Trong hoạt giải bài tập toán thì thao tác đầu tiên là thao tác phân tích và tổng hợp, có thể nói phân tích – tổng hợp là thao tác tư duy cơ bản nhất. Mọi hoạt động trí tuệ đều xuất phát từ thao tác phân tích – tổng hợp, và các kết quả của các hoạt động trí tuệ toán học đều là những dạng khác nhau của thao tác phân tích và tổng hợp. Do đó để giúp học sinh phát triển tư duy môn toán thì giáo viên cần chú trọng rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích – tổng hợp.
Phân tích một vấn đề là chia nhỏ vấn đề thành từng bộ phận nhỏ nhằm phân biệt thuộc tính của từng bộ phận. Như vậy, trong quá trình tư duy, để hình thành và nắm vững các định nghĩa, khái niệm hay sự kiện mới, để giải quyết một vấn đề, giải thích một hiện tượng, một hình vẽ, một sơ đồ hay để nắm vững, hiểu sâu một nội dung học tập, chứng minh một bài toán,... đều cần đến sự phân tích dưới mọi góc độ như một khâu đầu tiên, cơ bản của hoạt động tư duy. Chẳng hạn phân tích một bài toán được hiểu là tách các yếu tố trong bài toán làm cho nó xuất hiện hết các yếu tố (các số liệu, kích thước, hình vẽ,...), đồng thời làm xuất hiện mối quan hệ giữa các yếu tố (quan hệ hơn – kém, gấp – kém, quan hệ tỉ lệ thuận – nghịch,...),
một bài toán giúp phát hiện mối liên quan giữa các phần của giả thiết, giữa các phần của kết luận, phân tích là cơ sở của định hướng tìm kiếm lời giải bài toán.
Tổng hợp một vấn đề là gộp các bộ phận đã được phân tích thành một chỉnh thể. Tổng hợp còn thể hiện ở khả năng liên kết những sự kiện tưởng như rời rạc không có quan hệ với nhau trước đây thành một tổng thể mạch lạc, có hệ thống chặt chẽ. Trong tư duy, tổng hợp là thao tác được xem là mang dấu ấn sáng tạo và gắn với tư duy sáng tạo. Trong giáo dục, người ta cũng thường sử dụng một vài thuật ngữ về tổng hợp như: tổng hợp biện chứng, tổng hợp thực nghiệm, tổng hợp trừu tượng, tổng hợp toán học,... Tổng hợp một bài toán là quá trình xem xét tổng quan bài toán, giúp nắm vững sự liên hệ của các dữ kiện có trong bài, trên cơ sở đó ta kết nối các dữ kiện lại với nhau.
Phân tích và tổng hợp là hai khái niệm đối lập nhưng đồng thời cả hai cùng bổ sung cho nhau. Phân tích chuẩn bị cho tổng hợp thì tổng hợp lại chỉ phương hướng cho các bước phân tích sau đó. Theo Hoàng Chúng thì trong mọi khâu của
quá trình học tập toán học của học sinh thì năng lực phân tích - tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo. Có thể nói phân tích - tổng hợp là một cặp thao tác tư duy cơ bản và quan trọng , nó được thực hiện trong tất cả các quá trình tư duy của học sinh. Với đặc trưng là phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau sau đó hợp nhất các thành phần đã được tách rời thành một chỉnh thể. Trong môn toán, thao tác phân tích – tổng hợp thường được sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, phân tích cách diễn đạt các mối quan hệ của bài toán, phân tích thuật ngữ, phân tích cách hỏi, câu hỏi, yêu cầu của bài toán, những tình huống,... sau đó tổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đưa ra điều kiện mới, kết luận mới, tổng hợp các bước giải bộ phận để liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổng hợp các bài toán tương tự theo một tiêu chí nhất
định thành một mẫu bài toán, tổng hợp các cách giải tạo thành phương pháp giải chung,...
Việc giải một bài toán là một chuỗi các hoạt động tổng hợp của tư duy diễn ra trong đó có thao tác phân tích – tổng hợp được tiến hành một cách phức hợp. Dù là tiến hành theo hình thức nào thì việc giải một bài toán vẫn phải tuân theo một quy trình xác định, gồm các công đoạn như: tìm hiểu đề, phát hiện vấn đề, huy động kiến thức để giải, hoàn thành bài giải và kiểm tra lại. Khi học sinh giải một bài tập thì cách giải và các kiến thức dùng để giải tất nhiên phải nằm trong khối kiến thức đã học và tùy vào từng trình độ mà học sinh phân tích – tổng hợp bài toán theo từng hướng khác nhau.
Trong thực tiễn của dạy học giải bài tập toán và rèn luyện cho học sinh thao tác phân tích – tổng hợp thì vẫn còn tồn tại một số mặt:
- Giáo viên chưa quan tâm thật sự đến việc rèn luyện cho học sinh thao tác phân tích – tổng hợp. Nếu gặp bài toán quen thuộc hoặc dạng quen thuộc thì học sinh vẫn làm được nhưng khi gặp bài toán mới thì học sinh sẽ suy nghĩ theo một cách rời rạc, không có trật tự và dẫn đến không giải quyết được bài toán.
- Giáo viên vẫn có thể cho học sinh làm các bài tập nhằm rèn luyện cho học sinh thao tác phân tích – tổng hợp khi dạy học giải bài tập nhưng có thể đó chỉ là một vài bài toán điển hình, một vài bài toán đặc biệt mà không phát triển thêm cho học sinh. Như vậy học sinh cũng chỉ biết một ít về thao tác phân tích – tổng hợp chứ chưa thật sự sâu sắc. Ngoài rèn luyện cho học sinh thao tác phân tích – tổng hợp thì giáo viên còn cần rèn luyện thêm cho học sinh các thao tác tư duy khác như so sánh, trừu tượng hoá, tương tự hoá, ...
- Có hai kiểu phân tích chính, đó là phân tích kiểu bộ lọc (Nét đặc trưng của phân tích kiểu bộ lọc là thử sai và may rủi. Một phép thử bất kì có thể dẫn tới kết quả, nhưng cũng có thể dẫn ta vào một mê lộ, một sự tìm kiếm vô vọng) và phân tích qua tổng hợp (Tư tưởng của dạng phân tích này là đi theo chiều ngược lại hay
còn gọi là phân tích ngược. Xuất phát từ bài toán ban đầu cẩn giải, chuyển tới bài toán con, mà việc giải bài toán con là điều kiện cần thiết để giải bài toán ban đầu). Cũng tùy thuộc vào từng bài toán mà ta chọn kiểu phân tích nào, nếu xuất phát ban đầu mà học sinh chọn sai kiểu phân tích thì hướng giải quyết bài toán có thể sẽ trở thành một chuỗi những phân tích lung lung, rời rạc và sẽ không giải quyết được bài toán.
- Việc sử dụng bản đồ tư duy hiện nay trong dạy học toán còn khá mới mẻ, do đó giáo viên hoặc học sinh chưa tận dụng hết các chức năng của bản đồ tư duy. Trong dạy học toán hoặc dạy học giải bài tập, bản đồ tư duy có các chức năng rất hữu ích như là dùng để tổng kết các ý chính trong bài hoặc là dùng để động não về các vấn đề phức tạp, ta vẫn có thể sử dụng bản đồ tư duy như là một công cụ giúp cho việc phân tích bài toán trở nên dễ dàng, rồi từ bản đồ tư duy ta tổng hợp lại để đưa ra bài giải.
Để luyện tập cho học sinh quen với thao tác phân tích – tổng hợp và giúp cho học sinh rèn luyện tốt các thao tác này, giáo viên có thể sử dụng các câu hỏi như: Yếu tố nào đã cho? Yếu tố nào phải tìm? Yếu tố nào có thể suy ra hoặc tìm được? Yếu tố nào được liên hệ từ thực tiễn? Cần xuất phát từ yêu cầu nào của bài toán hay từ những điều kiện nào? Từ đây ta suy ra được điều gì?...Ngoài ra còn có thể kết hợp sử dụng bản đồ tư duy để vẽ ra sơ đồ phân tích cho bài toán, rồi từ bản đồ mà ta tổng hợp thành bài giải hoàn chỉnh.
Ví dụ 2.2.1: Cho hàm số 1 3 ( ) 2 ( ) 1
1 3 2
3 3
y= mx − m− x + m− x+ . Tìm m sao cho
hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.
Đối với bài toán này, giáo viên có thể đặt một số câu hỏi sau để giúp học sinh thực hiện thao tác phân tích như sau:
- Bài toán gồm những yêu cầu nào?
- Hàm số bậc 3 muốn có cực đại và cực tiểu thì điều kiện phải thế nào? - Có những cách nào để biến đổi biểu thức x1 + 2x2 = 1 theo tham số m? Lời giải bài toán:
- Tập xác định: ¡
- y'=mx2−2(m−1) x+3(m−2)
- Hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình 2 ( ) ( )
2 1 3 2 0 (*)
mx − m− x+ m− =
có 2 nghiệm phân biệt. Từ đó ta có: 2 0 0 2 6 2 6 0 2 4 1 0 ; 2 2 a m m m m ≠ ⇒ ≠ − + ∆ > ⇒ − + + > ⇔ ∈ ÷
- Ta có hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) Vậy ta có ( ) 1 2 2 1 (1) m x x m − + = ( ) 1 2 3 2 (2) m x x m − =
- Và theo yêu cầu của bài toán thì x1 + 2x2 = 1 (3) - Từ (1) và (3) ta có x1 3m 4 m − = và x2 2 m m − =
- Thay x1 và x2 vào (2) ta được m = 2 hoặc m = 3/4.
- So sánh với điều kiện của m ta được m = 2 hoặc m = 3/4.
Trước khi giải bài toán, ta có thể lập ra một sơ đồ giúp cho việc phân tích bài toán được dễ dàng hơn. Và nhìn vào bản đồ tư duy lập được, ta dễ dàng tổng hợp được lời giải cho bài toán.
Viet
75 Hàm số đạt cực đại
và cực tiểu tại x1 và x2
có 2 nghiệm phân biệt Phương trình y’ = 0 phải
có 2 nghiệm phân biệt
( ) 1 2 2 1 (1) m x x m − + = x 1 và x 2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1 Tìm m sao cho
Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 x1 và x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1 và x1 và x2 là nghiệm của phương trình (*) ( ) 1 2 3 2 (2) m x x m − = m = 2 hoặc m = 3/4
Trong “Giải bài toán như thế nào” của G.Pôlya, các thao tác phân tích – tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán, trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp). Bên cạnh đó, việc thực hiện thao tác phân tich – tổng hợp trong giải toán cũng đòi hỏi học sinh phải có một khả năng nhất định, phải có một lượng kiến thức nhất định về bài toán đang giải quyết. Do đó, thao tác phân tích – tổng hợp có thể có ích cho học sinh này nhưng là vô ích cho học sinh khác. Vì thế giáo viên cần biết được ưu – khuyết điểm của học sinh mà đưa ra những gợi ý hoặc những câu hỏi phù hợp để có thể giúp các em rèn luyện thao tác này.
Ví dụ 2.2.2: Cho hàm số y=x3−3(m+1) x2+2(m2+4m+1) x−4m m( +1) có đồ thị (C). Tìm m sao cho đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
Với yêu cầu (1): tìm m sao cho phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt
ta có thể dùng các cách sau:
+ Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm phương trình.
+ Đồ thị hàm bậc 3 muốn cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt thì hàm số cần phải có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT < 0.
+ Từ phương trình hoành độ giao điểm, tìm được 1 nghiệm nguyên x0, sau đó dùng phương pháp chia horner tách được 1 phương trình bậc 2 từ phương trình ban đầu,
sau đó tìm m để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt và khác nghiệm x0 vừa tìm được.
Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi theo thứ tự như sau để giúp học sinh tìm ra cách giải quyết bài toán:
- Đồ thị (C) muốn cắt trục hoành tại 3 điểm thì phương trình hoành độ giao điểm phải thế nào?
- Có thể nhẩm được nghiệm nào của phương trình hay không?
- Ta có cách nào để tách được phương trình bậc 2 từ phương trình bậc 3? - Ta đã biết những điều kiện nào cần có để so sánh vị trí 2 nghiệm với số 0.
- Có thể chuyển bài toán so sánh vị trí 2 nghiệm với số 0 thành so sánh vị trí 2 nghiệm với số 1 được ko? Nếu được thì ta chuyển như thế nào?
Từ những câu hỏi trên, giáo viên dùng kết quả mà học sinh tìm được để lập ra các sơ đồ sau cho yêu cầu (1) và (2)
Đồ thị (C)cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
Phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt
Tìm được 1 nghiệm nguyên là x = 2
Dùng phương pháp chia Horner
( )x− 2 x2 − (3 1m+ +) x m m2 ( )+ =1 0
phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 2
1
Cuối cùng kết hợp giá trị m tìm được ở hai yêu cầu (1) và (2) ta có 1/ 2 1/ 2 0 m m m > ⇔ > ≠ có 2 nghiệm lớn hơn 1 Phương trình có 3 nghiệm lớn hơn 1
( )x− 2 x2− ( 3 1m+ +) x m m2 ( )+ =1 0 2 1, x = > ∀m 1 2 1 x x> > ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 x x x x x x x x − − > > ⇔ − > ⇒ > ⇔ − > − + − > Dùng định lý Viet 1 2 m >
Phân tích và tổng hợp là hai quá trình được thực hiện đan xen vào nhau, vừa phân tích vừa tổng hợp. Do đó nếu ta đi quá sâu vào một thao tác thì có thể sẽ dẫn tới sai hướng đi, có thể sẽ dẫn tới những cái không cần thiết, ta cần nắm bao quát bài toán, chú ý cái nào là cái quan trọng, cái nào là cái cơ bản và biết dừng tại chỗ nào. Trường hợp bài toán quá rắc rối thì ta cần phân tích kĩ càng, phân chia bài toán thành nhiều bài toán nhỏ khác.
Ví dụ 2.2.3: Cho hàm số y x= −3 3ax2+4a3. Tìm a để các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
Với dạng toán tìm giá trị của tham số để hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó là một dạng toán phổ biến, các bài toán này thường xuyên có trong các đề thi đại học – cao đẳng, ví dụ trên là tìm giá trị của tham số để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn một điều kiện cho trước. Yêu cầu đề bài sẽ được chia thành hai yêu cầu riêng biệt:
+ Thứ nhất là hàm số phải có cực đại và cực tiểu.
+ Thứ hai là hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x. Với mỗi một yêu cầu thì ta cần dùng những kiến thức khác nhau để giải quyết. Với yêu cầu thứ nhất: Hàm số có cực đại và cực tiểu. Giáo viên có thể cho học sinh lập bản đồ phân tích như sau:
79
Hàm số
có cực đại và cực tiểu
phải có 2 nghiệm phân biệt
Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
2
36 0a
∆ = >
0
Từ bản đồ phân tích, ta có thể tổng hợp lại bài làm như sau: -Ta có:y x= −3 3ax2+4a3⇒ =y' 3x2−6ax
-Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình 3x2−6ax=0 phải có 2 nghiệm phân biệt. - Xét phương trình:3 2 6 0 0 2 x x ax x a = − = ⇔ =
Vậy: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 2a≠ ⇔ ≠0 a 0. Ta cũng có thể dùng điều kiện là ∆ =36a2 > ⇔ ≠0 a 0
Kết luận: để hàm số có cực đại và cực tiểu thì a≠0.