Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chuyên đ S ph c Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c M CL C CH Đ Ộ TS ộG ỏ ộG C A S PH C Bài toán S d ng s ph c vào gi i h ph ng trình Bài toán ng d ng s ph c vào ch ng minh công th c đ ng th c l ng giác 10 Bài toán ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th c 20 Bài toán ng d ng gi i tốn khai tri n hay tính t ng nh th c ộiut n 23 Bài toán ng d ng gi i toán đa th c phép chia đa th c 27 Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c CH Đ Ộ TS Bài toán S d ng s ph c vào gi i h ph nhân i sau c ng tr ng trình v theo v ta đ Đ t z x yi bi u di n thông qua đ i l I Các ví d n hình th ng g p Ví d PH C f(x; y) g(x; y) (1) ng trình h(x; y) k(x; y) (2) Xét h ph L y ộG ỏ ộG C A S Gi i h ph c f(x; y) h(x; y).i g(x; y) k(x; y).i (*) ng z,z,|z|, 2x 6xy ng trình sau 6x y 2y Gi i L y ph ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th hai nhân i ta đ c 1 3 2x3 6xy2 i 6x2 y 2y 3i x yi i 2 1 z x yi m t b c ba c a s ph c i 2 Ta có: 1 1 5 i cos i sin i có ba b c ba 2 2 3 7 7 13 13 z0 cos i sin , z1 cos i sin , z0 cos i sin 9 9 9 V y v i z z0 ,z z1 ,z z2 ta đ x cos , y sin Ví d 7 x cos , y sin Gi i h ph c nghi m c a ph ng trình 13 x cos y sin 13 2 x 3xy 3x 3y 3x ng trình sau y 3x y 6xy 3y Gi i H cho t L y ph x 1 ng đ x 3y x ng v i x 1 y y ng trình th nh t c ng v i ph ng trình th nhân i ta đ c 3y x 1 i 3 x 1 y y i x iy i z x iy m t b c c a i Ta có: i cos i sin nên i có ba b c ba 4 Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c 3 3 17 17 z0 cos i sin , z1 cos i sin ,z cos i sin 4 4 4 V y v i z z0 ,z z1 ,z z2 ta đ c nghi m c a ph ng trình 3 17 x 1 cos x 1 cos x 1 cos 12 , , 12 17 6 y sin y sin y sin 12 12 Ví d Gi i h ph 3x y (1) x x y2 ng trình y x 3y (2) x2 y2 Gi i Cách L y x yi nhân i sau c ng v i ta đ c 3x y x 3y i x yi x yi x yi i 3(*) x2 y x2 y (*) z Đ t z x yi; x,y Lúc x2 y i z z i z i |z|2 x x yi i y x x yi i y 1 Cách Ta th y x 0,y không nghi m c a h ph v i x nhân Nhân tr v theo v ta đ c ng v theo v ta đ Ta đ Đáp s v i y ta đ ng trình 3x xy 3x x x y2 c xy 3y 0 y x y2 c x2 y2 3x (*) v i y nhân Nhân z i ng trình là: x,y 2;1 , x,y 1; 1 V y nghi m c a h ph z v i x ta đ 3xy y 3y xy x y2 c x 3xy 0 xy 2 x y c 2xy 3y (*) x2 y 3x ch 2xy 3y x,y 2;1 , x,y 1; 1 Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c Ví d 2 x 3xy x x 2xy y ng trình 2 y 3x y y y 2xy x Gi i h ph (1) (2) Gi i L y x nhân i sau c ng v i ta đ c 3xy x y 3x y y i x 2xy y y 2xy x i x3 3x(yi)2 3x (yi) (yi) x yi i x 2xyi y 2xy x 2i y 2i x yi x yi i x yi x yi i (*) Lúc ph Đ t z x yi; x,y ng trình tr thành z z i z z i z 1 z 1 z i z 1 z i x x 1 x y y y V y nghi m c a h ph Ví d Gi i h ph ng trình x; y 1;0 ; x; y 1;0 ; x; y 1;1 ng trình v i nghi m v i x,y 12 x 1 2 3x y : y 12 3x y Gi i x Đi u ki n y Đ t u 3x ,v y u,v y 3x 12 u 2 u vi u v2 H cho có d ng Đ t z u iv Ta có z u v2 v 12 u2 v2 T h cho ta có 12 12 iv u1 2 6 u v u v2 u iv 12 u iv 12 6i z 6i 2 z u v z 2 3iz 12 ,(*) Gi i ph ng trình z 3 ta có ' 3i i suy nghi m i,z i Vì u,v nên ta có: u 3,v suy nghi m c a h Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c x; y Ví d 3;12 Gi i h ph x x y x z ng trình t p s ph c: y y x y z z z x z y Đ thi h c sinh gi i Romania năm Gi i Xét h ph x x y x z 3, 1 ng trình y y x y z 3, z z x z y 3, Rõ ràng x,y,z x y z đơi m t khác T ta có x x y x z y y x y z x x z y y z Hay x2 y2 xz yz T x y xz yz ng t h cho tr thành y z yx zx 2 z x zy xy C ng v v i v ta đ K th pv i (4) c x2 y2 z2 xy yz zx ta có x2 yz,y2 zx,z2 xy Suy x2 y2 z2 xyz Đ t a xyz t x2 y2 z2 xyz a x y z đôi m t khác nên x a ,y a ,z 2 a v i 3 1,1 2 Mà x x y x z nên a 1 2 Ta có 1 2 2 3 nên a=1 V y s ph c x, y,z c n tìm hốn v c a (1, , 2 ) II Bài t p rèn luy n Bài t p Gi i h ph H x3 3xy 1 ng trình v i nghi m s th c y 3x y ng d n gi i Đây h đ ng c p b c ba nhiên n u gi i b ng ph ph ng trình b c ba Ph ng trình khơng có nghi m đ c bi t Xét s ph c ng ta s đ n gi i z x iy Vì z3 x3 3xy2 i 3x2 y y3 2 2 z3 1 3i cos i sin t 3 Tr n Đình C ng pháp thông th 3t 3t 3t ng t cách làm nên t h cho ta có ch Gv THPT Gia H i SĐT ng ta tìm đ c giá tr c a z là: Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c 2 2 8 8 cos i sin , cos i sin , 9 9 14 14 cos i sin 9 T suy h cho có nghi m 2 8 14 3 x cos x cos x cos ; ; y cos 2 y sin 8 y sin 14 Bài t p Gi i h ph H x4 6x y y ng trình t p s th c 3 x y y x ng d n gi i Xét s ph c z x iy Vì z4 6x2 y2 y4 4i x3 y y x nên t h cho suy z4 i cos i sin 6 (*) Các s ph c th a mãn 13 13 i sin cos i sin , cos 24 24 24 24 25 25 37 37 i sin i sin cos , cos 24 24 24 24 V y nghi m c n tìm c a h 13 25 37 x cos x cos x cos x cos 24 ; 24 ; 24 ; 24 y sin y sin 13 y sin 25 y sin 37 24 24 24 24 Bài t p Gi i h ph 16x 11y 7 x x y2 ng trình v i nghi m v i x,y R : 11x 16y y 1 2 x y L i gi i Đi u ki n x2 y2 Đ t z x iy Ta có: x yi z x y2 Vì hai s ph c b ng ch ph n th c b ng ph n o b ng nên h cho t ng đ ng v i 11x 16y i y 7i x2 y2 x y x iy x iy x iy 16 11i 7i x y x y2 16 11i z i z i z 16 11i z x 16x 11y Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c Ph ng trình z2 i z 16 11i có hai nghi m z 3i,z 2i nên h cho có nghi m x; y 2; 3 ho c x; y 5; Chú ý: Mu n gi i đ c h ph ng trình b ng ph ng pháp s d ng s ph c c n nh m t công th c c b n c a s ph c đăc bi t v i m i s ph c z x iy ta có x2 y bình ph x iy z z zz x y Bài t p H ng mođun Gi i h ph 10x 3 5x y : y 1 5x y ng trình v i nghi m v i x,y ng d n gi i T h suy x 0, y Bài h khơng có dàng gi ng ví d nhiên v i m c đích chuy n m u s v d ng nình ph ng mođun c a s ph c ch c n đ t u 5x ,v y v i u,v 3 u 2 u v H cho có d ng v 1 2 u v Đ t z u iv Ta có: u iv z u2 v2 H cho t ng v i ng đ u1 u v2 3 i iv 2 u v u iv 3 2i u iv i z z 2 u v 2z 2i z 0,(*) Gi i ph ng trình Vì u,v nên z ta có ' 34 12 2i 6i suy nghi m z 2i,z 2i 2 2i u ,v x , y 2 10 V y nghi m c n tìm x; y ;1 10 Bài t p Gi i h ph x4 y 4x3 3xy 2x 4y ng trình 2 3 2x y 3x y 2xy 3y 2x 1 2y 4y H H ph ng trình cho t ng đ ng d n gi i ng v i x2 y x2 y 3x x2 y x 2y 2xy x2 y 3y x2 y x2 y2 2x y Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c Nh n th y x y m t nghi m c a h ph ng trình x 2y 0 x y 3x 2 x y N u x2 y2 h cho vi t thành 2xy 3y 2x y x2 y2 Suy ra: x2 y 3x 2x y i 2xy 3y 2 0 x y x y x 2y 2 x yi x yi 2 Đ t z x yi x iy x y 2 x iy x y 2 y ix x2 y 4i y ix i ta có ph , 2 z x y z ng trình 4i 4i z 3z 4iz 4i z z z z 1 z 2z 4i z i z 1 i z 3z V i z ta đ x c nghi m c a h y V i z i ta đ x c nghi m c a h y 1 V i z 1 i ta đ Bài t p Gi i h ph x 1 c nghi m c a h y 3x 2 xy ng trình 7y x y Đ thi h c sinh gi i qu c gia năm H ng d n gi i T h suy x 0,y Đ t u x ,v y , u,v u 2 u v H chho có d ng v 2 u v Đ t z u iv Ta có: u iv z u2 v2 H cho t Tr n Đình C ng đ ng v i Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c u iv u iv iz u v i z 0,(*) z2 2 i z 2 Vì 2i nên nghi m i 21 Gi i 2 i 2i i 21 21 1 2 2 2 2i i z i 21 21 z 2 Ta có nghi m u,v nghi m c a h 2 2 2 ho c x x 2 &y & y 21 21 ng d ng s ph c vào ch ng minh công th c đ ng th c l Bài toán 2: Ph ng giác ng pháp ng giác s ph c z r cos i sin ; z1 r1 cos1 i sin 1 ; z r2 cos2 i sin 2 Cho d ng l Ta có cơng th c sau z1 z2 r1r2 cos(1 2 ) icos(1 2 ) ; z1 r1 cos(1 2 ) icos(1 2 ) z2 r2 Công th c Moa-vr : zn r n cos(n) isin(n) a a Lúc z1 z b1 b2 N u z1 a1 b1i; z2 a b2i; v i a1 , a , b1 , b2 I Các ví d n hình th Ví d ng găp Ch ng minh r ng sin 3 3sin 4sin3 ; cos3 3cos 4cos3 Gi i Đ t z cos isin Ta có: z cos i sin cos3 3cos2 .i.sin 3cos i sin i sin cos3 3i sin sin 3cos cos i.sin 4cos3 3cos i 3sin sin M t khác z3 cos3 i sin 3 T ta đ c (1) (2) sin 3 3sin 4sin3 ; cos3 3cos 4cos3 ộh n xét Ta có tốn t ng qt sau Bi u di n cosnx; sinnx theo l)y th a c a cosx; sinx v i n s nguyên d ng b t k Áp d ng công th c Moivre ta có cos x i sin x cos nx i sin nx n Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 10 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c M t khác theo công th c khai tri n nh th c Newton cos x i sin x n C0n cosn x iC1n cosn 1 xsin x i C2n cos n 2 xsin x i C3n cosn 3 xsin x i n 1Cnn 1 cos xsin n 1 x i n Cnn sin n x T suy cos nx C0n cosn x C2n cosn 2 xsin x C4n cosn 4 xsin x M sin nx C1n cosn 1 xsin x C3n cosn 3 xsin x N Trong 1 m sin 2m x, n 2m M , m m 2m 2m 1 C2m 1 cos xsin x, n 2m 1 1 m 1 C2m 1 cos xsin 2m 1 x, n 2m , m 2m N m 2m 1 x, n 2m 1 1 sin C th : V i n ta có: cos 4x C04 cos4 x C24 cos2 xsin x C44 sin x 8cos x 8cos x sin 4x C14 cos3 xsin x C34 cos xsin x 4cos xsin x 4cos xsin x Ví d Ch ng minh r ng 3 5 a) cos cos cos ; 7 b) sin 3 5 sin sin cot 7 14 Gi i Xét z cos i sin Ta có 7 3 5 3 5 z z3 z5 cos cos cos i sin sin sin 7 7 7 M t khác z z3 z5 cos z7 z z 1 1 z z 1 i sin 7 cos sin T 1 z cos i sin 7 1 i cot 2 14 suy ra: 3 5 3 5 cos cos cos sin sin sin cot 7 7 7 14 Ví d Cho sina sin b Tính sin a b ,cosa cos b 2 Gi i Đ t z1 cosa isina,z2 cos b isin b Khi Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 11 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c z1 z2 i cos i sin 2 6 z1 z2 i cos i sin 2 6 2 Mà z1 z1 z1 1,z2 z2 z2 nên z1 z2 1 z1 z2 , z1 z2 z1z2 suy ra: cos i sin cos i sin 6 6 z1z2 cos i sin 3 z1 z2 cos i sin cos i sin 6 6 6 z1 z2 Ta l i có z1 z2 cos a b isin a b nên sin(a+b) sin Chú ý: Ta c)ng có k t qu cos a b cos Ví d Tính t ng v i n a 2k k : A cos x cos x a cos x 2a cos x na B sin x sin x a sin x 2a sin x na Gi i Đ t z cosx isinx,w cosa isina Theo công th c nhân c ng th c Moivre ta có zw k cos x i sin x cosa i sin a k zw k cos x i sin x cos ka i sin ka cos x ka i sin x ka Xeùt A iB cos x i sin x cos x a i sin x a cos x 2a i sin x 2a cos x na i sin x na z zw zw2 zw n z V y A iB z Tr n Đình C wn 1 1 w (Vì a 2k nên w ) cos n 1 a i sin n 1 a w n 1 cos x i sin x 1 w cosa i sina Gv THPT Gia H i SĐT Page 12 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c cos x i sin x sin n 1 n 1 n 1 a sin a i cos a 2 a a a sin sin i cos 2 2 n1 a n 1 n a a sin a i cos a sin i cos cos x i sin x a 2 2 sin n1 sin a na na cos i sin cos x i sin x a 2 sin n1 sin a na na x cos x i sin a sin sin Xét ph n th c ph n o c a hai v ta đ A c n1 n1 a sin a na na 2 x; B x cos sin a a sin sin 2 sin ộh n xét T hai lo i công th c xét tr ng h p riêng a) N u x suy ra: cosa cos 2a cos na n1 a na cos a sin sin sina sin 2a sin 3a sin na n1 a na sin a sin sin b) N u x 2a ta có: cosa cos 3a cos 5a cos 2n 1 a sina sin 3a sin 5a sin 2n 1 a Ví d sin n 1 a 2sina sin n 1 a sina Ch ng minh công th c a) sin180 1 ; b) cos 360 1 Gi i Ta có: cos 540 sin 360 cos 3.180 sin 2.180 cos3 180 3cos180 sin180 cos180 sin 180 sin 180 Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 13 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c Do sin180 nghi m d V y sin180 ng c a ph ng trình 4x2 2x 1 1 suy cos 360 2sin 180 4 ộh n xét Áp d ng công th c sin180 1 ta tính đ c bi u th c sin 20 sin180 sin 220 sin 380 sin 420 sin 580 sin 62 sin78 sin 820 Đ làm đ c toán tr 1 1024 c h t ta ch ng minh công th c sau sina sin 600 a sin 600 a sin 3a Th t v y sin a sin 600 a sin 600 a sin a sin 600 cosa sin a cos 60 sin 60 cosa sin a cos 60 1 cosa sin a cosa sin a sin a 2 3 1 sin a cos a sin a sin a sin a sin a sin 3a 4 4 S d ng công th c sina sin 600 a sin 600 a sin 3a Ta có: sin 20 sin180 sin 220 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 820 sin 20 sin 580 sin 620 sin180 sin 42 sin 78 sin 22 sin 38 sin 820 1 1 sin 60 sin 540 sin 660 sin180 64 256 Ví d Gi i ph ng trình: cos x cos 2x cos 3x Gi i Đ t z cosx isin x cos x z2 z4 z6 ,cos 2x ,cos 3x 2z 2z2 2z3 Ph z z z6 1 2z 2z2 2z3 ng trình cho tr thành z6 z z z z z (*) Vì z 1 không nghi m nên v i z 1 ta có: (*) z 1 z6 z5 z4 z3 z2 z z7 2k 2k Hay z7 1 cos isin nên z cos i sin v i k 0;6 Vì z 1 nên khơng nh n giá tr k Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 14 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c V y nghi m c a ph 3 5 9 m2,x m2,x m2 ,x m2 , 7 7 ng trình cho 11 13 m2,x m2,m Z x 7 x V y nghi m c n tìm c a h cho x; y 2;1 ho c x; y 1; 1 Ví d Ch ng minh r ng sin sin2 10 10 L i gi i Đ t z cos zz Khi i sin z ,sin 10 10 z 10 2i zz zz 2 sin sin z z i z z 1 (1) 10 10 2i 2i 8 M t khác z5 cos 5 5 i sin i z4 iz3 z2 iz (do z ), 10 10 nh ng z4 iz;iz3 z nên suuy z2 z2 i z z 0,(2) T Ví d ta có u ph i ch ng minh Cho a b c s th c th a mãn u ki n cosa cos b cosc sina sin b sin c m cos a b c sin a b c Ch ng minh r ng cos a b cos b c cos c a m Đ ngh IỘO năm Gi i Đ t x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc Ta có x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc m.cos a b c i.m.sin a b c mxyz Do x y z mxyz nên 1 m xy yz zx Vì x y z nên x1 x,y1 y,z1 z V y 1 m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c a xy yz zx i sin a b sin b c sin(c a) m T ta có cos a b cos b c cos c a m II Bài t p rèn luy n Bài t p Ch ng minh r ng: 2 3 cos ; a) cos cos 7 H b)sin 2 3 3 sin sin cot 7 14 ng d n gi i Xét z cos i sin , ta có z7 cos isin 1 nên z nghi m khác - c a ph 7 ng trình z7 z7 Ta có: Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 15 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c z7 z 1 z6 z5 z4 z3 z2 z z z2 z3 z +) z3 cos nên 1 z 3 3 3 3 3 i sin 2sin sin i sin 7 14 14 14 3 3 1 3 i cos i cot sin 3 14 14 2 14 2sin 14 2 3 2 3 cos i sin sin sin +) z z2 z3 cos cos 7 7 7 Do xét ph n th c c a đ ng th c z z2 z 2 3 cos cos cos ; 7 Bài t p sin 1 z3 ta suy đ c 2 3 3 sin sin cot 7 14 Hãy bi u di n tan 5x qua tan x H Ta có: cos 5x i sin 5x cos x i sin x ng d n gi i S d ng khai tri n nh th c Niu-ton cho v ph i tách ph n th c ph n o ta có cos 5x cos5 x 10cos3 xsin x 5cos xsin x sin 5x 5cos4 xsin x 10cos2 xsin x sin x T suy tan 5x 5tan x 10 tan x tan x 10 tan x 5tan x Cho a,b,c s th c th a mãn sina sinb sinc Bài t p cosa cosb cosc Ch ng minh r ng sin2a sin2b sin2c cos2a cos2b cos2c Gi i Đ t z1 cosa isina; z2 cos b isin b; z3 cosc isinc , ta có: z1 z2 z3 0, z1 z2 z3 nên Vì th zk k 1; 2; zk z12 z22 z32 z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 1 = 02 2z1z2 z3 2z1z z z1 z z z1 z2 z3 2z1z2 z3 z1 z2 z3 Nên cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c T ta suy đ u ph i ch ng minh Bài t p Gi i ph ng trình cos x cos 3x cos 5x cos7x cos9x L i gi i Ta có cosx 1 khơng nghi m c a ph Tr n Đình C ng trình Gv THPT Gia H i SĐT Page 16 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c Đ t z cosx isin x v i x 0; 2 Ta có z 1,z1 cos x i sin x, 2cos x z z1 , 2cos nx z n z n V y ph ng trình cho tr thành 1 1 z3 z5 z7 z9 1 z z z z z9 z z z18 z9 z 20 z11 z9 z z11 z9 z11 1,z9 N u z9 z9 cos0 isin0 nên z cos k2 k2 ,k 0; i sin 9 k2 Vì x 0; 2 z 1 nên x ,k 1; Do nghi m c a ph ng trình cho x N u z11 1 z11 cos isin nên: z cos k2 k2 ,k 0;10 i sin 11 11 Vì x 0; 2 z 1 nên x Suy nghi m c n tìm x V y nghi m c a ph x k2 2m k 1; ,m Z k2 ,k 0; 11 k2 2m k 0;9 ,m Z 11 ng trình x k2 2m k 1; ,m Z k2 2m k 0;9 ,m Z 11 Bài t p Cho a b c s th c th a mãn u ki n cosa cos b cosc sina sin b sinc Ch ng minh r ng a) cos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c b) cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b sin5c Gi i Đ t x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc Suy x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc a) Ta có: x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx nên l ng giác: cosa i sina cos b i sin b cosc i sinc cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c cos 3a cos 3b cos 3c i sin 3a sin 3b sin 3c cos a b c i sin(a b c) Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 17 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c c: cos 3a cos 3b cos 3c 3cos a b c sin 3a sin 3b sin 3c 3sin a b c T ta đ b) V i x y z x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 x y z suy x1 x,y1 y,z1 z M t khác t Vì th x2 y z2 x y z xy yz zx x y z 2xyz x y z x y z 2xyz x y z 2 Do x5 y5 z5 cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c 5 cos 5a cos 5b cos 5c i sin 5a sin 5b sin 5c V y nên cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b sin5c Bài t p Ch ng minh r ng cos6 sin 24 sin 48 sin120 Gi i Xét s ph c z cos6 isin6 , có z15 cos900 isin900 i 0 z2 z4 z8 z16 0 ,sin120 ,sin 24 ,sin 48 2z 2iz2 2iz4 2iz8 Ta có cos60 Đ ng th c c n ch ng minh tr thành 2z z2 2iz2 z4 2iz4 z8 Rút g n 2iz8 z16 0 z ta có z16 iz z14 Hay: z15 z iz15 iz iz i iz V y đ ng th c đ nghi m c a ph Bài t p Gi s y y n c ch ng minh n ng trình x2 2x cot y Ch ng minh sin n sin n Gi i Ta có x2 2x x i Không m t tính t ng quát l y i, i Theo gi thi t cot y y cot n n n cos i Lúc : y cot i cos n i sin n sin n sin T ng t : y n cot i n Do y y n Tr n Đình C n n cos i cos n i sin n sin n sin sin n 2i sin n M t khác : 2i Gv THPT Gia H i SĐT Page 18 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c y y n n sin n T ta có đ c: Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT sin n Page 19 ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c ng d ng vào ch ng minh b t đ ng th c Bài tốn Lúc mơđun c a s ph c z a b2 Cho s ph c z a bi;a,b Cho s ph c z1 ; z2 ; z3 Ta có b t đ ng th c th ng dùng sau : z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z3 z1 z2 z3 I Các ví d n hình th Ví d ng g p Ch ng minh r ng v i m i a,b,c ta ln có : a2 b2 c2 2ac a2 b2 c2 2ac a b2 Gi i B t đ ng th c t ng đ ng v i a c b2 a c b2 a b2 Xét z1 a c bi; z2 a c bi Ta có z1 a c b2 ; z a c b2 M t khác : z1 z2 2a 2bi z z a b a b Áp d ng : z1 z2 z1 z2 ta đ c a2 b2 c2 2ac a2 b2 c2 2ac a b2 Ví d Ch ng minh r ng v i m i , ta có : cos4 cos4 sin sin Gi i Xét z1 cos2 cos2.i; z2 sin2 ; z3 sin2 .i Ta có : z1 cos 4 cos 4; z sin ; z sin ; z1 z2 z3 cos2 cos2.i sin2 sin2 .i i z1 z2 z3 Áp d ng : z1 z2 z3 z1 z2 z3 ta đ c cos4 cos4 sin sin Ví d Cho a,b,c th a mãn ab bc ac abc Ch ng minh r ng b2 2a c 2b2 a 2c * ab cb ac Gi i 2 2 2 2 bñt * a b b2 c c a Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page 20 ThuVienDeThi.com ... vào ch ng minh b t đ ng th c 20 Bài toán ng d ng gi i toán khai tri n hay tính t ng nh th c ộiut n 23 Bài toán ng d ng gi i toán đa th c phép chia đa th c 27 Tr n... C A S PH C Bài toán S d ng s ph c vào gi i h ph ng trình Bài toán ng d ng s ph c vào ch ng minh công th c đ ng th c l ng giác 10 Bài toán ng d ng vào ch ng minh... 27 Tr n Đình C Gv THPT Gia H i SĐT Page ThuVienDeThi.com Chuyên đ S ph c CH Đ Ộ TS Bài toán S d ng s ph c vào gi i h ph nhân i sau c ng tr ng trình v theo v ta đ Đ t z x yi bi u di