Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét A Đặt vấn đề -I - Lý chọn đề tài Như đà biết phương trình bậc hai nội dung quan trọng chương trình đại số lớp 9, toán liên quan đến phương trình bậc hai vô phong phú Do khả gặp phương trình bậc hai kì thi tuyển sinh vào THPT, vào trường chuyên, lớp chọn cao Mà đặc biệt toán liên quan đến định lý Viet Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet (1 tiết lý thuyết, tiết tập), ®¹i ®a sè häc sinh thêng lóng tóng ®øng trước toán có liên quan đến định lý Viet ứng dụng số ứng dụng định lí Trước thực tế đó, nhằm giúp em nắm cách có hệ thống có khả giải tập phần cách thành thạo, nhằm phát huy khả suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt học sinh, đà nghiên cứu viết chuyên đề: Một số ứng dụng định lý Viet II Mục đích nghiên cứu - Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng học sinh, trước thiên hướng tốt, chưa tốt mà thấy cần phân loại số phương pháp giải cho em - Thứ hai: Bản thân người thầy rầt cần trau dồi tự học tham khảo làm chủ kiến thức III Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề lý thuyết phuơng trình bậc hai, định lý Viet chương trình đại số lớp - Nghiên cứu qua tài liệu tham khảo, chuyên ®Ị båi dìng häc sinh giái - Qua thùc tÕ giảng dạy đặc biệt từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT - 2ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng ®Þnh lÝ ViÐt - Qua trao ®ỉi , häc hái kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp, đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm IV Nhiệm vụ đề tài Đề cập tới số ứng dụnh định lý Viet Rút số nhận xét ý làm dạng , cách giải dạng Từ dần hình thành khả tổng hợp, khái quát lực tư khác cho học sinh V Giới hạn nghiên cứu - Chuyên đề áp dụng với đối tượng học sinh Tuy nhiên với đối tượng giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập với mức độ khó, dễ phù hợp - Chuyên đề áp dụng tốt việc ôn luyện học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt ôn thi vào trường chuyên, lớp chọn - 3ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét b giải vấn đề -I – cë së cđa lý thut §iỊu kiƯn vỊ nghiƯm cđa phương bậc hai ẩn Phương trình: ax2 + bx + c = (*) b 4ac a) Nếu < (*) vô nghiệm b 2a b b c) NÕu > (*) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 2a 2a b S x1 x a * NÕu (*) cã nghiÖm, gọi nghiệm x1, x2 thì: (Viet) P x x c a b) NÕu = th× (*) cã nghiƯm kÐp: x1 x PhÇn I Mét sè øng dơng định lí viét Dạng 1: ứng dụng định lí Viét vào việc nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a I Phương pháp giải Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) (*) c a c NÕu a - b + c = th× (*) cã nghiƯm x1 1; x a NÕu x1 x m n ; x1 x m.n phương trình có nghiệm: x1 m; x n hc x m; x1 n NÕu a + b + c = th× (*) cã nghiƯm x1 1; x II Mét sè vÝ dô VD1: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a x ( ) x 15 b 1 2m (Víi m 2; m 3, x lµ Èn) x2 x (2 m)(m 3) m2 n3 c (m -3)x2 – (m +1)x – 2m + = ( m lµ tham sè, x ẩn) Hướng dẫn: - 4ThuVienDeThi.com (1) (2) (3) Chuyên ®Ị: Mét sè øng dơng cđa ®Þnh lÝ ViÐt a phần HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhng cã a.c = 15 < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x ¸p dơng hƯ thøc ViÐt cã: x1 x VËy phương trình có nghiệm là: x1 x 15 1 2m b Đây phương trình bậc hai có: a + b + c 0 m m (2 m)(m 3) (Víi m 2; m 3) Nên phương trình đà cho có nghiệm ph©n biƯt x1 1; x 2m 3m c phương trình không HS sai lầm vội vàng kết luận ngay: a b + c = m – + m + – 2m + = Nªn x1 ; x 2m mà không thấy phương trình đà cho chưa phải phương trình bậc hai Vì ta cần xét m = 0; m – 0, råi nhÈm nghiƯm Gi¶i: + NÕu m – = m = phương trình (3) trở thành -4x – = x = -1 + NÕu m – m ph¬ng tr×nh (3) cã a – b + c = 0, nªn cã nghiƯm x1 1; x 2m m3 KÕt luËn: Nh vËy, ta phải nhẩm nghiệm PT dạng: ax2 + bx + c = ( a 0) (*) th× ta cần + Xét a = sau nhẩm nghiƯm + XÐt a kiĨm tra sau ®ã nhÈm nghiƯm Trong thùc tÕ HS cã thĨ ph¶i nhÈm nghiệm PT bậc ba bậc (dạng đặc biệt) Để giải tốt định lí, phải đưa PT dạng PT bậc nhẩm nghiệm VD2: Nhẩm nghiệm phương trình x x x (4) Híng dÉn PT (4) cã tỉng hệ số là: + = 0, nªn PT (4) cã nghiƯm x = Khi ta đưa PT (4) dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhÈm tiÕp nghiÖm: 5x2 + 6x + = Kết phương tr×nh (4) cã nghiƯm: x1 = 1; x = -1; x3 = VD3: Giải phương trình : x (x +1)(5x2 - 6x - ) = Hướng dẫn: Phương trình có dạng x 5x2 (x +1) – ( x+ 1)2 = (5) NhËn thÊy x = -1 kh«ng phải nghiệm phương trình (5) nên ta chia vế cho ( x +1)2 ta được: x2 x2 + -6=0 x 1 x x2 Đặt ta X + X – = x 1 - 5ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Dễ dàng nhận X = ; X = -6 Sau giải tiếp tìm x Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình bậc hai I Phương pháp giải Đối với bất phương trình nghiệm phương trình dạng biểu thức ta gặp biểu thức đối xứng không đối xứng nghiệm Với biểu thức đối xứng ta biểu thị biểu thức theo S = x1 + x2 vµ P = x1 x2 nhê tính giá trị biểu thức mà giải phương trình II Một số ví dụ VD1: Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai 3x2 cx + 2c -1 = Tính theo c giá trị biểu thøc A = 1 + x13 x 23 x x Gi¶i: Theo định lý viét ta có: x x 2c 3 3 x x 3x1 x x1 x x x 1 S = + = 31 = x1 x x1 x x13 x 23 2c c c 3 c c 18c 3 S= = 2c 12 2c Với biểu thức không đối xứng nghiệm trước hết ta cịng ph¶i tÝnh S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Sau cần kéo biến ®ỉi biĨu thøc ®ã nhiỊu xt hiƯn S vµ P từ ta tính giá trị biểu thức VD2: Không giải phương trình , hÃy tính hiệu lập phương nghiệm lớn nhỏ phương tr×nh bËc hai : x2 - 85 x (*) 16 21 85 Phương trình (*) có nghiệm 16 16 16 phân biệt x1, x2 Không tính tổng quát Giả sử x1 x2 Hướng dẫn: Phương trình (*) có áp dụng định lý viÐt, ta cã S = x1 + x2 = ta cã x13 x 23 = (x1 - x2 ) x12 x 22 x1 x Do x1 x2 nên 85 21 P = x1 x2 = 16 = (x1 - x2 ) x1 x x1 x - 6ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét x1 x = x1 - x2 = VËy x13 x 23 = x12 x 22 x1 x = x1 x 2 x1 x 85 84 85 21 64 = = 16 16 16 16 16 s p s p = VD3: a Giả sử x1 , x2 nghiệm phương tr×nh x ax = TÝnh S = x17 x 27 theo a làm nghiệm b Tìm đa thøc bËc cã hƯ sè nguyªn nhËn a Hướng dẫn: a x17 x 27 không biẻu diễn trực tiếp dạng x1 + x2 x1 x2 Tuy nhiên ta có thĨ biĨu diƠn S = x17 x 27 = x14 x 24 x13 x 23 x13 x 23 x1 x Nh vËy ta ph¶i tÝnh x14 x 24 ; x13 x 23 theo a x1 x a x1 x ThËt vËy kÝ hiÖu S n x1n x 2n Theo ViÐt ta cã: Do ®ã S x12 x 22 x1 x 2 x1 x a S x14 x 24 x12 x 22 2x 2 x 22 a 2= a 4a S x13 x 23 x1 x 3x1 x x1 x a 3a VËy S a 4a 2 a 3a a a 7a 14a 7a b Để tìm đa thức bậc nhận làm nghiệm nghĩa ta phải tìm đa thức bậc mà thay vào giá trị đa thức 0: Theo phần a cã: x17 x 27 = a 7a 14a 7a a 7a 14a 7a - x17 x 27 (1) Nh vËy tríc hÕt ta phải lập phương trình bậc có hệ số: Đặt x1 ; x2 ta cã: x1 + x = a; x x2 = 7 Do x1, x2 nghiệm phương trình x x 3 5 5 3 15 105 210 105 34 Vậy đa thức cần tìm 15 x 105 x 210 x 105 x 34 Theo (1) 7 14 7 Với biểu thức cần tính biểu thức mà không đối xứng nghiệm trước hết ta tách S =x1 + x2 ; P= x1 x2 sau cần có nhìn nhận cách linh hoạt khÐo lÐo ®Ĩ biÕn ®ỉi biĨu thøc ®· cho nh»m x hiệu S; P từ tính giá trị biểu thức VD4: Cho phương trình x x Gäi nghiÖm phương trình x1, x2 Tính giá trị biÓu thøc A = x1 x - 7ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Hướng dẫn : biểu thức A biểu thức đối xứng vÕ nghiƯm x1 , x2 Nh vËy nÕu ®Ĩ ý kü ta thÊy x1 x1 22 (Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn TrÃi năm häc 2005-2006) Cã x1 + x2 = 5; x1 x2 = x1 , x2 Vì x1 nghiệm phương trình x x nªn x12 x1 x12 x1 x1 x1 x1 x1 22 = x1 = x1 x1 x1 x Khi ®ã A = A x1 x x1 x x1 x A = 5+2 - A = ( v× A * VD7 sau mặt S P3 vội vằng bình phương vế gặp bế tắc Thế học sinh khéo thay thÕ x1 bëi x1 nh trªn với bình phương vế giá trị biểu thức A tính đước cách dễ dàng Với biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao th× viƯc biĨu diƠn l thõa bËc cao cđa nghiệm qua luỹ thừa thấp nghiệm phương án giúp cho việc tính toán thuận lợi nhiều Với phương trình a x bx c cã nghiÖm x1 , x2 vµ S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi ®ã : x12 x1 x x1 x1 x Sx1 P x13 = x1 x12 x1 Sx1 P Sx12 Px1 = S Sx1 P Px1 S x1 SP Px1 = S P x1 SP x14 x1 x13 S SP x1 P S P VD 5: Cho phương trình x x , cã nghiƯm x1 , x2 ( x 0 th× giá trị biểu thức : A= x14 x 23 3x12 x B= x15 3x12 x1 x 24 x 2 Híng dÉn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - áp dụng hệ thức ta có: x12 x1 ; x 22 x x 23 4 1x 2.1 x x14 8 2.2.1.x1 1.4 1 12 x1 x 24 12 x x15 x1 x14 x1 12 x1 5 12 x12 x1 = 122 x1 1 x1 29 x1 12 Ta cã : A= x14 x 23 3x12 x - 8ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét 12 x1 2(5 x 2) 3(2 x1 1) x 12 x1 10 x x1 x 18 x1 18 x 18( x1 x ) 40 x 24 x 2 2 x 12 x = 12 x12 x1 3x12 x1 = x12 x1 x 22 x = 3x1 x Vì phương trình có ac = -1 nên x1 , x trái dấu mà x x1 Khi ®ã B = x1 2 x 1 B = x1 3x 3.x1 x 2 11 = 3.2 - B = x15 3x12 x1 * §èi víi biểu thức nghiệm hai phương trình Trong thực tế nhiều ta phải tính biểu thức nghiệm hai phương trình Để làm tập kiểu ta phải tìm S,P phương trình xem xét, thay cách hợp lý ( thường phải thay nhiều lần ) ta tách giá trị biểu thức VD2: Giả sử x1 , x hai nghiệm phương trình x ax vµ x , x lµ nghiƯm phương trình x bx Tính giá trị biểu thức: M = x1 x x x x1 x x x theo a vµ b Híng dÉn: Theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x x b x1 x a vµ x1 x x x x x x1 x x1 x x x x x Do ®ã x1 x = + x1 x x x = x1 x x x x1 x x1 x x x x1 x x x vµ x x = + x x x1 x = x x x1 x x x x1 x M = x1 x x x 2 M = x1 x x x1 x3 x x 22 x3 x x1 x x 32 M = x 42 x12 x 22 x 32 M= x 32 x 42 x12 x 22 M= x x 2 x3 x x1 x 2 x1 x M= b 2 a 2 b a - 9ThuVienDeThi.com Chuyªn ®Ị: Mét sè øng dơng cđa ®Þnh lÝ ViÐt VD 6: Gọi a,b hai nghiệm phương trình : x px b,c lµ hai nghiệm phương trình : x qx b c pq Chøng minh hÖ thøc b a Hướng dẫn: Vì a,b hai nghiệm phương tr×nh : x px b,c hai nghiệm phương trình : x qx nên theo định lý ViÐt ta cã : a b p b c q ; ab bc 2 Ta cã b a b c = b ab bc ac = b ab bc ac 2ab bc = b a b ca b 2ab bc = a b b c 2ab bc = p q 21 2 pq ( Điều phải chứng minh) Bài tập áp dụng : BT1 Cho phương trình : x x Không tính nghiệm phương trình h·y tÝnh: a x13 x 23 d x1 x x x1 b x1 x e x x x2 x2 c x x1 BT2 Cho phương trình : x 3x Không tính nghiệm phương trình , hÃy tìm giá trị biểu thức: A= x13 3x12 x x 23 3x1 x 22 B= x1 x1 x x x x x1 x1 1 x1 x C x1 x x x1 BT3 Cho phương trình x mx m Không tính nghiệm x1 x theo m, hÃy tÝnh A = x12 x 22 B= x12 x2 x x1 C= x12 3x1 x x 22 x12 x x1 x 22 Cho phương trình ax bx c a 0 cã nghiÖm x1 ; x TÝnh theo a,b,c c¸c biĨu thøc A= 5 x1 3x 5 x 3x1 B= x1 x2 x 3x1 x1 3x cho phương trình x x gọi x1 ; x nghiệm phương trình Tính : A= x12 x1 1 x 22 x 1 x 23 x 22 B = x13 x12 Cho phương trình x a 4x a 3a gọi x1 ; x nghiệm phương trình Tìm giá trị a để - 10 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét ax12 ax 22 ( thi häc sinh giỏi năm 2002 -2003) x1 x Cho phương trình x x cã nghiÖm x1 ; x hÃy tính giá trị biểu thức A = x1 3x B= x18 x 26 13x Cho phương trình x x gọi x1 nghiệm âm phương trình Tính giá trị biểu thức C = x18 10 x1 13 x1 Cho phương trình ax bx c 0a 0 cã nghiÖm x1 ; x tho¶ m·n x1 x 22 CMR : b a c ac 3abc 10 Giả sử phương trình x ax b có nghiệm x1 ; x phương tr×nh x cx d cã nghiÖm x , x CMR x1 x x1 x x x x x 2b d 2 a c b d a c 2 b d Dạng 3: ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm số biết tổng tích chúng NÕu hai sè v vµ V cã tỉng v + V = S tích u.v =p v V nghiệm phương trình x Sx P (*) Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm S P hay S P Đó điều kiện tồn hai sè v vµ V mµ tỉng v + V = S vµ v V =P Nh vËy biÕt tổng hai số ta tìm hai số thông qua tích giải phương trình bậc hai VD2: Tính hai cạnh hình chữ nhật cho biết chu vi b»ng 4a vµ diƯn tÝch b»ng b2 ( a,b cho tríc) Híng dÉn: Gäi x,y lµ độ dài cạnh hình chữ nhật ( x; y 2a ) Theo gi¶ thiÕt ta có x+y= 2a x.y= b Do x,y nghiệm phương trình X 2aX b (1) a b Cã a b a b V× a,b a+b * NÕu a b Phương trình (1) có nghiệm : X1 a a2 b2 X a a2 b2 V× P S X X VËy hai cạnh hình chữ nhật là: x a a b x a a b hc y a a b y a a b NÕu a=b =0 (1) cã nghiÖm kÐp x1 x a Khi hình chữ nhật vuông cạnh a Nếu a b (1) v« nghiƯm hình chữ nhật thoả mÃn đầu VD1: Tìm số a,b biết a a+b = 10 vµ ab = 32 b a+b = vµ a2 +b2 = 13 c a –b = vµ ab = 80 d a2 +b2 = 29 vµ ab = 10 Các số a,b cần tìm ( có) nghiệm phương trình x2-10x+ 32 = có S2 P ( hay 0 ) - 11 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Hướng dẫn: VD dễ dàng phát để tìm a b trước hết ta phải xác định a.b ( phần a) ; a+b ( ë phÇn b;c) a Cã a b 2 a b 2ab 13 2ab 2ab = 12 ab =6 Nên a,b nghiệm phương trình : x x Giải phương trình ta x1 3; x Vậy a= b = a= vµ b= b cã a- b = a+ (-b) = a.b =80 a.(-b) = -80 a -b nghiệm phương trình x x 80 Giải phương trình x1 10; x a= 10 b= a = -8 vµ b = -10 a b 29 ab 10 c Cã (a b) 49 ab 10 (a b) 2ab 10 ab 10 a+b = vµ ab = 10 a+b =-7 ab = 10 * Nếu a+b = vµ ab = 10 a,b lµ nghiệm phương trình x x 10 giải phương trình x1 2; x a= -2 vµ b = -5 a= -5 b = -2 VD3: Giải hệ phương trình sau: x y z b xy yz zx x y z 14 x y xy a 2 x y xy Nhận xét : Để giải hệ phương trình ( phần a) ta biến đổi để tìm x+y xy sau đưa phương trình bậc đà biết cách giải x y xy a x y xy x y xy 2 x y xy x y xy x y ( x y ) 12 S P (I) S S 12 S S S S 3 P5 4 P5 S x y p xy (I) Đặt S P S 3; S 4 S (1) P S 4 ( 2) P Gi¶i (1) : Theo định lý Viét, x,y nghiệm phương tr×nh t 3t t1 2; t VËy (1) cã nghiệm (1;2) ; (2;1) Giải (2): Theo định lý Viét, x,y nghiệm phương trình t 4t phương trình t 4t cã nên trường hợp vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình đà cho ( x;y) = ( 2;1) (1;2) - 12 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét x y z xy yz zx x y z 14 b Cã : x y z 6(1) xy yz zx 7(2) y ( x z ) 9(3) x y z xy yz zx x y z 2( xy yz xz ) 14 ( x z ) y 6(1) xy yz zx 7(2) y ( x z ) 9(3) Tõ (1) (3) theo định lí Viét y x+z nghiệm phương trình t 32 t = t 6t tõ (1) (2) vµ (3) y 3(4) x z (5) x.z 2(6) Tõ (5) vµ (6) Theo định lí Viet x z nghiệm phương trình t 3t t1 1; t Vậy hệ phương trình đà cho có nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1) NhËn xÐt : VËy từ toán giải hệ phương trình ba ẩn cách biến dổi thích hợp ta đà đưa toán dạng tìm số biết tổng tÝch cđa chóng ( víi sè thø nhÊt lµ x+z) , số thứ y ta giải hệ nhờ định lí Viet Bài tập áp dụng: 1.Tìm sè biÕt : a Tỉng lµ 18 vµ tÝch lµ 45 b Tỉng lµ vµ tÝch lµ -12 c Tỉng lµ -10 vµ tÝch lµ 16 d.Tỉng lµ 2+ vµ tÝch lµ e.Tỉng lµ tích -17 Tìm số x,y biết: a x – y = vµ x.y = 90 b x y 625 vµ x+y = 35 c x y 164 vµ x-y = d x y 208 vµ x.y = 96 e x y xy 52 vµ x+y = T×m sè x,y biÕt: a x y 34 vµ x.y = 15 b x y 10 vµ x+y –xy = c x y vµ xy = - d x-y = vµ xy = 66 e x y 177 xy = -10 Dạng 4: ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai: ax bx c (a 0) Cã b 4ac - 13 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét P= x1 x c a S = x1 x b a Trong nhiỊu trêng hỵp ta cần so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước xét dấu nghiệm phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình ®ã, ta cã thĨ øng dơng ®Þnh lÝ ViÐt 1.phương trình có nghiệm dương P S P S 2.Phương trình có nghiệm âm Phương trình có nghiệm trái dấu: P Nhiều toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm không âm Thường có cách giải: Cách 1: Có P ( Trường hợp có nghiệm dương nghiệm không âm) Hoặc P = Trường hợp tồn nghiệm b»ng Hc: P S Thì hai nghiệm dương Cách 2: Trước hết phải có phương trình có nghiệm không âm : S ( Trường hợp tồn nghiệm dương) Hoặc S=0 ( Trường hợp tồn nghiệm không âm) Hoặc S 0, P ( Trường hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S VD1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm dấu Khi nghiệm mang dấu ? a x 2mx 5m (1) b mx mx (2) Hướng dẫn: a Phương trình (1) có nghiệm x1 , x cïng dÊu vµ chØ m 5 2 m 4 m m 5m m 1 2 m 5 2 P 5m 4 4 m m m m Mặt khác: S = x1 + x2 = 2m > (Do m nhận giá trị dương) nên PT cã nghiƯm d¬ng b PT (2) cã hai nghiƯm x1 ; x2 cïng dÊu vµ chØ - 14 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng ®Þnh lÝ ViÐt m a m m(m 12) m 12m m 12 m P 3 m b m Mặt khác: S = x1 + x2 = 1 nªn PT cã hai nghiƯm cïng ©m a m VD2: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = Tìm m để phương trình cã: a Mét nghiƯm b Hai nghiƯm cïng dÊu phªn biƯt c Hai nghiƯm ©m ph©n biƯt Híng dÉn: a PT đà cho có nghiệm a m m 1 m 1 m 1 a m m 5 ' (m 4) (m 1) 3(2m 5) b PT đà cho có nghiệm phân biệt dấu vµ chØ m 1 a m 1 ' 3(2m 5) 5 P m 1 m 1 m 1 c §Ĩ PT cã hai nghiệm âm phân biệt m 1 a m 1 m ' 5 m 1 m m 1 P m 1 S m 2(m 4) m 1 m Qua ví dụ này, nhấn mạnh cho HS hiểu dạng ax2 + bx + c = cã nghiƯm nghÜa lµ nh thÕ nµo? VD3: Cho phương trình (m 4)x2 2(m 2)x + m -1 = Tìm m để phương trình a Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn b Có nghiệm trái dấu GTTĐ Hướng dẫn: HS đà biết điều kiện để phơng trình dạng ax2 + bx + c = (a 0) cã hai nghiƯm tr¸i dấu S < Tuy nhiên liên quan đến GTTĐ nghiệm, ta phải có thêm ĐK tích nghiệm nũa - 15 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét a PT đà cho có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có GTTĐ lớn chØ m a 1 m m 1 P 0 2m4 m m S 2(m 2) m b PT đà cho có hai nghiệm trái dấu GTTĐ m a m 2(m 2) 2 m m S P m4 m m 1 m c Ta xét khả sau: TH1: NÕu m – = m = phương đà cho trở thành -4x + = x 0 VËy m = giá trị thoả mÃn TH2: Nếu m – m ph¬ng trình đà cho phương trình bậc hai có khả xảy để phương trình có nghiệm dương i) PT có nghiệm trái dấu Điều xảy P = ac < m 1 1 m m4 ' m ' m m0 ii) PT cã nghiÖm kép dương Điều xảy b 0 m a iii) PT cã mét nghiƯm b»ng vµ nghiệm dương Điều xảy m ' m 1 P m S 2(m 2) m4 Kết hợp lại ta có: Với m m = phương trình có nghiệm dương VD4: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm không âm (m + 1)x2 2x + m = Hướng dẫn: Ta xét khả xảy ra: i) Khi m + = m = -1, PT đà cho có dạng -2x – = x = -1 < Vậy m = -1 giá trị cần tìm ii) Khi m -1 PT đà cho phương trình bậc hai Cách 1: PT đà cho có nghiệm không âm + Hoặc PT có nghiệm dương, tức là: - 16 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lÝ ViÐt 1 (m 1)(m 1) ' 2 m m 1 m S m m m 1 + Hc PT cã mét nghiƯm âm nghiệm không âm, tức là: m m ' m Không có giá trị m thoả mÃn m P m S m 1 m Vậy giá trị cần tìm m -1 < m Cách 2: PT đà cho có nghiệm không âm + Hoặc PT có nghiệm trái dÊu, tøc lµ: P = hay – < m < + Hc PT cã mét nghiƯm b»ng 0, tøc lµ: P = hay m = + Hoặc PT có nghiệm dương, tức là: m ' m 1 m Vậy giá trị cần tìm m P m S m Cách 3: PT đà cho có nghiệm âm m ' m 1 m 1 P S m m 1 VËy phương trình đà cho có nghiệm không ©m vµ chØ -1 < m Bài tập áp dụng BT1: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + = a Tìm m để phương trình có nghiệm b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương BT2: Cho phương trình (m 1)x2 – 2(m – 3)x + m – = Tìm m để phương có hai nghiệm a Trái dấu b Hai nghiệm dương c Hai nghiệm âm BT3: Cho phương trình mx2 2(m 3)x + m + = Tìm m để phương trình a Có nghiệm dương b Có nghiệm không dương Dạng ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm phương trình bậc - 17 ThuVienDeThi.com Chuyên ®Ị: Mét sè øng dơng cđa ®Þnh lÝ ViÐt hai với số cho trước I Phương pháp giải dạng toán thường gặp là: Tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm với số cho trước Để giải tập kiểu ta thường thực bước sau: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm B2: Từ điều kiện đầu tìm biểu thức mối liên hệ nghiệm phương trình B3: Thay tổng, tích nghiệm vào biểu thức B4: Tìm giá trÞ cđa tham sè, råi kÕt ln II Mét sè ví dụ Vd1: Tìm m để phương trình x2 mx + m = cã nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x1 2 x2 Híng dÉn: m m Phương trình đà cho có nghiƯm x1 ; x2 vµ chØ m(m 4) x 2 x (1) Ta cã: x1 2 x2 x1 2 x2 (2) TH1: x = -2 lµ mét gnhiệm PT đà ta có: (-2)2 m(-2) + m = + 3m = m 4 Ta tÝnh nghiƯm cßn lại nhờ vào định lí Viét sau: c m (2) x2 x2 2 x1 a 3 4 VËy m giá trị cần tìm x1.x2 TH2: x1 2 x2 ( x1 2)( x2 2) x1 x2 2( x1 x2 ) m 2m m KÕt hợp hai trường hợp đối chiếu với điều kiện có nghiệm m 4 giá trị cần tìm VD2: Với giá trị m phương trình x2 + x + m = có hai nghiệm lớn m Hướng dẫn : Cách 1: PT đà cho có nghiệm thoả mÃn m x1 x2 - 18 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét 1 4m x1 m ( x1 m)( x2 m) x1 x2 m( x1 x2 ) x m ( x m) ( x m) 1 m m m 2 m 2 m 2m 1 2m m 1 m Cách 2: Từ việc tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn m ta đưa tìm m để PT có nghiệm dương Bằng cách: Đặt t = x m x = t + m PT ®· cho viÕt dạng (t + m)2 + t + 2m = t + (2m+1)t + m2 + 2m = (*) VD3:Cho phương trình m 4.x 2m 2x m Tìm m để phương trình có nghiƯm x1 ; x tho¶ m·n : x1 0 x vµ x1 x Híng dÉn: Vì x1 nên x1 x1 x1 x x1 x hay S x1 x 0 Do ®ã phương trình đà cho có hai nghiệm x1 ; x thoả mÃn điều kiện toán x1 0 x x1 x m a m m m 1 m 0 p0 m s 2m 0 m4 m m m 1 m m Vậy giá trị cần tìm m là: m VD4: Cho hai phương trình bậc hai: x mx n (1) x px q (2) c¸c tham số m,n,p,q phải thoả mÃn điều kiện để nghiệm x1 ; x (1) x , x (2) thoả mÃn điều kiện Mỗi phương trình có nghiệm bị kẹp nghiệm phương trình ( Đề thi chọn HS thc Ba Lan 1950) Híng dÉn : Kh«ng mÊt tính tổng quát, giả sử x1 x x x Theo yêu cầu đề ta phải có : x1 x x x hc x x1 x x DƠ dµng trường hợp ta có x3 x1 x3 x x x1 x x (3) Do phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x nên theo định lÝ ViÐt ta cã: x1 x m x1 x n Vµ phương trình (2) có hai nghiệm x , x nên theo định lí Viét ta có: - 19 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí ViÐt x3 x p Ta cã (3) x 32 x1 x x x1 x x 42 x1 x x x1 x x3 x q x 32 mx3 n x 42 mx n q mpq np 2nq mnp m q n Vậy điều kiện cần tìm (q n ) m p mq np Bài tập áp dụng: Tìm m để phương trình 2mx x m cã nghiƯm tho¶ m·n x1 x 2 Theo phương trình : x 2m 1x m 1 a Tìm giá trị m để phương trình cã mét nghiƯm nhá h¬n 1, mét nghiƯm lín h¬n b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Tìm m để phương trình mx 2m 2x Có hai nghiệm phân biệt nghịch đảo hai nghiệm nhỏ Cho hai phương trình : x px n x 2mx n Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nằm xen hai nghiệm phương trình Dạng 6: ứng dụng định lí Viét vào lập phương trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm ta cần lập phương trình bậc hai nhận số x1 ; x nghiệm Điều dựa ®Þnh lý “ NÕu x1 x S x1 x P x1 , x nghiệm phương trình x Sx P VD1: lập phương trình bËc hai cã hai nghiƯm lµ : 10 72 10 Giải: Theo định lÝ ViÐt ta cã: S x1 x = P x1 x 10 72 + 10 72 = = 10 72 10 72 20 = 28 10 72 v× S P nên x1 , x nghiệm phương trình 28 10 72 10 72 20 x2 x 28 x 20 x 28 28 Như với toán lập phương trình bậc hai ®· biÕt tríc hai nghiƯm cđa nã ta cần áp dụng định lí Viét đảo song cần lưu ý điều kiện để có hai nghiệm S P VD2: Cho phương trình x px q (1) cã hai nghiệm x1 x phương trình hÃy lập phương trình bậc hai theo y mà nghiƯm sè cđa nã lµ : y1 x1 ; x1 y2 x2 x2 - 20 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét Theo Viét ta có x1 x p x1 x q x 1 x 1 x1 x 2q S y1 y = + = = x1 x x1 x x1 x p q p y1 y = x1 x x1 x q p = x1 x x1 x q p Víi S P th× y1 , y hai nghiệm phương trình y2 2q q p 1 0 y q p 1 p q 1 p q 1y 2q 1y q p V× p 4q ( phương trình (1) có hai nghiệm nên 2q q p 1 0 p q 1 q p 1 hay S p x1 x2 a2 VD3: LËp phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x vµ x1 x a Để lập phương trình bậc hai trước hết ta cần tìm x1 x ThËt vËy ta cã x1 x vµ x1 x x1 x 2.4 x1 x x2 x x x1 x1 x x x1 = = = x1 1 x 1 x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x a x1 x a 8 x1 x a 5 x1 x a x1 x = a Víi ®iỊu kiƯn S P (a 1) 4.4 (a 4) a a a a a Khi x1 , x nghiệm phương trình : X a 1 X VD4: BiÕt r»ng x1 ; lµ nghiệm phương trình x px q Còn x ; nghiệm phương trình x p1 x q1 biÕt x1 x H·y lËp phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x giải: Theo ta có p q p1 q1 p q1 . q1 q V× x1 x nªn q1 q p p1 ta cã : x1 p ; x p1 (1) x1 x = p p1 2 p p1 * NÕu x1 q ; x q1 x1 x = q.q1 2 - 21 ThuVienDeThi.com ... dương b Có nghiệm không dương Dạng ứng dụng định lí Viét vào so sánh nghiệm phương trình bậc - 17 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét hai với số cho trước I Phương pháp giải... Dạng 4: ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai: ax bx c (a 0) Cã b 4ac - 13 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét... x nên theo định lí Viét ta cã: x1 x m x1 x n Và phương trình (2) cã hai nghiƯm x , x nªn theo định lí Viét ta có: - 19 ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Một số ứng dụng định lí Viét x3