Hoạt động biến đổi bài toán là hoạt động trí tuệ của chủ thể nhận thức nhằm biến đổi cấu trúc bên trong, nội dung và hình thức của bài toán, sao cho các tri thức mới ẩn chứa trong bài toán tương thích với các tri thức đã có. Trong năng lực huy động kiến thức thì năng lực biến đổi bài toán, biến đổi vấn đề có vai trò quan trọng. Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi bài toán mà học sinh có thể qui các vấn đề trong các tình huống mới, các bài toán lạ thành các bài toán, các vấn đề quen thuộc. Quá trình biến đổi chính là quá trình điều ứng để học sinh thích nghi – chuyển tới sơ đồ nhận thức mới tương hợp với tình huống mới.
Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động như là các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng. Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác, khi giải quyết một bài toán thì ta cần nghiên cứu xem các yếu tố có trong bài toán liên hệ gì với kiến thức có sẵn, cần tìm ra được mối liên hệ giữa bài toán ta đang giải quyết với các bài toán ta đã từng làm, so sánh về các sự tương đồng và các điểm khác nhau, từ đó tìm cách biến đổi bài toán về tương tự với bài toán đã giải quyết và có thể huy động kiến thức để giải quyết.
Ví dụ 1.4.3.3.1: Cho hàm số 1 3 2 ( )
2 1
3
y= x −mx + m+ x m− + . Tìm giá trị của
tham số m sao cho hàm số có 2 cực trị và các hoành độ của cực trị thỏa mãn: a. x1−x2 =1
c. Lớn hơn 1.
Ta có: 1 3 2 ( ) 2
2 1 ' 2 2
3
y= x −mx + m+ x m− + ⇒ =y x − mx m+ +
Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình x2 −2mx m+ + =2 0 phải có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy ∆ =' m2− − > ⇔ ∈ −∞ − ∪m 2 0 m ( ; 1) (2;+∞)
Đối với yêu cầu trong câu (a) là x1−x2 =1. Ở đây ta không dùng cách làm là tính 2 nghiệm x x1; 2 sau đó thay vào yêu cầu bài toán và tìm ra m. Bởi vì ∆' tìm ra không viết được dưới dạng bình phương, nếu tìm ra 2 nghiệm thì ta sẽ được một phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và biểu thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối rất rắc rối. Ta có thể dùng cách sau, đó là dùng tới định lý Viet. Giả sử phương trình x2−2mx m+ + =2 0 có 2 nghiệm phân biệt là x x1; 2 thì khi đó ta có định lý Viet như sau: 1 2 1 2 2 . 2 x x m x x m + = = +
Ta biến đổi yêu cầu bài toán sao cho ta có thể sử dụng được định lý Viet
( )2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 0 x −x = ⇔ x −x = ⇔ x +x − x x − = ( )2 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 10 4 1 0 4 4 2 1 0 4 4 9 0 2 x x x x m m m m m ± ⇔ + − − = ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ =
So sánh với điều kiện của tham số m thì ta có 1 10 2
m= ± .
Đối với yêu cầu (b): Hoành độ của 2 cực trị đều lớn hơn 0. Ta có các điều kiện sau:
( ) ( ) 1 2 1 2 ' 0 ; 1 2; 0 . 0 m S x x P x x ∆ > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ = + > = >
Như vậy, yêu cầu của câu (b) sau khi phân tích ra thì ta cũng cần dùng tới định lý Viet giống như câu (a). Khi đó:x1+x2 =2m> ⇔ >0 m 0 và
1. 2 2 0 2
x x = + > ⇔ > −m m . Kết hợp tất cả điều kiện, ta có m > 2.
Đối với câu (c): hoành độ của 2 cực trị lớn hơn 1. Câu này ta có thể dùng tới định lý đảo của định lý Viet, nhưng định lý đảo của định lý Viet đã được giảm tải, ta vẫn có thể dùng một cách khác để giải quyết câu (c). Ta thấy yêu cầu của câu (b) và (c) có điểm chung đó là đều cùng so sánh với một số. Câu (b) thì ta dễ dàng làm được vì là so sánh nghiệm với số 0, còn câu (c) là so sánh nghiệm với số 1.
Ta có 1 2 1 1 2 2 1 1 0 ; 1 1 1 0 x x x x x x > ⇔ − > > ⇔ > ⇔ − >
vậy là bài toán bây giờ chuyển thành so sánh
hai số đó là (x1−1) và (x2−1) với số 0. Ta có thể đặt X1 = −x1 1;X2 = −x2 1. Yêu cầu bài toán (c) chuyển thành yêu cầu bài toán (b), khi đó để X X1; 2 >0 thì ta cần
1 2 0 X +X > và X X1. 2 >0. Khi đóX1+X2 > ⇔0 (x1− +1) (x2− > ⇔ + − > ⇔1) 0 x1 x2 2 0 2m− > ⇔ >2 0 m 1 Và X X1. 2 > ⇔0 (x1−1 .) (x2− > ⇔1) 0 x x1. 2−(x1+x2) 1 0+ > 2 2 1 0 3 m m m ⇔ + − + > ⇔ < Vậy ta có 1< <m 3
Theo G.Pôlya sự biến đổi bài toán là cốt yếu. Sự kiện này có thể giải thích bằng nhiều cách. Chẳng hạn muốn đi tới cách giải một bài toán ta phải động viên và tổ chức những kiến thức đã có từ trước. Chúng ta cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải bài toán. Việc biến đổi bài toán giúp ta nhớ lại những yếu tố đó. Bằng cách biến đổi bài toán, chúng ta mang lại chi tiết mới, và như vậy đã tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới làm sống lại trong trí nhớ những cái gì liên quan bài toán của ta.
Ví dụ 1.4.3.3.2: Cho hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 0 1 0 2 x y x x ay a + − = + − =
Tìm a để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt.
Với bài toán trên, hầu hết các học sinh sau khi đọc đề sẽ giải quyết bài toán theo hướng rút một ẩn là x hoặc y từ phương trình (2) sau đó thay vào phương trình (1). Ví dụ rút x= − +ay a, thay vào phương trình (1) ta được
( )2 2 ( )
0
ay a y ay a
− + + − − + = hay phương trình (a2+1) y2−(2a2−a y a) + 2− =a 0 phải có 2 nghiệm phân biệt. Ta cần tìm a sao cho ∆ >0. Học sinh có thể sẽ gặp khó khăn khi giải bất phương trình ∆ >0 vì các hệ số a, b và c của phương trình đều có chứa 2
a .
Quan sát phương trình (1) x2+y2− =x 0, ta thấy đây là phương trình của một đường tròn (C) có tâm 1;0 2 I ÷ và bán kính 1 2 R= . Còn phương trình (2) 0
x ay a+ − = là phương trình của một đường thẳng (d). Khi đó để hệ phương trình
có 2 nghiệm phân biệt thì (C) cần cắt (d) tại 2 điểm phân biệt, tức là dI d;( ) R
< . Vậy ta có bất phương trình 2 1 1 4 2 0 2 3 1 a a a − < ⇔ < < + .
1.5 Dùng bản đồ tư duy giúp học sinh giải toán
Trong phần 1.1, ta thấy rằng bản đồ tư duy có thể được dùng vào nhiều việc khác nhau:
• Ghi nhớ chi tiết cấu trúc đối tượng hay sự kiện mà chúng chứa các mối liên hệ phức tạp hay chằng chéo.
• Tổng kết dữ liệu.
• Hợp nhất thông tin từ các nguồn nghiên cứu khác nhau.
• Trình bày thông tin để chỉ ra cấu trúc của toàn bộ đối tượng.
• Ghi chép (bài giảng, phóng sự, sự kiện...).
Trong học tập, bản đồ tư duy được sử dụng dưới nhiều hình thức khác nhau, có thể được dùng dưới dạng một sơ đồ, một hình vẽ với các nhánh ý khác nhau…và mục đích chung đó là giúp cho học sinh có thể nắm bắt được ý chính của bài giảng một cách nhanh nhất và hiệu quả nhất. Trong toán học, bản đồ tư duy giúp học sinh hiểu bài nhanh chóng, nhớ được các kiến thức một cách nhanh chóng hoặc giúp học sinh hệ thống hóa bài giảng. Đối với các bài toán khó, dài dòng hoặc phải làm qua nhiều bước, học sinh cần một lượng kiến thức lớn để giải quyết bài toán. Thực tế thì trong quá trình giải quyết bài toán, học sinh vẫn cố gắng suy nghĩ hướng giải quyết, vẫn cố gắng tìm tòi lại trong khối kiến thức của mình các bài toán đã làm rồi. Đối với những học sinh khá giỏi thì các em đã có một khả năng tư duy tốt, đã có thể huy động kiến thức một cách nhanh chóng và chính xác, nhưng đối với những học sinh chưa đạt được cấp độ trên thì việc giải quyết các bài toán khó không phải chuyện đơn giản, hoặc là khi đã được thầy cô hoặc bạn bè chỉ dẫn, các em có thể hiểu được cách giải bài toán nhưng có thể kiến thức về bài toán đó chỉ “tồn tại” ngay lúc mới học, sau một thời gian khi xem lại bài toán hoặc làm lại bài toán, các em sẽ quên cách giải hoặc trong khi làm bài sẽ mắc sai sót. Vì vậy, các em cần một phương pháp suy luận, cần có một cách để giúp huy động kiến thức, giúp học sinh có thể “ động não” và chọn công cụ thích hợp để giải quyết các bài toán . Trong tình huống này, bản đồ tư duy có một tác dụng hữu ích là nhờ vào các hình vẽ hay nét vẽ trực quan giúp học sinh hệ thống lại kiến thức liên quan, từ đó học sinh có thể chọn ra kiến thức phù hợp nhất cũng như tìm ra hướng đi đúng đắn nhất để giải quyết bài toán.
Ví dụ 1.5.1: Cho hàm số y x= −3 2x2+x C( ). Gọi (d) là đường thẳng đi qua gốc O và có hệ số góc m. Tìm m sao cho (d) cắt (C) tại O, M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A với A(2; 0).
Ta có sơ đồ sau :
Bản đồ đã tách yêu cầu ban đầu của bài toán thành các bài toán nhỏ mà học sinh đã có thể tự mình giải quyết được. Việc lập bản đồ rất hữu ích cho học sinh
65 Yêu cầu bài toán
(d) cắt (C) tại 3 điểm O, M, N phân biệt
Tam giác AMN vuông cân tại A
Phương trình giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt
(d): y = mx (d) qua O và có hệ số góc m AM = AN . 0 AM AN = uuuur uuur
khi phải giải quyết những bài toán dài và khó, vì nhìn vào bản đồ học sinh sẽ \biết được vấn đề nào cần được giải quyết và biết được cần dùng tới kiến thức nào để giải quyết vấn đề. Trước khi bắt đầu giải quyết bài toán, giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh lập ra bản đồ tương tự ví dụ trên. Tuy có thể sẽ mất thời gian cho việc lập bản đồ nhưng khi học sinh đã quen với việc lập bản đồ trước khi giải quyết bài toán thì dần dần học sinh sẽ có thể tự mình lập được bản đồ và nhìn vào sơ đồ học sinh có thể tự mình giải quyết bài toán mà không cần tới sự giúp đỡ của giáo viên.
Ví dụ 1.5.2 : Tìm trên đồ thị hàm số 1 2 x y x − − =
+ các điểm A và B sao cho tiếp
tuyến của đồ thị tại A song song với tiếp tuyến tại B và AB= 8 Yêu cầu của bài toán là tìm điểm A và B thỏa mãn các điều kiện sau : + A và B nằm trên đồ thị (C)
+ Tiếp tuyến tại A song song tiếp tuyến tại B. + Độ dài đoạn AB= 8.
Ta có thể lập bản đồ như sau :
Sau khi lập bản đồ, ta được hệ phương trình 2 ẩn là a và b, việc giải hệ phương trình không quá khó khăn, vậy là bài toán được giải quyết. Học sinh khi nhìn vào bản đồ như trên, các em có thể biết được vấn đề cần giải quyết là gì, và có thể huy động kiến thức liên quan để giải quyết vấn đề.
Tìm A và B và thỏa mãn 3 điều kiện:
Tiếp tuyến tại A song song tiếp tuyến tại B.
Độ dài A và B nằm trên (C) ( ) ( ) ' ' f a = f b ( )2 1 1 2 8 2 2 a b a b a b − − − − − + − ÷ = + +
Kết luận chương 1
Trong chương này, tôi đã nêu ra khái niệm thế nào là bản đồ tư duy và các ứng dụng của bản đồ tư duy vào trong dạy học, và ở cuối chương 1, tôi đã chỉ ra ứng dụng của bản đồ tư duy trong việc giúp cho học sinh huy động kiến thức khi giải bài toán và giúp học sinh khái quát hết tất cả các bước giải bài toán chỉ với bản đồ tư duy. Đồng thời trong chương 1, tôi cũng đã làm sáng tỏ các khái niệm về tư duy, tư duy toán học, năng lực, năng lực huy động kiến thức, các yếu tố cần thiết cho năng lực huy động kiến thức. Qua đó khẳng định việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực huy động kiến thức kết hợp với việc sử dụng bản đồ tư duy là phù hợp với việc đổi mới giảng dạy và giúp cho học sinh học tốt môn toán.
Chương 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp giúp bồi dưỡng cho học sinh năng lực huy động kiến thức thông qua dạy học giải bài tập
Ở trường phổ thông, Toán học là một môn học chủ chốt và dạy toán là hoạt động toán học. Và trong hoạt động toán học thì giải toán là hoạt động chủ yếu và chiếm thời gian lớn. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả để thực hiện các mục đích dạy học toán và là một công cụ không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải các bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Bài tập toán thường rất đa dạng, có bài dễ, bài khó. Bài dễ là những bài đã có thuật giải hoặc là những bài dễ dàng tìm ra thuật giải, bài khó thường rơi vào những bài dài, rắc rối, khó khăn trong việc tìm ra thuật giải. Do đó, khi học sinh gặp những bài khó, thì giáo viên có một vai trò quan trọng đó là hướng dẫn các em tìm ra thuật
cũng có thể giáo viên gợi ý cho học sinh hướng giải quyết bài toán…nhưng quan trọng nhất trong hoạt động giải bài tập toán không phải là tìm ra đáp số mà là học sinh tiếp thu được tri thức gì sau khi giải xong bài tập và khi gặp một bài toán mới thì học sinh vẫn có thể tìm ra lời giải. Hiện nay trong trường phổ thông, việc rèn luyện năng lực huy động kiến thức cho học sinh chưa được chú trọng, hoạt động giải toán chỉ tập trung vào việc tìm ra đáp số cho bài toán, hoạt động giải toán thường được tiến hành như sau: giáo viên ra đề bài sau đó giáo viên hướng dẫn và học sinh giải bài toán theo sự hướng dẫn của giáo viên và hoạt động này dần trở thành thói quen, và khi học sinh không có giáo viên hướng dẫn thì học sinh sẽ không làm được bài. Do đó giáo viên cần phải nghĩ ra những phương pháp dạy học sao cho phát huy được tính tự học trong mỗi học sinh và giúp học sinh tự biết tìm tòi ra cách giải khi gặp một bài toán mới. Dạy học giải bài tập không chỉ là tìm ra đáp số, mà giáo viên cần dạy cho học sinh cách thức tìm ra lời giải bài toán như là phân tích bài toán, phát hiện vấn đề, tìm cách giải quyết vấn đề, dùng các công cụ thích hợp và các kiến thức liên quan để giải quyết bài toán. Các định hướng để xây dựng các biện pháp giúp học sinh rèn luyện năng lực huy động kiến thức:
Định hướng 1: Các biện pháp được xây dựng dựa trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình SGK Toán THPT và tuân theo các nguyên tắc dạy học.
Định hướng 2: Các biện pháp được xây dựng trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Định hướng 3: Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học.