9 phương pháp chứng minh bất đẳng thức (minh họa chi tiết)

Bao gồm các phương pháp chứng minh bất đẳng thức với phần bài tập và hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu để các em có một định hướng tốt trong quá trình ôn luyện. Ngoài ra còn có phần nâng cao cho các em tự luyện nhằm nâng cao tính tự giác

Chỉnh sửa văn bản – sao cho trình bày giống trong sách

1 Những công thức nào đánh máy trực tiếp trên word, cop vào Mathtype sau đó cop lại vào word) cho chuẩn mathtype

2 Những công thức nào đánh không chuẩn theo Mathtype (dấu + hoặc – quá gần, đánh

bằng cách insert, cháu đánh lại

3 Căn chỉnh theo đúng thứ tự, lề, khoảng cách, dấu trừ, dấu chấm … (cháu tham khảo

google cách đánh văn bản chuẩn)

Chú ý Khi cop vào Mathype, kick đúp vào Style Function, chọn Factory seting để thành chuẩn

Phần 1Phương pháp biến đổitương đương

A. Sử dụng trực tiếp định nghĩa

i. Nội dung của phương pháp A B≥ ⇔ − ≥A B 0

(cut công thức này vào Mathtype sau đó cop lại)

Muốn chứng minh ta chỉ cần xét hiệuA B−

NếuA B 0− ≥

thì A B≥

Kĩ thuật chủ yếu khi chứng minh A B 0− ≥

là biến đổi thành các tổng bình phương,, phép nhóm các số hạng, phép nhân liên hợp và quy tắc xét dấu của nhị thực bậc nhất, tam thức bậc hai và đa thức

và c d 0> > ⇒ >ac bd

(nhân vế với vế)4)

Bài 1. Cho abc 1=

Ta có hiệu

2 2 2

a

b + −c ab bc ac−+

( )

*1

x + + ≥ +

21

11

1

2 2

11

11

11

1

2 2

2

≥++

−+

++

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

)(1

.1

)(

2

++

−+

++

−

xy y

y x y xy

x

x y

2

≥++

+

−

−

xy y

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do

xy 1>

Vậy ta có điều phải chứng minh

( )

2 2 2 2+ + ≤ + + < + +

(đề thi Lam Sơn 96 97−

)Giải:

bắt buộc phải xảy ra

trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số

x , y , z

là số lớn hơn 1

Bài 5. Cho

a, b, c 0>

a c a

c b c

c b c

b a b

a c a

c b c

b

a2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 = 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 + 2 − 2

=

.011)(

11)

Bài 7. Với a, b, c tùy ý ta có:

x x

+ ≤+ ( )*

x x

+ ≤+

b) Tương tự cách chứng minh trên, ta có

Từ đó thu được đpcm Dấu " "=

xảy ra khi và chỉ khi

2. ac bd+ ≥0.

Khi đó( )** ⇔a c2 2+a d2 2+b c2 2+b d2 2

Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau Đôi khi, việc ta

sử dụng những BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ

2 2 2 2 2 2 3 3 3(a b)(b c)(c a)(a ab b b)( bc c )(c ca a ) a b c

a)

1 1 13

ca bc ab c b a

ca bc ab c

b a

c b a

ab ca bc c b a

++

≥++

⇔

++

≥++

⇔

++

++

≥++

⇔

2 2 2

)(

2 2 2

1

ca bc ab c b

)(ab bc ca

ca bc ab

++

++

Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c b a c b a

ca bc

2 2 2

)( + ++

++

++

Bài 8. Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

.2

9

2 2 2

2 2 2

2 2 3 3 3

≥+

+++

+++

++++

ca b

a c bc a

c b ab c

b a abc

c b a

Bổ đề 2.Cho ba số dương x, y, z Khi đó

4)(4)

(4

41

1)(11

)(

4

+++

≥+++

++

+++

⇔

≥+

+++

+++

++++

d c b a

d c d

c b a

b a

d a c b d c a c b d b a

d a

d c a c

a b c b

c d b d b a

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a b c d.= = =

Bài 10. Cho x, y thuộc

( )0 ;1 Tìm min A =

11

1

2 2

y x y x y

y x

x

+++

+

−

+

−Lời giải : Ta có

A =

2

11

11

12

11

1

11

2 2

−+

11

191

1

11

11

−+

x = +

−

11

a ab b

−

≥+ +

xảy ra khi và chỉ khi a b= .

b. Áp dụng BĐT câu a ta dễ dàng thu được BĐT cần chứng minh

xảy ra khi và chỉ khi a b c= = .

Bài 17. Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:

Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

q=

ta có:

11

Ta có

2 2 2(a b+ ) =a + +b 2ab

2( ) 4

=a2

;2

(x y z, , >0)Suy ra

y x

z

y z y x

x z

y

x

++

<

+++

<

+

2

;2

Cộng theo từng vế các BĐT trên, ta suy ra điều phải chứng minh

Bài 3. Chứng minh rằng với tam giác ABC có:

x x

y y

x

34

2

2 2 2

=+

=

⇒+ y a x y x y

x



 ≥

⇒ a 2

++

x

y y

x x

y y

x

34

2

2 2 2

Bài 6. Cho là các số thực dương, chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:

31

PHẦN 5 BẤT ĐẲNG THỨC AM GM

Chú ý 1 Dùng máy tính tìm điểm rơi và sử dụng điểm rơi

Bài 9. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

3

x y+ ≥

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 28 12

x y

Phân tích

Sử dụng Casio xác định điểm rơi

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi

Bước 1 Tìm điểm rơi

Nếu bạn nào nhẩm được điểm rơi thì ok, sang bước 2 Bạn nào chưa thì hãy bật máy tính Casio

2. Start? chọn 0, nhấp dấu “=”, End? chọn 3, Step? chọn 0.5, bấm “=”

Quan sát ở màn hình, ta thấy tại giá trị

2,

x= thì

f x =

là giá trị nhỏ nhấtKiểm tra lại bằng cách lặp lại quá trình trên

Tiếp tục quan sát màn hình, ta xác định chính xác giá trị nhỏ nhất của

để đưa về y

Thầy Hồng Trí Quang

x x

Vậy

2 23

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Dấu “=” xảy ra khi a b= .

Bài 13. Cho 2 số dương

,

x y

thõa mãn:

54

x y+ =

Tìm Min của:

4 14

11

1

2 2

2

++

≤+

++

++

−+

+

−

c b

a c

b a

c b

a

(*)

Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :

)1())(

)(

(

33

c b a b a c a c b

abc c

b a

c b

a c

b a

c

b

a

−+

−+

−+

≥

−+

+

−+

2

1))(

(b+c−a c+a−b ≤ b+c−a+c+a−b =c

Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được

)3(1))(

)(

(

))(

)(

(

≥

−+

−+

−+

−

+

c b a b a c a c

b

abc

abc c

b a b a c a

c

b

Từ (1),(3) suy ra (*) Dấu “ ”=

xảy ra khi a b c= =

hay ABC là đều

Bài 16. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

x 1x

yy

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c=4

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được

Áp dụng BĐT phụ ta có

2 2

1

1 2

xy xy

( )1;2 hoặc (− −1; 2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là – 1

Bài 21. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng

b

b + ≥2b

4c 4b

c + ≥24c

216c

8

a b+ + ≥+

2 2

⇔ + + ≥ + + P≥9

Dấu “ ”=

xảy ra khi

12

x= = =y z

PHẦN 6 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI

DẠNG 1 Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai

Bài 27.

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2

2 2

Với P=2

, phương trình (1) có nghiệm

34

Do phương trình có nghiệm nên 2( 2)

11

x x

x x

− ++ + Tìm x để P là số nguyên dương

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M với

x x 1M

51

P x P

P=khi x=–2

b) Đặt t= x

,

t³ 0 Quy đồng ta có

2(M −1)t +(M+1)t+(M 1) 0+ =

=+

x=

27

a a

Đặt

a x

32

x y

32

x y

y 2

=+

HD: bình phương hai vế, đưa về tam thức bậc hai

Bài 36. Cho x, y là số thực thỏa mãn điều kiện:

A

DẠNG 2 Dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai

( )x ax bx c

36514

4

2

2 2

−+

−

=

y

y y y

.)

Từ giả thiết ta có:

3 2

a c= = ≠

thì P=3

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3

Vai trò của x,y,z bình đẳng nên kết luận tương tự với x và y.

Mở rộng bài toán: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau:

58

Gợi ý: Viết lại là a)

2 3

; b)

3 2 3 3(3abc b− ) ≥4a c

Ôn tập BĐT sử dụng tam thức bậc hai

Bài 47. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

Đặt

2( ) 2

f t = +t t

với

2

t ≥

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

a) Tìm m để hương trình (1) có đúng hai nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

a b

Do (b) có hai nghiệm phân biệt

2

S = khi

12

m= −

8

5

zx yz xy

z y x

111

Bài 56. Cho phương trình bậc hai

(2

32

2 1

2 2

2 1

2 1

x x x

x

x x

+++

xy yz zx

=+ +

2 2 2 5

a + b +

=ab+b+a

Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai và dấu tam thức bậc hai, ta tìm được min M =2

PHẦN 7 BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA

Kỹ thuật “biến đổi thuận”:

Biến đổi biến thức ban đầu về dạng

Theo giả thiết ta có:

Bài 3. Cho a, b thuộc [0; 1] Chứng minh rằng

Kỹ thuật “biến đổi nghịch”:

Biến đổi biến thức ban đầu về dạng

Cộng vế của bất đẳng thức suy ra điều phải chứng minh.

Bài 15. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và x,y,z là các số thực Chứng minh rằng:

Bài 16. Cho x,y,z thỏa mãn

316

Bài 19. Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng:

b a y

2

)()()(

2

2 2 2

2

2 2

⇔

+

≥++

+

bx

ay

abxy x

b y

a

xy b a y x x b y

c b a z

c y

b x

a

++

++

≥+

b x

a = =

Bài 20. Cho hai số a, b, c bất kì Chứng minh rằng

.8

)(2

)(2

11

12

12

)(

11

4 2

2 2

2 2 2

2 2 4 4 4

=

+

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 21. Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

1)

(

1)

(

1

3 3

+

++

++c b c a c a b

b

a

Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng

2 2 2

c b a

= 1 ta có:

).(

2

1)(

2

)(

)()()()(

1)

(

1)

(

3 3

ca bc ab

ca bc ab b

a c

b a a c b

a c c b a

c b b a c a c b c

b

++

++

≥+

++

++

=+

++

++

Vì thế ta chỉ cần chứng minh ab bc ca+ + ≥

3 Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương

a, b, c kết hợp với giả thiết abc=1

ta suy ra điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1.

Tự luyện

Bài 24. Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

c b a a c

a c c b

c b b a

b

+

+++

++++

Bài 25. Cho các số dương x, y, z Chứng minh rằng:

a)

2

1323

23

++

+++

++

z x

z y

y z

3))(

())(

())(

(

2 2

2

≥++

+++

++

z x

y z y

y z

x y

1

c ca

b

b bc

a

a

++

≥+

−

++

−

++

−

Bài 27. Cho các số dương a, b, c, d, e Chứng minh rằng:

.2

5

≥+

++

++

++

+

e a e

d e d

c d c

b c b a

z y x x z z y y

x+ + + + + ≥ + +

92

22

Dạng thêm bớt

Sử dụng thêm bớt để đưa về các bài toán có thể chứng minh

Bài 29. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

.Sau đó dùng Cauchy chứng minh.

Kĩ thuật tham số hóa – Chọn điểm rơi

Bài 32. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn

2

x y z+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

x = Thay

23

x= = =y z

được

89

p

q = Từ đây ta có cách giải:

x= = =y z

2x y− =2 T = x2+ +(y 1)2 + x2+ −(y 3)2

Gợi ý: Vì x,y có vai trò tương đương, vậy ta giả sử giá trị nhỏ nhất của T đạt được khi

x = y = a Từ đây ta đưa tham số

,

α βvào như sau:

Dấu “=” xảy ra khi

Gợi ý: Tương tự trên nhưng chọn x = a và y = a-4 Từ đây ta có

Bài 39. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc=1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =

)()()

ab c

a b

ac c

b a

bc

+

++

++

Lời giải : Đặt x = a

1 ; y = b

1 ; z = c

1 thì

32

3 2

2 2

=

≥++

≥+

++

++

xyz z

y x y x

z x z

y z

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 41. **Đề đề nghị IMO Ba Lan

Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện

2 2 2

x +y +z =2

thì bất đẳng thức sau đúng

Dấu bằng xảy ra khi 2 trong ba số bằng 1, số còn lại bằng 0.

Bài 42. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc=1.

2 2 2 2

Bài 45. Đề thi thử chuyên KHTN vòng 2 – 2015

Cho ba số dương x, y, z có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

Đề thi chuyên Thái Bình 2015

Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca+ + =1

hay a b c+ + ≥ ≥3 3abc

Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1

Bài 2. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:

22

b=.

Bài 10. Cho a, b, c dương sao cho:

1 )(

1 (

) 1 (

2

+ +

+

− +

+ +

=

c b

a

ab c b a ab Q

Bài tự luyện