị nhỏ Phân tích a , b , c2 Do chênh lệch số mũ a , b , c2 a, b, c nên ta sử dụng Cauchy để hạ bậc a , b , c2 Ta cần sử dụng Cauchy cho với số dương khác để làm xuất a, b, c Do a, b, c đóng vai trò nên ta dự đoán dấu Giải: a2 + 1 ≥ a2 = a 9 b2 + ≥ b Ta có: c2 + ≥ c Cộng theo vế bđt ta 2 a + b2 + c2 + ≥ ( a + b + c ) = 3 ⇒ a + b2 + c2 ≥ VD2 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = "=" a =b=c= xảy CMR: 10a + 10b + c2 ≥ Giải: Áp dụng Cauchy ta có 8a + c2 c2 ≥ 8a = 4ac 2 8b + c2 ≥ 4bc 2a + 2b ≥ 4ab ⇒ 10a + 10b + c ≥ ( ab + bc + ca ) = BÀI TẬP a, b,c > Bài 34 Cho CMR: thỏa mãn ab + bc + ca = 3a + 3b + c ≥ 10 Giải: 2a + c2 c2 ≥ 2a = 2ac 2 2b + c2 ≥ 2bc Ta có: a + b ≥ 2ab ⇒ 3a + 3b + c ≥ ( ab + bc + ca ) = 10 Bài 35 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm GTNN A = 4a + 6b + 3c Giải: Áp dụng Cauchy ta có 4a + ≥ 4a = 8a 8 6b + ≥ 6b = 8b 3 3c + 16 16 ≥ 3c = 8c 3 Cộng theo vế bđt ta 16 4a + 6b + 3c2 + + + ≥ ( ab + bc + ca ) 3 = 24 ⇒ 4a + 6b2 + 3c ≥ 12 Vậy A = 12 a = 1; b = ;c = 3 Bài 36 Cho số thực dương a, b CMR a + b + ≥ 2a + 2b + ab Giải: Ta có a + ≥ a = 4a b + ≥ 4b a + b ≥ 2ab ⇒ 2a + 2b + ≥ 4a + 4b + 2ab ⇒ a + b + ≥ 2a + 2b + ab X Cauchy ngược dấu a, b, c > VD1 Cho thỏa mãn CMR: a+b+c =3 1 + + ≥ + ab + bc + ca Giải: ab ab ab = 1− ≥ 1− = 1− + ab + ab 2 ab Ta có: Tương tự: bc ≥ 1− + bc ca ≥ 1− + ca ⇒ 1 1 + + ≥ 3− + ab + bc + ca ( ab + bc + ca ) 1a+b b+c c+a ≥ 3− + + ÷ 2 2 = ⇒ đpcm BÀI TẬP x, y, z > Bài 37 Cho Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x2 y2 z2 + + x + 2yz y + 2zx z + 2xy (Vòng 2, THPT chuyên ĐH Quốc gia HN, 1998 – 1999) Giải: x + y ≥ 2xy Do x + y + z ≥ z + 2xy nên ⇒ z2 z2 ≥ z + 2xy x + y + z y2 y2 ≥ y + 2xz x + y + z Tương tự: x2 x2 ≥ x + 2yz x + y + z ⇒ P ≥1 P = x = y = z > A= (x Bài 38 Tìm GTLN GTNN (THPT chuyên Ngoại ngữ, 1999 – 2000) Giải: A= x4 +1 x + 2x + − 2x 2x = − ≤1 x + 2x + ( x + 1) + 1) ⇒ max A = x = A = 1− Với x≠0 ta có ≥ 1− ⇒ A = x + ÷+ x = 1 x = ⇒ x = ±1 x x, y, z < Bài 40 Cho x, y, z số thực dương; 1 x + y2 + z + + ≥ + 2− x 2− y 2−z 2 CMR: Giải: Ta có: x2 x2 x = − ≥ − = 1− 2 x +1 x +1 2x = ⇒ 2−x x2 + ≥ 2−x y2 + 1 z2 + ≥ ; ≥ 2−y 2−z Tương tự: Cộng theo vế bđt ta đpcm [...]... 3 x 1 + x 2 + x 3 thì: VD2: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 1 1 + 2 x +y xy 2 (THPT Chuyên Ngoại ngữ, 2006 – 2007) Giải: A= 1 1 1 4 1 + + ≥ + 2 2 x + y 2xy 2xy ( x + y ) 2xy 2 1 ≥2 2xy Dễ thấy Khi đó A ≥ 4+2 = 6 ⇒ min A = 6 khi x = y = 1 2 V Kĩ thuật đổi biến số BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 1 1 + + =1 x y z x, y, z > 2 Bài 21 Cho và ( x − 2) ( y − 2) ( z... VD1: Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của A= a+b ab + ab a + b Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại Sơ đồ điểm rơi a + b 2a 2 α ab = αa = α a=b⇔ ab = a = 1 a + b 2a 2 ⇒ 2 1 = ⇒α=4 α 2 Giải: a+b ab 3 ( a + b ) A = + ÷ ÷+ 4 ab a + b 4 ab Dấu ≥2 a + b ab 3.2 ab + 4 ab a + b 4 ab = 1+ 3 5 = 2 2 "=" xảy ra ⇔a=b BÀI TẬP Bài 30 Cho 2 số thực... (theo Bu-nhi-a) ⇒ 4 − a 2 + 4 − b2 + 4 − c2 ≤ 3 3 VIII Kĩ thuật hạ bậc VD1 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn A =a +b +c 2 2 a + b +c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 Phân tích a 2 , b 2 , c2 Do sự chênh lệch về số mũ của a 2 , b 2 , c2 và a, b, c nên ta sử dụng Cauchy để hạ bậc a 2 , b 2 , c2 Ta cần sử dụng Cauchy cho với cùng 1 số dương khác để làm xuất hiện a, b, c Do a, b, c đóng vai trò như nhau... 10 Bài 35 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Tìm GTNN của A = 4a 2 + 6b 2 + 3c 2 Giải: Áp dụng Cauchy ta có 4a 2 + 4 ≥ 2 4a 2 4 = 8a 8 8 6b 2 + ≥ 2 6b 2 = 8b 3 3 3c 2 + 16 16 ≥ 2 3c 2 = 8c 3 3 Cộng theo vế 3 bđt trên ta được 8 16 4a 2 + 6b 2 + 3c2 + 4 + + ≥ 8 ( ab + bc + ca ) 3 3 = 24 ⇒ 4a 2 + 6b2 + 3c 2 ≥ 12 Vậy 2 4 min A = 12 khi a = 1; b = ;c = 3 3 Bài 36 Cho 2 số thực... b2 + c2 a2 3a 2 + + a2 b2 + c2 b2 + c2 3a 2 ≥ 2+ 2 2 b +c ≥ 2 + 3 (do b 2 + c 2 ≤ a 2 ) =5 ⇒ min P = 5 khi b = c = a 2 IV Kĩ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kĩ thuật ghép cặp nghịch đảo ta sử dụng bất đẳng thức sau: Với n∈N x1`; x 2 ; ; x n > 0 và thì 1 1 1 + + + xn x1 x 2 ( x `1 + x 2 + + x n ) 1 1 n2 + + ≥ x1 x n x1 + + x n hay (+) Chứng minh bđt trên x1`; x 2 ; ; x n > 0 Ta có: Với thì... c ) − 3 ⇒ a 2 + b2 + c2 ≥ 3 ⇒ đpcm a, b, c > 0 Bài 14: Cho CMR 1 1 1 a+b+c + 2 + 2 ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc 2 Ta có: a+b+c 1 1 1 1 = + + ÷ 2abc 2 bc ac ab 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + ÷+ + ÷+ + ÷ 4 ab ac 4 ab bc 4 bc ac 1 1 1 1 ≥ + + 2 a bc 2b ac 2c ab ≥ 1 1 1 + 2 + 2 a + bc b + ac c + ab 2 ⇒ đpcm Bài 16 Cho 3 số dương a, b, c CMR 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 3 + + ÷ a b... Bài 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 1 1 1 + 3 + 3 x ( y + z) y ( x + z) z ( x + y) 3 x, y, z > 0 với xyz = 1 và Giải: a= 1 1 1 ;b = ;c = x y z Đặt ⇒ abc = 1 =1 xyz x + y = c ( a + b ) ⇒ y + z = a ( b + c) x + z = b ( a + c ) A= Khi đó a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b 2 (theo bài 11) mà a +b+c 3 3 3 ≥ abc = 2 2 2 ⇒A≥ 3 2 Bài 26 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xy 2 z 2... từng vế các bđt trên ta được đpcm Bài 17 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a 2 + 2b 2 ≤ 3c 2 CMR: 1 2 3 + ≥ a b c (THPT chuyên – TPHCM, 2010 – 2011) Giải Ta có: 1 2 1 1 1 9 + = + + ≥ a b a b b a + 2b a + 2b ≤ 3 ( a 2 + 2b 2 ) Ta cm: ⇔ ( a + 2b ) ≤ 3 ( a 2 + 2b 2 ) 2 ⇔ 2( a − b) ≥ 0 2 (luôn đúng) ⇒ 1 2 9 9 3 + ≥ ≥ ≥ a b a + 2b 3 ( a 2 + 2b2 ) c a, b,c > 0 Bài 18 Cho P= CMR: thỏa mãn abc = 1 1 1 1 1 +... 3 a + b + 1 ac ( a + b + c ) 3 Vậy 1 c a b P ≤ + + 2 abc ( a + b + c ) abc ( a + b + c ) abc ( a + b + c ) = ⇒P≤ ÷ ÷ 1 2 1 2 x 3 + y3 + 6xy ≤ 8 Bài 19 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 1 3 + + xy 2 x +y xy 2 Giải: x 3 + y3 + 6xy ≤ 8 Ta có: ⇔ ( x + y ) − 8 − 3xy ( x + y ) + 6xy ≤ 0 3 ⇔ ( x + y − 2 ) ( x 2 + y2 − xy + 2x + 2y + 4 ) ... + b2 + c2 + ≥ ( a + b + c ) = 3 3 3 ⇒ a 2 + b2 + c2 ≥ 1 3 VD2 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 "=" a =b=c= xảy ra khi 1 3 CMR: 10a 2 + 10b 2 + c2 ≥ 4 Giải: Áp dụng Cauchy ta có 8a 2 + c2 c2 ≥ 2 8a 2 = 4ac 2 2 8b 2 + c2 ≥ 4bc 2 2a 2 + 2b 2 ≥ 4ab ⇒ 10a 2 + 10b 2 + c 2 ≥ 4 ( ab + bc + ca ) = 4 BÀI TẬP a, b,c > 0 Bài 34 Cho CMR: thỏa mãn ab + bc + ca = 5 3a 2 + 3b 2 + c 2 ≥ 10 Giải: