Đang tải... (xem toàn văn)
Bao gồm các phương pháp chứng minh bất đẳng thức với phần bài tập và hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu để các em có một định hướng tốt trong quá trình ôn luyện. Ngoài ra còn có phần nâng cao cho các em tự luyện nhằm nâng cao tính tự giác
Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang Chỉnh sửa văn – cho trình bày giống sách Những công thức đánh máy trực tiếp word, cop vào Mathtype sau cop lại vào word) cho chuẩn mathtype Những công thức đánh không chuẩn theo Mathtype (dấu + – gần, đánh cách insert, cháu đánh lại Căn chỉnh theo thứ tự, lề, khoảng cách, dấu trừ, dấu chấm … (cháu tham khảo google cách đánh văn chuẩn) Chú ý Khi cop vào Mathype, kick đúp vào Style Function, chọn Factory seting để thành chuẩn Phần 1Phương pháp biến đổitương đương A Sử dụng trực tiếp định nghĩa i Nội dung phương pháp A ≥ B ⇔ A −B ≥ (cut công thức vào Mathtype sau cop lại) Muốn chứng minh ta cần xét hiệu A−B Nếu A−B≥ A≥B Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang Kĩ thuật chủ yếu chứng minh A−B≥ biến đổi thành tổng bình phương,, phép nhóm số hạng, phép nhân liên hợp quy tắc xét dấu nhị thực bậc nhất, tam thức bậc hai đa thức Một số tính chất a > b ⇔ ac > bc c>0 1) a > b ⇔ ac < bc c>0 a < b; c < d ⇒ a + c < b + d 2) (cộng vế với vế bất đẳng thức) a > b > c > d > ⇒ ac > bd 3) (nhân vế với vế) 2 a >b≥0⇒a >b 4) (bình phương hai vế) a > b ⇒ a > b2 Hệ quả: a >b>0⇒ 5) 1 1 < ;a < b < ⇒ > a b a b (nghịch đảo) a < b ⇔ −b < a < b; 6) a > 0; x > y ⇒ a x > a y 7) Nếu a >b a >b⇔ a < −b Một vài BĐT thông dụng Với a, b, c tùy ý ta có: a + b2 ≥ 2ab a=b 1) Dấu “=” xảy a = b = c a + b + c ≥ ab + bc + ca 2) Dấu “=” xảy a, b > 3) Với ta có: 1 1 ( a + b ) + ÷ ≥ ⇔ + ÷ ≥ a b a b a+b Ví dụ minh họa Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang Cho Bài Ta có hiệu abc = a > 36 Chứng minh Giải a2 + b + c > ab + bc + ac a2 + b + c − ab − bc – ac = b + c2 − ab − bc – ac = ( b + c − ab – ac + 2bc) + 3bc a a − 36abc = − b − c÷ + 12a 2 = a a − 36abc − b − c + >0 ÷ 12a 2 Vậy (vì a2 + b + c > ab + bc + ac abc = a > 36 nên a >0 ) (như không chuẩn) Điều phải chứng minh Bài x, y ≥ a) Cho 1 + ≤ 2 + xy 1+ x 1+ y xy ≤ ( *) Chứng minh 1 + + ≤ 3 + xyz ≥ x, y, z ≥ 1+ x 1+ y 1+ z b)* Cho Chứng minh Lời giải: b) Ta có 1 + x + y2 + = + x + y2 + x + y2 + x y2 = ( + xy ) + ( x − y ) ( + xy ) + ( x − y) 2 ≤ ( + xy ) ( + xy ) = + xy Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang ( *) Vậy Dấu "=" x=y xảy ( *) c) Áp dụng BĐT ta thu 1 + ≤ 3 + x + y + x y3 1 + ≤ + z + xyz + xyz 1 2 + + x y3 + xyz 2.2 ÷≤ = ÷ + x y z + xyz Cộng vế theo vế BĐT giản ước ta thu BĐT cần chứng minh Dấu x=y=z "=" xảy 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y + xy Ta có 1 1 + ≥ − − 2 ⇔ + x + y + y + xy xy − x xy − y + ≥0 2 ⇔ + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) x( y − x) y( x − y) + ≥0 2 ⇔ + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ⇔ ) ( ) ( y − x ) ( xy − 1) ≥ (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) xy > BĐT cuối Vậy ta có điều phải chứng minh a , b, c Bài Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang ab + bc + ca ≤ a + b + c < ( ab + bc + ca ) Hướng dẫn: Ta có ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) = a ( b + c − a ) + b ( c + a − b ) + c ( a + b − c ) > a , b, c (do độ dài ba cạnh tam giác) (a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = 1 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Bài xyz = 1 1 x + y + z < x+ y+ z x, y, z Chứng minh có ba số (đề thi Lam Sơn 96 − 97 lớn ) Giải: ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = xyz + ( xy + yz + zx ) + x + y + z − Xét 1 1 1 = ( xyz − 1) + ( x + y + z ) − xyz ( + + ) = x + y + z − ( + + ) > x y z x y z 1 + + < x+y+z x y z (vì theo gt) → x −1 , y −1 , z −1 số x − , y − 1, z − âm ba số dương x, y, z > 1x.y.z > Nếủ trường hợp sau xảy x.y.z = Mâu thuẫn gt bắt buộc phải xảy x ,y ,z trường hợp tức có ba số số lớn a, b, c > Bài Cho Tổng ôn BĐT a) Chứng minh Thầy Hồng Trí Quang a − ab + b − ≤ ≤ a + ab + b a +b+c =3 b) Thi Olympic lớp 10 – Chu Văn An HN Cho a3 b3 c3 M= + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a N= Hướng dẫn Sử dụng biểu thức phụ , Tìm GTNN M b3 c3 a3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Chứng minh M=N≥ a+b+c Hướng dẫn: Tương tự Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Bài biểu thức: M = Lời giải: Vì M= = a≥b≥c a≥b≥c 3a – 4b + c = Tìm giá trị nhỏ a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 − − c a b nên: a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 a2 − b2 b2 − c2 c2 − b2 + b2 − a2 − − = − − c a b c a b 1 1 1 1 (a − b ) + + (b − c ) − ≥ c b b a M=0 a = b Vì 3a – 4b + c = nên a = b = c Vậy giá trị nhỏ M Tự luyện Tổng ôn BĐT Với a, b, c tùy ý ta có: Bài 1) 2) a + b ≥ 2ab a, b, c > Cho xảy Dấu “ =” a=b xảy a = b = c Chứng minh rằng: a +b ≥ a b+b a 3) “ =” Dấu a + b2 + c ≥ ab + bc + ca Bài 1) Thầy Hồng Trí Quang 2 2) 1 + ≥ a b a+b 4) a b + ≥2 b a 1 + + ≥ a b c a +b +c a, b > Cho Bài Chứng minh rằng: 1) a + b ≥ a b + b3a ( ) ; 2) ( ) a3 + b3 ≥ ( a + b ) a + b ≥ 2ab ( a + b ) 3) ( 2 a +b ) ≥ a+b ≥ 4) ab 5) 6) x +1 Cho Bài 10 −1 ≤ x Chứng minh x +1 x ≥ −1 Lời giải: Do nên x2 + x2 + ≤ a b2 + ≥ a+b b a 1 a + ÷ b + ÷ ≥ b a a − ab + b2 − ≤ ≤ a + ab + b ( *) ≤ Ta có ( *) ( x + 1) ⇔ − ( x − 1) 2x 2x 2x − x − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤0⇔ ≤0 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x2 +1 2 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang ( *) Vậy Bài 11 Dấu "=" xảy x = a, b ≥ a Cho Chứng minh a + ab + b ≥ ( a + b ) ( *) a + ab + b + b + bc + c + c2 + ca + a ≥ ( a + b + c ) a, b, c ≥ b Cho Chứng minh Lời giải: ( *) ⇔ ( a + ab + b ) ≥ ( a + b ) ⇔ ( a − b) ≥ a Dấu "=" xảy a = b b Áp dụng BĐT câu a, ta dễ dàng có đpcm Bài 12 a Cho a ≥ a−2 ≤ a 2 ( *) Chứng minh a ≥ 1, b ≥ 4, c ≥ b Cho Chứng minh a −1 b−4 c − 11 + + ≤ a b c 12 HD: ( *) ⇔ a) Dấu a −2 ≤ ⇔ a − ( a − 2) ≥ ⇔ ( a − 4) ≥ a "=" xảy a = Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang b) Tương tự cách chứng minh trên, ta có Từ thu đpcm Dấu M= a , b, c > Bài 13 Cho "=" M =N≥ Chứng minh a −1 ≤ ; a b−4 ≤ ; b c−9 ≤ c a = 2, b = 8, c = 18 xảy a2 b2 c2 b2 c2 a2 + + N = + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a a +b+c Lời giải: Ta có M −N = a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 + + a+b b+c c+a = ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a) = x2 + y ≥ Lại có theo BĐT ( x + y ) ∀x, y a + b2 b2 + c2 c2 + a 1 M +N = + + ≥ ( a + b) + ( b + c) + ( c + a ) = a + b + c a+b b+c c+a 2 "=" a = b = c Do ta có đpcm Dấu xảy a, b, c ∈ [ −1; ] a + b + c = Bài 14 Cho thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: a ≤a+2 a) a2 + b2 + c2 ≤ b) a, b, c ∈ [ 0; ] a + b + c = a + b2 + c2 ≤ Bài 15 Cho Chứng minh rằng: ( x − 2) ( y − 2) ( z − 2) ≤ ⇔ x2 + y + z ≤ ( x + y + z ) − xyz − HD: Tổng ôn BĐT Cho Bài 16 Thầy Hồng Trí Quang a + b + c ≠ Chứng minh a + b3 + c − 3abc ≥0 a+b+c Ta có a + b3 + c − 3abc 2 = ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ a+b+c ∀a, b, c, d ∈ R Chứng minh Bài 17 a + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) +(b+ d) ( *) Lời giải: Do hai vế không âm nên bình phương hai vế ta ( *) ⇔ a + b + c + d + ⇔ (a (a + b2 ) ( c + d ) ≥ a + b2 + c + d + 2ac + 2bd + b ) ( c + d ) ≥ ac + bd ( **) Có khả xảy ac + bd < ac + bd ≥ ( **) ( *) Khi hiển nhiên Khi ( **) ⇔ a c + a d + b2c + b d 2 ≥ a 2c + b d + 2abcd ⇔ a d + b 2c ≥ 2abcd ⇔ ( ac − bd ) ≥ ( *) Vậy Dấu "=" xảy ac = bd a, b, c ≥ Bài 18 Cho Chứng minh 10 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang Giải: x = a, y = b, 2a − b = Phân tích: Giả sử T đạt giá trị nhỏ α,β Ta cần tìm cho: x + ( y + 1)2 = α +β Để dấu “=” xảy (α + β ) x + ( y + 1)2 ≥ α β = ⇒ a b +1 α +β2 [ α x + β ( y + 1)] α = a, β = b + chọn α = a, β = b + Tương tự Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x + ( y + 1)2 ≥ x + ( y − 3)2 ≥ Từ có: a + (b + 1)2 a + (b − 3)2 [ ax + (b + 1)( y + 1)] [ ax + (b − 3)( y − 3)] a a b +1 b −3 T ≥ + + x+ y a + (b + 1) a + (b − 3) a + (b + 1) a + (b − 3) b +1 3.(3 − b) ÷ + + a + (b + 1) a + (b − 3) ÷ Chọn a,b cho: a a b +1 b−3 + + = −2 2 2 2 a + (b + 1) a + (b − 3) a + (b + 1) a + (b − 3)2 2a − b = 2 a= ⇔ b = − 77 Tổng ôn BĐT T≥ Vậy Thầy Hồng Trí Quang 12 38 x− y+ =2 25 25 25 Dấu “=” xảy x+ y+z = Bài 34 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn T = x2 + 2 x= ,y=− 3 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 1 + + y2 + + + z2 + + 2 x y y z z x thức 1 a 2 2 + + ÷ a + + ÷ ≥ + + a b a b 2 Gợi ý: Sử dụng: x+ y+z =6 Bài 35 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn T = x2 + Tìm giá trị nhỏ biểu 1 + y2 + + z2 + x+ y y+z z+x thức (4 + 12 ) a + ÷ ≥ 4a + a +b a+b Gợi ý: Sử dụng: Tự luyện Bài 36 Cho số thực x,y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = ( x + 1)2 + ( y − 1)2 + ( x − 1)2 + ( y + 1) + ( x + 2) + ( y + 2)2 Gợi ý: Vì x,y có vai trò tương đương, ta giả sử giá trị nhỏ T đạt α, β x = y = a Từ ta đưa tham số ( x + 1) + ( y − 1)2 = α2 + β2 vào sau: (α + β ) ( x + 1)2 + ( y − 1) ≥ α2 + β2 [ α ( x + 1) + β ( y − 1)] 78 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang x= y=a Dấu “=” xảy nên α β = a +1 a −1 α = a + 1, β = a − từ chọn ( x − 1) + ( y + 1) Tương tự với biểu thức: ( x + 2) + ( y + 2) α = a − 1, β = a + chọn chọn α = β =1 Áp dụng Bunhiacopxky ta có: ( x + 1) + ( y − 1) ≥ ( x − 1) + ( y + 1)2 ≥ ( x + 2) + ( y + 2) ≥ Từ ( a + 1) + (a − 1) ( a − 1) + (a + 1) 2 [ (a + 1)( x + 1) + (a − 1)( y − 1) ] [ (a − 1)( x −1) + ( a + 1)( y + 1) ] [ 1.( x + 2) + 1.( y + 2) ] 2a T ≥ + +2 ( x + y) + 2(a + 1) 2( a + 1) 2a 2(a + 1) 2 + Chọn a cho 1 =0⇔a=− T ≥ +2 ⇔ x = y = − Vậy Bài 37 Cho số thực x,y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = ( x − 1) + ( y + 1) + ( x − 3) + ( y + 3) + x + ( y + 4) 79 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang Gợi ý: Tương tự chọn x = a y = a-4 Từ ta có T ≥ 6+2 ⇔ x= 6− −6 − ,y= 3 x − y = 11 Cho số thực x,y thỏa mãn Bài 38 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x + y − x + y + 25 + x + y − x + T = ( x − 3) + ( y + 4) + ( x − 3) + y Gợi ý: Viết lại Tương tự ví dụ chọn x,y cho T ≥2 5⇔ x= x = a, y = b, 2b − a = Kết Bài 39 11 11 ,y=− 3 Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : bc ac ab + + a (b + c ) b (a + c) c (a + b) P= Lời giải : Đặt x = a ;y= b ;z= c x, y , z > xyz = Khi x2 y2 z2 x + y + z 33 xyz + + ≥ ≥ = y+z z+x x+ y 2 P= xyz = ( BĐT Cauchy cho số dương, kết hợp với giả thiết Min P = x = y = z =1 , tức ) a = b = c = Dạng khác 5x + 5y - 5x - 15y + £ Bài 40 Cho x, y số thực thỏa mãn: Tìm gá trị lớn 80 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang x + y + giá trị nhỏ biểu thức: t = x + y HD: sử dụng Bunhia đưa tam thức bậc hai ẩn Bài 41 **Đề đề nghị IMO Ba Lan x + y2 + z = Chứng minh x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức sau x + y + z ≤ + xyz Bài giải x + y2 + z2 x(1 − yz) + y + z ≤ Biến đổi BĐT cần cm dạng đánh giá thông qua tổng [ x(1 − yz) + y + z] ≤ ( x + y + z ) ( + (1 − yz) ) Nếu áp dụng trực tiếp: không thành công ( y + z) x = y = 1, z = Để ý: Dáu [ x(1 − yz) + y + z ] hoán vị Như vậy, chọn số hạng ≤ ( x + (y + z) ) ( + (1 − yz) ) (x + (y + z)2 ) ( + (1 − yz) ) ≤ ⇔ 2(1 + yz)(2 − 2yz + y z ) ≤ Bây giờ, ta chứng minh y3z ≤ y z Rút gọn: ta có = x + y + z ≥ y + z ≤ 2yz Điều đúng, Dấu xảy ba số 1, số lại Bài 42 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ 1+ b 1+ c 1+ a 81 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang ( a + b + c) HD VT ≥ ( a + b + c) ≥ + a + b + c 2( a + b + c) 2 ≥ AM GM + Cauchy sharch P= Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ ab ≤ Áp dụng AM GM P≥∑ Tương tự + a3 + b3 + c3 + + a + ab + bc + ca a + b3 + b a + 2b a + 2b3 + + a3 3(1 + a ) = ⇒ + ab ≤ ⇒ ≥ 3 + ab a + 2b3 + 3(1 + a ) a + 2b3 + a = x; b3 = y; c = z ( x, y , z > 0) Đặt Áp dụng Cauchy – schwarz 3(1 + x) 3( x + y + z + 3)2 3( x + y + z + 3) ∑ ( x + y + 3)( x + 1) ≥ ( x + y + z )2 + 6( x + y + z ) + = ( x + y + z + 3)2 = x = y = z hay a = b = c Dấu xảy xy + xv + yu + uv xy uv ≥ + x+ y +u +v x+ y u +v x, y, u , v > Bài 43 Bunhia Cho ⇔ Chứng minh rằng: ( x + u )( y + v) xy uv ≥ + x+ y+u+v x+ y u+v HD BĐT ⇔ x+u − ( x + u )( y + v) xy uv ≤ x− +u− x+ y +u +v x+ y u+v 82 Tổng ôn BĐT ⇔ Thầy Hồng Trí Quang x2 u2 ( x + u )2 + ≤ x+ y u +v x+ y +u +v Bài 44 Cho a, b, c > thỏa mãn: 1 + + ≥1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 Cmr: a + b + c ≥ ab + bc + ca HD Áp dụng BCS có: ( a + b + 1) ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) → → Bài 45 ( a + b + c ) + a + b2 + c2 ( a + b + c) a + b + c2 ( a + b + c) ≥ a + b +1 ≥ → ĐPCM Đề thi thử chuyên KHTN vòng – 2015 Cho ba số dương x, y, z có tổng Chứng minh rằng: x2 y y2 z z2x + + ≤ 4x + 5z y + 5x 4z + y Sử dụng BĐT Cachy – Schawarz ta có: x y z VT ≤ ( xy + yz + zx) + + ÷ x + 5z y + 5x 4z + y Ta đưa toán chứng minh: Hay x y z ( xy + yz + zx) + + ÷≤ x + 5z y + 5x z + y x y z q + + ÷≤ x + 5z y + 5x 4z + y 0 a b c a b c 6045 = 2015 6045 ⇔ a=b=c= x + y + 3z = Cho x, y, z số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện Bài 1≤ x ≤ xy + yz + xz = Chứng minh 7 ≤y≤ ≤z≤ ; ; Lời giải t = y, s = z Đặt Từ giả thiết có x+t + s = xt + st + sx = (1) ≤ x, t , s ≤ Khi điều cần chứng minh tương đương với: Từ BĐT quen thuộc 2ts ≤ t + s 4ts ≤ (t + s ) = (5 − x) , suy 86 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang = xt + ts + sx = x ( t + s ) + ts ≤ x ( − x ) ( − x) + Bởi 4.8 ≤ 4.x ( − x ) + ( − x ) Từ ⇒ 3x − 10 x + ≤ ⇒ ( x − 1) ( 3x − ) ≤ ⇒1≤ x ≤ Khẳng định toán chứng minh (2 + a)(1 + b) = a, b ∈ R Bài Cho thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 + a + + b a + b + c + d ≥ ( a + c) + (b + d ) C/M : Dấu xẩy khi: a b = c d a2 a2 p (a + 4b )2 = + ÷ + + b4 ≥ + + b2 ÷ = + 16 4 Áp dụng (1) ta có : (1 + 2a)(1 + b) = Mặt khác: Mà: a + 2b + ab = 2⇔ (2) a + ≥ 2a 3( a + 4b ) b + ≥ b ⇒ + ≥ 2a + 4b + 2ab ⇒ a + 4b ≥ a + 4b ≥ 2ab (3) 87 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang p ≥ 17 Từ (1) (3) suy ra: Vậy: Dấu “=” xẩy khi: MinP = 17 Đạt a =1 b= a =1 b= Công thức tổng Abel ứng dụng a1 ; a2 ; an Công thức tổng Abel Giả sử b1 ; b2 ; bn hai dãy số thực Khi ta có: a1b1 + a2b2 + + anbn = (b1 − b2 ) S1 + (b2 − b3 ) S + + (bn −1 − bn ) S n −1 + bn S n Sk = a1 + a2 + + ak Trong đó: ak = S k − S k −1 Chứng minh: Ta việc thay Ta tập trung vào trường hợp vào VT ta có ĐPCM n = ax+by+cz = ( x − y) a + ( y − z )( a + b) + z ( a + b + c) ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ABEL b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn a1 , a2 , , an Cho hai dãy số thực: S k = a1 + a2 + + an k ∈ {1, 2, , n} Với M = max{S1; S ; , S n } Giả sử , đặt m = min{S1; S2 ; , Sn } Khi đó: m.b1 ≤ A = a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ M b1 x≥ y≥z≥0 Bài Cho ba số x ≥ 3; x + y ≥ 5; x + y + z ≥ thỏa mãn: Chứng minh rằng: x + y + z ≥ 14 88 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang x + y + z − (9 + + 1) = ( x − 3)( x + 3) + ( y − 2)( y + 2) + ( z − 1)( z + 1) HD = ( x − 3)( x + − y − 2) + ( x + y − 5)( y + − z − 1) + ( z − 1)( x + y + z − 6) x ≥ 3; xy ≥ 6; xyz ≥ Bài Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng: x+ y+ z ≥6 HD x y z x + y + z − = − 1÷+ − 1÷+ − 1÷ 3 1 y x y z x x = (3 − 2) − 1÷+ (2 − 1) − + − 1÷+ − + − + − 1÷ 3 3 3 x < y < 3z Bài Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x ≥ 1; x + y ≥ 3; x + y + z ≥ 6( xy + yz + zx) ≤ 11xyz Chứng minh rằng: 1 1 x −1 y − z − 1− + − + − = + + x y z x 2y 3z HD 1 1 = ( x − 1) − ÷+ ( x − + y − 2) − ÷+ ( x + y + z − 6) 3z 2y x 3z y x ≤ 1; x + y ≤ 6; x + y + z ≤ 14 Bài Cho x, y, z số không âm thỏa mãn: Chứng minh x+ y+ z ≤6 rằng: 0≤ x≤ y≤ z Bài Cho a a b a b c ≤ 1; + ≤ 2; + + ≤ x x y x y z a , b, c ≥ thỏa mãn: Chứng minh a+ b+ c≤ x+ y+ z rằng: 89 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang a ≥ 1; a + b ≥ 2; a + b + c ≥ Bài 10 Cho a, b, c dương cho: Chứng minh rằng: 1 1 a + b + c ≥ 1 + + ÷ 4 3 a ≥ b ≥ 1; a ≤ 3; ab ≤ 6; ab ≤ 6c Bài 11 Cho a, b, c dương cho: Chứng minh rằng: a+b−c ≤ < a ≤ b ≤ c; c ≥ 9; a + Bài 12 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: a+ b≤ c < c ≤ ≤ b ≤ a; c + Bài 13 b c b c + ≤ 3; + ≤ 9 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn: ≤ 2; + + c ≤ b a b 1 −1 + − ≤ a b c Chứng minh rằng: Chuyên KHTN V1 – 2012 Bài 14 a ≤ b ≤ ≤ c; c ≥ b + 1; a + b ≥ c Cho a,b,c dương thỏa mãn Q= Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2ab + a + b + c(ab − 1) (a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài tự luyện 90 Tổng ôn BĐT Thầy Hồng Trí Quang x≥ y≥z a ≥ b ≥ c; Bài 15 Cho a ≥ x; a + b ≥ x + y; a + b + c ≥ x + y + z cho Chứng a k + bk + ck ≥ x k + y k + z k minh với số nguyên dương k ta có: 0< x≤ y≤ z Bài 16 Cho a b c b c c + + ≤ 3; + ≤ 2; ≤ x y z y z z a, b, c > thỏa mãn: n Chứng minh a+nb+nc≤n x+n y+n z với n số nguyên dương ta có: c ≥ 2; a + a , b, c > Bài 17 Cho thỏa mãn: b b c ≥ 3; + ≥ 2; ≥ 2 c Chứng minh rằng: a + b2 + ≥ c x≥ y≥z>0 Bài 18 Cho a, b, c > a ≥ x; ab ≥ xy; abc ≥ xyz cho: Chứng minh rằng: a+b+c ≥ x+ y + z ax < by < cz Bài 19 Cho số dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn: 1 1 1 + + ≤ + + a b c x y z a ≥ x, a + b ≥ x + y , a + b + c ≥ x + y + z Bài 20 Chứng minh rằng: x ≥ y ≥ z a ≤ x; a + b ≤ x + y ; Cho số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn: ; a + b3 + c3 ≤ x3 + y + z Bài 21 ; a6 + b6 + c6 ≤ x6 + y + z Chứng minh rằng: x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ; y1 ≤ y2 ≤ ≤ yn Cho n số nguyên dương hai dãy số thực thỏa x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn mãn: Giả sử với cặp số thực m, số cặp (i, j) mà xi − x j = m yk − yl = m số cặp (k, l) mà xi = yi ∀i = 1, n Chứng minh rằng: 91 [...]... a Cho Chứng minh rằng a, b, c > 0 b Cho Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 3 3 + 3 ≤ ( *) 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức ở câu a là đơn giản Bất đẳng thức ở câu b là hệ quả của câu a Cụ thể hơn VT ( *) ≤ Dấu Bài 17 a) "=" 1 1 1 1 + + = ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) abc xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: a... ⇔ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) + + ÷≥ 9 a+b b+c c+a x = a + b, y = b + c, z = c + a Đặt ta sẽ thu được BĐT a +b+c =3 *Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương bất kì thỏa mãn 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 3 b + 3 c + 3 Bài 12 HD thay a +b+c =3 thì: vào vế phải Bổ đề 3 .Bất đẳng thức hoán vị a; b; x; y > 0 Cho Chứng minh rằng a 3 + b3 ≥ ab ( a + b ) i) a ≥ b > 0; x... 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 ( n − 1) n 1 1 1 1 1 1 1 + 1 − ÷+ − ÷+ + − ÷< 2 − < 2 n 2 2 3 n −1 n Bài 5 a) b) (đpcm) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 1 1 5 + +…+ > 1001 1002 2000 8 1 1 1 1 1 1 2 − + − +…− + < 2 3 4 5 99 100 5 1 1 3 5 99 1 < … < 10 2 2 4 6 100 12 c) d) 1 1 1 1 3 a +b b+c c+a a +b+c Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 1 VT − VP = − − − ÷+ ÷+ ÷> 0 a +b a +b +c b +c a +b +c c + a a +b +c 0< x≤ y≤ z Chứng minh rằng nếu Bài 26 thì: 1 1 1 1 1 y + ÷+ ( x + z ) ≤ + ÷( x + z ) x z y x z HD: Quy đồng, biến đổi về tích thừa số không âm ∀t ∈ [ −1;1] chứng minh rằng: Bài 27 2 − t2 ≤ 1+ 1+ t2 ≤ 1− t + 1+ t Chứng minh. .. 20 Cho ab Chứng minh rằng: ( ⇔ c− HD: Bình phương hai vế BDT ( a − c) ( b − c) ) 2 ≥0 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 Bài 21 Cho x −1 + x Chứng minh rằng y−2 z −3 1 1 1 + ≤ + + y z 2 2 2 2 3 Hướng dẫn: Tương tự Cụ thể ta có x −1 1 y − 2 1 z −3 1 ≤ ; ≤ ; ≤ x 2 y z 2 2 2 3 11 Tổng ôn BĐT Dấu "=" Thầy Hồng Trí Quang ↔ x = 2, y = 4, z = 6 xảy ra a, b, c Bài 22 Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng... 4abc ≤ Đo đó: = 25 − 2(ab + bc + ca) + 4abc 32 25 1 1 25 1 9 + (2a − 1)(2b − 1)(2c − 1) − (a + b + c) + ≤ −1+ = 32 2 2 32 2 32 Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau Đôi khi, việc ta sử dụng những BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ Phần 2 Áp dụng BĐT phụ Bổ đề 1 a, b, c Cho là các số thực Chứng minh rằng: a 2 + b 2 ≥ 2 ab i) ii) iii) a 2 + b 2 + c 2... 2 2 3 và 3 3 Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng: a 2b ( a − b ) + b 2 c ( b − c ) + c 2 a ( c − a ) ≥ 0 ( bc; ca; ab ) , ( a 2 + bc; b2 + ac; c2 + ab ) Hướng dẫn Bài 19 Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a +b b+c c+a b+c c+a a +b HD : VT ≤ a b c + + < VP b+c c+a a+b a, b, c > 0 Bài 20 Cho Chứng minh rằng: a 2 − b2 b2 − c 2 c 2 − a 2 + + ≥0 b+c... Cho Bài 3 Chứng minh rằng 2< a+b b+c c+d d +a + + + 0 Vì nên ta có a+b a +b a+b+d < < a +b+c +d a +b +c a +b+c +d b + +c b+c b+c+a < < a+b+c+d b+c+d a +b+c+d d +a d +a d +a+c < < a +b +c + d d +a +b a +b +c + d (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : 2< Bài 4 a+b b+c c+d d +a + + + AB = ; 2 4 6 100 3 5 7 99 100 Quy nạp: 1 3 5 2n − 1 … < 1/ 3n + 1 246 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 3n 1 1 1 + + +…+ = + ÷+ + ÷+…+ + ÷ < ( n + 1) 2 n n +1 2 n 2 n 2 n