Chuyên đề 7 - Bất đẳng thức

[r]

Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng

* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <… < an n a1 < a1 + a2 + …+ an < nan

1

1 1 1

n n

na a a a na

     

* a(a – 1) < a2 < a( a+1)

2

1 1

( 1) ( 1)

a a a a a

  

 

* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2  , * a2 – ab + b2 = ( a – b)2  với a,b

2.Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho a, b, c > Chứng tỏ rằng:

a c

c c b

b b a

a M

    

 không số nguyên

HD : Ta có M a b c a b c a b c

a b b c c a a b c c a b a b c a b c

 

       

          

M 1

Mặt khác M a b c (a b) b (b c) c (c a) a

a b b c c a a b b c c a

     

     

     

( b c a )

a b b c c a

  

   = – N Do N >1 nên M <

Vậy < M < nên M không số nguyên

Bài 2 Chứng minh : a b 2 ab (1) , 3

a b c   abc (2) với a, b, c 0

HD : a b 2 ab

2 2 2

(a b) 4ab a 2ab b 4ab a 2ab b (a b)               (*) Do (*) với a,b nên (1)

Bài 3 : Với a, b, c số dương Chứng minh a) (a b)(1 1)

a b

   (1) b) (a b c)(1 1)

a b c

     (2)

HD : a) Cách : Từ 1 2

(a b)( ) (a b) 4ab (a b)

a b

         (*)

Do (*) suy (1)

Cách 2: Ta có a b 2 ab 1

a b ab

1

(a b)( ) ab

a b ab

    

Dấu “ =” xẩy a = b

b) Ta có : (a b c)(1 1) b c a c a b (a b) (b c) (a c)

a b c a b c b a c b c a

  

              

Lại có a b 2;b c 2;a c

b a c b c a

Suy (a b c)(1 1)

a b c

        3 2 Dấu “ = ” xẩy a = b = c

Bài 4 : a) Cho z, y, z số dương Chứng minh rằng:

4

2

2       zxy  z x

z y

y z

y x

x

b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: abbcca0

HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm

0   bc ca

ab