Tài liệu Chứng minh hệ thức tổ hợp (Bài tập và hướng dẫn giải) ppt

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 08 tháng 04 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 08-04 Chứng minh hệ thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh với k , n ∈ ¥ ; ≤ k ≤ n ln có: k k k k k k Cn + 4Cn −1 + 6Cn − + 4Cn −3 + Cn − = Cn + Bài 2: Chứng minh rằng: k k k k k+ k+ 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + + Cn + = Cn + 22 + Cn +33 Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: 2009 2008 k 2010 2009 S = C2010C2010 + C2010C2009 + + C2010C2010−−kk + + C2010 C10 Bài 4: Với n, k số nguyên dương ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: k− − Cn Cnk − CnCn −11 + Cn Cnk− 22 − + (−1)Cnk C0n − k = ………………….Hết………………… BT Viên môn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 08-04 Bài 1: Chứng minh với k , n ∈ ¥ ; ≤ k ≤ n ln có: k k k k k k Cn + 4Cn −1 + 6Cn − + 4Cn −3 + Cn − = Cn + Giải: Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + ( Cnk −1 + Cnk − ) + ( Cnk − + Cnk − ) + Cnk − + Cnk − = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+1 + Cnk+−11 + ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13 1 = Cnk+ + 2Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ + Cnk+−2 + Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ + Cnk+−31 = Cnk+ = VP ⇒ DPCM Bài 2: Chứng minh rằng: k k k k k+ k+ 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + + Cn + = Cn + 22 + Cn +33 Giải: Ta có : Cnk + 2Cnk + + Cnk + = Cnk + Cnk + + Cnk + + Cnk + = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22 Cnk + 3Cnk + + 3Cnk + + Cnk + = Cnk + Cnk + + ( Cnk + + Cnk + ) + Cnk + + Cnk + = Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33 ⇒ 2Cnk + 5Cnk + + 4Cnk + + Cnk + = Cnk++22 + Cnk++33 Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: 2009 2008 k 2010 2009 S = C2010C2010 + C2010C2009 + + C2010C2010−−kk + + C2010 C10 Page of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 Giải: Ta có : C k 2010 C 2009 − k 2010 − k ( 2010 − k ) ! = 2010! = 2010.2009! 2010! = k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) ! k = 2010C2009 k 2009 ⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + + C2009 + + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010 Bài 4: Với n, k số nguyên dương ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: k− k− k Cn Cnk − CnCn −11 + Cn Cn − 22 − + (−1)Cn C0n − k = Giải: k k ( + x ) = Ck + C1 x + Ck x2 + + Ck xk k ( n − m) ! k! n! n! k Ta có :C m Cn = = k m !( k − m ) ! k !( n − k ) ! m !( n − m ) ! ( k − m ) !( n − k ) ! m k −m = Cn Cn−m k k k k ⇒ Cn ( + x ) = Cn Cn + C1C k −1x + Cn C k −2 x + + Cn C n−k x k n n−1 n− 0 k k Thay x = −1 ⇒ Cn Cn − C1 C k −1 + Cn C k −2 − + (−1)Cn C n−k = ⇒ DPCM n n−1 n−2 • BTVN NGÀY 09-04 Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y cho: C xy+1 : C xy +1 : Cxy −1 = : : Giải: Page of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 Điều kiện:  Cxy+1 Cxy +1 0 ≤ y ≤ x + = (1)  y ≥1   ⇔ 0 ≤ y + ≤ x ⇔  x ≥ y +  Cxy +1 C xy −1  0 ≤ y − ≤ x = (2)    ( x + 1)! x! (1) ⇔ = ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) y !( x − y + 1)! ( y + 1)!( x − y − 1)! x! x! (2) ⇔ = ⇔ 2( x − y)( x − y + 1) = y ( y + 1) ( y + 1)!( x − y − 1)! ( y − 1)!( x − y + 1)! 5( x + 1)( y + 1) = 6( x − y )( x − y + 1) ⇔ ⇔ 5( x + 1)( y + 1) = 15 y ( y + 1) ⇔ x + = y 2( x − y )( x − y + 1) = y ( y + 1)  ⇒ x = y − 1thay vào (4) ⇒ 2(2 y − 1)(2 y ) = y ( y + 1) ⇔ 4(2 y − 1) = y + ⇔ y = ⇒ x = ⇒ S = {(8;3)} Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 Axy + Cxy = 50  ( x, y ∈ ¥  y y 5 Ax − 2C x = 80  ) Giải Đặt: a = Axy 5a − 2b = 80 a = 20  ⇒ ⇒  y 2a + b = 50  b = 10 b = Cx   x!  y! =  ( x − y )! = 20  x − x − 20 =  x( x − 1) = 20   ⇒ ⇒  x! ⇒ ⇔ = 20  y = x! y =  = 10  ( x − y )!   y !( x − y )!  x = ⇔ y = Bài 3: Giải bất phương trình: Page of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Tel: (094)-2222-408 Cn −1 − Cn −1 − An − < (n ∈ ¥ ) Giải Điều kiện: n − ≥  n − ≥ ⇒ n ≥ n − ≥  ⇒ (n − 1)! (n − 1)! 5(n − 2)! n −1 n −1 − − Có cách a3 chọn từ tập E\{ a2} => Có cách a4 chọn từ tập E\{ a3} => Có cách A5 chọn từ tập E\{ a4} => Có cách Vậy số số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049 ………………….Hết………………… BT Viên mơn Tốn hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 11 of 11 ... Đặt: a ≠   Ta có: a1 chọn từ tập E\{0} => Có cách a2 chọn từ tập E\{ a1} => Có cách a3 chọn từ tập E\{ a2} => Có cách a4 chọn từ tập E\{ a3} => Có cách A5 chọn từ tập E\{ a4} => Có cách Vậy số... (094)-2222-408 Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam nữ Hỏi có cách lập đội văn nghệ gồm người, cho có nữ? Giải: Số cách chọn ngẫu nhiên người là: C15 Xét trường hợp: • Khơng có nữ: Có C10 •... C2009 + + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010 Bài 4: Với n, k số nguyên dương ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: k− k− k Cn Cnk − CnCn −11 + Cn Cn − 22 − + (−1)Cn C0n − k = Giải: k k ( + x ) = Ck