Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của đa thức ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy trực tiếp bảo, hướng dẫn suốt thời gian qua Cảm ơn thầy dẫn tận tình, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành luận văn Chúng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy chúng tôi, đặc biệt thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ tận tình, truyền đạt kiến thức quý báu suốt hai năm học tập vừa qua Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bạn tập thể lớp Cao học Tốn học khóa 22 ln động viên, giúp đỡ chúng tơi suốt q trình học tập thực luận văn Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi sai sót nội dung hình thức Chúng mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa q Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức cho số thực 1.2 Một số kiến thức ma trận 1.2.1 Ma trận Hermite ma trận unita 1.2.2 Giá trị riêng ma trận 1.2.3 Ma trận xác định dương nửa xác định dương 1.2.4 Chuẩn ma trận 1.3 Đa thức ma trận biến 10 1.4 Tích ten-xơ ma trận 11 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận đa thức ma trận 2.1 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô hướng 2.1.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng ma trận vô hướng 2.1.2 13 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận vô hướng 17 2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn đa thức ma trận i 26 ii Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận 29 3.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng 29 3.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Tài liệu tham khảo 40 48 Lời nói đầu Giải tích ma trận hướng nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Bất đẳng thức ma trận (còn gọi bất đẳng thức ma trận), đặc biệt, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), đối tượng nghiên cứu quan trọng Giải tích ma trận, với nhiều ứng dụng, chẳng hạn tính toán khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, đặc biệt lĩnh vực Lý thuyết thông tin lượng tử Các đa thức ma trận đa thức biến với hệ số ma trận vng, cịn gọi λ-ma trận Các đa thức ma trận xem ma trận với hệ tử đa thức biến số Các vấn đề liên quan đến đa thức ma trận nghiên cứu nhiều nhà Tốn học có uy tín giới, có nhiều ứng dụng quan trọng Phương trình đạo hàm riêng, Khoa học Kỹ thuật Mục tiêu đề tài nghiên cứu số bất đẳng thức ma trận có hệ tử số phức (cịn gọi ma trận vơ hướng), đa thức ma trận Ngoài mở đầu, mục lục, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn bố cục thành chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ma trận đa thức ma trận biến, với số kết liên quan đến chương sau luận văn Chương 2: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận đa thức ma trận Trong chương này, phần đầu tổng hợp trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vơ hướng Trên sở chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận Chương 3: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng Phần tiếp theo, chúng tơi trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi sai sót nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa q Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Học viên Trần Ngọc Thanh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ma trận đa thức ma trận biến, với số kết liên quan đến chương sau luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [3], [5], [7], [9], [12] 1.1 Một số bất đẳng thức cho số thực Cho véc tơ thực x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ta xếp thành phần véc tơ theo thứ tự giảm dần sau x[1] ≥ x[2] ≥ · · · ≥ x[n] Định nghĩa 1.1.1 Với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , k k x[i] ≤ i=1 y[i] , k = 1, 2, , n i=1 ta nói x trội yếu y ký hiệu x ≺w y Nếu x ≺w y n i=1 xi = n i=1 yi ta nói x trội y ký hiệu x ≺ y Định nghĩa 1.1.2 Cho x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) số không âm Nếu k k x[i] ≤ i=1 y[i] , k = 1, 2, , n i=1 ta nói x log-trội yếu y ký hiệu x ≺wlog y Nếu x ≺wlog y n i=1 xi = n i=1 yi x ≺log y ta nói x log-trội y ký hiệu Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thc Hăolder (Hardy, Littlewood v Polya (1952, trang 22))) Cho số thực dương xij αj cho α1 + α2 + · · · + αm = với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m Khi i=1 j=1 j=1 i=1 (xij )1/αj ≤ xij αj n m m n Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Minkowski (xem Marshall Olkin (1979, trang 459))) Cho x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn số thực tùy ý p số thực dương Khi 1/p n p |xk + yk | k=1 1.2 1/p n p |xk | ≤ 1/p n p |yk | + k=1 k=1 Một số kiến thức ma trận Trong toàn luận văn, ma trận vô hướng xét ma trận vuông cấp n với hạng tử số phức Không gian ma trận phức cấp n kí hiệu Cn×n Cho A = (aij ) ∈ Cn×n , ma trận chuyển vị liên hợp A A∗ = (aji ) Nhắc lại tích vơ hướng hai véc tơ x = (xi ), y = (yi ) ∈ Cn định nghĩa n xi y i x, y := i=1 Chuẩn Euclide véc tơ x = (xi ) ∈ Cn định nghĩa x = x, x 1/2 Tích Hadamard (tích Schur) hai ma trận A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×n , kí hiệu A ◦ B, định nghĩa sau A ◦ B = (aij bij ) 1.2.1 Ma trận Hermite ma trận unita Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận A ∈ Cn×n gọi ma trận Hermite A∗ = A Từ định nghĩa ma trận Hermite ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút hai nhận xét sau Nhận xét 1.2.2 Ma trận A ∈ Cn×n ma trận Hermite Ax, y = x, Ay với x, y ∈ Cn Nhận xét 1.2.3 Một ma trận A ∈ Cn×n ma trận Hermite A có phần tử đường chéo số thực, phần tử đối xứng qua đường chéo liên hợp Định nghĩa 1.2.4 Một ma trận A ∈ Cn×n gọi ma trận unita AA∗ = A∗ A = I   −i Ví dụ A =    ∈ C2×2  1 B =  i 2 −i 1 + i −1 + i  −1 + i   3×3 1+i  ∈ C  ma trận unita Nhận xét 1.2.5 Nếu A ∈ Cn×n ma trận unita A khả nghịch | det A| = 1.2.2 Giá trị riêng ma trận Định nghĩa 1.2.6 Số phức λ ∈ C gọi giá trị riêng ma trận A ∈ Cn×n tồn véc tơ v ∈ Cn , v = cho Av = λv Khi véc tơ v gọi véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A Nhận xét 1.2.7 Nếu v véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A αv véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A Vì vậy, sau ta thường n xét véc tơ riêng chuẩn hóa, tức v = v, v = vi ¯ vi = i=1 Nhận xét 1.2.8 Phương trình Av = λv ⇔ (A − λI)v = có nghiệm khơng tầm thường v = Suy det(A − λI) = Như vậy, giá trị riêng ma trận A 35 Chứng minh Ta cần với tùy ý ≤ i1 < i2 · · · < ik ≤ n ta có k k λij (A) − λij (B) ≤ j=1 λj (A − B) (3.4) j=1 Áp dụng phân tích Schmidt cho A − B ta có n λi (A − B)ui u∗i , A−B = i=1 với {u1 , u2 , , un } sở trực chuẩn Cn Khơng tính tổng qt, ta giả sử λk (A−B) = Ta thay B B +λk (A−B)I để triệt tiêu kλk (A−B) (3.4) Trong trường hợp này, phân tích Jordan A − B = (A − B)+ − (A − B)− k n λi (A − B)ui u∗i , (A − B)+ = λi (A − B)ui u∗i (A − B)− = − i=1 i=k+1 Vì A = B + (A − B)+ − (A − B)− ≤ B + (A − B)+ , từ suy λi (A) ≤ λi (B + (A − B)+ ), ≤ i ≤ n Vì B ≤ B + (A − B)+ nên ta có λi (B) ≤ λi (B + (A − B)+ ), ≤ i ≤ n Do k k λij (A) − λij (B) ≤ j=1 λij (B + (A − B)+ ) − λij (B) j=1 n ≤ (λi (B + (A − B)+ ) − λi (B)) i=1 = tr(B + (A − B)+ ) − tr(B) = tr(A − B)+ k λj (A − B) = j=1 36 Từ suy điều phải chứng minh Hơn nữa, λi (B) = −λn−i+1 (−B) với ≤ i ≤ n nên biểu diễn sau hiển nhiên, n n λi (A − B) (λi (A) − λi (B)) = tr(A − B) = i=1 i=1 Định lý 3.1.7 ([7, Theorem 6.10]) Cho A, B ∈ Cn×n Khi |s(A) − s(B)| ≺w s(A − B), tức k k |sij (A) − sij (B)| ≤ sj (A − B), j=1 j=1 với ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n tùy ý Chứng minh Ta định nghĩa  A∗ A A :=    , B :=  B∗ B   Vì  A∗ A =  A∗ A 0 AA∗   |A| =  ,  |A| 0 |A∗ |  nên theo Định lý 3.1.1(3) ta có s(A) = (s1 (A), s1 (A), s2 (A), s2 (A), , sn (A), sn (A)) Mặt khác,  I  −I   A I   = −A, −I nên ta có λi (A) = λi (−bA) = −λ2n−i+1 (A) với n ≤ i ≤ 2n Do ta viết λ(A) = (λ1 , , λn , −λn , , −λ1 ), 37 λ1 ≥ ≥ λn ≥ Vì s(A) = λ(|A|) = (λ1 , λ1 , λ2 , λ2 , , λn , λn ), nên ta có λi = si (A) với ≤ i ≤ n λ(A) = (s1 (A), , sn (A), −sn (A), , −s1 (A)) Tương tự, λ(B) = (s1 (B), , sn (B), −sn (B), , −s1 (B)), λ(A − B) = (s1 (A − B), , sn (A − B), −sn (A − B), , −s1 (A − B)) Định lý 3.1.6 suy λ(A) − λ(B) ≺ λ(A − B) Chú ý hạng tử λ(A) − λ(B) |s1 (A) − s1 (B)|, , |sn (A) − sn (B)|, −|s1 (A) − s1 (B)|, , −|sn (A) − sn (B)| Do đó, lấy tùy ý ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n với ≤ k ≤ n, ta có k k |sij (A) − sij (B)| ≤ j=1 k λ(A − B) = i=1 sj (A − B), j=1 định lý chứng minh Kết Ky Fan đưa hệ định lý trên, kết đồng thời dạng yếu Định lý Lidskii-Wielandt Hệ 3.1.8 ([7, Corollary 6.11]) Nếu A, B ∈ Cn×n ma trận Hermite λ(A + B) ≺ λ(A) + λ(B) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.6 cho A + B B ta k k (λi (A + B) − λi (B)) ≤ i=1 λi (A) i=1 38 suy k k λi (A + B) ≤ (λi (A) + λi (B)) i=1 i=1 Hơn nữa, n n (λi (A) + λi (B)) λi (A + B) = tr(A + B) = i=1 i=1 Hệ 3.1.9 ([7, Corollary 6.12]) Nếu A, B ∈ Cn×n s(A + B) ≺w s(A) + s(B) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.7 cho A + B B ta k k |(si (A + B) − si (B))| ≤ i=1 si (A), i=1 suy k k si (A + B) ≤ i=1 (si (A) + si (B)) i=1 Tiếp theo Định lý Gel’fand-Naimark, định lý trội quan trọng khác cho giá trị kỳ dị ma trận Định lý 3.1.10 ([7, Theorem 6.13]) Cho A, B ∈ Cn×n Khi (si (A)sn−i+1 (B)) ≺log s(AB), (3.5) hay tương đương k k sij (AB) ≤ j=1 (sj (A)sj (B)) , j=1 với ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n n n sij (AB) = j=1 (sj (A)sj (B)) j=1 (3.6) 39 Chứng minh Trước tiên ta giả sử A B ma trận khả nghịch đặt A = U DV với D = diag(s1 , s2 , , sn ), s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sn > giá trị kỳ dị A U, V ma trận unita Khi s(AB) = s(U DV B) = s(DV B) s(B) = s(V B), suy ta thay A D thay B V B Vì ta giả sử A = D = diag(s1 , s2 , , sn ) Hơn nữa, để chứng minh (3.6) ta giả sử sk = −k Khi thay A s−1 k A hai vế (3.6) có thừa số sk Ta định nghĩa A˜ := diag(s1 , , sk , 1, , 1), A˜2 ≥ A2 A˜2 ≥ I Theo Định lý 3.1.1 ta có si (AB) = si ((B ∗ A2 B)1/2 ) = si (B ∗ A2 B)1/2 ≤ si B ∗ A˜2 B 1/2 ˜ , = si AB với i = 1, 2, , n ˜ si AB = si B ∗ A˜2 B 1/2 ≥ si (B ∗ B)1/2 = si (B) Do đó, với ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n tùy ý, ta có k j=1 sij (AB) ≤ sij (B) k ˜ sij AB ≤ sij (B) j=1 det B ∗ A˜2 B = det(B ∗ B) n j=1 ˜ ˜ si AB det AB = si (B) det |B| det A˜ · | det B| = det A˜ = = | det B| k sj (A) j=1 Ta chứng minh xong (3.6) Tiếp theo, thay A AB thay B B −1 (3.6) ta k k sj (AB)sij (B −1 ) sij (A) ≤ j=1 Vì si (B −1 ) = sn−i+1 (B)−1 j=1 với ≤ i ≤ n nên bất đẳng thức trở thành k k sij (A)sn−ij +1 (B) ≤ j=1 sj (AB) j=1 Như định lý chứng minh A B khả nghịch Với A, B ∈ Cn×n tùy ý, chọn dãy số phức αl ∈ C \ (σ(A) ∪ σ(B)) cho αl → Vì Al := A − αl I Bl := B − αl I ma trận khả nghịch nên định lý 40 với Al Bl Cho si (Al ) → si (A), si (Bl ) → si (B) si (Al Bl ) → si (AB) l → ∞ với ≤ i ≤ n Từ suy định lý cho ma trận A, B tùy ý Hệ 3.1.11 ([7, Corollary 6.14]) Cho A, B ∈ Cn×n Khi s(AB) ≺log s(A)s(B), s(A)s(B) = (si (A)si (B)) Chứng minh Một trường hợp đặc biệt (3.6) k k si (AB) ≤ i=1 (si (A)si (B)) , i=1 với k = 1, 2, , n Hơn n n si (AB) = det |AB| = det |A| · det |B| = i=1 3.2 (si (A)si (B)) i=1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Trong mục chúng tơi trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Các kết mục chủ yếu dựa vào tài liệu [4] Định lý 3.2.1 ([4, Theorem 1]) Cho A1 , A2 , , Am ∈ Cn×n , cho α1 , α2 , , αm > với m j=1 αj = k ∈ {1, 2, , n} Khi k m si i=1 k Aj m ≤ j=1 m αj k 1/αj si (Aj ) ≤ i=1 j=1 m [si (Aj )] j=1 k αj [si (Aj )]1/αj ≤ j=1 i=1 i=1 41 Chứng minh Theo Định lý Gel’fand Naimark (1950) (Định lý 3.1.10), ta có (si (A)sn−i+1 (B)) ≺log s(AB), Từ suy ≤ Aj si si (Aj ) i=1 j=1 j=1 i=1 m k m k Áp dụng Bất ng thc Hăolder (nh lý 1.1.3), ta c k [si (Aj )]1/αj si (Aj ) ≤ i=1 j=1 i=1 j=1 αj k m m Áp dụng Bất đẳng thức trung bình [xem Mitrinovic (1970, trang 100)], ta m αj k 1/αj k αj [si (Aj )]1/αj ≤ [si (Aj )] j=1 m j=1 i=1 i=1 Định lý 3.2.2 ([4, Theorem 2]) Cho A1 , A2 , , Am ∈ Cn×n , p > k ∈ {1, 2, , n} Khi k p m si i=1 Aj 1/p k p m ≤ j=1 si (Aj ) i=1 j=1 1/p m 1/p k p ≤ [si (Aj )] j=1 i=1 Chứng minh Theo kết Fan (1951) [hoặc trang 214 Ando, Horn, Johnson (1987)], s(A1 + A2 + · · · + Am ) ≺w s(A1 ) + s(A2 ) + · + s(Am ) Với hàm g lồi tăng [0, ∞), (g(si (A1 + · · · + Am ))) ≺w (g(si (A1 ) + · · · + si (Am ))) Chọn g(t) = với t ≥ Suy k k p [si (A1 ) + · · · + si (Am )]p [si (A1 + · · · + Am )] ≤ i=1 i=1 42 Theo Bất đẳng thức Minkowski (Định lý 1.1.4), ta 1/p k [si (A1 ) + · · · + si (Am )] 1/p k m p p ≤ [si (Aj )] i=1 j=1 i=1 Bổ đề 3.2.3 ([4, Lemma 2]) Cho A1 , A2 ∈ Cn×n ma trận không xác định âm α1 , α2 số thực cho α1 + α2 = Khi tr Aα1 Aα2 ≤ (trA1 )α1 (trA2 )α2 , đẳng thức xảy tồn k ∈ C cho A2 = kA1 Định lý 3.2.4 ([4, Theorem 3]) Cho A1 , A2 , , Am ∈ Cn×n ma trận không xác định âm khác ma trận không Cho α1 , α2 , , αm số thực dương Khi m m α Aj j tr j=1 (i) Nếu m i=1 αi (trAj )αj ≤ j=1 = đẳng thức xảy Aj = kj A1 , kj số với j = 2, 3, , m (ii) Nếu m i=1 αi > đẳng thức xảy Aj = kj A1 , rank(Aj ) = kj số với j = 2, 3, , m Chứng minh (i) Với C = (cij ) ∈ Cn×n , |trC| ≤ n i=1 |cij | m ≤ j=1 n i=1 si (C) Khi m n α Aj j tr ≤ α Aj j si i=1 j=1 Theo Định lý 3.2.1, ta có n m si i=1 m α Aj j j=1 αj n α si A j j ≤ j=1 i=1 1/αj 43 α α Vì A ma trận không xác định âm sj Aj j = λi Aj j = λi (Aj )αj , λi (Aj ) giá trị riêng lớn số i Aj nên αj n m α si Aj j j=1 1/αj m (trAj )αj = j=1 i=1 Từ ta nhận bất đẳng thức (i) Tiếp theo ta kiểm tra điều kiện để đẳng thức xảy Với j = 1, 2, , m, đặt Aj = Pj Dj Pj∗ , (3.7) Pj ma trận unita Dj = (δik λk (Aj )) ma trận đường chéo Khi tr Aα1 Aα2 · · · Aαmm ∗ ∗ αm = tr Pm P1 D1α1 P1∗ P2 D2α2 P2∗ · · · Pm−1 Pm D m Từ Định lý Kiers Ten Berge (1989) cho số phức, suy ∗ ∗ αm tr Pm P1 D1α1 P1∗ P2 D2α2 P2∗ · · · Pm−1 Pm Dm αm ≤ tr D1α1 D2α2 · · · Dm , đẳng thức xảy ∗ Pm P1 = ±Nm M1∗ , ∗ Pj−1 Pj = Nj−1 Mj∗ , j = 2, 3, , m, (3.8) với Nj , Mj Lj ma trận unita thỏa mãn Nj C = Mj C = Lj C, (3.9) C = (Ir , 0) , α α Lj Dj j = Dj j Lj , α r = rank(Dj j ) 1≤j≤m (3.10) Vì tích hai ma trận đường chéo ma trận đường chéo nên theo Bổ đề 3.2.3 ta có m m (trDj )αj = αm tr D1α1 D2α2 · · · Dm ≤ j=1 (trAj )αj , j=1 đẳng thức xảy với k = 2, 3, , m, tồn ak > cho Dk = ak D1 (3.11) 44 Do r = rank(Dj ) với j = 1, 2, , m Ta viết  N1 =  N11 N12   , L1 =  N21 N22 L11 L12  , L21 L22 N11 L11 ma trận vuông cấp r Theo (3.9) (3.10) ta có N11 = L11 , N21 = L21 (3.12) Vì L1 giao hốn với D1α1 nên L1 giao hoán với   D , D1 =  0 D ma trận đường chéo khơng suy biến Do DL11 = L11 D, L12 = 0, L21 = (3.13) Từ suy  L1 =  L11 0 L22   Vì L1 ma trận unita nên L∗11 L11 = Ir = L11 L∗11 , L∗22 L22 = In−r = L22 L∗22 (3.14) Vì N1 ma trận unita, N1 N1∗ = In nên ∗ ∗ N11 N11 + N12 N12 = Ir (3.15) ∗ = N = Theo (3.12), (3.14), (3.15) ta có Khi N12 N12 12     N11 L  =  11  N1 =  N22 N22 (3.16) Theo (3.12), (3.13), (3.16) N1 D1 = D1 N1 Bằng cách lý luận tương tự ta Nj D1 = D1 Nj , Mj D1 = D1 Mj (3.17) 45 Theo (3.7), (3.11) (3.8), ta có Aj = aj Pj D1 Pj∗ ∗ ∗ = aj P1 P1∗ P2 P2∗ · · · Pj−1 Pj−1 Pj D1 Pj∗ Pj−1 Pj−1 · · · P2 P2∗ P1 P1∗ ∗ · · · M3 N2∗ M2 N1∗ P1∗ = aj P1 N1 M2∗ N2 M3∗ · · · Nj−1 Mj∗ D1 Mj Nj−1 Khi đó, theo (3.17), ∗ · · · M3 N2∗ M2 N1∗ P1∗ Aj = aj P1 D1 N1 M2∗ N2 M3∗ · · · Nj−1 Mj∗ Mj Nj−1 Vì ma trận Nj Mj unita nên Aj = aj P1 D1 P1∗ = aj A1 (ii) Đặt α = m j=1 αj Theo (i) ta có m m α Aj j tr m αj /α Aαj = tr j=1 trAαj ≤ j=1 αj /α , j=1 đẳng thức xảy Aαj = kj Aα1 , kj số với j = 2, 3, , m Lưu ý với ma trận A ∈ Cn×n khơng xác định âm trAα ≤ (trA)α , đẳng thức xảy rank(A) = Từ suy rank(Aj ) = 1, với j = 1, 2, , m Định lý 3.2.5 ([4, Theorem 4]) Cho A1 , A2 , , Am ∈ Cn×n ma trận khơng xác định âm khác ma trận không Cho α1 , α2 , , αm số thực dương Khi (i) Nếu m i=1 αi = m m α Aj j tr j=1 m αj ≤ (trAj ) j=1 ≤ αj trAj , j=1 đẳng thức bên phải xảy vết ma trận Aj nhau, đẳng thức bên trái bên phải đồng thời xảy ma trận Aj 46 m i=1 αi (ii) Nếu α ≡ > α Aj j tr (trAj )αj ≤ ≤ j=1 j=1 j=1 α m m m αj trAj α , đẳng thức bên phải xảy vết ma trận Aj nhau, đẳng thức bên trái bên phải đồng thời xảy ma trận Aj có hạng Nhận xét 3.2.6 Trong Định lý 3.2.5.(ii), α = bất đẳng thức bên phải trở thành bất đẳng thức AM-GM cho ma trận Nếu α < bất đẳng thức bên phải bất đẳng thức bên trái không Định lý 3.2.7 ([4, Theorem 5]) Cho i = 1, 2, , p, cho Ai1 , Ai2 , , Aim ma trận không xác định âm khác ma trận không α1 , α2 , , αm số thực dương m i=1 αi cho = Khi p m i=1 1/αj ≤ Aij tr αj p m j=1 trAij j=1 i=1 Chứng minh Đặt −1 p 1/α trAij j bj = 1/αj , Bij = bj Aij i=1 Theo định lý 3.2.5, ta có m m α Bijj tr ≤ j=1 αj trBij j=1 Từ suy m m 1/αj bj ≤ Aij tr m j=1 j=1 αj bj trAij , j=1 Từ suy p m i=1 j=1 m j=1 i=1 j=1 p m 1/α αj bj trAij j bj ≤ Aij tr p m 1/αj α j bj = j=1 trAij i=1 = Kết luận Luận văn "Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận" trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng, chuẩn giá trị kỳ dị ma trận đa thức ma trận Cụ thể luận văn đạt kết sau Trình bày số bất đẳng thức dạng Wielandt giá trị riêng ma trận vô hướng (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.6) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận vô hướng (Định lý 2.1.10 Định lý 2.1.11) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.6) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn đa thức ma trận (Định lý 2.3.3 Định lý 2.3.4) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.6, Định lý 3.1.7, Định lý 3.1.10) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận (Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2) vết ma trận (Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.7) 47 Tài liệu tham khảo [1] M Fujimoto, Y Seo, Matrix Wielandt inequality via the geometric mean, Linear Multilinear Alg 66 (8) (2018), 1564-1577 [2] C.T Le, On Wielandt-Mirsky’s conjecture for matrix polynomials, Bull Korean Math Soc 56 (5) (2019), 1273-1283 [3] X Zhan, Matrix inequalities, Springer-Verlag, Berlin, 2002 [4] L Chen, C.S Wong, Inequalities for singular values and traces, Linear Alg Appl, 171 (1992), 109-120 [5] I Gohberg, P Lancaster, L Rodman, Matrix Polynomials, SIAM, January 1, 1982 [6] Lina Yeh, A Note on Wielandt’s Inequality, Appl Math Lett Vol 8, No 3, pp 29-31, 1995 [7] F Hiai and D Petz, Introduction to Matrix Analysis and Applications, Universitex, Springer, Cham, 2014 [8] M.A Hasan, Generalized Wielandt and Cauchy-Schwarz Inequalities, Proceeding of the 2004 American Control Conference, Boston, Massachusetts June 30 - July 2, 2004 [9] E.-Y Lee, A matrix reverse Cauchy-Schwarz inequality, Linear Alg Appl, 430 (2009), 805-810 48 49 [10] P Q Hưng, P N N Diệp, Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận, Nghiên cứu khoa học sinh viên, S2019.567.04, Đại học Quy Nhơn, 5/2020 [11] Lecture 6: Matrix Norms and Spectral Radii, https://www.math.drexel.edu/ foucart/TeachingFiles/F12/M504Lect6.pdf, truy cập ngày 22/3/2020 [12] Toger A Horn and Charles R Johnson, Matrix analysis, Cambridge University Press 1985 ... đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn đa thức ma trận i 26 ii Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận. .. ten-xơ ma trận 11 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận đa thức ma trận 2.1 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô... Trên sở chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận Chương 3: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận Trong chương này, phần