Bài 1(lớp 8): Cho ABC đều, trọng tâm G, M là một điểm bất kỳ nằm bên trong tam giác, đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’ ,
' ' ' 3 ' ' ' A M B M C M A G + B G + C G = C’. Chứng minh: Bài 2(lớp 8):
a) Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC, điểm N trên cạnh
2CN CN ND = CD sao cho: . ( ) ( ) 1 2 APQ AMN S = S
Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Chứng minh:
b) Chứng minh rằng kết luận của câu a) vẫn đúng nếu thay điều kiện : “M là
2
CNND = ND =
trung điểm của BC, N trên cạnh CD sao cho: ” bởi điều kiện tổng quát hơn
2
CN BM
ND = MC
“M trên cạnh BC, N trên cạnh CD sao cho ”
Bài 3(lớp 8): Cho ABC, I là giao điểm 3 đường phân giác , G là trọng tâm ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm, .
a) Chứng minh: IG // BC b) Tính IG = ?
Bài 4(lớp 8+9): Cho ABC, trên cạnh BC, CA và AB lần lượt lấy các điểm M, N
( 0)
BM CN AP k k k k MC = CA = AB =
và P sao cho:
a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP là độ dài ba cạnh của một tam giác mà ta kí hiệu là (k).
b) Tìm k để diện tích tam giác (k) nhỏ nhất.
Bài 5(lớp 8): Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD bằng nhau. Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau.
Bài 6(lớp 8+9). Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh đối diện tại A1, B1, C1. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác
A1B1C1 cắt các cạnh BC, CA, AB tại điểm thứ hai là A2, B2, C2. Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy.
Bài 7 (lớp 9). Cho (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Các tiếp tuyến tại A và B của (O1) cắt nhau ở K. Lấy điểm M nằm trên (O1) không trùng A và B. Đường thẳng AM cắt (O2) tại điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) tại điểm thứ hai là C và đường thẳng AC cắt (O2) tại điểm thứ hai là Q. Gọi H là giao điểm của PQ với đường thẳng MC. Chứng minh rằng: H là trung điểm của PQ.
Bài 8(lớp 8+9). Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B sao cho AD cắt BC tại E. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K;
IA KAIB = KB IB = KB
tia OE cắt AB tại I. Chứng minh rằng:
Bài 9(lớp 9): Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD bằng nhau. Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau.