Toán học Chủ đề 6: Phương trình số phức25425

Ỏhuyên Đ S ớh c Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page M CL C CH Đ ớH ộỒ TờÌộH S ọủI TOỦộ ớH ọủI TOỦộ Ỏừộ ọ C HAI S QUY V ớH PH C ộỒ TờÌộH ỜUỤ V ớH PH Ỏ ớH ộỒ TờÌộH ọ C NH T S PH C ộỒ TờÌộH ọ Ỏ HỌI Vủ ớH ộỒ TờÌộH ộỒ TờÌộH ọ C HAI D ộỒ ớH ộỒ TờÌộH ọ C BA 40 D ộỒ ớH ộỒ TờÌộH ọ C B N S PH C 52 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c ỎH ọủI TOỦộ I M T S ớH VÍ D Đ ớH ộỒ TờÌộH S ộỒ TờÌộH ỜUỤ V ớH ớH Ỏ ộỒ TờÌộH ọ Ỏ ộH T S ớH Ỏ RÈN LUY ộ Kơ ộừộỒ Ví d Gi i ph ng trình sau v i n z: a)   i  z  z  2i  1; b) 1  i  z  2i    i Gi i a) Ta có:   i  z  z  2i 1  z 2  i 1  1  2i  z 1  i   1  2i  1  2i 1  i   1  2i2  i  2i   3i  z   i 1  2i  z 1 i 11 2 1  i 1  i   i2 V y s ph c z c n tìm là: z   i 2 b) Ta có: 1  i  z  2i    i  z  2i  21  ii  z  2i   z  2i   i2  3i 1 i z   i 1  i  1  i 1  i   3i  2i  z   i 2 V y s ph c z c n tìm là: z   i 2 Ví d Gi i ph ng trình sau v i n z: 2i  3i  z ; i2 i 3 b) a) z  2i  1  5i  2i3  i  Gi i a) Ta có: 2i  3i  3i  2i  3i  i  x   1 z : i2 i 3 i 3 i 2 i  2i  b) Ta có:  2i  1  3  4i; i3  i.i2  i z  2i  1   5i   2i  1 5i  37  z   i i 1 2 i  Ví d Gi i ph ng trình sau v i n z: a)   4i  z    2i   i  ; b)  z   i  3i  z  1  3i  Gi i a) Ta có Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page   4i  z  3  2i   i   z  3  2i   i   14  5i  50  81 i  4i  4i 41 41 b) Ta có  z   i  3i  z  1  3i   i.z  2i  3i  9i2  z  3iz   1  4i  z  9  i  z  Ví d Gi i ph 9  i 13 35   i 1  4i 17 17   ng trình sau  2iz  3 z  5i  z   6i  Gi i Ta có: 2iz    2iz  3 z  5i  z   6i   z  5i  z   6i       3 z  2i z   i    z  5i  z  5i  z   6i z   6i    V y nghi m c a ph Ví d a) Cho s ng trình z   i, z  5i, z   6i ph c z th a mãn 1  i  z  2z  Tính mơ-đun c a s ph c w  z   3i b) Cho s ph c z th a mãn u ki n   i  z  11  ii   i Tìm mơ-đun c a s ph c w   z  z2 Gi i 3a  b  a  a) Đ t z  a  bi (a, b ) Theo đ ta có:  nên z   i     a b b   Khi w  z   3i   i   3i   4i V y w  32  42  b) Ta có:   i  z  11  ii   i    i  z   z   i Khi w  z  z2   5i  w  b) Ta có: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c   i  z  11  ii   i    i  z   z  5 i   i T w   z  z2   5i Suy w  36  25  61 Ví d Cho s ph c z th a mãn h th c   i 1  i   z   2i Tính mơ-đun c a z Gi i Cách Đ t z  a  bi, (a, b ) z  a  bi Theo ta có: a   a      i 1  i   z   2i  a   1  b  i   2i  1  b  2  b   z   3i  z  12  32  10 Cách Ta có:   i 1  i   z   2i  z   2i  2  i 1  i    3i Suy ra: z   3i  z  10 II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN Câu Gi i ph A z   ng trình   3i  z  z  1  i 10 10 B z    i 10 10 H C z   i 10 10 D z   i 10 10 ng d n gi i Ta có:   3i  z  z     3i  1 z  1  1  3i  z  1  z  13i   1  3i  2 3   i 10 10 V y ch n đáp án Ọ Câu Gi i ph A z    i 5 ng trình   i  z   B z   i 5 C z  H Ta có:   i  z    z  V y z  i 10 10 D z   i 13 13 D z   i 13 13 ng d n gi i 2  i 4    i  i 22  12 5  i V y ch n đáp án ọ 5 Câu Gi i ph A z    i 5 ng trình 2i 1  3i z 1 i 2i B z   i 5 C z  22  i 25 25 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page H ng d n gi i Ta có: 1  1  1  1  3i 2i 22    iz   i  z    i :   i  z   i z 1 i 2i 5 25 25 2  5  2  V y ch n đáp án Ỏ Câu Tìm nghi m c a ph A z   i 5 B z  ng trình 2z   1 i zi  i 5 C z  H 1  i 2 1 D z    i 2 ng d n gi i Đi u ki n: z  i V i u ki n ph ng trình cho tr thành: 2z    i  2z   1  i  z  i   2z   1  i  z  i  i zi i 1  i  i i  i2 1     i  z  i    1  i  z  i  z     z    i  i 1  i 1  i   i 2 1 V y z c n tìm là: z    i 2 V y ch n đáp án D Câu Tìm nghi m c a ph ng trình A z    i 7  i 3 B z  i 1   z  i  6i C z  H 21  i 10 10 D z   i 2 ng d n gi i Đi u ki n: z  V i u ki n ph ng trình cho tr thành: i 1 i 1 i 2i  2i         z  i  6i z  i 1  2i  z  1  2i 1  2i   i  i  2i i   i   2i i 7i        z z 15 15 z 15 1   z 15i   i  15i 15  105i 21    z   i  i   i   i  49  10 10 V y ch n đáp án Ỏ Câu Tìm nghi m c a ph A z  1,z  i  1 ng trình 1  2i  z   i   iz    i  C z  i,z  i B z  1,z  i H D z  i,z  ng d n gi i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c Ta có:  iz    1  1  2i  z   i   iz     i    i  1  2i  z   i  (1) (2) Gi i (1): (1)  i2z    z    z  Gi i (2): (2)  z   2  i 1  2i   2   i  4i  z  i  z  i 2  i z  2i 1 1  2i 1  2i  V y ph ng trình có nghi m z  i z  i V y ch n đáp án Ỏ Câu Tìm nghi m c a ph A z  ng trình 7i  2i  1 B z  i  3 i 2z  C z  i H D z  ng d n gi i Đi u ki n: z   Ta có:  2i  1  11  2i 7i   2i  1 3 i    i  2z  1   2i  1   i  2z   2i  1 3  i   11  2i 3  i    z   2z   7i 7i V y ch n đáp án D Câu Tìm nghi m c a ph A z  2i ng trình 2iz 3  i  B z  i    2z  10  5i C z  i H 2iz D z   i ng d n gi i 2z     i  z 10  5i    2z  1  i  10  5i 3  i 2    i 10  5i   10  5i  z    i  z    i  2  10  5i     i   z    i     i 10  5i      26  7i  z  7  26i  z  i V y ch n đáp án Ỏ Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Câu Cho s ph c z th a mãn u ki n A B 2 z  5i  2i  Tính mơ-đun c a s ph c z  2i z 2 i C H D ng d n gi i z  5i  12i  2i   z  5i    2i  z   i   z    2i  2i Ta có: z   i Nên z  2i   4i V y z  2i  V y ch n đáp án Ọ Câu Cho s ph c z th a mãn u ki n 1  2i  z  A B 2 C H  3i   i Tính mơ-đun c a z 1 i D ng d n gi i  3i  2i  z   i  z  1 i 5 V y ch n đáp án Ỏ Ta có: 1  2i  z  Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c ọủI TOỦộ Ỏừộ ọ Ỏ HỌI S TờÌộH ỜUỤ V ớH ớh ớH Ỏ ớH ộỒ TờÌộH ọ Ỏ HỌI Vủ ớH ộỒ ộỒ TờÌộH ọ Ỏ HỌI ng pháp Ta nh c l i b c hai c a s ph c Đ nh nghĩa Cho s ph c w M i s ph c z th a mãn z2  w đ ng trình z2  w  c a w M i b c hai c a w m t nghi m c a ph a Tr c g i m t b c hai ng h p w s th c  Ỏăn b c hai c a  Xét s th c w  a     Khi a  , ta có z2  a  z  a z  a Ph ng trình z2  a   z  a ho c z   a V y s th c a d ng có hai căc b c hai    a  a   Khi a  , ta có z2  a  z2  ai2  z  ai z  ai Ph ng trình z2  a   z  ai ho c z   ai V y s th c a âm có hai b c hai   ai Ví d : 1  i2  - có hai b c hai i i a2  a2 i2  a2 có hai b c hai b Tr ng h p w  a  bi  a, b  R, b   Đ t z  x  yi ,  x,y  R  z b c hai c a w  z2  w   x  yi   a  bi  x2  y2  2xyi  a  bi x2  y2  a  2xy  b Gi i h ph ng trình ta luẫn tính đ M i nghi m (x;y) c a h ph c hai nghi m  x;y  ng trình cho ta m t b c hai z  x  yi c a s ph c w  a  bi Kĩ thu t ỘTỎT tìm b c hai c a s ph c Gi s ta c n tìm b c hai s ph c z  a  bi,  a, b    ọ c 1: Nh p vào hình a  bi n phím   ọ c 2: Nh p vào hình Ans  arg  Ans  l u l i s ph c a  bi } r i n phím  Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page  ọ c 3: n phím S  D n u hình khơng hi n th đ y đ Lúc máy s hi n th s ph c d ng   i  c 4: K t lu n b c hai c n tìm     i  ọ Ví d : Tìm b c hai c a s ph c z  5  12i H  B ng d n th c hành c 1: Nh p vào hình 5  12i n phím   B Ans  c 2: Nh p vào hình r i n phím  ta đ arg  Ans  c k t qu  3i  B c 3: B qua hình hi n th  3i  B c 4: K t lu n b c hai c n tìm    3i  ớh ng trình b c hai ng trình Az2  Bz  C  (A,B,C s ph c A  ) (1) ợét ph Ta có   B2  4AC  N u   0,  có là: z1   b c hai   ph ng trình 1) có nghi m phân bi t B   B   z2  2A 2A N u   0, ph ng trình có nghi m kép z1  z2   B 2A Chú ý:  Ta ch ng minh đ  x,y  R  c v i m i ph ng trình b c hai h s th c, n u z  x  yi y  m t nghi m z  x  yi cễng nghi m c a ph ng trình  Do tính ch t c a phép nhân s ph c đ nh lí Vi-et v n cho ph hai v i n z  C ỏo cách tính nh m nghi m c a ph d ng đ ng trình b c ng trình b c hai v n áp c Ch ng h n: A  B  C   z  1,z  Kơ THU T GI I ớH C ; A A  B  C   z  1,z   ộỒ TờÌộH ọ C HAI H S C A PH C Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 10 Ỏhuyên Đ S ớh c  ọ c 1: Ghi vào hình D  B2  4AC : E   ọ c 2: D arg  D  :X B  E B  E :Y  2A 2A n CALC khai báo h s Ví d : Gi i ph ng trình z2  1  2i  z    4i   0; Dùng MTCT V y hai nghi m c a ph I M T S VÍ S ng trình là: z   2i,z  3  2i RÈN LUY ộ Kơ ộừộỒ Ví d Tìm b c hai c a s ph c a)  9; b)3  4i; c)1  3i; d) 1 4i Gi i a) G i z b c hai c a 9 , ta có: z2  9  z2  9i2  z  3i ho c z  3i Vây - có hai b c hai 3i -3i b) G i z  x  yi, x,y  R  b c hai c a 3+4i, ta có: z2   4i   x  yi    4i  x  y  2xyi   4i x2  y2  x2  y2    xy  2xy  T (2)  x  y  1 2 thay vào x ta đ c:  x2  1 loaïi  1  x    x  3x     x x  4 x   y  V i x2     x  2  y  1 V y  4i có hai b c hai  i    i  Dùng MTCT Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 11 V y  4i có hai b c hai  i    i  c) G i z  x  yi ,  x, y  R  b c hai c a  3i ỗúc  x  yi  x2  y2  1    3i  x  y  2xyi   3i    2xy     T (2)  x  y   thay vào ph 2x ng trình ta đ c  x    loaïi   x 1  x2    4x4  4x2     2 4x  x2   V i x V i x y 3  2x y  2x V y có hai b c hai c a  3i z  6  i   i 2 2 Dùng MTCT V y có hai b c hai c a  3i z  6  i   i 2 2 d) G i z  x  yi, x,y  R  b c hai c a  4i Ta có: i2 i   x  yi    x2  y2  2xyi  4i 4i    x2  y2  y y     y   8x 8x     8x 1 2xy  x2  64x   x  0     64 64x    1 2    x    x  x    y    4 8x  2  2 2 hoaëc     x2  y    2  y y     8x    4 z2   Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 12 Ỏhuyên Đ S ớh c V y   2  2 có hai b c hai z   i   i z     4 4  4i  Dùng MTCT V y   2 2  có hai b c hai z   i z     i    4 4i   Nh n xét: M i s ph c đ u có hai b c hai đ i Ví d a) Tìm s ph c z th a mãn: z2  164  48 5i b) Tìm s ph c w th a mãn: w4  164  48 5i Gi i a Đ t z  x  yi, x, y  R , ta có: z2  164  48 5i   x  yi   164  48 5i  x2  y2  2xyi  164  48 5i 1 2 x2  y2  164   xy  24 T (2)  x  y  24 thay vào x ta đ c  x2  180  24   x  4 V i 1  x   x   164  x  164x  2880     x  16   x   y  V i x  4  y  6 V y có hai s ph c z th a mãn z2  164  48 5i z   5i, z  4  5i b) Ta có z2  164  48 5i w4  164  48 5i    Suy ra: w4  z2  w2  z w2  z   w2  z   Theo k t qu ta có z    5i  w2   5i ho c w2  4  5i Đ t w  x  yi,  x,y  R   Tr ng h p 1: V i w2   5i ta có  x  yi    5i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 13 1 2 x2  y2    x  y  2xyi   5i    2xy  2 T (2)  x  y  thay vào x ta đ c  x2  5 3 5  x         x  3 x 4x 45    x     x  V i x 3 y  5i  x V i x  3  y   5i   x  V y w    5i  Tr ng h p 2: V i w2  4  5i, ta có  x  yi   4  5i x2  y2  4   x  y  2xyi  4  5i    2xy  6 2 T (2)  x  y   thay vào x ta đ 1 2 c  x2  9  5  x  x   4  x  4x2  45     x    x    V i x 5y  3 x V i x 5y V y w    x  3i K t lu n: Có s ph c w th a mãn w4  164  48 5i là:   w    5i , w      3i Ví d a) Tìm s ph c z th a mãn z  1;  z 1  b) Tìm s ph c z th a mãn    1 zi    Gi i a) Ta có: z4  1  z  i2  z2  i z2  i   z2  i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 14 Ỏhuyên Đ S ớh c  V i z2  i, ta đ t z  x  yi, x, y  R ta có: 1 2 x2  y   2        x yi i x y 2xyi i     2xy  T (2)  x  y   x2  4x  x4  o V i x o V i x thay vào (1) ta đ 2x 1  x2   x   2 y c 1  2x y 1  2x  1  V y z   i       z     K t lu n: z  1     z       i 2  1   i  2   b) Theo k t qu câu a ta có:  z 1      z 1   z  i    1    z 1 zi      z  i ợét tr  Tr i   2 i    2  ng h p: ng h p 1: z 1 i    2z   1  i  z  i   2z   z  i  iz  zi 2    i    i      i    i    i    1     1 i   2    1 i      1 i z 42 2   1  1     1 i i z z  2   1  1 i z  1 i  z  1 i  2  Tr ng h p 2: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 15 z 1 i )  2z    1  i  z  i   2z   z  iz  i  i  (  zi 2  2z   z  iz  i    22 z   1 i z  1 i  1 i   1 i    i    i    i    1     1 i     1 i     1 i z  42 2 2   1 z   Tr i  1 i    2   i2  2 ng h p 3: z 1 1 i  2z   1  i  z  i   2z   z  iz  i  i   zi 2  1 i z    i    i    i       i    i    i   2z   z  iz  i   z z   2i 42 Tr  1 i 2 z 2  1 i  1 i 2  1 1 i     1  1 2 1 1 ng h p 4: z 1 1 i  2z    1  i  z  i   2z   z  iz  i  i   zi 2  2z   z  iz  i   1 i z z 1 i  2i 42        i   1 i 1 i 2 z  1 i z  1 i  1 i 1 i 2   1 i 2  1 1 i     1 1 2 1 1 K t lu n:  z 1  i i i ho c z  ho c z        1  z   2 2 2 2 zi ho c z  2  i 2 Ví d Gi i ph a) z2  4z   0; ng trình b c hai sau b) z2  8z  16  2i  0; Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 16 Ỏhuyên Đ S ớh c c)  2z  1   0; d) z2  3z  25  Gi i a Ph ng trình z2  4z   có h s A  B  C     nên ph ng trình có hai nghi m z1  1,z2  5 b Ph ng trình z2  8z  16  2i    z    2i 2   z    1  i  (chú ý 1  i    i2  2i    2i  2i ) z    i z   i   z   1  i z   i c Ph 2 2 ng trình  2z  1     2z  1  9   2z  1   3i   z   i 2z  i  3i   z   i 2z  i  3i  2 d Ph ng trình z2  3z    32  25  có: 25   16   4i  Ph ng trình có hai nghi m z  3  4i MTCT Ví d Gi i ph ng trình b c hai h s ph c sau a) z2  7z  11  3i  0; b) z2  1  2i  z    4i  0; c) z2    i  z   8i  ; d) z2    i  z  i   Gi i a Ph ng trình z2  7z  11  3i  có:   49  44  12i   12i Đ t    x  yi  ,  x,y  R  Ta có  x  yi  x2  y2     12i    2xy  12 T (2)  x  y   thay vào x 1 2 ta đ c Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 17  x2  4  x  3   x2  x  1  x2  362   x4  5x2  36    x V i x   y  2 ; V i x  3  y  V y     2i  ng trình có hai nghi m z1  Ph   2i   2i   i, z2    i 2 L i bình: Vi c tìm b c hai c a s ph c  12i ta dùng MTCT cho nhanh b Ph ng trình z2  1  2i  z    4i   có:  '  1  2i    4i    4i   4i  ng trình có hai nghi m là: z1  1  2i    2i, z2  1  2i   3  2i Ph c Ph ng trình z2    i  z   8i  có:  '    i    8i    4i   8i  3  4i x2  y2  3, 1  Đ t 3  4i   x  yi  ,  x,y  R     2xy  4,   T (2)  x  y  1  x2  ta đ c:  x2  4  3  x  3x2      x  1  x2  x2 V i x  1  y  2 V y  '  3  4i  1  2i  V i x 1 y  ; ng trình có nhi m là: z1   i   2i   i,z2   i   2i   3i Ph d Ph ng trình z2    i  z  i   có h s th a mãn a  b  c    i  i   Suy ph ng trình có hai nghi m z1  1,z2   i Ví d Gi i ph a) thay vào x ng trình sau t p s ph c : 4z   7i  z  2i zi b) z2  1  i  z   3i  Gi i a) Đi u ki n z  i Ph ng trình cho t ng đ ng v i: 4z   7i   z  i  z  2i  hay z2    3i  z   7i  * Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 18 Ỏhuyên Đ S ớh c Cách 1: Ph ng trình có bi t s    4i    i2  4i    i   *  z   2i ho c z  3 i Cách 2: G i   x  yi  x,y   b c hai c a   x  yi    4i hay  x2  y2    x,y    2;1 ,  2;1 x2  y2  2xyi   4i suy  2xy     *  z   2i ho c z  3 i b) Ta có: 2   1  i     3i   24  10i  1  5i  ng trình có hai nghi m z   2i z  3i Ph Ví d Gi i ph  a) z2  z   ng trình sau:   z2  z  12  0;  b) z2  3z      2z z  3z   3z  Gi i a) Đặt t  z2  z Ph ng trình cho tr thành z2  z    t  6 t  4t  12     z2  z   t   z     V i z z6     z     23 i 23 i z  V i z2  z     z  2 V y nghi m c a ph 23 23 i, z    i, z  1, z  2 ng trình z    2 2 b) Cách Ta có: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 19  z2  3z      2z z  3z   3z    z2  3z       2z z  3z   z  4z    2   z2  3z   z    2z    z  4z       2   2z     z2  4z   2z z  4z   2z  z2  2z   z  1  5i   z  3  z  6z   V y nghi m c a ph ng trình z  1  5i, z  3  Cách Đ t t  z2  3z  Ph ng trình cho tr thành t  2zt  3z2  * 2 Ta có:  '   2z   3z2  4z2   2z  Ph ng trình có hai nghi m: t  z  2z, t  z  2z z  1  5i V i t  z  2z  z2  3z   z  2z  z2  2z     z  1  5i z  3  V i t  z  2z  z2  3z   z  2z  z2  6z     z  3  b) Gi i ph ng trình ng trình sau t p h p s ph c  z  i   z  i   5z2   Ví d a) Hãy gi i ph z  z  z  3z  2  10, z  Gi i a) Vi t l i ph  Khai tri n, rút g n, nhân t Gi i ph  hóa  z  1 z    ng trình v d ng: z2   5z2   ng trình thu đ c z  i z  2 r i k t lu n    b) PT  z  z   z  1 z  3  10  z2  2z z2  2z   10 Đ t t  z2  2z Khi ph ng trình tr thành: t  3t  10   t  2 z  1  i   z  1  t  V y ph ng trình có nghi m: z  1  6; z  1  i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 20 ... hai c n tìm    3i  ớh ng trình b c hai ng trình Az2  Bz  C  (A,B,C s ph c A  ) (1) ợét ph Ta có   B2  4AC  N u   0,  có là: z1   b c hai   ph ng trình 1) có nghi m phân bi t... ph ng trình có nghi m kép z1  z2   B 2A Chú ý:  Ta ch ng minh đ  x,y  R  c v i m i ph ng trình b c hai h s th c, n u z  x  yi y  m t nghi m z  x  yi cễng nghi m c a ph ng trình ...  2z  1   0; d) z2  3z  25  Gi i a Ph ng trình z2  4z   có h s A  B  C     nên ph ng trình có hai nghi m z1  1,z2  5 b Ph ng trình z2  8z  16  2i    z    2i 2   z