Vận dụng bản đồ tư duy để bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh THPT thông qua chủ đề hàm số và phương trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHĐOÀN KHẮC TRUNG NINH VẬN DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH C

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN KHẮC TRUNG NINH

VẬN DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN KHẮC TRUNG NINH

VẬN DỤNG BẢN ĐỒ TƯ DUY ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh Để hoàn thành đượcluận văn này tôi đã nhận được rất nhiều sự động viên, giúp đỡ của nhiều cá nhân vàtập thể

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Ngô Sỹ Tùng đãhướng dẫn tôi thực hiện nghiên cứu của mình

Xin cùng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo đã tham gia giảngdạy lớp cao học 19 chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán,những người đã đem lại cho tôi những kiến thức vô cùng có ích trong những nămhọc vừa qua

Cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng sau đại học,Ban Chủ nhiệm chuyên ngành của trường Đại Học Vinh và Đại Học Sài Gòn đãtạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã luônbên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài củamình

Nghệ An, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Đoàn Khắc Trung Ninh

SGK Sách giáo khoaTHPT Trung học phổ thôngTXĐ Tập xác định

MỤC LỤC

Mở đầu 7

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 12

1.1 Sơ đồ tư duy và ứng dụng vào dạy học bộ môn toán 12

1.1.1 Sơ đồ tư duy 12

1.1.2 Ứng dụng của sơ đồ tư duy vào dạy học bộ môn toán 14

1.2 Năng lực – Năng lực toán học 20

1.2.1 Khái niệm năng lực 20

1.2.2 Năng lực toán học 22

1.3 Năng lực huy động kiến thức trong giải bài tập toán 27

1.3.1 Vai trò của bài tập trong dạy học toán 27

1.3.2 Năng lực huy động kiến thức 32

1.3.3 Vai trò năng lực huy động kiến thức trong giải toán 42

1.4 Các yếu tố cần thiết cho năng lực huy động kiến thức 46

1.4.1 Thao tác phân tích – tổng hợp khi giải toán 46

1.4.2 Năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề 48

1.4.3 Các thành tố chính của năng lực huy động kiến thức 54

1.4.3.1 Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề 54 1.4.3.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ 58

1.4.3.3 Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi bài toán về dạng tương tự 61

1.5 Dùng sơ đồ tư duy giúp học sinh giải toán 65

Kết luận chương 1 70

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH 71

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp giúp rèn luyện cho học sinh năng lực huy động kiến thức 71

2.2 Rèn luyện cho học sinh thao tác phân tích – tổng hợp 73

2.3 Rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề 87

2.4 Rèn luyện cho học sinh năng lực lựa chọn công cụ thích hợp khi giải một bài toán 99

2.5 Rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi ngôn ngữ 109

2.6 Rèn luyện cho học sinh năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi bài toán về dạng tương tự 120

Kết luận chương 2 136

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 137

3.1 Mục đích thực nghiệm 137

3.2 Tổ chức và nội dung 137

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 137

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 138

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 141

3.3.1 Đánh giá định tính 141

3.3.2 Đánh giá định lượng 141

3.4 Tổng kết về thực nghiệm 144

Kết luận 145

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1.Đại hội IX của Đảng CSVN đã khẳng định mục tiêu tổng quát của chiến lược phát triển Kinh tế – Xã hội là “đưa đất nước ta ra khỏi tình trạng kém phát triển, nâng cao rõ rệt đời sống vật chất, văn hoá, tinh thần của nhân dân, tạo nền

tảng để đến năm 2020 nước ta cơ bản trở thành một nước công nghiệp hoá theohướng hiện đại hoá” Và để có thể thực hiện được mục tiêu trên, đất nước cần cómột nguồn nhân lực dồi dào, chính vì thế, vai trò của giáo dục được đề cao Vì vậychiến lược phát triển giáo dục nêu rõ “Đổi mới và hiện đại hoá phương pháp giáodục Chuyển từ việc truyền thụ tri thức thụ động, thầy giảng, trò ghi sang hướngdẫn người học chủ động tư duy trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho người họcphương pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách có hệ thống và có tư duy phântích, tổng hợp; phát triển năng lực của mỗi cá nhân; tăng cường tính chủ động, tính

tự chủ của HS, sinh viên trong quá trình học tập…”

1.2.Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và cácphép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số."Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượngđịnh nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toánhọc Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong Triết học toán Do khả năngứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, Toán học được mệnh danh là "ngôn ngữcủa vũ trụ" Bên cạnh đó Toán học là một ngành, một môn học đòi hỏi suy luận vàtrí thông minh cao Nó chứa tất cả những gì thách thức đến bộ não của chúng ta.Học Toán hay nghiên cứu Toán học là vận dụng khả năng suy luận và trí óc thôngminh của chúng ta

1.3.Trong chương trình ở bậc THPT hiện nay, môn Toán là một môn quantrọng Môn Toán được xem như môn khoa học cơ bản, học tốt môn Toán sẽ tạo nềntảng giúp cho người học sinh phát triển các môn học khác tốt hơn Nhưng hiện nay,

có nhiều lý do khách quan ảnh hưởng tới việc học bộ môn Toán của học sinh, cóthể do chương trình nặng về lý thuyết, áp lực từ điểm số và thi cử, một phần cũng

do thầy cô dùng chưa đúng phương pháp truyền đạt, cho nên dần dần dẫn đến họcsinh cảm thấy chán học Toán Một phần cũng do học sinh khi gặp khó khăn trướcnhững bài toán khó mà không tìm thấy phương pháp làm bài đúng đắn, dần dần

cũng dẫn tới chán nản Chính vì thế, vai trò của giáo viên rất quan trọng, giáo viên

là người sẽ dẫn dắt học sinh vượt qua những khó khăn trên Người giáo viên phảibiết ưu điểm, khuyết điểm của học sinh, từ đó tìm hiểu phương pháp truyền đạtkiến thức nào phù hợp nhất với học sinh, giúp tìm hiểu xem bài toán nào thì dùngphương pháp nào, kiến thức đã có nào để giải quyết bài toán một cách dễ dàngnhất

1.4 Hiện nay, việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh chưađược giáo viên và học sinh quan tâm thật sự Giáo viên thường chỉ dạy cho họcsinh những dạng toán quen thuộc và học sinh chỉ làm theo dạng đã học, bởi vậy khigặp một bài toán mới học sinh sẽ gặp khó khăn Chính vì thế, việc huy động kiếnthức thật sự rất quan trọng, giáo viên dạy giải bài tập cho học sinh không chỉ dạyhọc sinh phương pháp giải mà còn cần dạy cho học sinh cách huy động các kiếnthức liên quan, cần dạy cho học sinh nắm vững các kiến thức xoay quanh một câuhỏi, cách liên hệ các giả thiết, cách sử dụng cũng như cách biến đổi để từ đó tìm racách giải cho bài toán Nhưng việc sử dụng năng lực huy động kiến thức như thếnào cũng tùy thuộc vào chính bản thân học sinh, người học sinh phải thật sự tíchcực, thật sự mong muốn tìm hiểu, khám phá và chiếm lĩnh tri thức

1.5 Cùng với sự phát triển của thời đại, sự bùng nổ thông tin, thước đo quantrọng cho năng lực sáng tạo của mỗi người chính là tốc độ tư duy, khả năng chuyểnhóa thông tin thành kiến thức và từ kiến thức tạo ra giá trị, tạo ra sản phẩm TonyBuzan là người đi đầu trong lĩnh vực nghiên cứu tìm ra hoạt động của bộ não vàphương pháp ghi nhớ Ông đã xây dựng tên tuổi của mình từ một ý tưởng đơn giản

mà ông gọi là Mind Maps Theo Tony Buzan “Bản đồ tư duy là một hình thức ghichép sử dụng màu sắc và hình ảnh, để mở rộng và đào sâu các ý tưởng, ở giữa bản

đồ là một ý tưởng hay hình ảnh trung tâm, ý hay hình ảnh trung tâm này sẽ đượcphát triển bằng các nhánh tượng trưng cho những ý chính và đều được nối với ý

duy giúp học sinh nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và giúp học sinh có thểghi nhớ lâu kiến thức được truyền đạt Tuy nhiên chưa có công trình nào nghiêncứu về ứng dụng của bản đồ tư duy trong việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực huyđộng kiến thức, đặc biệt là huy động kiến thức khi giải quyết các bài toán liên quantới hàm số và phương trình (lớp 12)

Chính vì những lý do trên tôi chọn nghiên cứu đề tài:

“Vận dụng bản đồ tư duy để bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học

sinh THPT thông qua chủ đề hàm số và phương trình”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức có ứng dụng của bản đồ

tư duy vào dạy học giải bài tập, tập trung vào nội dung chính là phần hàm số vàphương trình, từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trườngTHPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức kết hợp với ứng dụngcủa bản đồ tư duy trong giải toán

3.2 Tìm hiểu những khó khăn của học sinh THPT khi học chủ đề hàm số vàphương trình, từ đó tìm những phương pháp thích hợp để giải quyết các khó khăn 3.3 Đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp học sinh nâng cao năng lực huy độngkiến thức kết hợp sử dụng bản đồ tư duy trong giải toán

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của cácbiện pháp đã xây dựng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp sư phạm giúp học sinh rèn luyện năng lực

huy động kiến thức trong giải toán chủ đề hàm số và phương trình

4.2 Phạm vi nghiên cứu: Vận dụng năng lực huy động kiến thức để giải quyết các

khó khăn trong chủ đề hàm số và phương trình ở trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, lý luận

dạy học, phương pháp dạy học môn Toán, nhằm hệ thống hóa cơ sở lý luận củaviệc nâng cao năng lực huy động kiến thức trong giải toán của học sinh THPT

5.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Đánh giá thực trạng rèn luyện cho học sinh

THPT năng lực huy động kiến thức thông qua dự giờ, thông qua các bài kiểm tra và

số liệu thống kê

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm đối tượng

là học sinh THPT (khối 12), xử lý số liệu thông kê kết quả thực nghiệm sư phạm đểđánh giá tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp đã xây dựng

6 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp và vận dụng tốt năng lực huyđộng kiến thức kết hợp với bản đồ tư duy trong giải toán thì sẽ nâng cao hiệu quảdạy học môn Toán ở trường THPT

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Hệ thống hóa cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức giúp học sinh bớtkhó khăn khi học chủ đề hàm số và phương trình

7.2 Đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp để giúp đỡ học sinh rèn luyệnnăng lực huy động kiến thức khi học môn toán

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, bảng tóm tắt các chữ viết tắt,mục lục, luận văn có 3 chương:

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNGLỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHỦ

ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

hoạt động của bộ não con người, người ta chỉ ra rằng bộ não hoạt động gồm 2nhánh:

- Não phải nhạy cảm với các thông tin về màu sắc, nhịp điệu, hình dạng, tưởngtượng, … sẽ tác động kích thích não trái

- Não trái thích hợp với các từ ngữ, con số, tư duy, phân tích, … cho ra sảnphẩm

Do đó người ta tìm cách kích thích não phải tốt nhất Trình bày vấn đề theo sơ đồ,biểu đồ bao giờ cũng gây hứng thú Trong các hình thức ấy, sơ đồ mà tác giả TonyBuzan đưa ra được đánh giá cao nhất và đã trở thành công cụ làm việc hiệu quả củahàng triệu người trên thế giới Tony Buzan là người sáng tạo ra phương pháp tư

duy Mind Map Tony Buzan từng nhận bằng danh dự về tâm lý học, văn chương Anh, toán học và nhiều môn khoa học tự nhiên của trường ĐH British Columbia

năm 1964 Là tác giả hàng đầu thế giới về não bộ, ông đã viết 92 đầu sách, đượcdịch ra trên 30 thứ tiếng với hơn 3 triệu bản in tại 125 quốc gia trên thế giới và

được biết đến nhiều nhất qua cuốn Use your head Trong đó, ông trình bày cách

thức ghi nhớ tự nhiên của não bộ cùng với các phương pháp Mind Map

Bản đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy Đây là phương pháp dễ nhất đểchuyển tải thông tin vào bộ não của bạn rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não Nó làmột phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó, “sắpxếp” ý nghĩ của bạn Bản đồ tư duy gồm một vấn đề lớn đặt ở trung tâm và cácnhánh ý tưởng tỏa ra xung quanh Một bản đồ tư duy cho phép chúng ta thoả sứcvạch ra các ý tưởng, suy nghĩ đầy đủ trước khi đi đến một quyết định Nếu cần xâydựng một kế hoạch làm việc, phân tích một vấn đề thì bản đồ tư duy mang đếnnhững giá trị lớn hơn nhiều việc bạn đặt bút viết tuần tự từ đầu đến cuối trang giấy,nhất là những người có năng khiếu vẽ đẹp, tạo cho bản đồ sự hấp dẫn

Trước nay, chúng ta ghi chép thông tin bằng các ký tự, đường thẳng, con số

chưa hề sử dụng kỹ năng nào bên não phải, nơi giúp chúng ta xử lý các thông tin vềnhịp điệu, màu sắc, không gian và sự mơ mộng Hay nói cách khác, chúng ta vẫnthường đang chỉ sử dụng 50% khả năng bộ não của chúng ta khi ghi nhận thông tin.Với mục tiêu giúp chúng ta sử dụng tối đa khả năng của bộ não, Tony Buzan đãđưa ra bản đồ tư duy để giúp mọi người thực hiện được mục tiêu này Chúng ta cóthể sử dụng bản đồ tư duy vào nhiều việc khác nhau:

 Ghi nhớ chi tiết cấu trúc đối tượng hay sự kiện mà chúng chứa các mối liên

hệ phức tạp hay chằng chéo

 Tổng kết dữ liệu

 Hợp nhất thông tin từ các nguồn nghiên cứu khác nhau

 Động não về một vấn đề phức tạp

 Trình bày thông tin để chỉ ra cấu trúc của toàn bộ đối tượng

 Ghi chép (bài giảng, phóng sự, sự kiện )

1.1.2 Ứng dụng của bản đồ tuy duy vào dạy học bộ môn toán

Cùng với việc đổi mới mục tiêu và nội dung dạy học, vấn đề đổi mới phươngpháp dạy học theo triết lý lấy người học làm trung tâm được đặt ra một cách bứcthiết Bản chất của dạy học lấy người học làm trung tâm là phát huy cao độ tính tựgiác, tích cực, độc lập, sáng tạo của người học Để làm được điều đó thì vấn đề đầutiên mà người giáo viên cần nhận thức rõ ràng là quy luật nhận thức của người học.Người học là chủ thể hoạt động chiếm lĩnh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và thái độ chứkhông phải là “cái bình chứa kiến thức” một cách thụ động

Trong thực tế hiện nay, còn nhiều học sinh, sinh viên học tập một cách thụđộng, chỉ đơn thuần là nhớ kiến thức một cách máy móc mà chưa rèn luyện kỹnăng tư duy Học sinh chỉ học bài nào biết bài đấy, cô lập nội dung của các môn,phân môn mà chưa có sự liên hệ kiến thức với nhau vì vậy mà chưa phát triển được

tư duy logic và tư duy hệ thống Sử dụng bản đồ tư duy giúp các em giải quyếtđược các vấn đề trên và nâng cao hiệu quả học tập Bản đồ tư duy giúp thể hiện rabên ngoài cách thức mà não bộ chúng ta hoạt động Khi có một thông tin mới đượcđưa vào, để được lưu trữ và tồn tại, chúng cần kết nối với các thông tin tồn tại trước

đó

Việc sử dụng các từ khóa, chữ số, màu sắc và hình ảnh đã đem lại một công

cụ lớn vì đã huy động cả bán cầu não phải và não trái cùng hoạt động Sự kết hợpnày sẽ làm tăng cường trí tuệ và tính sáng tạo của chủ nhân bộ não Bản đồ tuy duy

là một công cụ hữu ích trong học tập và giảng dạy ở trường phổ thông cũng như ởcác bậc cao hơn vì chúng giúp học sinh và giáo viên trong việc trình bày các ýtưởng một cách rõ ràng, suy nghĩ sáng tạo, tóm tắt thông tin của một bài học haymột cuốn sách, hệ thống lại kiến thức đã học, tăng cường khả năng ghi nhớ, đưa ra

- Kích thích sáng tạo của học sinh

- Giúp mở rộng ý tưởng, đào sâu kiến thức

- Giúp hệ thống hóa kiến thức

- Giúp ôn tập kiến thức

- Giúp ghi nhớ nhanh, nhớ sâu, nhớ lâu kiến thức

Kiểu ghi chép của bản đồ tư duy thể hiện bằng hình ảnh, đường nét, màu sắcđược trải theo các hướng không có tính tuần tự và có độ thoáng, giúp dễ dàng pháttriển ý tưởng nhanh hơn so với cách ghi chép thông thường theo kiểu xuống dòng.Điểm nhấn của bản đồ tư duy là giúp phát triển ý tưởng và không bỏ sót ý tưởng.Việc xây dựng được một hình ảnh thể hiện mối liên hệ giữa các kiến thức sẽ manglại những lợi ích đáng quan tâm về các mặt: ghi nhớ, phát triển nhận thức, tư duy,

óc tưởng tượng và khả năng sáng tạo…Bản đồ tư duy vừa như bức tranh tổng thể

mà lại chi tiết, vừa giúp nhìn được khái quát toàn bộ vấn đề vừa nhìn được cái cụthể trong cái tổng thể đó

Bên cạnh đó, bản đồ tư duy còn có các tác dụng như giúp ôn tập, củng cốkiến thức của một bài học, một chủ đề Ngoài ra GV có thể gợi ý cho học sinh lậpbản đồ tư duy nhằm mục đích ôn tập kiến thức cho một chương học khi ôn tập cuốihọc kì, việc lập sơ đồ tư duy do chính các em lập ra thì mới có tác dụng cao nhất,

đó là giúp các em ghi nhớ, hệ thống hóa kiến thức chính trong chương đó

1.2 Năng lực – năng lực toán học

1.2.1 Khái niệm năng lực

Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc

điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạtđộng nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao Các năng lực củamột cá nhân hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên đóng vai trò quan trọng,năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do tập

luyện mà có Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực

chung và năng lực chuyên môn

- Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhaunhư năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lựctưởng tượng

- Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xãhội như năng lực tổ chức , năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội họa,toán học

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau,năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu năng lực chung càng pháttriển thì sẽ kéo theo sự phát trển của năng lực chuyên môn Ngược lại sự phát triển

của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với

sự phát triển của năng lực chung Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệuquả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và

có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình.Những năng lực cơ bản này không phải là bẩm sinh, mà nó phải được giáo dục pháttriển và bồi dưỡng ở con người

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lýcủa con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu làcái mà người đó có thể dùng khi hoạt động Trong điều kiện bên ngoài như nhaunhững người khác nhau có thể tiếp thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp

độ khác nhau có người tiếp thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lựcmới tiếp thu được, người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn ngườikhác chỉ đạt được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng Thực tế cuộcsống có một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao Nhữnghình thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất định mới có thể đạt kết quả

Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực tacần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếumột sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về nănglực

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện mộthoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chungchung nào

- Khái niệm năng lực không liên quan đến những kiến thức kỹ năng, kỹ xảo đãđược hình thành ở một người nào đó Năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu cáckiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ đàng hơn

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự

tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triểntrong quá trình hoạt động phát triển của con người

Tri thức, kỹ năng, kỹ xảo không đồng nhất với năng lực nhưng có quan hệmật thiết với năng lực Năng lực góp phần làm cho sự tiếp xúc tri thức, rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo một cách tốt hơn Năng lực của mỗi người dựa trên cơ sở tư chấtnhưng chủ yếu là năng lực được hình thành, rèn luyện và phát triển trong nhữnghoạt động tích cực của con người dưới sự tác động của rèn luyện dạy học vào giáodục

Ví dụ trong dạy học bộ môn Toán, việc rèn luyện và phát triển năng lực giảitoán cho học sinh là một việc rất quan trọng Trong đó năng lực giải toán là tổ hợpcác thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ralời giải của bài toán Năng lực giải toán là một năng lực riêng biệt của con người.Cùng với năng lực giải toán thì sự kết hợp của kỹ năng, kỹ xảo thích hợp cũng rấtcần thiết cho việc thực hiện lời giải của bài toán đó Khi dạy học giải bài tập chocác bài toán về hàm số, hay các bài toán hình học không gian thì việc rèn luyện vàphát triển năng lực giải toán là cần thiết và quan trọng Các bài toán, các bài tập chỉgiải được khi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản liên quan, nắm được bảnchất của bài toán, nhưng có nhiều bài toán phức tạp thì người học sinh cần phải sửdụng tới nhiều năng lực khác để tìm ra lời giải, nếu phát triển tốt hơn thì người họcsinh có thể sẽ tìm ra được nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán

1.2.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện cáchoạt động toán học Theo Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2mức độ:

- Theo ý nghĩa năng lực học tập thì năng lực toán học tức là năng lực đối với

việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông,nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Theo ý nghĩa năng lực sáng tạo thì năng lực toán học là năng lực hoạt động

sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đốivới xã hội loài người

Hai ý nghĩa riêng biệt này của năng lực toán học tuy có vẻ khác xa nhaunhưng thực ra chúng bổ sung cho nhau Ở THPT, nói đến năng lực học tập toánkhông phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Có nhiều em học sinh có nănglực toán học tốt, có thể nắm được, tiếp thu được các kiến thức toán học mà thầy côvừa truyền đạt, em đó có thể tự đặt ra, tự nghĩ ra các hướng phát triển khác để đượcbài toán mới (tuy nhiên các bài toán đó có thể chỉ ở mức độ không phức tạp lắm).Bên cạnh đó, những em đó có thể vận dụng những kiến thức mà thầy cô cung cấp

để chứng minh, suy luận ra những kiến thức mới, tự mình tìm ra những cách chứngminh, tự mình tìm ra những cách giải mới cho những bài toán thường gặp (nhữngcách giải không theo phương pháp truyền thống)

Với m = -1 Ta có

2 2

0 2

2 1

x

y

x x

x

y

x x

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 thỏa yêu cầu bài toán

Với cách giải số 1, bài toán được giải quyết qua nhiều bước (tìm ra giá trịcủa m sau đó thử lại) Cách giải này dễ hiểu, dễ thực hiện, tuy nhiên đối với nhữnghọc sinh nắm rõ được bản chất khái niệm cực trị (cực đại và cực tiểu) thì các em cóthể sử dụng một kiến thức khác để giải quyết bài này, đó là dùng tới định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x 0 thì ta có 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

y

x m





Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì '(2) 0

''(2) 0

y y

Ở cách số 1, học sinh cần phải tìm hiểu xem tam giác ABC là tam giác gì, rồi

từ đó mới có thể vận dụng các kiến thức liên quan để tính diện tích như là chiềucao, độ dài cạnh đáy Tam giác tạo thành từ 3 cực trị trong bài là một tam giác cânnên học sinh có thể dễ dàng tính được diện tích theo tham số m, nhưng nếu giả sửtam giác tìm được là một tam giác thường thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việctính diện tích Tuy nhiên ở chương trình THPT, có một công thức tính diện tích cho

mọi dạng tam giác, đó là công thức của hình học giải tích trong không gian Khi đó

Yêu cầu chung về năng lực toán học là tất cả học sinh đều phải có khả nănggiải Toán và phải nắm vững các kiến thức của chương trình học, tuy nhiên khôngphải học sinh nào cũng có khả năng như nhau, khả năng giải Toán và nắm vữngkiến thức chắc chắn sẽ khác nhau giữa các học sinh do các năng lực toán học

không phải có sẵn, không phải bất biến mà là hình thành và phát triển trong suốt

quá trình học tập, luyện tập Do vậy, yêu cầu của giáo viên trong dạy học Toán là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để mọi học sinh đều được nâng cao

năng lực toán học của mình

Một số năng lực toán học chủ yếu cần có như là năng lực phân tích, tổnghợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa… Đặc biệt hóa, khái quáthóa và tương tự hóa có vai trò quan trọng trong Toán học Đó là một phương phápsuy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh toán học Nó giúp chúng tanhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ, từ đó giúp chúng ta mò mẫm, phán đoán đểtìm ra lời giải bài toán đó, đồng thời mở rộng và đào sâu kiến thức hơn Còn theoquan điểm của tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của năng lực toán học đó là:

1 Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các kháiniệm

2 Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu

3 Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu

4 Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu

5 Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

6 Năng lực xây dựng một chứng minh

7 Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học

8 Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học

9 Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng

10 Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học

1.3 Năng lực huy động kiến thức trong giải bài tập toán

1.3.1 Vai trò của bài tập trong dạy học toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong

đó giải toán là hình thức chủ yếu Các bài toán ở trường phổ thông là một phương

tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán học vào thựctiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạyhọc toán ở trường phổ thông Vì vậy, việc tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tậptoán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.

Theo quan điểm của G Pôlya, khi tìm lời giải một bài toán thường được thựchiện theo bốn bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: Ở bước này người học phải hiểu rõ nội

dung của bài toán, giả thiết cho những gì và mình cần tìm đối tượng nào haychứng minh tính chất nào?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Khi đã hiểu được nội dung bài toán,

chúng ta cần chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giảnhơn, phải huy động các kiến thức liên quan đến những khái niệm, nhữngquan hệ trong đề bài, rồi lựa chọn những kiến thức gần gũi với đề bài, mòmẫm, dự đoán thử xét một vài khả năng, một số trường hợp đặc biệt, xét bàitoán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho

Bước 3: Thực hiện chương trình giải : Sau khi phân tích và tìm ra lời giải,

chúng ta tổng hợp và kiểm tra lại các bước chứng minh trên và hoàn thànhlời giải bài toán

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: Sau khi trình bày lời giải, giáo viên

cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại kết quả của bài toán, thử xét một số trườnghợp đặc biệt xem kết quả bài toán đã đúng chưa? Đồng thời nghiên cứu lạilời giải để thấy được điều cốt yêu trong lời giải là gì, qua đó có thể tổng quátbài toán hoặc xét bài toán tương tự…

Đối với giáo viên, dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉđơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Nếu dạy học giải bài tập chỉ làcung cấp lời giải cho học sinh thì bài tập toán sẽ mất đi mục đích và ý nghĩa của nó,học sinh chỉ xem như là học đối phó, chỉ cần biết đáp số chứ không cần biết vì sao

làm được, không cần biết dùng những kiến thức gì để giải được bài toán, dần dầnhọc sinh sẽ rơi vào thế bị động khi giải toán Biết lời giải bài toán không quan trọngbằng biết cách thức giải dược bài toán Do đó, để tăng hứng thú học tập cho họcsinh, phát triển năng lực toán học cho học sinh thì giáo viên cần tập cho học sinhthói quen cho học sinh đó là lập ra thuật toán riêng cho từng dạng bài tập toán

Khi dạy giải bài tập thì giáo viên cũng cần hướng dẫn cho học sinh các kỹnăng riêng cho từng loại bài tập, giúp cho học sinh nắm được cách phân biệt cáctrường hợp xảy ra trong một dạng toán cụ thể nảo đó, từ đó tìm ra hướng giải quyếtcũng như biết dùng những kiến thức liên quan nào để giải bài toán Việc xác địnhhướng giải một bài tập có liên quan mật thiết với việc lựa chọn phương pháp vàcông cụ thích hợp để giải một bài tập Một bài tập chỉ có thể có lời giải tốt khi chọnđược phương pháp và công cụ thích hợp với hướng giải đã có Không tìm đượcphương pháp giải phù hợp với bài tập có thể đưa đến các sai lầm: Đặt điều kiện sai,biện luận không hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách giảithích hợp

Ví dụ 1.3.1.1: Giáo viên cho học sinh tính các giới hạn sau

Chủ đề giới hạn hàm số là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán 11

ở bậc THPT hiện nay, nội dung giới hạn hàm số liên quan tới các nội dung khácnhư là hàm số liên tục, đạo hàm, rồi từ đó phát triển thành các nội dung như nguyênhàm, vi phân, tích phân Đối với các bài toán ở ví dụ 1, hai bài toán A và B nhìnlướt qua thì có vẻ rất giống nhau, nhưng cách xử lý bài toán để tìm ra đáp số thìhoàn toàn khác nhau, hai bài đều có dạng f x  g x( ) nên học sinh hầu hết sẽdùng cách nhân liên hợp để xử lí, chứ không cần biết bài nào cần nhân liên hợp bàinào không Nguyên nhân các em làm như vậy là do đã hình thành một thói quen

khi làm bài là “thấy căn bậc hai là nhân liên hợp”, tuy rằng có thể đáp số vẫn ra

đúng nhưng các phép biển đổi sẽ nhiều, dẫn tới sễ sai sót, các em chưa hình thành

được thói quen phân tích đề bài trước khi tìm ra hướng giải mà cứ đi theo một lối

Ví dụ 1.3.1.2: Giáo viên cho học sinh làm bài toán sau: Chứng minh đạo

hàm bậc nhất của hàm số y sin 6x cos 6x 3sin cos 2x 2x không phụ thuộc vào x.(Câu 6a – SGK toán 11 ban cơ bản – trang 169)

Đa phần học sinh khi làm bài toán này thì đều xử lí bài toán theo hướng là đạo hàmluôn, rồi sẽ biến đổi đạo hàm sao cho đáp số chỉ còn hằng số, các em không cần suynghĩ gì thêm, không cần tìm hiểu xem có cách nào làm ngắn gọn hơn không

Nếu đạo hàm trực tiếp, bài toán sẽ như sau:

2 2 3 3

6sin cos (sin cos ) 6sin cos 6sin cos

6sin cos 6sin cos 6sin cos 6sin cos

sin cos 3sin cos

(sin cos ).(sin sin cos cos ) 3sin cos

và lựa chọn các phương pháp thích hợp Điều đó phụ thuộc vào khả năng sáng tạo,cách phát hiện vấn đề cần giải quyết của học sinh

Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập:

1.Lời giải không có sai lầm Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tậpthường do ba nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giảthiết hay kết luận của định lý, ;

+ Sai sót về phương pháp suy luận;

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.2.Lời giải phải có cơ sở lý luận Các suy luận, biến đổi trong bài toán phảichặt chẽ, hợp logic

3.Lời giải phải đầy đủ

4.Lời giải đơn giản nhất Đối với những học sinh khá giỏi, có khả năng suyluận tốt, huy động kiến thức tốt thì sẽ nhận biết được hướng giải quyết nào là tốt ưucho bài toán, tuy nhiên đối với những học sinh trung bình trở xuống thì yêu cầu tốithiểu đối với lời giải ở đây là các em chỉ cần giải được bài toán, các suy luận trongbài chặt chẽ là được còn việc trình bày lời giải một cách ngắn nhất, đơn giản nhấtthì còn phụ thuộc nhiều vào khả năng thông hiểu và suy luận.

1.3.2 Năng lực huy động kiến thức

Ví dụ 1.3.2.1: Giáo viên cho học sinh làm lần lượt các bài toán sau

Bài toán 1: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2x3  3x2  m  1 0 có 3nghiệm thực phân biệt

Bài toán 2: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 1 3

0

3x  mx m  có 3nghiệm thực phân biệt

Bài toán 3: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x3 mx2  x 0 có 3nghiệm thực phân biệt

Ba bài toán trên nhìn thì có vẻ rất giống nhau, đều có yêu cầu là tìm tham số

m để một phương trình bậc 3 có 3 nghiệm thực phân biệt, nhưng 3 bài toán phíatrên có 3 cách giải khác nhau Với bài toán thứ nhất, học sinh đã quen thuộc vớikiểu làm của dạng bài tập này, đó là dùng đồ thị để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải sẽ như sau:

Phương trình 2x3  3x2  m  1 0 (*)  2x3  3x2   1 m

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C): y 2x3  3x2  1 vớiđường thẳng y = m

Xét hàm số y 2x3  3x2  1 có y' 6  x2  6x

1 1 2

2 có thể chuyển đổi như sau:

Bài toán 2*: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 1 3

3

y x  mx m cắttrục hoành tại 3 điểm phân biệt

Quan sát trên đồ thị của một hàm số bậc 3

bất kì mà cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, ta có thể

rút ra kết luận: Muốn đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm

phân biệt thì hàm số phải có yCĐ và yCT trái dấu với

nhau, tức là yCĐ.yCT < 0 Vậy bài toán 2 chuyển

thành bài toán 2* và hướng giải sẽ là tìm m sao

cho hàm số 1 3

3

y x  mx m có cực đại và cực tiểusao cho yCĐ.yCT < 0

Lời giải bài toán 2*:

1

' 3

Với

2 3 2 3

m  thì phương trình đã cho có 3 nghiệm thực phân biệt

Hai bài toán 1 và 2 là dùng những kiến thức liên quan tới hàm số như là đồthị, cực trị để giải quyết bài toán Đối với bài toán số 3, ta vẫn có thể dùng cách làmcủa bài toán 2 để giải quyết nhưng không cần thiết, bài toán số 3 chỉ cần dùngphương pháp đại số, trong phương trình x3 mx2  x 0 ta dễ dàng nhận thấyphương trình có một nghiệmx 0 Khi đó phương trình sẽ trở thành

phương trình x2 mx  1 0 có 2 nghiệm thực phân biệt và khác 0 Điều kiện sẽ là

(*) (0) 0

từ hướng giải quyết đó, ta sử dụng các kiến thức liên quan để giài quyết vấn đề

Ví dụ 1.3.2.2: Chứng minh rằng hàm số yf x( ) x2  4x giảm trên (   ;2)

Vậy f x( ) 1  f x( ) 0 2  Suy ra hàm số tăng trên (2;  ).

Cách chứng minh hàm số đồng biến nghịch biến như cách ở trên là dùng tớiđịnh nghĩa để chứng minh Lên tới lớp 12, học sinh được học cách tìm khoảngđồng biến nghịch biến của hàm số dựa vào cách xét dấu cho đạo hàm bậc nhất củahàm số Ta có định lý như sau:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a.Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b.Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Vậy với bài toán trên, kiến thức ta cần dùng ở đây là dấu của đạo hàm bậc nhất

Vậy: hàm số đồng biến trên (2;  ) và nghịch biến trên (   ;2)

Kết luận: từ 2 ví dụ trên, ta nhận thấy rằng mỗi bài toán đều có những cáchgiải riêng biệt, hoàn toàn khác nhau, vẫn có cách làm chung cho các bài toán nhưngchủ yếu là ta có thể tìm được cách giải tối ưu nhất cho mỗi bài toán, cách phát hiệnvấn đề và cách giải quyết vấn đề cho mỗi bài toán cũng khác nhau, cách xây dựnghướng giải quyết cho mỗi bài cũng khác nhau Rồi từ hướng giải quyết của mỗi bàitoán, kết hợp với các giả thiết, các điều kiện mà ta huy động các kiến thức liênquan Vậy như thế nào gọi là huy động kiến thức?

Khi học toán, các kiến thức tổng hợp về toán học như là các định lý, các kháiniệm, các hệ quả, công thức được giáo viên truyền đạt, học sinh đã lưu giữchúng , bởi vậy khi đứng trước một bài toán, ta cần phải xem xét thật kĩ lưỡng bàitoán và tìm ra các mối liên hệ Chắc chắn kiến thức dùng để giải quyết bài toán đóphải nằm trong các kiến thức được giáo viên cung cấp Nhưng để tìm ra hướng giảiquyết thì nhất định học sinh phải nhớ kiến thức cũ, sau đó xem xét các mối liên hệgiữa vấn đề cần giải quyết với kiến thức có sẵn và xem cần dùng kiến thức nào, cáinào phù hợp để giải bài toán cái nào không Đây chính là huy động kiến thức Vậy

“huy động kiến thức” có thể được hiểu là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến thức mà

mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết Huy động kiếnthức trong toán học là một quá trình logic, bước này liên tiếp bước kia, từ cái nàymới tìm ra được cái kia, tất cả quá trình kết hợp lại với nhau, không thể tách rời.Các câu hỏi giúp ích cho việc huy động kiến thức như là “ Ta đã gặp bài toán nàylần nào chưa?” hoặc là “Bài toán này có gần giống bài nào ta đã từng gặp chưa?”.

Ví dụ 1.3.2.3: Cho hàm số yx4  (3m 4)x2 m2có đồ thị (C) Tìm giá trịcủa tham số m sao cho (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và hoành độ của 4giao điểm lập thành một cấp số cộng

Kiến thức liên quan cho các yêu cầu:

Yêu cầu thứ nhất: Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, ta có các kiến thứccần dùng:

(1) Phương trình hoành độ giao điểm

(*)

Để đồ thị (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 4 nghiệmphân biệt, hay X2  (3m 4)X m 2  0 (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt,trong đó x2 X

lý Viét, kiến thức về cấp số cộng có rất nhiều, nhưng để giải bài toán thì ta khôngcần dùng hết tất cả kiến thức, ta chỉ cần lựa chọn ra các kiến thức phù hợp nhất đểgiải quyết bài toán thông qua quá trình suy luận, phân tích bài toán Kết hợp tất cảvới nhau, ta sẽ giải được bài toán

Ví dụ 1.3.2.4: Cho hai hàm số 1 (1)

2

y x

 và

2

(2) 2

x

y  Viết phương

trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng Tính gócgiữa hai tiếp tuyến

Yêu cầu thứ nhất: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của hai đồ thị.

(1) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

(2) Viết phương trình tiếp tuyến với 2 đồ thị

(2.1) Tìm hoành độ, tung độ giao điểm(2.2) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến(2.3) Viết phương trình tiếp tuyếnYêu cầu thứ 2: Xác định góc giữa 2 tiếp tuyến

-Với (1), ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x

x x

2 2

y x , ta có hệ số góc là 1 2

2

k 

2 2

2

y x  , ta có hệ số góc là k 2 2

Ta có: 1. 2 2 2 1

2

k k   Vậy hai tiếp tuyến vuông góc nhau

Ở yêu cầu thứ 2 là tính góc của 2 tiếp tuyến, tức là yêu cầu tính góc của 2đường thẳng với nhau Ta có các cách sau để tính góc:

+Ta tính theo công thức: ta có hệ số góc là   1 2

1 2

cos ;

vectơ pháp tuyến của hai tiếp tuyến

+Ta có thể xét xem hai vectơ pháp tuyến n n 1; 2 có quan hệ đặc biệt gì vớinhau hay không Trong trường hợp này thì n n  1. 2 0

, vậy 2 tiếp tuyến vuônggóc nhau

+Ta có thể xét xem tới hệ số góc k k1 ; 2của hai tiếp tuyến có quan hệ gì đặcbiệt không Trong trường hợp này thì k k 1 2 1, vậy 2 tiếp tuyến vuông gócnhau

Kết luận: Đứng trước một vấn đề như là chứng minh định lý, có thể là giảibài tập toán, nếu không huy động kiến thức, không vận dụng được các kiến thức đãhọc thì ta không thể giải quyết được vấn đề Khi bắt đầu giải một bài toán, chúng tachưa thể biết được sẽ cần dùng những những kiến thức nào trừ những bài toán cóthuật giải Toán học là một môn khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rất cao.Mọi kiến thức toán học đều có những mối liên hệ chặt chẽ và không thể tách rờinhau, tri thức trước làm nền tảng sinh ra tri thức sau Để giải quyết được vấn đề đặt

ra chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ, những cái đã biết trước đó