Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm phần chung [r]
Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Khái niệm bất phương trình bậc ẩn - Bất phương trình bậc ẩn phương trình có dạng: ax + b > ( ax + b < 0: ax + b ≥ ; ax + b ≤ ) x ẩn a, b số cho a ≠ b) Bất phương trình tương đương ĐN: hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Các phép biến đổi tương đương + Định lí 1: Nếu cộng đa thức ẩn vào hai vế bất phương trình bất phương trình tương đương - Hệ 1; Nếu xóa hai hạng tử giống hai vế bất phương trình bất phương trình tương đương - Hệ 2: Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu bất phương trình tương đương + Định lí 2: - Nếu nhân hai vế bất phương trình với số dương bất phương trình tuơng đương - Nếu nhân hai vế bất phương trình với số âm đổi chiều bất phương trình bất phương đương Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT II Các dạng tập Dạng 1: Giải bất phương trình bậc ẩn Bài tập mẫu 1: Giải bất phương trình sau a) x – < - b)x+3>-6 c ) -2x > -3x +3 d ) -4x -2 > -5x +6 Với tập học sinh giải rễ ràng cách sử dụng phép biến đổi tương đương Hướng dẫn giải a ) x – < - ⇔ x < -8 + ⇔ x < - Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = { x ∈ ℝ |x < −4 } b ) x + > - ⇔ x > - – ⇔ x > -9 Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình cho là: S = { x ∈ ℝ |x > −9 } c ) -2x > - 3x + ⇔ -2x + 3x > ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: d) – 4x – 2.> -5x + ⇔ - 4x + 5x > + ⇔ x > Vậy bất phương trình cho có nghiệm là: S = { x ∈ ℝ |x > 8} Bài tập mẫu 2: Giaỉ bất phương trình sau ; a ) (x + ) < 2x ( x + 2) +4 b ) (x + ) ( x + ) > ( x – ) (x + 8) + 26 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Bài tập làm cho học sinh bối rối em thấy lũy thừa x không bậc nên khơng biết làm giáo viên đưa gợi ý nhỏ cho em: Hãy thực phép tính hai vế thu gọn Hướng dẫn giải a ( x + ) < 2x ( x + 2) + ⇔ x2 + 4x + < x2 + 4x + ⇔ x2 < x2 ↔ x2 > ⇔ x > x < Sau giải đến bất phương trình x2 > có nhiều học sinh biến đổi sau; x2 > ↔ x > kết luận nghiệm thiếu nghiệm bất phương trình cần nhắc lại cho em lũy thừa chẵn số, biểu thức lớn thay cho việc tìm gía trị x để x2 > ta đưa tìm x để x2 = giá trị lại x làm cho x2 > b ) ( x + 2) ( x + ) > ( x – ) ( x + ) + 26 ↔ x2 + 6x + > x2 + 6x -16 + 26 ↔0 > ( vơ lí ) Nên: Bất phương trình vơ nghiệm Khi làm xong tập giáo viên cho học sinh rút bước làm: Bước 1: Thực phép tính hai vế bất phương trình Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước 3: Giải bất phương trình sau thu gọn Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Bài tập mẫu 3: Giải bất phương trình sau: a) − x − x − ≤ b) x − x + − ≥ + Giáo viên cho học sinh nhận xét bất phương trình có đặc điểm gợi ý học sinh quy đồng khử mẫu Hướng dẫn giải 1− 2x 1− 5x − x − 16 − x −2≤ ⇔ ≤ ⇔ − x − 16 ≤ − x 8 ⇔ − x + x ≤ 14 + ⇔ x ≤ 15 a; Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = {x / x ≤ 15} b) x −1 x +1 x − − 12 x + + 96 −1 ≥ +8⇔ ≥ 12 12 ⇔ x − x ≥ 100 + 15 ⇔ − x ≥ 115 ⇔ x ≤ − 115 Vậy tập nghiệm bất phương trình là; S = {x / x ≤ -115} Qua tập giáo viên cho học sinh rút cách giải bất phương trình có chứa mẫu: Bước 1: Quy đồng khử mẫu Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước 3: Giải bất phương trình sau thu gọn Bài tập mẫu 4: Giải bất phương trình: mx + ≥ m2 + x ( với m tham số ) Hướng dẫn giải Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Học sinh biến đổi tương đương bình thường mx + ≥ m2 + x ⇔ mx − x ≥ m − ⇔ ( m − 1) x ≥ ( m − 1)( m + 1) Đến bước có nhiều em vội vàng suy x ≥ ( m + ) bàng cách chia (m1)(m+1) cho (m-1) mà quên điều kiện để phép chia có nghĩa số chia phải khác không quy tắc chia hai vế bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất phương trình Vậy giáo viên phải hướng dẫn em phân chia trường hợp m- ( m-1) > 0; (m – ) nghiệm bất phương trình x ≥ m + + Nếu x = bất phương trình có dạng 0x ≥ nghiệm với giá trị x Bài tập mẫu 5: Giải bất phương trình ( với a số ) x +1 x+2 + ax > − 2x a a Đây bất phương trình có chứa mẫu cần phải tìm điều kiện mẫu có nghĩa sau biến đổi rút gọn bất phương trình Hướng dẫn giải Bất phương trình có nghĩa a ≠ x +1 x+2 x x + ax > − x ⇔ + + ax > + − x a a a a a a Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT ⇔ ax + x > 1 − ⇔ (a + 2) x > a a a a (a + 2) - Nếu a > - 2: a ≠ nghiệm bất phương trình là: x > - Nếu a < - nghiệm bất phương trình cho là: x < - Nếu a = -2 bất phương trình có dạng 0x > - a (a + 2) nghiệm với x Bài tập mẫu 6: Giải bất phương trình: x + x + x + x + 11 + > + 89 86 83 80 Với tập phần lớn học sinh vận dụng cách làm cách máy móc quy đồng, rút gọn giải bất phương trình, làm em vất vả có em lại tách thành x x x x 11 + + + > + + + 89 89 86 86 83 83 80 80 Làm phức tạp nên giáo viên cho học sinh nhận xét mối quan hệ tử mẫu phân thức hướng dẫn học sinh tạo phân thức có tử giống cách cộng thêm vào phân thức với ta có: x + x + x + x + 11 + > + 89 86 83 80 Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT x+2 x+5 x+8 x + 11 ⇔ + 1 + + 1 > + 1 + + 1 89 86 83 80 x + 91 x + 91 x + 91 x + 91 ⇔ + > + 89 86 83 80 1 ⇔ ( x + 91 ) + − − >0 89 86 83 80 ⇔ x + 91 < ⇔ x < − 91 Bên cạnh toán với yêu cầu cụ thể giải bất phương trình cịn tốn mà để giải phải đưa tốn giải bất phương trình Bài tốn địi hỏi học sinh phải có tư logic, phân tích chặt chẽ Bài tập mẫu 7: Tìm giá trị x thỏa mãn hai bất phương trình x − x 3x + + ≥ x − 2x 3x − + ≥ Học sinh phải hiểu giá trị cần tìm x nghiệm chung hai bất phương trình để tìm ta phải giải bất phương trình tìm phần chung tập nghiệm chúng 2x − 2x 3x + + ≥ ⇔ 12x + 30 − 20x ≥ 45x + 30 * ⇔ 12x − 20x − 45x ≥ ⇔ −53x ≥ ⇔ x ≤ * (1) x − 2x 3x − + ≥ ⇔ 15 x + 18 − 12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ − 12 x ≥ − 48 ⇔ x≤4 ( 2) Từ (1) (2) ta có x ≤ Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Bài tập mẫu 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn hai bất phương trình 2x − − x 3x − x > ≥ + 0, − Hướng dẫn giải Xét bất phương trình: 3x − x ≥ + 0,8 ⇔ x − ≥ x + ⇔ x − x ≥ + ⇔ x ≥ 12 Xét bất phương trình: 1− (1) 2x − − x > ⇔ 12 − x + 10 > − x ⇔ −4 x + x > − 22 ⇔ − x > −13 ⇔ x < 13 (2) Từ (1) (2) ta có 12 ≤ x 10 x − ⇔ − x − 10 x > − − ⇔ − 12 x > − ⇔ x < Vậy giá trị phân thức − 2x 5x − lớn giá trị phân thức x < 3 1, − x 4x + b Giá trị phân thức nhỏ giá trị phân thức nghĩa 1, − x 4x + < ⇔ − x < 20 x + 25 ⇔ 22 x > −22 ⇔ x > −1 4x + 1, − x nhỏ giá trị phân thức Vậy với x > - Giá trị phân thức Dạng tập sau giải học sinh thường hay kết luận nghiệm bất phương trình giáo viên ý học sinh kết luận theo yêu cầu Bài tập mẫu 11: Tìm giá trị m để nghiệm phương trình sau dương m +1 = 1− m x −1 Đây phương trình chứa mẫu cần tìm điều kiện để phương trình có nghĩa: Điều kiện x – ≠ suy x ≠ Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Bài tập mẫu 14: Tìm x biết 3x − = x Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên: Phần nguyên a kí hiệu [a] số nguyên lớn khơng vượt q a Ví d ụ; - [3,135] = ; [-1,47] = -2 0 ≤ a − b < b ∈ Z Nếu b phần nguyên a ta có Từ học sinh dựa vào để giải tốn Hướng dẫn giải Theo đề bài, x số nguyên lớn khơng vượt qua 3x − Do 3x − − x −3 0≤ Ta lại có x ∈ ℤ x = -2 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT 34 x + 19 = 2x + 11 Bài tập mẫu 15: Tìm x biết Hướng dẫn giải Ta có 2x +1 số nguyên lớn không vượt 34 x + 19 nên 11 34x +19 − 2x −1 b) │3-2x│ < x + Hướng dẫn giải a) │3x - 1│ > (1) ( 1) có dạng * Xét khoảng x < – 3x > ⇔ −3x > − ⇔ −3x > ⇔ x < −4 Nghiệm bất phương trình khoảng x < * Xét khoảng x ≥ −4 (1) có dạng 3x − > ⇔ 3x > + ⇔ 3x > ⇔ x > Nghiệm bất phương trình khoảng x > Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho là: x > 2: x < −4 b) │3-2x│ < x + * Xét khoảng x > ,(2) có dạng Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT 2x − < x +1 ⇔ 2x − x < +1 ⇔ x < Vậy bất phương trình có nghiệm khoảng * Xét khoảng x ≤ < x < , ( ) có dạng − 2x < x +1 ⇔−2x − x Vậy bất phương trình có nghiệm khoảng Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho là: 3 (1) (2) Hướng dẫn giải a) Lập bảng xét dấu biểu thức x x - x x - + │ x-4 - │ - + + * Xét khoảng x < 0; ( 1) có dạng - x – x + ≤ ( – x ) ⇔ 0x = Nghiệm với x thuộc khoảng xét x < Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT * Xét khoảng ≤ x < ,(1) có dạng x – x + ≤ - 2x ⇔ x ≤ Nghiệm bất phương trình xét khoảng ≤ x ≤ * Xét khoảng x ≥ 4, (1) có dạng x – x + ≤ 2x – ↔ x ≥ thỏa mãn x ≥ Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho x ≤ 3; x ≥ b) Lập bảng xét dấu biểu thức ( x – ); ( x – ) x x-1 - + │ x-5 - │ - + + * Xét khoảng x < 1, (2) có dạng 1− x + − x > ⇔ −2x > ⇔ x < −1 thỏa mãn x < * Xét khoảng ≤ x < 5, (2) có dạng x − + − x > ⇔ x > không xảy với x bất phương trình vơ nghiệm khoảng xét * Xét khoảng x ≥ 5, ( 2) có dạng x −1+ x −5 > ⇔2x >14 ⇔x > nghiệm với x ≥ Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho x < - 1; x > Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT Nhận xét: Trong cách cách giải ta khử dấu GTTĐ cách xét khoảng giá trị biến Trong số trường hợp, giải nhanh cách dùng phương pháp chung nói biến đổi tương đương sau: Dạng 1: a) Với a số dương, ta có: │f(x) │ < a ⇔ − a < f ( x ) < a b) │f(x) │ < g (x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x) Dạng 2: a) Với số a dương ta có: │f(x) │ > a f ( x) < − a ⇔ f ( x) > a f ( x) < − g ( x) b) │f(x) │ > g (x) ⇔ f ( x) > g ( x) Dạng 3: │f(x)│ > │g(x)│ ⇔ [ f ( x)] > [ g ( x)] 2 Bài tập mẫu 3: Giải bất phương trình a) 3│2x - 1│ < 2x + b) │5x - 3│ < 3x + ( 2) (1) Hướng dẫn giải a) Cách 1: (Theo phương pháp chung ) * Xét khoảng x < , (1) có dạng 3( – 2x ) Nghiệm bất phương trình khoảng 1 x > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < x x + 2 x > x > Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho x < x > Dạng 3: Bất phương trình tích, bất phương trình thương Với dạng tập học sinh lập bảng để xét dấu sử dụng phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần ý: - Tích (thương ) hai số dấu số dương - Tích ( thương ) hai số trái dấu số âm Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) .. .Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT II Các dạng tập Dạng 1: Giải bất phương trình bậc ẩn Bài tập mẫu 1: Giải bất phương trình sau a) x – < - b)x+3>-6 c... sinh rút cách giải bất phương trình có chứa mẫu: Bước 1: Quy đồng khử mẫu Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước 3: Giải bất phương trình sau thu... phương trình x ≥ m + + Nếu x = bất phương trình có dạng 0x ≥ nghiệm với giá trị x Bài tập mẫu 5: Giải bất phương trình ( với a số ) x +1 x+2 + ax > − 2x a a Đây bất phương trình có chứa mẫu cần phải