Ôn thi đại học môn toán 2013 chuyên đề bất phương trình, phương trình
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + b = ax + b = (1) Hệ số Kết luận a≠0 (1) có nghiệm b≠0 (1) vơ nghiệm b=0 (1) nghiệm với x a=0 Chú ý: Khi a ≠ (1) gọi phương trình bậc ẩn BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < Biện luận Điều kiện Kết tập nghiệm b a b S = − ; +∞ a b a b x ∈ − ; +∞ a S = −∞; − a>0 a0 (1) có nghiệm phân biệt ∆=0 (1) có nghiệm kép ∆ 0, ∀x ∈ R \ − 2a Giải bất phương trình bậc hai ∆>0 Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để giải a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞) a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2) II CÁC DẠNG TỐN Dạng tốn 1: Giải biện luận phương trình bất phương trình HT1 Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: 1) (m + 2)x − 2m = x − 2) m(x − m ) = x + m − 3) m(x − m + 3) = m(x − 2) + 4) m (x − 1) + m = x (3m − 2) 5) (m − m )x = 2x + m − 6) (m + 1)2 x = (2m + 5)x + + m HT2 Giải bất phương trình sau: (2x − 5)(x + 2) 1) >0 −4x + 4) x −3 x +5 > x +1 x −2 3) x − − 2x < x +5 x −3 5) 3x − >1 x −2 2) 2x − ≥ −1 2−x 6) ≤ x − 2x − HT3 Giải biện luận bất phương trình sau: 1) m(x − m ) ≤ x − 2) mx + > 2x + 3m 4) mx + > m + x 3) (m + 1)x + m < 3m + 5) m(x − 2) x − m x + + > 6) − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2 HT4 Giải biện luận bất phương trình sau: 2x + m − mx − m + 1) 2) >0 Giải biện luận phương trình sau: 1) x + 5x + 3m − = 2) 2x + 12x − 15m = 3) x − 2(m − 1)x + m = 4) (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − = 5) (m − 1)x + (2 − m )x − = 6) mx − 2(m + 3)x + m + = HT6 Giải biện luận bất phương trình sau: 1) x − mx + m + > HT7 2) (1 + m )x − 2mx + 2m ≤ 3) mx − 2x + > Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Nghiệm với x ∈ R BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2) (m + 2m − 3)x = m − 1) (m − 2)x = n − 3) (mx + 2)(x + 1) = (mx + m )x 4) (m − m )x = 2x + m − HT8 Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) m 2x + 4m − < x + m b) m 2x + ≥ m + (3m − 2)x c) mx − m > mx − d) − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2 Dạng toán 2: Dấu nghiệm số phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) (1) ∆ ≥ • (1) có hai nghiệm dấu ⇔ P > ∆ ≥ ∆ ≥ • (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > S > S < Chú ý: Trong trường hợp yêu cầu hai nghiệm phân biệt ∆ > • (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < Bài tập HT9 Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt 1) x + 5x + 3m − = 2) 2x + 12x − 15m = 3) x − 2(m − 1)x + m = 4) (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − = 5) (m − 1)x + (2 − m )x − = 6) mx − 2(m + 3)x + m + = 7) x − 4x + m + = 8) (m + 1)x + 2(m + 4)x + m + = Dạng toán 3: Áp dụng định lý Viet a Biểu thức đối xứng nghiệm số b c Ta sử dụng công thức S = x1 + x = − ; P = x 1x = để biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 a a theo S P Ví dụ: 2 x1 + x = (x1 + x )2 − 2x1x = S − 2P 3 x + x = (x1 + x ) (x1 + x )2 − 3x1x = S (S − 3P ) b Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b c S = x1 + x = − ; P = x 1x = a a (S, P có chứa tham số m) Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2 c Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: x − Sx + P = , S = u + v, P = uv Bài tập HT10 Gọi x1, x nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 3 4 A = x1 + x ; B = x1 + x ; C = x1 + x ; D = x1 − x ; E = (2x1 + x )(2x + x1 ) 1) x − x − = 2) 2x − 3x − = 3) 3x + 10x + = 4) x − 2x − 15 = 5) 2x − 5x + = 6) 3x + 5x − = HT11 Cho phương trình: (m + 1)x − 2(m − 1)x + m − = (*) Xác định m để: 1) (*) có hai nghiệm phân biệt 2) (*) có nghiệm Tính nghiệm 3) Tổng bình phương nghiệm HT12 Cho phương trình: x − 2(2m + 1)x + + 4m = (*) 1) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 2) Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m 3 3) Tính theo m, biểu thức A = x1 + x 4) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm 2 5) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x1 , x HT13 Cho phương trình: x − 2(m − 1)x + m − 3m = (*) 1) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm cịn lại 2) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m 2 3) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x1 + x = HD: a) m = 3; m = b) (x1 + x )2 − 2(x1 + x ) − 4x1x − = c) m = –1; m = HT14 Cho phương trình: x − (m − 3m )x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại HD: a) m = 0; m = b) x = 1; x = − 7; x = −5 − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa tính chất A A ≥ • A = −A A < • A.B = A B • A ≥ 0, ∀A • A = A2 • A + B = A + B ⇔ A.B ≥ • A − B = A + B ⇔ A.B ≤ • A + B = A − B ⇔ A.B ≤ • A − B = A − B ⇔ A.B ≥ A < −B A > B ⇔ A > B Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; Cách giải Để giải phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ a) Phương trình: f (x ) ≥ g(x ) ≥ C f (x ) = g(x ) C f (x ) = g(x ) ⇔ • Dạng 1: f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) < f (x ) = −g(x ) −f (x ) = g(x ) C2 C1 f (x ) = g (x ) 2 • Dạng 2: f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = −g(x ) • Dạng 3: a f (x ) + b g(x ) = h(x ) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải b) Bất phương trình g(x ) > f (x ) < g (x ) ⇔ • Dạng1: −g(x ) < f (x ) < g(x ) g( x) < f ( x) có nghóa f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ • Dạng 2: f ( x) < −g( x) f ( x) > g( x) Chú ý: • A = A ⇔ A ≥ ; A = −A ⇔ A ≤ • Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; A < −B A > B ⇔ A > B • A + B = A + B ⇔ AB ≥ ; A − B = A + B ⇔ AB ≤ Bài tập HT15 Giải phương trình sau: x + 6x + = 2x − 1) 2x − = x + 2) 3) x − x + = 4) 4x − 17 = x − 4x − 5) x − 4x − = 4x − 17 6) x − − x + 2x + = 2x + BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 7) x + − x − 2x − = x − x − HT16 Giải phương trình sau: 1) 4x + = 4x + 8) x − + x + + x − = 14 2) 2x − = − 2x 4) x − 2x − = x + 2x + 3) x − + 2x + = 3x 5) 2x − + 2x − 7x + = 6) x + + − x = 10 HT17 Giải phương trình sau: 2) x + 4x + x − 2x = 4x + 1) x − 2x + x − − = HT18 Giải bất phương trình sau 1) x − 2x − < x + 2) 2x + x − ≥ 2x + 3) x − 5x + ≤ x + 6x + 4) x + x − < 2x + x − BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN THỨC Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Đặt ẩn phụ Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định I Biến đổi tương đương a Phương trình: f (x ) = g (x ) Dạng 1: f (x ) = g (x ) ⇔ g(x ) ≥ f (x ) = g(x ) Dạng 2: f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) ≥ (hay g(x ) ≥ 0) Dạng 3: f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = g (x ) Dạng 4: f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = (g(x )) b Bất phương trình f (x ) ≥ • Dạng 1: f (x ) < g (x ) ⇔ g (x ) > f (x ) < g(x ) g(x ) < f (x ) ≥ • Dạng 2: f (x ) > g(x ) ⇔ g(x ) ≥ f (x ) > g(x ) Bài tập HT19 Giải phương trình sau: 1) 2x − = x − 2) 5x + 10 = − x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) x − 2x − = 4) x + x − 12 = − x 5) x + 2x + = − x 6) 3x − 9x + = x − 8) 3x − 9x + = x − 8) (x − 3) x + = x − HT20 Giải bất phương trình sau: 1) x + x − 12 < − x 2) x − x − 12 < − x 3) −x − 4x + 21 < x + 4) x − 3x − 10 > x − 5) 3x + 13x + ≥ x − 6) 2x + 6x + > x + 7) x + − − x > 2x − 8) − x > − x − −3 − 2x 9) 2x + + x + ≤ HT21 Giải phương trình: 1) 2) +x − 2−x = 3) x + x + = 4) x + = − 2x + 5) + x + − x = 6) 3x + − 2x + = x + x2 + − x2 − = 2) 3x + 5x + − 3x + 5x + = 4) x + x − + x + 8x − = 3x + + x + = HT22 Giải phương trình sau: 1) 3) 1+ x + 1− x = 6) − x + + + x + = 5) 5x + − 5x − 13 = HT23 Giải bất phương trình sau: 1) x − 4x ≤2 3−x 2) 4) 3) (x + 3) x − ≤ x − −2x − 15x + 17 ≥0 x +3 −x + x + −x + x + ≥ 2x + x +4 HT24 Giải bất phương trình sau: 1) x + ≤ x + 2) 3 2x + ≥ 3x − 3) x + > x − HT25 Giải phương trình sau: 1) x + + x + 10 = x + + x + 2) x + + x + + x + = 3) x + + 3x + = x + 2x + 4) 5) x + 2x + 2x − = 3x + 4x + 6) − x = − x − −5 − 2x 7) 12 − x + 14 + x = x3 + + x + = x2 − x + + x + x +3 8) x − + x − = 2x − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 II Đặt ẩn phụ t = f (x ), t ≥ Dạng 1: af (x ) + b f (x ) + c = ⇔ at + bt + c = Dạng 2: f (x ) + g (x ) = h(x ) Dạng 3: f (x ) ± g (x ) + f (x ).g (x ) = h(x ) f (x ) ± g (x ) = k (k = const ) Đặt t = f (x ) ± g(x ), HT26 Giải phương trình sau: 1) x − 6x + = x − 6x + 2) (x − 3)(8 − x ) + 26 = −x + 11x 3) (x + 4)(x + 1) − x + 5x + = 4) (x + 5)(2 − x ) = x + 3x 5) x + x + 11 = 31 6) x − 2x + − (4 − x )(x + 2) = HT27 Giải phương trình sau: 1) x + + − x = + (x + 3)(6 − x ) 2) 2x + + x + = 3x + (2x + 3)(x + 1) − 16 3) x − + − x − (x − 1)(3 − x ) = 4) − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = 5) x + + − x + (x + 1)(4 − x ) = 6) 3x − + x − = 4x − + 3x − 5x + 7) + 8) x − x2 = x + − x x + − x = −x + 9x + HT28 Giải bất phương trình sau: 1) (x − 3)(8 − x ) + 26 > −x + 11x 3) (x + 1)(x + 4) < x + 5x + 28 2) (x + 5)(x − 2) + x (x + 3) > 4) 3x + 5x + − 3x + 5x + ≥ HT29 Giải phương trình sau: 1) 2x − + 2x − + 2x + + 2x − = 14 2) x + − x +1 + x + −2 x +1 = 3) 2x − 2x − − 2x + − 2x − + 2x + − 2x − = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Dạng 4: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: Là phương pháp sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu phương trình với ẩn phụ hệ số chứa ẩn x ban đầu Bài tập: 1) x − = 2x x − 2x 2) (4x − 1) x + = 2x + 2x + 3) x − = 2x x + 2x 4) x + 4x = (x + 2) x − 2x + Dạng 7: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình hệ đối xứng: + ax + b = c(dx + e )2 + αx + βy với d = ac + α, e = bc + β Đặt: dy + e = ax + b + ax + b = c(dx + e)3 + αx + β với d = ac + α, e = bc + β Đặt: dy + e = ax + b Bài tập HT30 Giải phương trình sau: 1) 3x + = −4x + 13x − 2) x + = 3 3x − 3) x + = x + 4x + 4) 4x + = 7x + 7x , x > 28 3 6) x 35 − x x + 35 − x = 30 5) x + = 23 2x − III Phương pháp trục thức Bài tập HT31 Giải phương trình sau: 1) x + 3x + = (x + 3) x + 3) 2) 4) x −1 + x = x3 − 5) (2 − x )(5 − x ) = x + (2 − x )(10 − x ) 7) 2x + x + + 2x − x + = x + 6) x + 12 + = 3x + x + − 10 − 3x = x − x + = x − + 2x − 2x + 16x + 18 + x − = 2x + 9) 11) 8) x − + 3x − = 3x − 10) x + 15 = 3x − + x + 3x − 5x + − x − = 3(x − x − 1) − x − 3x + IV Phương pháp xét hàm số HT32 Giải phương trình sau: 1) 4x − + 4x − = 2) x − = −x − 4x + 3) x −1 + x − = 4) 2x − + x + = − x V Phương pháp đánh giá 1) x − 2x + + x − = 3) − x2 + − 2) 7x − 11x + 25x − 12 = x + 6x − 1 = − x − x x2 4) x −2 x −1 + x + − x −1 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VI Các tốn liên quan đến tham số HT1 Cho phương trình x +4 x −4 +x + x −4 = m a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm Đ/s: x = 4; m ≥ HT2 Tìm tham số để phương trình 3x + 2x + = m(x + 1) x + có nghiệm thực Đ/s: m < −3 ∪ m ≥ 2 HT3 Cho phương trình x + + − x − (x + 1)(3 − x ) = m a Giải phương trình m = b Tìm m để phương trình có nghiệm Đ/s: x = −1; x = 3.2 − ≤ m ≤ HT4 Tìm tham số thực m để bất phương trình x − 4x + ≥ x − 4x + m có nghiệm thực đoạn 2; 3 Đ/s: m ≤ −1 HT5 Tìm m để phương trình x − − x − + x − x − + = m có hai nghiệm thực phân biệt Đ/s: HT6 Tìm m để phương trình m x − 2x + = x + có hai nghiệm phân biệt Đ/s: m ∈ (1; 10) HT7 Tìm m để phương trình m + x − − x + 2 = − x + + x − − x có nghiệm thực Đ/s: − m ∈ −2 5; HT8 Cho phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x +1 = m Với giá trị m phương trình có nghiệm x −3 Đ/s: m ≥ −4 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ÔN TẬP I BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HT1 Giải phương trình sau: ± 29 ± 13 ,x = 2 x − = x − 5x − 2x + Đ/s: x = −1, x = x − 3x + = 2x + Đ/s: x = 2, x = x2 −1 + x = Đ/s: x = 0, x = ±1 x + + x − = + − x2 Đ/s: x = 0, x = ±2 − 2x − x = + 3x + x − HT2 ( ) Đ/s: x = − 23 ,x = 23 Giải phương trình sau: 14 −x + 4x − = 2x − Đ/s: x = − x + x x + = − 2x − x Đ/s: x = −1 3x + x − x + = −2 x − 2x + = 2x − Đ/s: x = ∪ x = + x + x + 6x + 28 = x + Đ/s: x = ∪ x = x − 4x + 14x − 11 = − x Đ/s: x = −2 ∪ x = x + 5x + 12x + 17x + = 6(x + 1) Đ/s: x = − 3x − − x + = Đ/s: x = 9 3x + + x + = Đ/s: x = 10 x +8− x = x +3 Đ/s: x = 11 5x + + 2x + = 14x + Đ/s: x = − ; x = 12 x (x − 1) + x (x + 2) = x Đ/s: x = ∪ x = 13 x + 14x − 49 + x − 14x − 49 = 14 Đ/s: x = 14 3x + − 3x + = 5x − − 5x − Đ/s: x = 15 x + + 3x + = x + 2x + Đ/s: x = 16 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Đ/s: x = 17 x2 + + x2 + = x2 + x + + x2 + x + Đ/s: x = −1 18 5 − x2 + − x2 + − x2 − 1− x2 = x + 4 Đ/s: x = 19 2x − 2x − − 2x + − 2x − + 2x + − 2x − = Đ/s: x = 1; x = 20 x3 + + x + = x2 − x + + x + x +3 Đ/s: x = ± Đ/s: x = −1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN −1 ± 13 ∪x = 5 Page 11 GV.Lưu Huy Thưởng 21 x− 0968.393.899 1 = − x x x Đ/s: x = 22 2x + + 2x + + 2x + = 23 Đ/s: x = −1 3x − + 2x − = 5x + Đ/s: x = 24 x + + x + + x + = HT3 19 30 Đ/s: x = Giải phương trình sau (nhóm nhân tử chung) (x + 3) 10 − x = x − x − 12 3 x + − x = x − + −x + 8x − + Đ/s: x = −3 x + + x + = + x + 3x + Đ/s: x = 0; x = −1 x + 10x + 21 = x + + x + − x + 3x + x + = 2x + x + Đ/s: x = 5; x = Đ/s: x = 1; x = +5 x Đ/s: x = 1; x = x − x − − (x − 1) x + x − x = Đ/s: x = 2x − 6x + 10 − 5(x − 2) x + = Đ/s: x = 3; x = 8 x + + 2x x + = 2x + x + 4x + Đ/s: x = 0; x = x + + 2(x + 1) = x − + − x + − x Đ/s: x = 10 x + 3x + 2(3 x + − x + 2) = ( Đ/s: x = − ) Giải phương trình sau: A2 + B = HT4 Đ/s: x = x − x + = − 3x Đ/s: x = −1 x − 2x x − 2x + 16 + 2x − 6x + 20 = Đ/s: x = x + x + + − 2x = 11 Đ/s: x = 13 x − + x + = 16x Đ/s: x = x + + − x + (x + 1)(9 − x ) − x − 2x + 10x + 38 = Đ/s: x = x − 2(x + 1) 3x + = 2x + 5x + − 8x − Đ/s: x = HT5 x + = x − 5x + 14 4x + 12 + x − = x 5x − + − 5x ( ) Giải bất phương trình sau (nhân liên hợp) x + + = 4x + 3x Đ/s: x = 2x − − x = 2x − Đ/s: x = 3 x − + − x = 2x − 5x − Đ/s: x = 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Đ/s: x = ( )( 3(2 + x − 2) = 2x + x + 1+x +1 ) + x + 2x − = x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Đ/s: x = Đ/s: x = 3; x = 11 − Page 12 GV.Lưu Huy Thưởng 9 ( 0968.393.899 ) Đ/s: x = 4x + − 3x − = x + 3x − 5x + − x − = 3(x − x − 1) − x − 3x + Đ/s: x = (x + 1) x − 2x + = x + Đ/s: x = ± 10 (3x + 1) x + = 3x + 2x + Đ/s: x = ±1 11 (x + 3) 2x + = x + x + Đ/s: x = 0; x = −5 + 13 12 + x − = x + 2x − x x x 13 x + − x = x2 − x − Đ/s: x = Đ/s: x = 14 x + 24 + 12 − x = 3± Đ/s: x = −24; x = −88 15 2x − 11x + 21 = 3 4x − HT6 Giải bất phương trình sau: Đ/s: x = ( ) ( ) 3x + < x + 7x Đ/s: x ∈ −∞; −5 − ∪ −5; −5 + ∪ (1; +∞) x + 8x − < 2x + Đ/s: x ∈ (−5 + 5;1) 2x − 3x − 10 ≥ − x 2x − < x − 3x − HT7 − 37 + 37 ; +∞ Đ/s: x ∈ −∞; ∪ 1 − 2;1 + ∪ 2 + 57 Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 4) ∪ ; +∞ 2x + ≥x +5 x −1 x + −1 ( ) Đ/s: x ∈ −∞; −1 − ∪ −3 + 15;1 ∪ (1; −1 + 7) ( Đ/s: x ∈ [ − 5; −4) ∪ −2;2 − ≥ x +2 Giải bất phương trình sau: 3 Đ/s: x ∈ − ; − ∪ 2; +∞) 4 2x + ≤ 4x − 3x − x − x − 12 < x −x + 4x − > 2x − 5x − 2x − ≥ − x 3 Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪ ; +∞ 2 x + + 2x + > Đ/s: x ∈ (0; +∞) x + − − x < − 2x Đ/s: x ∈ [ − 2;2) 7x + − 3x − ≤ 2x + 5x + − 4x − ≤ x Đ/s: x ∈ 9; +∞) 1 Đ/s: x ∈ ; +∞ 4 5x + − − x ≤ x + x ∈ − ; 3 Đ/s: x ∈ 4; +∞) 14 Đ/s: 1; 5 Đ/s: x −1 x −2 −2 ≥ x ∈ − ; 0 12 x x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 −x + x + −x + x + ≥ 2x + x +4 2x + 10x − 3x − ≥ 11 x − 2x − Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ x = 10 5 Đ/s: x = ∪ x ∈ ; 2 12 51 − 2x − x 1 16 x + 3x + + x + 6x + ≤ 2x + 9x + Đ/s: x = 1; x = −5 17 x − 4x + − 2x − 3x + ≥ x − 1 Đ/s: x ∈ −∞; ∪ x = 18 x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + Đ/s: x ∈ 4; +∞) ∪ x = HT8 Giải bất phương trình sau (nhân liên hợp) 2x (3 − ) + 2x x2 (1 + 1+x ( Đ/s: x ∈ −1; 8) > x −4 ) 6x 7 Đ/s: x ∈ − ; \ {0} 2 < x + 21 ) 2x + + x2 (x + − x +1 < x + 3x + 18 ) ( 4(x + 1)2 < (2x + 10) − + 2x ( ) x + − x − 1 + x + 2x − ≥ ) Đ/s: x ∈ − ; 3 \ {1} Đ/s: x ≥ x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + Đ/s: x ≥ ∪ x = Đ/s: x ∈ (0; + 2x + ≥ 2x + 17 x ) Đ/s: x ∈ (−1; 3) \ {0} (x + 1)2 ( Đ/s: x ∈ 10 + 5; +∞ > 2x + x − + 2x + 3x + 6x + 16 − − x > ( 10 9(x + 1) ≤ (3x + 7) − 3x + 11 − + 2x − ≥ x x x ) Đ/s: x ∈ (1; 4 Đ/s: x ∈ − ; −1 { Đ/s: x ∈ −2; 0) ∈ + BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN } Page 14 GV.Lưu Huy Thưởng 12 0968.393.899 12x − 2x + − 2 − x > 9x + 16 13 x2 + x + + x2 − ≤ x +4 x2 + 14 (x − 1) x − 2x + − 4x x + ≥ 2(x + 1) 15 − x + 3x + x (x + − x ) x x + 1− x2 − x3 17 HT9 Đ/s: x ∈ − 3; Đ/s: x ∈ (−∞; −1 13 − ; +∞ Đ/s: x ∈ (−∞; −2 ∪ >1 1− x2 − x + 16 Đ/s: x ∈ −2; ∪ ;2 3 −1 Đ/s: x = ≥1 2x + 11x + 15 + x + 2x − ≥ x + 7 3 Đ/s: −∞; − ∪ ; +∞ 2 2 Giải phương trình sau (Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn): (x + 1) x − 2x + = x + Đ/s: x = ± 2 x + (3 − x + 2)x = + x + Đ/s: x = ± 14 (3x + 1) 2x − = 5x + x − 2x + − 1 = x 1 + 3x + 2x + Đ/s: x = ±1; x = 5 2x + + − x = 9x + 16 Đ/s: x = x + − = 3x + − x + − x Đ/s: x = − ; x = 2 + x − − x − − x = 3x + Đ/s: x = x + 2(x − 1) x + x + − x + = Đ/s: x = 0; x = −1 (x + 1) x − 2x + = x + Đ/s: x = ± 10 6x − 10x + − (4x − 1) 6x − 6x + = Đ/s: x = 59 − 10 Đ/s: x = HT10 Giải phương trình sau (Đặt ẩn phụ): 2x + 4x + = − x − 2x Đ/s: x = −2; x = x + + − x + (x + 2)(5 − x ) = Đ/s: x = 2x + + x + = 3x + 2x + 5x + − 16 Đ/s: x = (x + 1)2 = − x 2x + x + 2x x − x + = 3x + x 2x −1 = 2x + 3±3 Đ/s: x = − ∪ x = Đ/s: x = −1 1± Đ/s: x = − 2 2x − 6x + = x + Đ/s: x = ± 13 2x + 5x − = x − Đ/s: x = ± BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x − 4x − = x + Đ/s: x = −1 ∪ x = 10 2x − 6x − = 4x + 5 + 29 Đ/s: x = − ∪ x = + HT11 Giải phương trình sau (đặt ẩn phụ chuyển hệ): − x + x −1 = 2 x + = 23 2x − 3x + 6x − = x − 4x − = x + Đ/s: x = −1; x = 2x − 6x − = 4x + Đ/s: x = − 2; x = + (x + 2)2 − (4 − x )2 + 3 (2 − x )2 = (x + 3) −x − 8x + 48 = x − 24 Đ/s: x = 0; x = Đ/s: x = 1; x = x +7 Đ/s: x = (2 − x )2 + (7 + x )2 − (7 + x )(2 − x ) = −1 ± −5 + 73 −7 − 69 ;x = 6 + 29 Đ/s: x = −6; x = Đ/s: x = −2 − 7; x = −5 − 31 1 + =2 x 2−x HT12 Giải bất phương trình sau (Đặt ẩn phụ): Đ/s: x = 1; x = −1 − (x + 1)(x + 4) < x + 5x + 28 Đ/s: x ∈ (−9; 4) x (x − 4) −x + 4x + (x − 2)2 < Đ/s: x ∈ − 3;2 + ( 7x + + 7x − + 49x + 7x − 42 < 181 − 14x 6 Đ/s: x ∈ ;6 7 − x + x + + ≤ −x + x + Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ 2; 3 x +4 + x −4 ≤ x + x − 16 − 145 Đ/s: x ∈ ; +∞ 36 3x + 6x + < − 2x − x ) Đ/s: x ∈ (−2; 0) 1 Đ/s: x ∈ (−∞; 0) ∪ ; +∞ 2 3x − x ≥ +1 x 3x − (x + 1)(x − 3) −x + 2x + < − (x − 1)2 x+ x x2 −1 10 1 − x2 +1> > ( Đ/s: x ∈ − 3;1 + ) 35 12 5 5 Đ/s: x ∈ 1; ∪ ; +∞ 4 3 3x ∪ Đ/s: x ∈ −1; ;1 2 1− x2 HT13 Giải phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu hàm số) +3 = 14 3−x 2−x Đ/s: x = 3x + + x + 7x + = Đ/s: x = 4x + x − (x + 1) 2x + = x = 1+ Đ/s: x = −1 + 21 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x (4x + 1) + (x − 3) − 2x = (2x + 3) 4x + 12x + 11 + 3x (1 + 9x + 2) + 5x + = + 2x − x + − 2x − x = 2(x − 1)4 (2x − 4x + 1) Đ/s: x = − Đ/s: x = 0; x = x + = 23 2x − Đ/s: x = 1; x = −1 ± 8x − 36x + 53x − 25 = 3x − Đ/s: x = 2; x = 5± x − 15x + 78x − 141 = 2x − Đ/s: x = 4; x = 11 ± 10 2x + x − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Đ/s: x = 3± HT14 Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu hàm số) x +1 > 3− x +4 Đ/s: x ∈ (0; +∞) 5x − + x + ≥ Đ/s: x ∈ 1; +∞) ( ) 2(x − 2) (x + 2) x + > 27x − 27x + 12x − 3 − 2x + 4x − + 2x + ≥ 3x − 2x − − 2x ≤ Đ/s: x ≥ 7 Đ/s: x ∈ −1; 9 3 Đ/s: x ∈ 1; 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM HT15 Giải bất phương trình: 1) (B – 2012) x + + x − 4x + ≥ x 2) (A – 2010) x− x − 2(x − x + 1) 3) (A – 2005) 4) (A – 2004) ≥1 5x − − x − > 2x − 2(x − 16) −x + x −3 > x −3 x −3 5) (D – 2002) (x − 3x ) 2x − 3x − ≥ 1 Đ/s: 1) 0; ∪ [4; +∞) 4 2) x = 3− 3) < x < 10 5) x < − ∪ x = ∪ x ≥ HT16 Giải phương trình sau: 4) x > 10 − 34 1) (B – 2011) + x − − x + 4 − x = 10 − 3x 2) (B – 2010) 3x + − − x + 3x − 14x − = 3) (A – 2009) 3x − + − 5x − = 4)(D – 2006) 2x − + x − 3x + = 5) (D – 2005) x + + x + − x + = Đ/s: 1) x = 2) x = 3) x = −2 4) x = − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN 5) x = Page 18 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Hệ phương trình bậc hai ẩn Giải biện luận: a x + b y = c 2 2 1 (a1 + b1 ≠ 0, a2 + b2 ≠ 0) a2x + b2y = c2 a b – Tính định thức: D = 1 , a2 b2 c b Dx = 1 , c2 b2 a c Dy = 1 a2 c2 Xét D D≠0 D=0 Dx ≠ Dy ≠ Dx = Dy = Kết Hệ có nghiệm Hệ vơ nghiệm Hệ có vơ số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn • Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn • Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại f (x , y ) = Hệ có dạng: (I) (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) g (x , y ) = (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi) • Đặt S = x + y, P = xy • Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P • Giải hệ (II) ta tìm S P • Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X − SX + P = Hệ đối xứng loại f (x , y ) = (1) Hệ có dạng: (I) f (y, x ) = (2) (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) • Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: f (x, y ) − f (y, x ) = (I) ⇔ f (x, y ) = • Biến đổi (3) phương trình tích: (3) (1) x = y (3) ⇔ (x − y ).g(x , y ) = ⇔ g(x, y ) = f (x , y ) = x = y • Như vậy, (I) ⇔ f (x , y ) = g(x, y ) = • Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai a x + b xy + c y = d 1 Hệ có dạng: (I) a x + b xy + c y = d 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Giải hệ x = (hoặc y = 0) • Khi x ≠ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta cịn sử dụng phương pháp hàm số đểgiải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm (x ; y ) (y ; x ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x = y BÀI TẬP HT1 Giải hệ phương trình sau: x + xy + y = 11 1) x + y − xy − 2(x + y ) = −31 x + y = 2) x + xy + y = 13 xy + x + y = 3) x + y + x + y = 3 3 x + x y + y = 17 5) x + y + xy = 2 x + x y + y = 481 6) x + xy + y = 37 Đ/s: 1) 2) 3) 4) 5) 6) x − 2y = 2) 2x + xy − y = 2x + 4y + x = 19 3) x + y + y = x y + = 13 4) y x x + y = HT2 Giải hệ phương trình sau: x + 2y = −1 1) x + 3y − 2x = Đ/s: 1) (1; −1);(− ; − ) 7 − 33 + 33 + 33 − 33 ; 3) (1;2); − ; − ; ; ; 2 4 4 2) (2;1) HT3 Giải hệ phương trình sau (đẳng cấp bậc 2) x − xy + y = x + xy − y = −1 x − 4xy + y = 1) 2) 3) 2 2x − xy + 3y = 12 y − 3xy = x − 2xy − 3y = x − 3xy + y = 3x + 5xy − 4y = 38 5) 4) 2 2x − xy − y = 5x − 9xy − 3y = 15 7 7 ; Đ/s: 1) (3;1);(−3; −1); ; − ; − ; 2) (1;2);(−1; −2); − ; ;− 3 31 3 31 31 31 3) (−1; −4),(1; 4) HT4 4) (−1;1),(1; −1) 5) (−3; −1),(3;1) Giải hệ phương trình sau (đối xứng loại 1) xy(x + 2)(y + 2) = 24 1) x + y + 2(x + y ) = 11 3 x + y = 12(x + y ) 2) x − y = x + y + x + y = 4) x (x + y + 1) + y(y + 1) = x + 4x + y = 5) x (x + 3)(x + y ) = 12 2 x + y + xy = 13 7) x + y + x 2y = 91 2 x y + xy = 30 3) x + y = 35 x +1 + y +1 = + 6) x + y = +1 x y + y x = 8) x y + y 2x = 20 Đ/s: 1) (1; −4),(1;2),(2; −3),(2;1),(−4; −3),(−4;1),(−3; −4),(−3;2) 2) (−2; −4),(4;2),(1; −1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20 GV.Lưu Huy Thưởng 3) ((3;2),(2; 3) 0968.393.899 ( )( 4) (−2;1),(1; −2), − 2; , 2; − ) −3 + 21 −11 − 21 −3 − 21 −11 + 21 , 5) (−4; 7),(1;2), ; ; 2 2 7) (−3; −1),(−1; −3),(1; 3),(3;1) 6) (3;1),(1; 3) 8) (1; 4),(4;1) HT5 Giải hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 2) 3x = 2y + 2x + y − = y 1) 2) 2y + x − = 3y = 2x + x x + y − = 4) y + x − = Đ/s: 1) (2;2) 4) (1;1) x +5 + y −2 = 3) y + + x −2 = 2xy x + = x2 + y x − 2x + 6) 2xy y + = y2 + x y − 2y + x = 3x + 8y 5) y = 3y + 8x 2) (1;1) 3) (11;11) 5) (0; 0),( 11; 11),(− 11; − 11) 6) (0; 0),(1;1) II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp rút thế, phương pháp cộng HT6 Giải hệ phương trình sau: x − 2xy + 5y = 1) 3x − 2x + y = x − y + = 3) y + 2(x − 3) x + = − 2x + y(x + 1) = 4x 2) 5x − 4x = y 12 1 − x =2 x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 y + 3x 5) 6) 2 12 x + x +y +1 −x + y + x +y +1 −y = 1 + y =6 y + 3x − 33 −153 + 44 23 + 33 −153 − 44 23 1 1 , 1) (1;2), ; ; 2) (0; 0),(1;1), ; 2 49 49 5x − 3y = x − 3xy 4) x − x = y − 3y 3 3) 3; − 4 1 1 4) (0; 0),(−1;1), ; 2 2 5) (4; 4) ( 6) + 3;12 + ) Tìm mối liên hệ x, y từ phương trình vào phương trình cịn lại xy + x − = 1) 2x − x 2y + x + y − 2xy − y = 5x y − 4xy + 3y − 2(x + y ) = 2) xy(x + y ) + = (x + y )2 x − 6x 2y + 9xy − 4y = 3) x −y + x +y = y − 2xy + 7y = −x + 7x + 5) 3y + 13 − 15 − 2x = x + 2 xy + x + y = x − 2y 4) x 2y − y x − = 2x − 2y x + = (3y − x )(y + 1) 7) 3y − − x + = xy − 2y − x + y + x − y = + x − y2 8) x + y =1 x −1 − y = −x 6) (x − 1)4 = y BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2x + xy − y = 5x − y − 9) x + y + x + y = −1 + −1 − Đ/s: 1) (1;1), ; − , ; 5 2 ( ) 3x + + 2y(x + 1) = 4y x + 2y + 10) y(y − x ) = − 3y 2 2 2) (1;1),(−1; −1), ± ;± 5 4) (5;2) 5) (3; −2),(3;2) 6) (2;1) 7) (3;2) 8) (1; 0) 13 9) (1;1) − ; − 5 415 17 10) (1;1), 51 ; 3) (2;2), 32 − 15; − 15 Đặt ẩn phụ chuyển hệ HT7 Giải hệ phương trình sau: xy − x + y = 1) x + y − x + y + xy = x + y + x = y 2) (x + y ) x = y 2 2x + y = − 2x − y 3) x − 2xy − y = 2 x + xy + y = 19(x − y ) 4) x − xy + y = 7(x − y ) 12x + 3y − xy = 16 5) 4x + + y + = x + 2x + − y = 6) x + xy + y = 2 y + xy = 6x 7) 1 + x 2y = 5x x + + y (x + y ) = 4y 8) (x + 1)(y + x − 2) = y 4xy + 4(x + y ) + =7 (x + y )2 9) 2x + = x +y 8(x + y ) + 4xy + = 13 (x + y )2 10) 2x + = x +y Đ/s: 1) (0; −3),(3; 0) 3 1 2) ; ,(2;1) 2 2 3) (1; −1),(−3;7) 4) (0; 0),(3;2),(−2; −3) 5) (1; 4) 6) (−3;2),(1;2) 1 7) (1;2), ;1 2 8) (1;2),(−2;5) 9) (1; 0) 10) (0;1) Phương pháp hàm số HT8 Giải hệ phương trình sau: 2x + + − y = 1) 2y + + − x = 3 x − 3x = y − 3y 2) x + y = 2 2 x (4y + 1) + 2(x + 1) x = y(1 + x ) = x (1 + y ) 4) 5) x 2y(2 + 4y + 1) = x + x + x + 3y = x + = y + x2 + y2 + 3) 9x + = 3x + 2x − y y2 x + 21 = y − + y 6) y + 21 = x − + x 2x + − 2y + = x − y 8) x − 12xy + 9y + = (23 − 3x ) − x + (3y − 20) − y = x − 2y + = 10) 9) 2x + y + − −3x + 2y + + 3x − 14x − = (3 − x ) − x − 2y 2y − = x = y + 45 − y − 7) y = x + 45 − x + BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 y + 3y + y + 4x − 22x + 21 = (2x + 1) 2x − 11) 2x − 11x + = 2y 2y + y + 2x − x = − x 12) 2y + + y = + x + 4 + 2x 2y − = 3x + − 2x 2y + − x 13) 2x y − x = x + x − 2x 3y 4y + (x + + x )(y + + y ) = 14) x 6x − 2xy + = 4xy + 6x + 1 2) ; , − 6 ;− 2 2 1 ± ± 3) ; 3 1 4) 1; 2 1 1 1 5) ; , − ; − 2 2 6) (2;2) 7) (4; 4) 8) ( 2; 2) 9) (5; 4) 10) (1;1) 11) (1; 0),(5;2) 12) (−3;2) 13) − 11 11 − ; 14) (1; −1), Đ/s: 1) (3;2) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23 ...GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + b = ax + b = (1)... hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn • Thế vào phương. .. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: x − Sx + P = , S = u + v, P = uv Bài tập HT10 Gọi x1, x nghiệm phương trình Khơng giải phương trình,