Toán học Chuyên đề: Bất phương trình hàm41090

Tr ng THPT Chuyên L ng v n Chánh  Gv Châu Chí Trung  www.laisac.page.tl  Chuyên  :  B   NG T  B  T P  PH  H   N  TR  RÌ  ÌN  NH H  HÀ  ÀM  Châu Chí Trung  GV THPT Chuyên L ng V n Chánh M C L C  I­ Ph n m  đ u  Trang 3  II­N i dung đ  tài  Ch ng I :  C  s  lý lu n liên quan t i đ  tài nghiên c u  1_. C  s  pháp lý  Trang 3  Trang 3  2_. C  s  lý lu n  §1 Tìm hàm s  b ng cáh s  d ng ph ng pháp ch ng minh qui n p Trang 4  §2.  Tìm hàm s  b ng cách làm ch t hai đ u ch n c a hàm s   Trang 6  §3  Tìm hàm s  b ng cách s  d ng phép thay các giá tr  đ c bi t  Trang 9  §4  Tìm hàm s  b ng cách s  d ng gi i h n dãy s   §5  Tìm hàm s  b ng cách s  d ng đ nh ngh a đ o hàm  Trang 10  Trang 12  §6  M t s  bài t p áp d ng  Trang 14  3_. C  s  th c ti n  Trang 15  Ch ng II :  Th c tr ng c a đ  tài nghiên c u  Trang 16  Ch ng III: Bi n pháp,gi i pháp ch  y u đ  th c hi n đ  tài  Trang 16  III­K t lu n ki n ngh   Trang 17  Tài li u tham kh o  Trang 20  2  DeThiMau.vn Tr ng THPT Chuyên L ng v n Chánh  Gv Châu Chí Trung  I­PH N M   U  1. Lý do ch n đ  tài  Trong  các  k   thi  ch n  h c  sinh  gi i  các  n c  c ng  nh   n c  ta  ,  các  bài  tốn  v   ph ng trình hàm và b t ph ng trình hàm th ng đ c nh c đ n và là m t trong các bài tốn  quen thu c nh ng l i có nhi u nhi u h ng đ  th c hi n l i gi i .  ã có nhi u chuyên đ  đ   c p đ n ph ng pháp gi i các bài tốn ph ng trình và b t ph ng trình hàm nh ng v n cịn  nhi u đi u khá lý thú khi nghiên c u v  lo i tốn này . Bài vi t này chúng tơi đ  c p đ n m t  s  cách gi i bài tốn B T PH NG TRÌNH HÀM .  2. M c đích nghiên c u  Bài vi t nghiên c u m t s  cách gi i khác c a bài tồn B t ph ng trình hàm nh m làm  đa d ng  thêm  các  cách  gi i  ,  giúp  vi c  gi i bài  tốn  có nhi u h ng đ   gi i quy t ,  làm cho  vi c gi i lo i tốn này có c  s  đ  đ nh h ng vi c ch n l a ph ng pháp .  3.  i t ng và ph m vi nghiên c u  N i dung đ  tài t p trung nghiên c u l p các bài tốn  B T PH NG TRÌNH  HÀM  đã  thi trong các k  thi h c sinh gi i các c p , và đây là bài toán tr ng đi m trong k  thi qu c gia.  N i dung t p trung nghiên c u ki n th c , ph ng pháp h p các tính ch t trong hàm s   đ   gi i quy t   Nh m  giúp h c  sinh  gi i  có  thêm  tài  li u  tham  kh o  ,  cịn  th y  giáo ngày  có  thêm nhi u n i dung đ  tài đ  b i d ng h c sinh gi i.  4. Nhi m v  nghiên c u  Làm n i ph ng pháp gi i bài tốn  B T PH NG TRÌNH HÀM  Nói chung là giúp các  em làm quen cách gi i quy t nh ng bài tốn  B T PH NG TRÌNH HÀM  r t khó mà các em  th ng g p trong các k  thi h c sinh gi i.  5. Ph ng pháp nghiên c u  H  th ng các d ng tốn , phân lo i nhóm các bài tốn thu c đ i t ng nghiên  c u và  d a vào kinh nghi m trong nhi u n m b i d ng h c sinh gi i đ  xây d ng nên n i dung đ  tài  m t cách có h  th ng , lơgic và ch t ch  v  ki n th c , c ng nh  các ph ng pháp v n d ng  gi i tốn.  6. N i dung c a đ  tài  Bài  vi t  này ngịai ph n m  đ u  và  k t  lu n, ph n n i dung  chính  tri n  khai  thành ba  ch ng, g m:  ­  Ch ng 1: C  s  lý lu n liên quan đ n đ  tài nghiên c u  1.  C  s 2.  C  s c a  đ 3.  C  s  pháp lý: Nêu các h  th ng v n b n liên quan đ n đ  tài   lý lu n : Nêu các khái ni m; Vai trò­ v  trí­ nhi m v    tài nghiên c u.   th c ti n ( S  c n thi t c a đ  tài đang nghiên c u).  ­  Ch ng 2: Th c tr ng c a đ  tài nghiên c u  ­  Ch ng 3: Bi n pháp, gi i pháp ch  y u đ  th c hi n đ  tài : 3  DeThiMau.vn Tr ng THPT Chuyên L ng v n Chánh  Gv Châu Chí Trung  II­N I DUNG   TÀI  Ch ng 1:C  s  lý lu n liên quan đ n đ  tài nghiên c u  1 – TÌM HÀM S  B NG CÁCH  S  D NG PHÉP QUI N P  Trong các bài tốn v  ph ng trình hàm và b t ph ng trình hàm : ph ng pháp qui n p t  ra hi u  qu  trong các bài tốn có liên quan đ n s  t  nhiên   đây, có th  s  d ng qui n p đ  xác đ nh hàm s   n u nh  ta phát hi n đ c h  th c qui n p liên quan   BÀI TOÁN 1  (IMO – 1977)  Cho hàm s   f : N * →  N *  th a mãn : f ( f ( n) ) < f ( n + 1) , ∀n ∈ N *  (1)  Ch ng minh r ng :  f ( n) = n , ∀n ∈ N *  L I GI I  Tr c h t ta ch ng minh b ng qui n p r ng  :  f ( N ) ≥ n , ∀N , n ∈ N *  và  N 0  ≥ n V i n = 1 thì  (1.2) đúng .  Gi  s  (1.2) đúng đ n n = k :  f ( N ) ≥ n , ∀N , k ∈ N *  và  N 0  ≥ k (1.3)  V i  N ≥ k + ⇔ N 0  − 1 ≥ k ,theo (1.3) thì  :  f ( N 0  − 1) ≥ k   (1.2)  Mà  f ( N 0  − 1) ∈ N *  nên c ng theo (1.3) thì f ( f ( N 0  − 1) ) ≥ k M t khác theo (1) thì : f ( N ) > f ( f ( N 0  − 1) ) nên suy đ c : f ( N ) > f ( f ( N 0  − 1) ) ≥ k f ( N ) > k hay f ( N 0 ) ≥ k + 1  T  đó ta có :  Theo ngun lý qui n p thì  f ( N ) ≥ n , ∀N , n ∈ N *  và  N 0  ≥ n đúng .  T  đó ta đ c :  f ( n) ≥ n , ∀n ∈ N *  T  (1) và (1.4) ta đ Do đó t khi l y  N 0  = n (1.4)  c : f ( n + 1) > f ( f ( n) ) ≥  f ( n )  : nh  v y f là hàm t ng th t s  trên N *  f ( n + 1) > f ( f ( n) )  ⇒ n + >  f ( n)  (1.5)  T  (1.4) và (1.5) ta có đ BÀI TỐN 2 :  c đi u ph i ch ng minh :  f (n) = n , ∀n ∈ N *  Tìm hàm  f : N * → N *  sao cho :  ∃k ∈ N , k ≥ : f ( n + 1) > f k ( n) , ∀n ∈ N *  (2)  v i f k ( n) =  f ( f ( f ( n) ) )  v i k l n f .  L I GI I  Ta s  d ng qui n p theo n đ  ch ng minh r ng  :  f (m) ≥ n , ∀m ≥ n m, n ∈ N *  V i n = 1 : ta có  f ( m ) ≥ , ∀m ∈ N *  (đúng)  Gi  s   (2.1)  v i  n , ta c n ch ng t  (2.1) đúng v i  n + 1 .  Ta có :  m ≥ n + ⇒ m − ≥ n ⇒ f ( m − 1) ≥ n ⇒ ⇒ f k  ( m − 1) ≥ n (2.1)  Mà  f ( m ) > f k  (m − 1)  nên  f (m) ≥ n + 1 ,theo nguyên lý qui n p , ta có (2.1) đúng  ∀m ≥ n ∈ N * .  Cho m = n  , ta đ c :  f (n) ≥ n , ∀n ∈ N *  T  đó :  f ( n + 1) > f k  (n ) ≥  f ( n)  nên f là t ng th t s  trên N *    Do đó  f (n + 1) > f k (n) ≥ f 2 (n) ⇒ n + >  f (n)  T  (2.2) và (2.3)  ta k t lu n  :  f (n ) = n là hàm s  duy nh t th a mãn đ  bài 4  DeThiMau.vn (2.2)  (2.3)  Tr ng THPT Chuyên L ng v n Chánh  Gv Châu Chí Trung  BÀI TỐN 3  Ch ng minh r ng khơng t n t i  hàm s   f : R → R th a đi u ki n:  f ( x) + f ( y )   x + y  ≥ f  + x − y ,  ∀x, y ∈ R  2    (3)  L I GI I   x  c :  f ( x) ≥ x − f (0) + 2 f    2   Ta s  d ng qui n p theo s  t  nhiên n đ  ch ng minh r ng  :  x   f ( x) ≥ nx − ( 2n − 1)  f (0) + 2 n  f  n   , n∈N *   2    V i  n = 1 thì (3.2) đúng .  Gi  s   (3.2) đúng  v i n .  x  Thay x b i  n  trong (3.1) :  2   x  2 x  x   f  n  ≥ n − f (0) + 2 f  n +1   2   2     x   x   Suy ra :  n f  n  ≥ x − n f (0) + 2 n +1  f  n +1   2   2     x   f ( x) ≥ 2nx − ( 2n − 1) f (0) + 2 n  f   n    2   T  đó ta có :  x   ≥ 2nx − ( 2n − 1)  f (0) + x − 2n f (0) + 2 n +1  f  n +1    2     x   = 2( n + 1) x − (2n +1 − 1) f (0) + 2 n +1  f  n +1    2    *  Theo nguyên lý qui n p thì (3.2) đúng  ∀n ∈ N    1   Trong (3.2) cho x = 1 ta có :  f (1) ≥ 2n − (2n − 1) f (0) + 2 n  f  n    2    n    (2 − 1) f (0) − 2n + f (1)  Suy ra :  f  n  ≤ 2 n     Ta thay y = 0 vào (3) thì đ n   −1  (2 − 1) f (0) − 2n + f ( −1)  ng t  khi cho x = – 1 ta c ng có  :  f  n  ≤ 2 n     Ch n n = N đ  l n đ  cho N > max { f ( − 1), f (1) }  thì t  (3.4) và (3.5) cho ta :  T  f N 2 (3.1)  (3.2)  (3.3)  (3.4)  (3.5)   −1  f  N   < f (0)     2    −1  Khi đó (3) khơng cịn đúng khi ta cho  x = N và  y =  N    2  V y hàm s  f(x) không t n t i .   ,  2 – TÌM HÀM S  B NG CÁCH LÀM CH T HAI  5  DeThiMau.vn U CH N C A HÀM S Tr ng THPT Chuyên L ng v n Chánh  Gv Châu Chí Trung  Ý t ng c a ph ng pháp là d a vào các đi u ki n c a b t ph ng trình hàm c a đ  bài đ xây d ng  b t đ ng th c  :  ak g ( x) ≤ f ( x) ≤ ak g ( x)  ,  ∀x ∈ D f  và  ak  → 1 khi k → +∞  BÀI TOÁN 4  Tìm t t c  các hàm f : [1; +∞ ) → [1; +∞ )  th a mãn u ki n :  x + 1  ≤ f ( x) ≤ 2( x + 1)  v i m i x ≥ 1 .  2  4.2)  x f ( x + 1) = f 2 ( x ) − 1  v i m i x ≥ 1 .  4.1)  L I GI I:  x + 2  ≤ f ( x + 1) ≤ 2( x + 2)  2  T  (4.2) ta đ c :  f 2 ( x ) = x f ( x + 1) + 1  ,  ∀x ≥ 1  1  Nên  :  + xf ( x + 1) < f 2 ( x) < + xf ( x + 1)  2  + x ( x + 2)  2  < [ f ( x ) ] < [1 + x ( x + 2) ]  T  (4.3) và (4.4) ta có : 2  ( x + 1) 2  2  2  Hay : < [ f ( x)] < ( x + 1 )  2  1  ( x + 1) < f ( x ) < 2( x + 1)  L y c n b c hai   hai v  c a (4.5) ta có :  2  Áp d ng (4.6) và cách l p lu n trên k l n , ta đ c :  k  1  ( x + 1) < f ( x ) < 21/2  ( x + 1)  k  2 1/2  Thay x b i x + 1 trong (4.1) , ta có  :  k Cho  k → +∞  thì  21/2  → 1  nên ta đ tốn.  V y  f ( x) = x + 1    (4.3)  (4.4)  (4.5)  (4.6)  c :  x + ≤ f ( x) ≤ x + ⇒ f ( x) = x + 1  ,  th  l i th a đi u ki n bài  BÀI TỐN 5  (THTT/t6­95)  Tìm các hàm s  liên t c f : [ 0,1 ] →  R th a mãn u ki n : f ( x ) ≥ xf ( x 2 ) , ∀x ∈ [ 0,1 ]  (5)  L I GI I:  Thay l n l t  x = 0  ,  x = 1  vào (5) ta đ c :  f (0) ≥ 0  và  f (1) ≥ f (1) ⇔ f (1) ≤ 0  1  V i  0 < x  0 th a đi u ki n bài toán .  T  b t đ ng th c đã cho ta có :  f 2 ( x ) − f ( x ) f ( x + y ) ≥ y f ( x + y )  7  DeThiMau.vn ng v n Chánh  Gv Châu Chí Trung  y f ( x + y )  > ⇒ f ( x) > f ( x + y )  , v i m i x, y > 0 .  Suy ra :  f ( x) − f ( x + y ) ≥ f ( x)  i u trên ch ng t   f(x) là hàm gi m trên R +    C ng t  (7)  cho ta  : f 2 ( x ) + y f ( x ) ≥ f ( x + y ) [ f ( x ) + y ] +  y f ( x )  Tr ng THPT Chuyên L Hay : f ( x ) [ f ( x ) + y ] − f ( x + y ) [ f ( x ) + y ] ≥  y f ( x )  y f ( x )  , v i m i x, y > 0 .                            (7.1)  f ( x) + y i   1   Trong (7.1)  l n l t thay x b i   x +  và y b i  v i  i = 0 , n , n ∈ N *    n   n   i  1  f ( x + )  i i +   n n  > 1  v i  i = 0 , n , n ∈ N *    Ta có :  f ( x + ) − f  x + ≥  i  n n  f ( x + ) + 1  2 n   n n Cho i nh n l n l t các giá tr   0 , 1, 2, …n  và c ng n b t đ ng th c có đ c , ta có :  1  f ( x ) − f ( x + 1) ≥                                                                      (7.2)  2  Thay x b i  x +  j v i  j = 0 , m v i m ∈ N *  vào (5.2) và c ng v  theo v  :  m  Ta đ c :  f ( x ) − f ( x + m ) >  , v i m ∈ N *  2  m  ⇔  f ( x + m) < f ( x) −  , v i m ∈ N *                                      (7.3)  2  Theo trên ta có  f(x) là hàm gi m nên khi c  đ nh x và cho m đ  l n thì  f ( x + m)  1 và hàm s   f : R →  R th a mãn  u ki n: n  −1 ≤ ∑ a k  [ f ( x + ky ) − f ( x − ky )] ≤ , n ∈ N *  x, y ∈ R (8)  k =1  Xác đ nh  f(x).  L I GI I:  n −1  T  (1) ta có : −1 ≤ ∑ a k  [ f ( x + ky ) − f ( x − ky)] ≤ 1  k =1  Hay  : n −1  −1 ≤ ∑ a k  [ f ( x − ky ) − f ( x + ky ) ] ≤ 1  (8.1)  k =1  C ng (8) v i (8.1)  và thu g n ta đ c : −2 ≤ a n [ f ( x + ny ) − f ( x − ny ) ] ≤ 2  ⇔ t  x = f ( x + ny ) − f ( x − ny ) ≤ 2  , n ∈ N *  x, y ∈ R  n  a 2  u+v u − v  và  y  =  khi đó  (1.2) tr  thành :  f (u ) − f (v )  ≤ n  a 2 n 8  DeThiMau.vn (8.2)  ng THPT Chuyên L ng v n Chánh  2  Mà ta có  n  → khi  n → +∞  nên  f (u ) =  f (v)  v i m i u , v   a Do đó  f ( x) = c  ( h ng s  ) , th  l i u ki n bài toán th a mãn.  V y ta có :  f ( x) = c  ( c h ng s  )  Tr Gv Châu Chí Trung  3 – TÌM HÀM S  B NG CÁCH S  D NG PHÉP THAY CÁC GIÁ TR   C BI T  Ta th ng g p m t s  bài tốn v  ph ng trình và b t ph ng trình hàm đ c gi i theo k  thu t  là đ i bi n ho c đ t hàm ph  đ  qui v  các ph ng trình và b t ph ng trình hàm Cauchy … quen  thu c  Ph n này c ng nh c l i k  thu t th ng dùng đó đ  tìm cách xây d ng b t đ ng th c đ  xác  đ nh nghi m c a bài tốn.  BÀI TỐN 9  ( APMO  94)  Tìm t t c  hàm s   f : R → R th a mãn đ ng th i các đi u ki n :  9.1)  f (−1) = −1 ; f (1) = 1  9.2) 9.3)  9.4)  f ( x ) ≤ f (0) , ∀x ∈ ( 0;1 )  f ( x + y) ≥ f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R f ( x + y) ≤ f ( x) + f ( y ) + , ∀x, y ∈ R L I GI I  Thay y = 1 vào (9.3) và theo (9.1) ta có :  f ( x + 1) ≥ f ( x) + f (1) = f ( x) + 1, ∀x ∈ R Thay x và y  b i  x + 1  và  − 1 vào (9.3) và theo (9.1) ta có  f ( x) ≥ f ( x + 1) + f (−1) = f ( x + 1) − 1, ∀x ∈ R Suy ra :  f ( x + 1) = f ( x) + 1  (9.5)  T  (9.5) suy đ c  : 1 = f (1) = f (0 + 1) = f (0) + ⇒ f (0) = 0  T  (9.2) suy ra : f ( x ) ≤ f (0) = , ∀x ∈ ( 0;1 )  Mà theo (8.4) ta l i có : 1 = f (1) = f ( x + − x) ≤ f ( x) + f (1 − x) + 1  Suy ra :  f ( x) + f (1 − x) ≥ 0  Nh ng v i  < x