Tài liệu ôn thi đại học môn toán: Chuyên đề hình học giải tích không gian

Tuyển tập hình học giải tich không gian

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn tài liệu thầy trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Tồn tài liệu luyện thi đại học mơn tốn thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com PHẦN I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến - Vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng vec-tơ có giá vng góc với mặt phẳng - Một mặt phẳng có vơ số vec-tơ pháp tuyến (các vec-tơ có giá song song trùng nhau) - Để xác định vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng có số cách sau: + Xác định trực tiếp: Dựa vào mối quan hệ song song, vng góc yếu tố: mặt phẳng – mặt phẳng, đường thẳng – mặt phẳng… + Xác định gián tiếp: Tìm vec-tơ khơng phương vng góc với vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng BÀI TẬP HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 3z + = điểm A(2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A song song với (P) Giải Ta có: (Q ) / /(P ) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng : (Q ) : x + 2y − 3z + D = 0, (D ≠ 1) Ta có : (Q) qua A nên suy : D = Vậy, phương trình mặt phẳng (Q ) : x + 2y − 3x + = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y +1 z −2 điểm A(1; 0; −1) Viết = = −2 phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d Giải Ta có, (P ) ⊥ d nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng : x − 2y + z + D = Mặt khác, (P) qua A nên suy D = Vậy, phương trình mặt phẳng x − 2y + z = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm không thẳng hàng A(1;2; −1), B(−1; 0;2),C (2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Giải Ta có: AB = (−2; −2; 3), AC = (1; −3;2) Mặt phẳng (ABC) có vec-tơ pháp tuyến: n = [AB; AC ] = (5; 7; 8) Vậy, phương trình mặt phẳng (ABC ) : 5(x − 1) + 7(y − 2) + 8(z + 1) = ⇔ 5x + 7y + 8z − 11 = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, , cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) Giải Ta có: AB = (−3; −3;2) Gọi nP , nQ vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) (Q) với nP = (1; −3;2) A, B ∈ (Q ) AB ⊥ n  Q Ta có:  ⇒  (Q ) ⊥ (P ) n ⊥ n  P  Q   Suy ra, (Q) có vec-tơ pháp tuyến : nQ = nP , AB  = (0; −8; −12) ≠ Vậy, phương trình mặt phẳng (Q ) : 2y + 3z − 11 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1; 3), B(1; −2;1) x = −1 + t  song song với đường thẳng d :  y = 2t  z = −3 − 2t  Giải Ta có BA = (1; 3;2) , d có VTCP u = (1;2; −2)  n ⊥ BA   ⇒ (P) có vec-tơ pháp tuyến n = BA, u  = (−10; 4; −1) Gọi n VTPHƯƠNG TRÌNH (P) ⇒  n ⊥ u  ⇒ Phương trình (P): 10x − 4y + z − 19 = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, d2 : cho hai đường thẳng cắt d1 : x y −2 z +1 = = ; −1 x −1 y −1 z −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1; d2 = = −1 Giải Gọi n vec-tơ pháp tuyến (P) u1, u2 vec-tơ phương d1; d2 với u1 = (1; −1;2); u2 = (−1;2;1) Gọi A giao điểm d1; d2 Suy ra, A(1;1;1) (P ) ⊃ d1 n ⊥ u1 Ta có:  ⇒   (P ) ⊃ d2 n ⊥ u2   Suy ra, (P) có vec-tơ pháp tuyến n = [u1, u2 ] = (−5; −3;1) Vậy, phương trình mặt phẳng (P ) : −5x − 3y + z + = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng song song d1 d2 có phương trình: (d1 ); x −1 y +1 z −2 x − y −1 z − , (d2 ) : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d2 = = = = Giải Ta có: A(1; −1;2) ∈ d1; B(4;1; 3) ∈ d2 , AB = (3;2;1) Gọi u1 vec-tơ phương d1 Gọi n vec-tơ pháp tuyến (P) Ta có, (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2 nên (P) có vec-tơ pháp tuyến: n = [u1; AB ] = (1;1; −5) Suy ra, phương trình mặt phẳng (P ) : x + y − 5z + 10 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x y +1 z HT Trong khô ng gian với hệtọ a độOxyz, cho đie] m M(1; –1; 1) và hai đường thẳng (d1 ) : = = −2 −3 x y −1 z − Chứng minh đie] m M , d1, d2 cù ng na` m trê n mộ t mặ t phab ng Viec t phương trı̀nh mặ t (d2 ) : = = phab ng đó Giải Ta có: d1 qua M1(0; −1; 0) có u1 = (1; −2; −3) , d2 qua M (0;1; 4) có u2 = (1;2; 5) Suy : u1; u2  = (−4; −8; 4) ≠ , M1M = (0;2; 4) ⇒ u1; u2  M1M = ⇒ d1, d2 đồng phẳng Gọi (P) mặt phẳng chứa d1, d2 ⇒ (P) có VTPHƯƠNG TRÌNH n = (1;2; −1) qua M1 nên có phương trình x + 2y − z + = Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) ∈ (P ) http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 25 Viết phương trình mặt phẳng (Q ) song song với (P) tiếp xúc với (S) Giải Ta có: (P ) / /(Q ) Suy ra, phương trình mặt phẳng (Q ) : x + y + z + D = (D ≠ −1) Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;1) , bán kính: R = (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi: d(I ;(Q )) = R ⇔ D =  =5⇔ D = − 3  D Vậy, phương trình mặt phẳng (Q1 ) : x + y + z + = 0;(Q2 ) : x + y + z − = HT 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 6y − 4z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = tiếp xúc với (S) Giải Ta có: (S) có tâm I (1; −3;2) bán kính R = VTPHƯƠNG TRÌNH (α) n = (1; 4;1) ⇒ VTPHƯƠNG TRÌNH (P) là: nP = n, v  = (2; −1;2) ⇒ Phương trình (P) có dạng: 2x − y + 2z + m = m = −21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ,(P )) = ⇔  m = Vậy: (P ) : 2x − y + 2z + = (P ) : 2x − y + 2z − 21 = HT 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, , cho đường thẳng d : x −3 y−3 z = = 2 mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x − 2y − 4z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta có: (S) có tâm I (1;1;2) , bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) (P ) / /d,Ox ⇒ (P) có VTPHƯƠNG TRÌNH n = u, i  = (0;1; −2) ⇒ PHƯƠNG TRÌNH (P) có dạng: y − 2z + D = (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d (I ,(P )) = R ⇔ ⇒ (P): y − 2z + + =  D = + = ⇔ D −3 = ⇔  D = − 12 + 22  1− + D (P): y − 2z + − = HT 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z + 2x − 4y − = mặt phẳng (P ) : x + z − = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M (3;1; −1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Chú ý: Đối với dạng này, khơng tìm vec-tơ pháp tuyến mặt phẳng dạng trực tiếp Chính vậy, ta phải dùng phương trình tổng quát mặt phẳng để viết Giải Ta có: (S) có tâm I (−1;2; 0) bán kính R = , (P) có VTPHƯƠNG TRÌNH nP = (1; 0;1) PHƯƠNG TRÌNH (Q) qua M có dạng: A(x − 3) + B(y − 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B + C ≠ (Q) tiếp xúc với (S) ⇔ d(I ,(Q )) = R ⇔ −4A + B + C = A2 + B + C (*) (Q ) ⊥ (P ) ⇔ nQ nP = ⇔ A + C = ⇔ C = −A (**) Từ (*), (**) ⇒ B − 5A = 2A2 + B ⇔ 8B − 7A2 + 10AB = ⇔ A = 2B ∨ A = −4B • Với A = 2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒ (Q ) : 2x + y − 2z − = • Với A = −4B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 ⇒ (Q ) : 4x − 7y − 4z − = HT 13 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z – 2x + 4y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r = Giải Ta có:(S) có tâm I (1; −2; −1) , bán kính R = (P) chứa Ox ⇒ (P ) : By + Cz = (B + C > 0) Mặt khác, đường trịn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: −2B − C = ⇔ C = −2B → Chọn B = → C = −2 Vậy, phương trình (P ) : y − 2z = HT 14 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z + 2x − 2y + 2z – = đường thẳng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x −2 y z +2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính = = 1 r =1 Giải d: Ta có: (S) có tâm I (−1;1; −1) , bán kính R = PHƯƠNG TRÌNH mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = (a + b + c ≠ 0) Chọn M (2; 0; −2), N (3;1; 0) ∈ d M ∈ (P )  a = b, 2c = −(a + b), d = −3a − b (1) Ta có: N ∈ (P ) ⇔   17a = −7b, 2c = −(a + b), d = −3a − b d (I ,(P )) = R − r  + Với (1) ⇒ (P ) : x + y − z − = HT 15 (2) + Với (2) ⇒ (P ) : 7x − 17y + 5z − = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 4y − 6z − 11 = mặt phẳng (α) : 2x + 2y − z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi p = 6π Giải Ta có: Do (β) // (α) nên (β) có phương trình (β ) : 2x + 2y − z + D = 0(D ≠ 17) (S) có tâm I (1; −2; 3) , bán kính R = Đường trịn có chu vi 6π nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (β) h = R − r = 52 − 32 2.1 + 2(−2) − + D Do = ⇔ −5 + D = 12 ⇔ 22 + 22 + (−1)2 =4 D = −  D = 17 (loại)  Vậy (β) có phương trình 2x + 2y – z – = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách HT 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−1;1; 0), B(0; 0; −2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) Giải Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a + b + c ≠ 0) A ∈ (P )  a = −b, 2c = a − b, d = a − b  Ta có:  B ∈ ( P ) ⇔  5a = 7b, 2c = a − b, d = a − b   d (I ,(P )) =  (1) (2) + Với (1) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): x − y + z + = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + Với (2) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 7x + 5y + z + = x = t  HT 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : y = −1 + 2t điểm A(−1;2; 3) Viết phương  z = trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Giải Ta có: (d) qua điểm M (0; −1;1) có VTCT u = (1;2; 0) Gọi n = (a; b; c) với a + b2 + c ≠ VTPT (P) Phương trình mặt phẳng (P): a(x − 0) + b(y + 1) + c(z − 1) = ⇔ ax + by + cz + b − c = (1) Do (P) chứa (d) nên: u.n = ⇔ a + 2b = ⇔ a = −2b d (A,(P )) = ⇔ −a + 3b + 2c 2 a +b +c =3⇔ 5b + 2c 5b + c (2) = ⇔ 5b + 2c = 5b + c 2 ⇔ 4b − 4bc + c = ⇔ (2b − c ) = ⇔ c = 2b (3) Từ (2) (3), chọn b = −1 ⇒ a = 2, c = −2 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 2x − y − 2z + = HT 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2; 3) , B(0; −1;2) , C (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến (P ) khoảng cách từ C đến (P ) • Vì O ∈ (P) nên (P ) : ax + by + cz = , với a + b2 + c ≠ Do A ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c = (1) d(B,(P )) = d(C ,(P )) ⇔ −b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) (2) ⇒ b = c = • Với b = a = −3c ⇒ (P ) : 3x − z = HT 19 • Với c = a = −2b ⇒ (P ) : 2x − y = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng Giải Ta có: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = (với A2 + B + C ≠ ) Vì (P) ⊥ (Q) nên: 1.A + 1.B + 1.C = ⇔ C = −A − B d (M ,(P )) = ⇔ A + 2B − C 2 A + B +C (1) = ⇔ (A + 2B − C )2 = 2(A2 + B + C ) B = Từ (1) (2) ta được: 8AB + 5B = ⇔  8 A + 5B = (2) (3) (4) Từ (3): B = ⇒ C = –A Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P ) : x − z = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = ⇒ (P ) : 5x − 8y + 3z = x −1 y − z = = điểm M(0; –2; 0) Viết 1 phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Giải HT 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Ta có: Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = ( a + b ≠ ) ∆ qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP u = (1;1; 4) a + b + 4c =  ∆ (P ) a = 4c  a + 5b ⇔  Ta có:  ⇔  =4 d(A;(P )) = d  a = −2c    a + b + c  Với a = 4c Chọn a = 4, c = ⇒ b = −8 ⇒ Phương trình (P): 4x − 8y + z − 16 = Với a = −2c Chọn a = 2, c = −1 ⇒ b = ⇒ Phương trình (P): 2x + 2y − z + = HT 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C (−1;2; −2) mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + = Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = 2IC Giải Ta có: phương trình (α) có dạng: ax + by + cz + d = , với a + b2 + c2 ≠ Do A(1;1; −1) ∈ (α) nên: a + b − c + d = (1); IB = 2IC ⇒ d(B, (α)) = 2d(C ;(α)) (α) ⊥ (P ) nên a − 2b + 2c = (2) a + b + 2c + d ⇒ a + b2 + c =2 −a + 2b − 2c + d a + b + c2  3a − 3b + 6c − d = ⇔  (3) −a + 5b − 2c + 3d = Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau :  a + b − c + d = −1 −3  TH1 : a − 2b + 2c = ⇔b = a ; c = −a; d = a  2 3a − 3b + 6c − d =  Chọn a = ⇒ b = −1;c = −2;d = −3 ⇒ (α) : 2x − y − 2z − =  a + b − c + d = −3 TH2 : a − 2b + 2c = ⇔ b = a; c = a ; d = a  2 − a + b − c + d =  Chọn a = ⇒ b = 3; c = 2;d = −3 ⇒ (α) : 2x + 3y + 2z − = Vậy: HT 22 (α) : 2x − y − 2z − = (α) : 2x + 3y + 2z − = Trong khô ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thab ng d1, d2 lay n lượt có phương trı̀nh x −2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 , d2 : Viec t phương trı̀nh mặ t phab ng cá ch đey u hai đường thab ng d1, d2 = = = = −1 Giải Ta có d1 qua A(2;2; 3) , có ud = (2;1; 3) , d2 qua B(1;2;1) có ud = (2; −1; 4) d1 : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 ⇒ nP = ud 1, ud  = (7; −2; −4) ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 7x − 2y − 4z + d = Do (P) cách d1, d2 suy d(A,(P )) = d (B,(P )) ⇔ 7.2 − 2.2 − 4.3 + d = 7.1 − 2.2 − 4.1 + d 69 ⇔ d −2 = d −1 ⇔ d = 69 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 14x − 4y − 8z + = x = + t  HT 23 Trong khô ng gian với hệtoạđộOxyz, cho hai đường thab ng d1, d2 lay n lượt có phương trı̀nh d1 : y = − t ,  z =  x − y −1 z + Viec t phương trı̀nh mặ t phab ng (P) song song với d1 d2 , cho khoảng cách từ d1 đến d2 : = = −2 (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) Giải Ta có : d1 qua A(1;2;1) có VTCP u1 = (1; −1; 0) d2 qua B(2;1; −1) có VTCP u2 = (1; −2;2) Gọi n vec-tơ pháp tuyến (P), (P) song song với d1 d2 nên n = u1, u2  = (−2; −2; −1) ⇒ Phương trìnht (P): 2x + 2y + z + m = d(d1,(P )) = d (A;(P )) = +m 5+m ; d(d2 ,(P ))= d (B,(P )) = 3 7 + m = 2(5 + m ) 17 d(d1,(P )) = 2d (d2 ,(P )) ⇔ + m = + m ⇔  ⇔ m = −3; m = − + m = − 2(5 + m )  + Với m = −3 ⇒ (P ) : 2x + 2y + z – = HT 24 + Với m = − 17 17 ⇒ (P ) : 2x + 2y + z − = 3 Trong khô ng gian với hệtoạđộOxyz, viec t phương trı̀nh mặ t phab ng (P) qua hai đie] m A(0; −1;2) , B(1; 0; 3) và tiec p xú c với mặ t cay u (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Giải Ta có: (S) có tâm I (1;2; −1) , bán kính R = Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a + b + c ≠ 0) A ∈ (P )  a = −b, c = −a − b, d = 2a + 3b ⇔  Ta có:  B ∈ (P )  3a = −8b, c = −a − b, d = 2a + 3b (2) d(I ,(P )) = R  (1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + Với (1) ⇒ Phương trình (P): x − y − = + Với (2) ⇒ Phương trình (P): 8x − 3y − 5z + = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc x −1 y z tạo = = − −2 với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z + = góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (α) với trục Oz HT 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆): Giải (∆) qua điểm A(1; 0; 0) có VTCP u = (1; −1; −2) (P) có vec-tơ pháp tuyến n ′ = (2; −2; −1)   Giao điểm M (0; 0; m ) cho AM = (−1; 0; m ) (α) có vec-tơ pháp tuyến n = AM , u  = (m; m − 2;1)   (α) (P): 2x − 2y − z + = tạo thành góc 600 nên : cos (n, n ′ ) = ⇔ 2m − 4m + = ⇔ 2m − 4m + = ⇔ m = − hay m = + 2 Vậy, M (0; 0;2 − 2) hay M (0; 0;2 + 2) HT 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (α ) : 2x – y – = , (β ) : 2x – z = tạo với mặt phẳng (Q ) : x – 2y + 2z – = góc ϕ mà cos ϕ = 2 Giải Lấy A(0;1; 0), B(1; 3;2) ∈ d (P) qua A ⇒ phương trình (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = ⇒ A = −(2B + 2C ) ⇒ (P ) : −(2B + 2C )x + By + Cz – B = cos ϕ = −2B − 2C − 2B + 2C (2B + 2C )2 + B + C Chọn C = ⇒ B = 1; B = = 2 ⇔ 13B + 8BC – 5C = 13 + Với B = C = ⇒ (P ) : −4x + y + z – = + Với B = HT 27 , C = ⇒ (P ) : −23x + 5y + 13z – = 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;2; −3), B(2; −1; −6) mặt phẳng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page ...GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Tồn tài liệu luyện thi đại học mơn toán thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com... mặt phẳng x − 2y + z = HT Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm không thẳng hàng A(1;2; −1), B(−1; 0;2),C (2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Giải Ta có: AB = (−2; −2; 3), AC... 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (2; 5; 3) , cắt tia Ox , Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB +OC có giá trị nhỏ Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN