Đang tải... (xem toàn văn)
Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiề[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HSG
CHINH PHỤC ĐỊNH LÝ TA-LÉT
TỪ LÝ THUYẾT ĐẾN CÁC DẠNG BÀI TẬP
(Thân gửi tới em học sinh 2006 em 2005 chuẩn bị thi vào lớp 10)
I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT
Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt
là Ta-lét (tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος;
khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN), triết
gia, nhà toán học người Hy Lạp sống
trước Socrates, người đứng đầu bảy nhà hiền triết Hy Lạp Ông xem nhà triết gia triết học Hy Lạp cổ đại, "cha đẻ khoa học" Tên ông dùng để đặt cho định lý tốn học ơng phát
Ta-lét sống khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh
ở thành phố Miletos, thành phố cổ bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ ơng khơng biết cách xác Có hai nguồn: nguồn cho ông sống khoảng 90 tuổi, cịn nguồn khác cho ơng sống khoảng 80 tuổi
(2)Với quan niệm nước khởi nguyên giới, vật, tượng Ông đưa yếu tố vật vào quan niệm triết học giải thích giới Thế giới hình thành từ dạng vật chất cụ thể nước chúa trời hay vị thần
Định lý Ta-lét:
- Hai đường thẳng song song định hai đường thẳng giao đoạn
thẳng tỷ lệ
- Góc chắn nửa đường trịn vng
- Đường kính chia đơi đường trịn thành hai phần
- Hai góc đáy tam giác cân
- Hai tam giác có hai cặp góc đối cặp cạnh tương ứng
nhau
- Hai góc đối đỉnh
Ta-lét người nghiên cứu thiên văn học, hiểu biết tượng nhật
thực diễn mặt trăng che khuất mặt trời
Ông nghĩ phương pháp đo chiều cao kim tự tháp Ai Cập vào bóng chúng
Ta-lét coi người đặt vấn đề nghiên cứu Sự sống Trái Đất
Ta-lét chết lúc già cách đột ngột xem vận hội Trên mộ ơng
khắc dịng chữ: “Nấm mồ nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang người
này, ông vua nhà thiên văn, vĩ đại làm sao”
II - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Đoạn thẳng tỉ lệ
1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng
- Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng với đơn vị đo
Như tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn
1.2 Đoạn thẳng tỉ lệ:
(3)AB A'B' CD =C'D'
AB CD
A'B' =C'D' ta có tỉ lệ thức thức: hay
- Tỉ lệ thức đoạn thẳng có tính chất tỉ lệ thức số
*1 Tích trung tỉ tích ngoại tỉ
AB A'B'
'D' ' '.CD CD =C'D' AB C =A B
*2 Có thể hoán vị trung, ngoại tỉ:
AB CD A'B' C'D' AB A'B' CD C'D' CD C'D' AB A'B' A'B' C'D'
AB CD = = =
=
*3 Các tính chất dãy tỉ số nhau:
AB A'B' AB A'B'
(CD CD ') CD C'D' CD C'D'
= =
AB A'B' AB CD A'B' C'D'
CD C'D' CD C'D'
= =
2 Định lý Ta-lét tam giác
2.1.Định lý thuận:
Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
GT ABC, B'C ' BC(B'AB, C'AC)
KL AB' AC ' AB' AC ' BB' C 'C
; ;
AB = AC B' B= C 'C AB = AC
2.2 Định lý đảo
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác
A
B C
B' C'
A
B C
(4)GT ABC, B' AB, C' AC AB ' AC '
B ' B C 'C
=
KL B'C ' BC
2.3 Hệ quả:
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có cạnh tương ứng tỉ lệ
với cạnh tam giác cho
GT ABC, B'C ' BC(B'AB, C'AC)
KL AB' AC ' B'C '
AB = AC = BC
Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo hệ trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại:
3 Định lý Ta-lét tổng quát:
3.1 Định lý thuận:
Nhiều đường thẳng song song định hai cát tuyến nhữngđoạn thẳng tương ứng tỷ lệ
GT Cho a//b//c; d cắt a, b, c
A, B, C; d’ cắt a, b, c A’, B’,C’
KL AB A ' B ' BC= B 'C '
Hướng chứng minh:
A
B C
B' C' A
B C
C' B'
C' B'
C B
A
A
B C
B' C'
C'' B'' a
b
c A
B
C
A'
B'
C'
(5)Ta chứng minh định lý cách qua A kẻ đường thẳng song
B'', C ''
song với d’ Đường thẳng cắt b, c theo thứ tự Dễ dàng chứng minh
AB''=A ' B', B''C '' = B'C '
được Sau áp dụng định lý Ta-lét tam giác vào
ACC'' AB AB''
BC= B"C''
AB A'B' BC = B'C' để có: từ suy kết luận
3.2 Định lý đảo
Cho đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’ điểm theo thứ tự; A, B, C A’, B’, C’ thoả mãn
' ' ' ' AB A B BC = B C
tỉ lệ thức: mà đường thẳng a, b, c
song song với đường thẳng a, b, c song song với
3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)
Hệ 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định hai đường thẳng song song
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Hướng chứng minh:
Ta chứng minh hệ cách xét tam giác AOB AOC có
AB//A’B’ AC//A’C’ Theo hệ định lý Ta-lét tam giác ta có:
AB OA
A ' B'=OA '
AC OA
A 'C ' =OA '
AB AC
A 'B'=A 'C '
từ suy ra: (đpcm)
Hệ 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định hai đường thẳng
song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng đồng quy điểm
O O
A' B'
C' B
b
a A C
C' C a
b
A B
A' B'
d' d
C' B' A'
C B
A
(6)Hướng chứng minh:
Gọi d1, d2, d3 ba đường thẳng không song song cắt hai đường thẳng song
song a b A, B, C A’, B’, C’ thỏa mãn:
AB AC
A 'B' A 'C ' AB
1 A 'B'
=
d1, d2, d3 đồng quy O
Ta chứng minh định lý cách gọi giao điểm hai đường thẳng d1, d2
là O Ta chứng minh d3 qua O
C' C''
Gọi C” giao điểm OC đường thẳng b Ta chưng minh Thật vậy,
AB AC
A 'B'=A 'C ''
AB AC
A 'B'= A 'C ' AC//A’C’ nên hệ ta có: mà theo giả thiết ta có :
C' C''
Từ suy Hay d3 qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy
III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT
Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng giải tốn hình học như: Các tốn liên quan đến tỉ số đoạn thẳng; toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; toán diện tích, vận dụng để chứng minh định lý Tuy nhiên khuân khổ chuyên đề, chọn hai ứng dụng để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy nhiều điểm thẳng hàng
C'' C''
d1 d2
d3
d2
d3 d1
O O
A' B'
C' B
b
a A C
C' C a
b
A B
(7)Dạng
CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG
Dạng tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng dạng tập hay khó Nếu lớp 7, hệ thức đoạn thẳng đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng khác,… lên lớp 8, học sinh sau học xong diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng, hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông kiến thức đường trịn lớp tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng phong phú Đối với tốn lớp 8, định lý Ta-lét trường hợp đồng dạng tam giác cơng cụ để giải tốn
Ví dụ 1(lớp 8) Một đường thẳng qua A hình bình hành ABCD cắt BD, BC,
DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:
2
)
1 1 )
a AE EK EG
b
AE AK AG
=
= +
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi
Hướng dẫn tìm lời giải:
2
= AE = EG
AE EK EG
EK AE
AE EK
EG AE a) Từ Vậy cần tìm mối liên hệ tỉ số
BE ED với
1 1
1
= + AE + AE =
AE AK AG AK AG b) Từ
AE AE ; AK AG
DE DB
BE BD Từ tìm mối liên hệ tỉ số với tỉ số
c) Vì giả thiết cho hình bình hành có cạnh khơng đổi nên ta biểu diễn mối
quan hệ tích BK.DG với cạnh hình bình hành
BK BE AB BK.DG AB.AD
AD ED DG
= = =
Lời giải tóm tắt:
G
K
E
D C B
(8)a/ Vì BK//AD AB//DG nên theo hệ quảđịnh lý Ta-lét ta có:
2
EK EB AE
AE EK EG
AE = ED = EG = (đpcm)
1 1
AE = AK + AG
AE AE AK + AG = b/ Từ suy ra:
Vì BK//AD AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có :
,
AE DE AE BE
AK = DB AG= BD
AE AE DE BE BD AK + AG = DB+DB = BD=
nên (đpcm)
c/ Vì BK//AD KC//AD nên theo định lý Ta-lét ta có
BK AB
KC =CG (1) KC CG
AD =DG (2)
BK AB
BK DG AB AD AD = DG =
Nhân vế với vế (1) (2) ta được: (khơng đổi)
Ví dụ (lớp 8): ABC, O điểm thuộc miền tam giác, qua O kẻ HF//BC,
DE//AB, MK//AC với H, K AB;
E, M BC; D, F AC
Chứng minh rằng:
AK
1
AB BC CA
BE CF
+ + =
a)
DE
2
AB BC CA
FH MK
+ + =
b)
* Hướng dẫn tìm lời giải:Giả thiết cho đường thẳng song song, ta cố định
BC BE
một tỉ số hệ thức cần chứng minh chẳng hạn: Hãy tìm cách chuyển
AK , AB CA
CF
các tỉ số tỉ số có mẫu BC
Lời giải (tóm tắt)
AK MC
AB BC
=
a) KM//AC
C B
O
I M
K
E
D
F H
(9)Qua F kẻ FI//AB, I CF CI EM CA =CB= BC BC:
AK
1
AB BC CA BC BC BC BC
BE CF MC BE EM BC
+ + = + + = =
vậy suy ra:
AK
1
AB BC CA
BE CF
+ + =
Vậy (Đpcm)
FH AH
BC= AB b) FH//BC =>
KM BK
AC = AB KM//AC =>
FH
2
BC AC AB AB AB AB AB AB
MK DE AH BK AK+BH AH +HB AK+KB
+ + = + + = + =
nên ta được: (Đpcm)
Ví dụ (lớp 8) Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b Qua giao điểm O
hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự E
1 1
OE =OG = +a b G Chứng minh rằng:
* Hướng dẫn tìm lời giải:
1 1
OE = + a b
1 OE OE
OE( ) 1
a+b = AB+CD= Từ
Từ dựa vào hệ định lý Ta-lét ta tìm mối quan hệ tỉ số
* Lời gải tóm tắt:
OE DE OE DE
AB= DA a =DA Vì OE//AB nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: (1)
OE AE OE AE
DC=DA b = DA Vì OE//CD nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: (2)
OE OE DE AE
1 a + b =DA+DA = Cộng vế với vế (1) (2) ta được:
1
OE( )
a+b =
1 1
OE= +a b
1 1
OG = +a b Do đó: hay Chứng minh tương tự ta có
b a
O
E G
D C
(10)Nhận xét:Nếu thay đổi kiện tốn ta có tốn sau
Ví dụ (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2006)
Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q điểm tương ứng thuộc AB AC Đường thẳng PC QB cắt G Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB E AC F Biết PQ = a EF = b Tính độ
dài BC
Hướng dẫn tìm lời giải:
Sau vẽ hình ta thấy tứ giác BPQC hình thang có yếu tố thỏa mãn ví dụ Từ ta vận dụng kết ví dụ vào giải tốn
Lời giải tóm tắt: Đặt BC = x
1 1
GE a x
1 1
GF a x
= +
= +
Áp dụng kết ví dụ ta có:
ax GE
a x ax GF
a x
=
+
=
+
ax 2ax 2ax
GE GF EF= b
a x a x a x
+ = =
+ + +
Từ suy suy
ab x
2a b =
−
ab BC
2a b =
− Từ tìm hay
*Nhận xét: Định lý Ta-lét việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình học
cịn vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Sau ta xét ví dụ việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ (lớp 8)
Cho ABC, phân giác AD chứng minh rằng:
0
A = 120 1
AD =AB+AC a) Nếu
0
A <120 1
ADAB+AC b) Nếu
G F
E
Q P
C B
(11)0
A 120 1
AD AB+AC c) Nếu
Hướng dẫn tìm lời giải:
1 1
a = +b c
Hệ thức cần chứng minh có dạng
chuyển hệ thức dạng tỉ số đoạn thẳng:
1 1 a a
1 a = + = + =b c b c Dạng 1:
1 1 b c b b c
a b c a bc a c
+ +
= + = = = =
Dạng 2:
Ở ví dụ ta biến đổi hệ thức cần chứng minh dạng
Qua C kẻ CF //AD, F AB, ta có nhận xét AFC? Độ dài BF?
Áp dụng định lý Ta-lét vào BFC ta Đpcm
Lời giải (tóm tắt):
a) Qua C kẻ CF //AD, F 60
= =
F DAB
AB, ta có: (1)
0 60
= =
FCA CAD (2)
Từ (1) (2) suy AFC =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC
Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào BFC, AD//FC:
AD BA
FC = BF
AD AB
AC= AB AC+
AC.AB AD
AB AC
=
+ hay
1 AB AC 1
AD AB.AC AB AC
+
= = +
Suy ra: (Đpcm)
b)
2 BAC
F = ACF =
AFC cân (do ) =>AF=AC nên: BF =AB + AC
AD AB AB CF.AB
AD
CF = BF =AB AC+ = =AB AC+ BFC có AD//FC =>
Do AFC cân A có góc FAC 600 =>F < 600 => FC > AC nên :
AC.AB 1
AD
AC AB AD AB AC
= +
+ (Đpcm)
D B
A
F
(12)0
120
BAC 1
AD AB+AC c) Khi lập luận tương tự ta
Ví dụ 6(lớp 8) Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC =a; CA = b Phân giác AD
2bc AD
b c
+ Chứng minh rằng:
Lời gải tóm tắt:
Kẻ AD tia phân giác góc A, D∈BC Qua D kẻ DE song song với AB, E∈AC
Ta có ∆EAD cân E Suy AE =ED
Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào ∆ABC ta
ED EC
AB= CA có:
AE ED EC AE
1 AC+AB= AC+CA=
1 bc
AE( ) AE
b+c = = b c+
Suy ra: hay
2bc AD 2AE
b c
=
+
Trong tam giác ADE có AD < AE + ED hay (đpcm)
Nhận xét: 1 b c 1( 1)
AD bc b c
+
= +
Từ kết tốn ta có: Áp dụng kết
này ta giải tốn sau:Ví dụ (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2014).Cho a, b,
c độ dài ba cạnh tam giác x, y, x độ dài đường phân giác
1 1 1
x+ + + +y z a b c tương ứng Chứng minh bất đẳng thức sau:
Từ ví dụ ta có:
1 b c 1 1 1
( ) ( )
AD bc b c x b c
+
= + + (1)
Chứng minh tương tự ta có:
1 1
( )
y 2 c+a (2)
1 1
( )
z a+b
và (3)
Từ (1) (2) (3) ta có:
E
D C
B
A
b
a c
x
E
D C
B
(13)1 1 1
x+ + + +y z a b c (đpcm)
Ví dụ 9(lớp 8).Cho tứ giác lồi ABCD Gọi O giao điểm AD BC Gọi I, K
,H chân đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD Chứng minh :
AD.BI.CH BD.OK.AC
Lời giải (tóm tắt) ⊥
Kẻ AE BD
Vì OK//HC nên theo hệ định lý Ta-lét ta có:
.HC OK AC AO
HC OK AC
AO = =
ABD
S
Ta lại có AD.BI.CH=2 .CH
Mà BD.CE=2SABD ,OA.HC=OK.AC, AO ≥AE
ABD
S
nên AD.BI.CH=2 .CH=BD.CE.CH BD.AO.CH=BD.OK.AC
⊥ Dấu “=” xảy AE=AO hay AC BD
Ví dụ 10 (lớp 9)(Câu 4c_Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013)
ABC AC AB AA', BB',CC'
Cho tam giác nhọn ( ) có đường cao trực tâm
H Gọi ( )O đường trịn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AM,
AN tới đường tròn ( )O (M, N tiếp điểm) Gọi M' giao điểm thứ hai
'
A N đường tròn ( )O , Klà giao điểm OH B C' ' Chứng minh rằng:
2
' '
' '
=
KB HB
KC HC
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta thấy đẳng thưc cần chứng minh đẳng thức tỉ số Để chứng minh hệ thức tỉ số ta vận dụng kiến thức: Định lý Ta-lét; tam giác đồng dạng; hệ thức cạnh đường cao tam giác; tính chất cát tuyến cắt với đường tròn Tuy nhiên toán sử dụng phương
E O
H K I
D C
(14)pháp loại trừ ta thấy sử dụng kiến thức định lý Ta-lét tam giác đồng dạng
Để sử dụng định lý Ta-lét ta cần phải vẽ thêm hình phụ:Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ Từ ta tìm mối quan hệ tỉ số chứng minh định lí
Lời giải
Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ CC’ D, E Áp dụng hệ định lý Ta-lét ta có:
' ' '
'
KB = KH = KC KB =OD OD OH OE KC OE (1)
=
BDO ECO BB C' ' BOD=EOC
Ta có: (vì )
2
2
~
DBO CEO OD =OB OD OE =OC OD = OC
OC OE OE OE (2)
Lấy F (F ≠ E) đường thẳng CC’ cho OE = OF
' '
OFC =B C H (vì OEC')
' '= HB C OCF Lại có
' '
' ' ~
' '
B C H CFO HB =OC HB =OC
HC OF HC OE (3)
2
' '
' '
=
KB HB
KC HC
Từ (1), (2), (3)
F K
E
D
H
B'
C'
(15)Ví dụ (lớp 9)(Trích đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp vòng huyện Tam Dương 2014 - 2015)
Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, gọi E F theo thứ tự hình chiếu H AC AB Cho D điểm BC Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu D AB AC Chứng minh rằng:
3 3 CE AC
= BF AB
a)
b) DB.DC = MA.MB + NA.NC
Lời giải tóm tắt
a/ ABC, A = 900, AH BC ⊥
2
2
AC HC
AB HB
=
Ta có: AC2 = CH.BC; AB2 = BH.BC (1)
CH CE
HB EA
=
Ta có: EH // AB (Định lý Ta-lét) (2)
AC AB
HF BF
=
HF // AC (hệ định lý Ta-lét) hay
AC HF
AB= BF
AC AE
AB= BF
mà HF = AE nên (3)
2
2
AC CH AC HC CE AE
AB HB AB= HB AE BF
3
3
AC CE
AB = BF Từ (1), (2) (3) ta có: hay
b/ Dễ thấy MD//AC ND //AB
BD MD MB
BC AC AB
= =
Vì MD//AC nên theo hệ định lý Ta-lét (4)
CD NC ND
CB AC AB
= =
Vì ND//AB nên theo hệ định lý Ta-lét (5)
2 2
BD.CD MD.NC MB.ND
BC AC AB
= =
Từ (4) (5)
2 2
MD.NC MB.ND MD.NC MB.ND
AC AB BC
+ = +
+
NA.NC MB.MA BC
+
= =
BD.CD NA.NC MA.MB
= +
F M
N
E H
D C
(16)Ví dụ 9: (Lớp 9)(Trích câu 4b đề thi vào lớp 10 chuyên Toán chuyên Tin – Thành phố Hà Nội – Năm học 2009 – 2010)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Gọi BD CE hai đường cao tam giác ABC
b/ Tia AO cắt BC A1 cắt cung nhỏ BC A2 tia BO cắt AC B1 cắt cung
nhỏ AC B2 Tia CO cắt AB C1 cắt cung nhỏ AB C2
1 2
1 1
1 A A B B C C
A A + B B + C C = Chứng minh:
Lời giải tóm tắt
Gọi H giao điểm BD CE AH cắt BC
BC AK⊥BC BAK =BCM
K cắt M Ta có
BAK =BCH
Lại có (cùng phụ với góc ABC) suy
BCH =BCM
ra nên tam giác BCM cân C,
HK = KM (1)
0 90
AMA = nên MA2//BC
1
1
A A MK A A = KA
1
1
HAB ABC A A HK S
A A = KA =S
Theo định lý Ta-lét ta có: Kết hợp với (1) suy ra: (2)
1
1
HAC ABC S B B
B B = S
1
1
HAB ABC C C S
C C =S
Tương tự ta có: (3) (4)
1 2
1 1
1 ABC ABC S A A B B C C
A A + B B + C C = S =
Từ (2), (3) (4) suy ra: (đpcm)
Dạng 2:
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,
NHIỀU ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG B1
A1 K
M H E
D
O
B2 C2
A2 C B
(17)Ở lớp để chứng minh hai đường thẳng song song ta phải tìm mối quan hệ góc mối quan hệ đường thẳng Để chứng minh đồng quy ta thường áp dụng tính chất đường tam giác,
Đến lớp 8, sau học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức độ dài đoạn thẳng cho ta kết luận đường thẳng song
song
AM AN
/ /
AB = AC =MN BC ABC,
Như định lý Ta-lét đảo cho ta thêm cách chứng minh đường thẳng song
song
Ví dụ (lớp 8): ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC H, phân
giác góc AMB cắt AB K Chứng minh HK // BC
Hướng dẫn tìm lời giải:
Để chứng minh KH//BC ta chứng minh
AH AK
HC = KB , tìm cách chuyển tỉ số hai vế đẳng
thức tỉ số cách sử dụng tính chất đường phân giác tam giác
Lời giải:
AMB AK AM
KB = MB Theo giả thiết: MK phân giác =>
AH AM
HC = MC MH phân giác góc AMC suy ra:
AH AK
/ /
HC = KB =KH BC
Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra: (định lý Ta-lét đảo)
Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O đường chéo tứ giác ABCD, kẻ đường thẳng
tuỳ ý cắt cạnh AB M CD N Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC E đường thẳng qua N song song với AB cắt BD F Chứng minh BE//CF
M N
C B
A
M A
B
C H
(18)* Hướng dẫn tìm lời giải:
OB OE
OF OC
/ /
BE CF =
Hãy sử dụng đường thẳng song song giả thiết định lý Ta-lét để chứng minh hệ
OB OE
OF=OC thức
* Lời giải tóm tắt:
Theo giả thiết MB//NF
OB OM
OF = ON
=> (1)
OE OM
OC= ON
NC//ME => (2)
OB OE
/ / OF =OC =BE CF
Từ (1) (2) suy ra: (Định lý Ta-lét đảo)
Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh đường thẳng song song chứng
a c
b= d minh hệ thức dạng
Ví dụ 3(lớp 8):Cho ABC, có AB + AC = 2.BC
Gọi I giao điểm đường phân giác trong, G trọng tâm ABC (I khác
G) Chứng minh IG // BC
* Hướng dẫn tìm lời giải:
AI AG
ID=GM
AI ID= Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minh hay
AB AC BC
+ =
Từ giả thiết toán suy ra:
AB AC AI
BC ID
+ =
Hãy chứng minh , cách sử dụng tính chất đường phân giác
F E
N M
O D
C B
(19)* Lời giải:
Gọi AI cắt BC D, AG cắt BC M Nối B với I, C với I sử dụng tính chất
đường phân giác tam giác ta được:
AI AB AC AB AC AB AC
ID BD CD BD CD BC
+ +
= = = =
+ (1)
AB AC AI
BC ID
+ =
Theo giả thiết AB + AC = BC => (2)
AI ID=
Từ (1) (2) suy (3)
Vì G trọng tâm AG GM =
ABC nên: (4)
AG AI
GM =ID=IG BC
Từ (3) (4) suy ra: (Đpcm)
* Chú ý:
+ Bài toán đảo toán đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC + Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC giả thiết AB + AC < 2.BC kết luận tốn thay đổi nào? (IG cắt tia MC)
Ví dụ 4(lớp 8): ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M, N,
P, Q hình chiếu D AB, BE, CF, CA Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Yêu cầu toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Giả thiết toán cho đường thẳng vng góc, từ có đường thẳng song song Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng cách chứng minh nằm đường thẳng song song với EF
* Lời giải tóm tắt:
Từ giả thiết suy ra:
G
M I
D C
B A
C B
F E
H N
P Q
M
(20)AE AH EQ =HD
HE // DQ => (1) (theo định lý Ta-lét)
AF AH
FM =HD
HF/ / DM => (2) (theo định lý Ta-lét)
AE AF
/ / EQ = FM =EF MQ
Từ (1) (2) suy ra: (*) (theo định lý Ta-lét đảo)
BM BD
BF = BC
DM // CF suy ra: (3) (theo định lý Ta-lét)
BN BD
BE = BC
DN // CE suy ra: (4) (theo định lý Ta-lét)
Từ (3) (4) suy ra: MN // EF (**)
CQ CD
QE = DB
DQ // BE suy ra: (5) (theo định lý Ta-lét)
CP CD
PF = DB
DP // BF suy ra: (6) (theo định lý Ta-lét)
CP CQ
/ / PF = QE =PQ EF
Từ (5) (6) suy ra: (***)
Kết hợp (*), (**) (***) suy ra: M, N, P , Q thẳng hàng
* Nhận xét: Chứng minh điểm thẳng hàng cách chứng minh chúng
cùng nằm đường thẳng cố định
Ví dụ 5(lớp 8): Cho tứ giác ABCD, vẽ đường thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD,
BC theo thứ tự E F d2 cắt BA, BC theo thứ tự G H (GH khác EF) Chứng minh EG, DB, HF đồng quy
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Theo giả thiết EF // AC // GH yêu cầu toán phải chứng minh GE , BD, HF đồng quy, ta suy nghĩ đến việc sử dụng hệ định lý
Ta-lét tổng quát, EG, BD, FH đồng quy
ME NG
MF = NH ta chứng minh hệ thức ,
ME DM
AO = DO
O N M
G
H E
F D
C
(21)* Lời giải tóm tắt:
Gọi M, O, N giao điểm EF, AC, GH với BD
ME DM
AO = DO
ME // AO suy ra: (1)
MF DM
OC = DO
MF // OC suy (2)
MF ME
OC= AO
MF OC
ME=OA
Từ (1) (2) suy ra: hay (*)
NH OC
NG =OA
Chứng minh tương tự ta (**)
NH MF
NG = ME
Từ (*) (**) suy ra: mà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy
Nhận xét: Hệ định lý Ta-lét tổng quát cho ta cách chứng minh
đường thẳng đồng quy
Ở toán GH = EF đường thẳng GE, BD, HF có mối quan hệ với nào?
Ví dụ 6(lớp 8): Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC I, AC cắt BD
O M, N trung điểm AB, DC Chứng minh I, M, O, N thẳng
hàng
Hướng dẫn giải
Đây tập đơn giản, việc chứng minh sử dụng định lý Ta-lét tam giác hay phương pháp diện tích ta trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ định lý Ta-lét tổng quát
Lời giải:
Theo giả thiết M trung điểm AB, N trung
MB MA
ND = NC điểm DC, nên suy ra:
Mà AB // DC suy ra: MN, BD, AC đồng quy hay O MN (1)
MA MB
ND = NC
Lại có: mà AB// DC
I
N M
O
D C
(22)nên suy AD, MN, BC đồng quy
hay I MN(2)
Từ (1) (2) suy ra: I, M, O, N thẳng hàng
* Nhận xét:
- Bài toán vận dụng nhiều giải toán với tên gọi Bổ đề hình
thang:
“Trong hình thang có hai đáy khơng nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên thì qua trung điểm hai đáy”
Ngược lại: “ Trong hình thang có hai đáy không nhau, giao điểm hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo trung điểm hai đáy điểm thẳng hàng”
Ta sử dụng Bổ đề hình thang để dựng trung điểm đoạn thẳng mà dùng thước, vận dụng bổ đề hình thang để vận dụng giải số tốn hình học Ta xét số ví dụ sau:
Ví dụ 7(lớp 8).Xét ví dụ 5_Dạng 1(Trích đề thi HOMC 2006)
Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q điểm tương ứng thuộc AB AC Đường thẳng PC QB cắt G Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB E AC F Biết PQ = a EF = b Tính độ dài BC
Lời giải (tóm tắt):
Gọi M, N giao điểm AG với PQ BC Áp dụng bổ đề hình thang cho hình thang: BCQP BCEF dễ dàng suy được: MP = MQ; GE = GF; NB =
NC
Vì PQ//EF//BC nên theo hệ định lý Ta-lét ta có:
2
BC PC BC PC b
EG =GC =GC (1)
BC GC BC GC PQ = PG a = PG (2)
N M
G
F E
Q P
C B
(23)1
2
BC BC PC GC
b − a = PG−PG = ab BC
a b =
− Từ (1) (2) ta có: suy
Ví dụ (lớp 9) Đường trịn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D,
đường tròn tâm (J) bàng tiếp góc A tam giác tiếp xúc với cạnh BC H Vẽ đường kính DD’ đường trịn (I) Chứng minh ba điểm A, D’, H thẳng hàng Hướng dẫn tìm lời giải:
Để chứng minh A, D’, H thẳng hàng ta cần chứng minh AD’ AH trùng
Mà A, I, J thẳng hàng
Từ cho ta định hướng chứng minh góc tạo AD’ AH với AI
Từ mối quan hệ tiếp tuyến dây cung ta
suy IF//GJ
Từ vận dụng định lý Ta-lét tam giác đồng dạng ta chứng minh toán
Lời giải tóm tắt:
Gọi F G tương ứng tiếp điểm đường tròn (I) đường tròn (J) với AB
IF⊥ AB GJ, ⊥AB IF AI
GJ = AJ
Ta có nên IF//GJ Theo Ta-lét ta có: mà ID’ = IF, JG =
ID' AI JH = AJ JH nên
'
AID = AJH AID' AJH I AD'=JAH
Lại có: DD’//JH nên suy (c-g-c), ta có nên hai tia AD’ AH trùng nhau, nghĩa ba điểm A, D’, H thẳng hàng
H
G F
D'
D I
J
C B
(24)Nhận xét: Qua toán ta thấy gọi bán kính đường trịn (I) R bán kính
' '
R AD R = AH đường trịn (J) R’ ta có:
Vận dụng tốn ta giải tốn sau:
Ví dụ (lớp 9) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD Chứng minh đường trịn bàng tiếp góc A hai tam giác ABD ACD
Lời giải tóm tắt
Theo toán ta chứng minh tứ A, M’, H thẳng hàng Và A, N, E thẳng hàng
Dễ dàng chứng minh MM’N’N hình chữ nhật nên MM’ //BC Nên
' '
AM AN AH = AE
theo định lý Ta-lét ta có: Theo nhận xét dễ dàng suy ra:
' ' ' ' IM I N
KH = K E mà IM’ = I’N’ từ suy ra: KH = K’E (đpcm)
Ví dụ 8(lớp 8).Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, kỷ I sau công nguyên)
Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ nằm đường thẳng BC, CA, AB cho chúng điểm nào, có điểm
N' M'
E
H N
M
K
K' I
I'
C
B
(25)thuộc cạnh tam giác ABC Khi A’, B’, C’ thẳng hàng
A'B ' '
' ' '
B C C A A C B A C B =
Chứng minh
* Trường hợp 1: Trong điểm A’, B’, C’ có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Giả sử B’, C’
Phần thuận
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ M
C'A ' '
;
' ' '
AM B C A C C B = A B B A= AM
A'B ' ' ' '
' ' ' ' '
B C C A AM A C A B A C B A C B = A B AM A C =
Ta có: Vậy
Phần đảo: Gọi A’’ giao B’C’ với BC
A''B ' '
'' ' '
B C C A A C B A C B = Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có
A'B ' '
' ' '
B C C A A C B A C B =
A''B '
'' '
A B A C = A C
mà nên Do B’, C’ thuộc cạnh CA, AB
nên A’’ nằm cạnh BC
A''B '
'' '
A B
A C = A C A'' A'
Vậy A’, A’’ nằm ngồi cạnh BC suy Do A’, B’, C’
thẳng hàng
* Trường hợp 2: Trong điểm A’, B’, C’ khơng có điểm thuộc cạnh tam giác ABC chứng minh tương tự
Ví dụ 9(lớp 8) Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734)
Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ thuộc đường thẳng BC,
A'B ' '
' ' '
B C C A A C B A C B = CA, AB Khi AA’, BB’, CC’ đồng quy
C'
B'
A' M
C B
(26)Chứng minh
Phần thuận:
Qua A kẻ đường thẳng song song
với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ M, N
Theo hệ định lý Ta-lét ta có:
' C'A '
; ;
' ' '
B C BC AN A B AM B A= AM C B = BC A C = AN
A'B ' '
' ' '
B C C A AM BC AN A C B A C B = AN AM BC = Vậy ta có
Phần đảo:
Gọi I giao BB’ CC’
Giải sử AI cắt BC A’’, suy A’’ thuộc BC
A''B ' '
'' ' '
B C C A A C B A C B =
A'B ' '
' ' '
B C C A A C B A C B = Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có mà
A'B ''
' ''
A B
A C = A C A''A'
nên Từ suy Do AA’, BB’, CC’ đồng quy
Nhận xét:
Định lý Menelaus định lý Ceva định lý áp dụng nhiều tốn hình học bồi dưỡng HSG, đề thi vào trường chuyên tốn, chun tin kì thi học sinh giỏi Sau số toán áp dụng định
lý trên:
Ví dụ 10(lớp 9): (Trích Câu 5.d Đề HSG tỉnh Phú Thọ 2010-2011)
Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường trịn (M khơng trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
I
N M
C'
B'
A' C
B
(27)Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
Lời giải
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng B, I, M ta có:
AB OI CM
BO IC MA =
OI MA
IC = 2CM (1)
Tương tự với tam giác BCO ba điểm thẳng
hàng A, I, F ta có:
OI FB
IC = 2CF (2)
MA FB
=
CM CF
Từ (1) (2) ta có Do MF // AB
⊥ (định lý Ta lét đảo) mà AB BC
⊥
90 MFC =
MF BC
EFB=EBA
Ta có (cùng phụ với góc EAB);
EBA=EMC (tứ giác AMEB nội tiếp)
EFB EMC
= Tứ giác MEFC nội tiếp
MEC=MFC=90 Do đó: ME EC ⊥ (3)
0
MEN=90 ⊥
Lại có (chắn nửa đtròn) ME EN (4) Từ (3) (4) suy C, E, N thẳng hàng
Ví dụ 11(lớp 9) (Trích Đề thi vào lớp Chun Tốn, Vĩnh Phúc 2013-2014)
ABAC
Cho tam giác nhọn ABC, Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp
PB DB PC = DC
b) D trung điểm QS
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC
Lời giải
E A
O
C
E F
I
D M
N
(28)AB AC
a) Do nên Q nằm tia đối
của tia BA R nằm đoạn CA, từ Q, C nằm phía đường thẳng BR
AFE=BCA
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ,
AFE=BQR
Do QR song song với EF nên
BCA=BQR
Từ suy hay tứ giác BQCR nội
tiếp
DB HB AE = HA b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên
DC HC AF = HA Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên
( )
DB AE HB AE FB DC = AF HC = AF EC Từ hai tỷ số ta
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
( )
PB EC FA PB AE FB PC EA FB = PC = AF EC
( )3 PB DB PC = DC Từ (1) (2) ta
,
DQ BD DS CD PF = BP PF = CP Do QR song song với EF nên theo định lý Ta-lét
DQ=DS
Kết hợp với (3) ta hay D trung điểm QS
DP DM =DQ DR c) Gọi M trung điểm BC Ta chứng minh
DQ DR=DB DC Thật vậy, tứ giác BQCR nội tiếp nên (4)
2 DC DB
DP DM =DB DCDP − =DB DC
Tiếp theo ta chứng minh
( ) ( ) ( )
DP DC−DB = DB DCDB DP+DC =DC DP DB− DB PC=DC PB
PB DB PC DC
(29)DP DM =DQ DR
Từ (4) (5) ta suy tứ giác PQMR nội tiếp hay đường
tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC
Ví dụ 12(lớp 9) (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)Cho tam
ABC AB= AC AB AC, E D,
giác có Trên cạnh lấy điểm cho
DE=DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường
BC F
thẳng
EF AED
Chứng minh đường thẳng chia đơi góc
Lời giải
M BE,G
Gọi trung điểm giao
, EF AC điểmcủa đường thẳng
GA EA GD = ED Ta chứng minh
ADM Áp dụng định lý Ménélaus cho
, , G E F
với cát tuyến ta có:
1
GA FD EM GA FM EA GD FM EA = GD = FD EM
IBC DI AB
Lấy cho
, FMB FDI
Khi hai tam giác đồng
FM BM FD = DI dạng nên
ABC
DI AB DCI DI =DC=DE FM BM BM
FD = DI = DE Do cân, nên cân, hay suy ra:
M BE EM =MB EA EA
EM = MB Do trung điểm nên
GA FM EA BM EA EA GD = FD EM = DE BM = ED
Vậy điều phải chứng minh
KẾT LUẬN SỐ 2:
- Định lý Ta-lét đảo cho ta cách chứng minh đường thẳng song song
Khi gặp toán chứng minh hai đường thẳng song song ta có thêm cách phân
g
b a
a g g
I
G
F M
E
C B
A
(30)tích để tìm lời giải, chuyển từ chứng minh đường thẳng song song chứng minh hệ thức đoạn thẳng
- Bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng đồng quy
ngoài cách phân tích tìm lời giải quen thuộc ta có thêm cách phân tích tìm lời
(31)III – MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1(lớp 8): Cho ABC đều, trọng tâm G, M điểm nằm bên
tam giác, đường thẳng MG cắt đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’ ,
' ' '
3
' ' '
A M B M C M A G + B G + C G = C’ Chứng minh:
Bài 2(lớp 8):
a) Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC, điểm N cạnh
2 CN ND = CD cho:
( ) ( )
1 APQ AMN S = S Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Chứng minh:
b) Chứng minh kết luận câu a) thay điều kiện : “M
2 CN ND =
trung điểm BC, N cạnh CD cho: ” điều kiện tổng quát
2 CN BM ND = MC “M cạnh BC, N cạnh CD cho ”
Bài 3(lớp 8): Cho ABC, I giao điểm đường phân giác , G trọng tâm
ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm, a) Chứng minh: IG // BC
b) Tính IG = ?
Bài 4(lớp 8+9): Cho ABC, cạnh BC, CA AB lấy điểm M, N
( 0) BM CN AP
k k MC = CA = AB = P cho:
a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu (k)
b) Tìm k để diện tích tam giác (k) nhỏ
Bài 5(lớp 8): Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABD ACD
Bài 6(lớp 8+9) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác AM, BM, CM
(32)A1B1C1 cắt cạnh BC, CA, AB điểm thứ hai A2, B2, C2 Chứng minh AA2,
BB2, CC2 đồng quy
Bài (lớp 9) Cho (O1) (O2) cắt hai điểm A, B Các tiếp tuyến A
B (O1) cắt K Lấy điểm M nằm (O1) không trùng A B Đường
thẳng AM cắt (O2) điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) điểm thứ hai
C đường thẳng AC cắt (O2) điểm thứ hai Q Gọi H giao điểm PQ với
đường thẳng MC Chứng minh rằng: H trung điểm PQ
Bài 8(lớp 8+9) Cho góc xOy, tia Ox lấy hai điểm C A, tia Oy lấy hai
điểm D B cho AD cắt BC E Các đường thẳng AB CD cắt K;
IA KA IB = KB tia OE cắt AB I Chứng minh rằng:
Bài 9(lớp 9): Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính
ẻ Organic Math - Toán học Hữu (tiếng Hy 624 TCN 546 TCN), triết gia, nhà toán học Hy Lạp Socrates, bảy nhà hiền triết Hy Lạp triết học Hy Lạp khoa học" TCN– TCN, Miletos, Thổ Nhĩ Kỳ).T thần thoại sấm, sét động đất giới nước vật chất thần. thiên văn học, nhật thực mặt trăng mặt trời. kim tự tháp Ai Cập Sự sống Trái Đất.