Toán học Chủ đề 4: Một số dạng toán về chứng minh số phức26265

Ỏhuyên Đ S ớh c Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page CH Đ M T S I CÁC VÍ D M CL C D NG TOÁN V CH NG MINH S RÈN LUY ộ Kơ ộĂộỒ PH C II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN 12 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c ỎH ớh Đ Ộ T S D ộỒ TOỦộ V ỎH ộỒ ỘIộH S ớH Ỏ ng pháp: Ta nh c l i m t s công th c c b n sau: Cho s ph c z  x  yi,  x,y   Lúc  z  x  yi  z  x2  y  z  z.z Công th c ch ng minh d dàng nh sau 2 z.z   x  yi  x  yi   x2  y   x2  y   z   I ỎỦỎ VÍ D ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ Ví d Ch ng minh r ng: a) z1  z2  z1  z2 ; z  z c)    ,  z    z2  z2 b) z1 z2  z1 z2 ; Áp d ng: Cho ba s ph c z1 ,z2 ,z đ u có mơđun b ng Ch ng minh z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z1z3 Gi i Gi s : z1  x1  y1i, z2  x2  y2 i,  x1 ,x2 , y1 , y2   a) Ta có: z1  x1  y1i Mà V y z2  x2  y i nên z1  z2   x1  x2    y1  y2  i z1  z2   x1  x2    y1  y2  i  z1  z2   x1  x2    y1  y2  i z1  z2  z1  z2 b) Ta có: z1 z2   x1  y1i  x2  y2 i    x1x2  y1y2    x1y2  x2 y1  i M t khác: z1 z2   x1  y1i  x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  x2 y1  i  z1 z2   x1x2  y1y2    x1y2  x2 y1  i V y z1 z2  z1 z2 c) Ta c n ch ng minh b đ sau: z  nên ta có Vì z  z1  z 1 , z    1 1 1  z    z.    z  z z z     1 Áp d ng b đ trên, ta có: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page  z1      1     z1   z1    z1 z2  z1 z2  z2   z2   z2    Áp d ng: Vì z1z2 z3  z1z2  z2 z3  z3 z1  1  z1 z2 ĐPCM nên z1z2  z z  z z1 z1z2 z3 z1z2  z2 z3  z3 z1 1    z1z2 z3 z1 z z   z1  z2  z  z1  z  z  z1  z  z L u Ta có cơng th c t ng qt sau: Cho n s ph c z1 ,z2 , ,z n b tk Ta ln có:  z1  z2  z3   zn  z1  z  z   z n  z1z2 z3 zn  z1 z2 z3 zn Tr c h t ta ch ng minh: z1  z2  z3   zn  z1  z2  z3   zn n Gi s : zk  ak  bk i,  k  1,2,3, ,n z   zk  a  bi k 1 n n k 1 k 1 Trong a   a k , b   bk Ta có: z  a  bi  n n n n k 1 k 1 k 1 k 1  a k   bk    a k  bk i    z k Hay z1  z2  z3   zn  z1  z2  z3   zn Bây gi ta ch ng minh z1z2 z3 zn  z1 z2 z3 zn  * *  b ng quy n p z1  a1  b1i, z2  a  b2i V i n  : Gi s Ta có: z1.z2   a1  b1i a  b2i   a1a  b1b2   a1b2  a b1  i Suy ra: z1 z2   a1a2  b1b2   a1b2  a b1  i M t khác: z1.z2   a1  b1i a  b2i   a1a  b1b2   a1b2  a b1  i V y v i n  đ ng th c Gi s v i n  k,  n   ta s ch ng minh h th v i n  k  Th t v y: Đ t z  z1z2 z k , ta có: z  z1z2 z3 zn  z1 z2 z3 zk V i hai s ph c z zk 1 ta có: z.zk1  z.zk1  z1 z2 z3 zk zk1 H th c cu i đ c ch ng minh v i n  k  Ví d Ch ng minh r ng: a) z1 z2  z1 z2 ; b) z z1  z2 z2 Áp d ng: Tìm mơ đun s ph c sau: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c u x2  y  2xyi xy  i x4  y x2  y  i 2xy w ,  x  y   2i H xy ,  x, y  ng d n gi i a) Cách Đ t z1  x1  y1i, z2  x2  y2 i,  x1 ,x2 , y1 , y2  z1  x12  y12 Ta có:   z2  x22  y 22 T z1 z2  x12  y12 , x22  y 22  x    y12 x22  y 22  x12 x22  y12 y 22  x12 y 22  y12 x22 1 M t khác: z1 z2   x1  y1i  x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  y1x2  i Do  x1x2  y1y2    x1y2  y1x2  z1 z2  T  x12 x22  y12 y22  x12 y22  y12 x22 1 ta suy u ph i ch ng minh Cách Vì z  z.z nên z1 z2 2  z1 z2 z1.z2  z1.z2 z2 z1  z1.z1.z2 z2  z1 z2 Suy ra: z1 z2  z1.z2 b) Cách Tr c h t ta ch ng minh b đ : z1  z z Th t v y: z   z 1 ,z  1 1 hay z1  z ,z  1  z z z Áp d ng b đ ta có: * * z1  z1  z1 z21  z1 z21  z1 z2 z2 z2 1  z1 z2 Cách Vì z2  z2 nên L u z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z z z z   22     2 z2 z2 z2 z2 z2 z2 z2 z2 Khơng có cơng th c: V i m i s ph c z1 ,z2 : z1  z2  z1  z2 Tuy nhiên ta có b t đ ng th c sau: z1  z2  z1  z2 Th t v y, g i u1 bi u di n z1 , u bi u di n z u1  u2 bi u di n z1  z2 Ta có: z1  z2  u1  u2 * TH 1: Khi z1z2  : u1  u 2   u1  u 2  2 2   u1  u  2u1 u  u1  u  u1 u cos u1 , u   u1  u  u1 u  u1  u  z  z2   Do Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page z1  z2  u1  u2  z1  z2 * TH 2: Khi z1z2  rõ ràng z1  z2  z1  z2 V y z1  z2  z1  z2 , z1 ,z  z z1  z2 z2 Áp d ng: Ta s áp d ng Ta có: u  T x  y  2xyi 2 xy  i x  y x x  y   y2 2 x  y  2xyi  x   y2   4x y 2x y  x  y xy  i x  y 2 1 ng t : w  x2  y  i 2xy  x  y   2i xy  x2  y  2xy  x  y   4xy  x  y x  y  Ví d a) Ch ng minh: S ph c z s th c ch z  z ph c z1 ,z2 đ u có mođun b ng 1, z1 z2  1 Ch ng minh V n d ng: Cho hai s z z1  z s th c  z1z b) Ch ng minh: S ph c z s o ch z  z z z V n d ng: Ch ng minh hai s ph c phân bi t z1 ,z th a z1  z2 ch z  z s o Gi i Đ t z  a  bi, a,b   a) Ta có: z  z  a  bi  a  bi  2bi   b   z s th c V y, z s th c ch z  z V n d ng: Ta có: z1 z1  z1   z1  z1 t ng t ta có z  z 1  z1  z2 z1  z2 z1  z2 z1 z2 z  z2   z  ÑPCM  Xét z   z z   z z   z z  1  z1 z 2 2 1 z1 z b) Ta có: z  z  a  bi    a  bi   2a   a   z số ảo Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c o ch z  z V y, z s V n d ng: Ta có z1  z s z1  z  o z1  z z  z2 z  z z1  z z  z z1  z    0  0 z1  z z1  z z1  z z1  z z1  z z1  z   z1  z  z1  z   z1  z  z1  z        z1  z  z1  z   z1  z  z1  z     z1 z1  z z   z z  z z  z  z Ví d Cho s ph c z th a mãn  z1  z 2z  s th c Ch ng minh r ng z s th c z1 Gi i Ta bi t r ng s ph c w s th c  w  w Do  2z   2z  2z  2z  2z    s th c    z 1 z 1 z1  z1  z1     2z   z  1   2z  1 z    2zz  2z  z   2zz  2z  z   z  z  z s th c Ví d Cho n s nguyên d n n   17i    28i  a) z       ;   3i    6i  ng ch ng minh r ng:  13  6i  b) z      5i  2n 3  4i  n  Gi i a) Ta có n n n n   17i    28i  z       2i     2i    3i    6i  Suy ra: n n n n n n n z    2i     2i     2i     2i     2i     2i  n    2i     2i   z V y z s th c b) Ta có  13  6i  z    5i  2n n   4i     i  n n 2n n 3  4i     i   n 3  4i  n n    4i    4i     4i   4i    25n V y z s th c Ví d Ch ng minh r ng Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 2 2 a) z  z'  z  z'   z  z'  , z,z'    b)  z1 z2  z1  z2    z1z2 z1 ,z2 ,z3 c) V i m i s ph c 2  z  z2  , z1 ,z2  Ch ng minh r ng: 2 z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 2   z1  z2  z3    Gi i a) Ta có: VT  z  z'  z  z'   z  z'  z  z'   z  z'  z  z' 2      z  z'  z  z'   z  z'  z  z'   z.z  z.z'  z' z  z'.z'  zz  z.z'  z' z  z'.z'  2  z  z'  z  z'   VP b) Ta có: VT   z1 z  z1  z        z1 z  z1 z   z1  z  z1  z    z1 z  z1 z   z1  z  z1  z   z1 2 z  z1  z 2  *  M t khác:  VP   z1z2    z1  z2  2 2   z1z2  z1z2  z1  z1 z2  z2 T   z1 2 z2  z1  z2 * *  ta suy u ph i ch ng minh c) Ta có  z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3   z1 z1  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z2  z2 z3  z3 z1  z3 z2  z3 z3 2  z1  z2  z3  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z3  z3 z1  z3 z2 1 T ng t  z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3   z1 z1  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z2  z2 z3  z3 z1  z3 z2  z3 z3 2  z1  z2  z3  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z3  z3 z1  z3 z2    z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z  z3    z1  z  z3  z1  z  z3   z1 z1  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z2  z2 z3  z3 z1  z3 z2  z3 z3 2  z1  z2  z3  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z3  z3 z1  z3 z2 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com 3 Page Ỏhuyên Đ S ớh c  z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3   z1 z1  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z2  z2 z3  z3 z1  z3 z2  z3 z3 2  z1  z2  z3  z1 z2  z1 z3  z2 z1  z2 z3  z3 z1  z3 z2   C ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta đ 2 c 2 z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2   z1  z2  z3    Ví d Ch ng minh r ng n u s ph c z3  z  z   z Gi i Ta có:   1 1  z    z    z   , m t khác ta có: z1  z2  z1  z2 z z z   Do  1 1 1 z  z3    z    z3  3 z 23 z 3 z z z z z z  Đ t a z lúc ta đ z c a   3a   a   a  1   a  hay z  Ví d Ch ng minh r ng n u z  2 z 2z  i 1  iz Gi i Gi s z  a  bi,  a,b   theo gi thi t ta có a  b2   a  b2  Khi 4a   2b  1 2z  i 2a   2b  1 i 2a   2b  1 i    2  iz   b     b     b  a2 Do 4a   2b  1 2 2z  i 1   4a   2b  1    b   a 2  iz   b  a2  a  b2  Ví d Cho z1 z hai s ph c th a z1  2z2  2z1  z2 Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta có: z1  az2  az1  z2 Gi i Gi s z1  p  qi, z2  r  si v i p,q,r,s  Khi Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page z1  2z2  2z1  z   p  2r   i  q  2s    2p  r   i  2q  s  2  p  2r    q  2s    2p  r    2q  s  2 2   p  2r    q  2s    2p  r    2q  s    p2  4pr  4r  q  4qs  4s2  4p2  4pr  r  4q  4qs  s2  r  s2  p2  q2 1 Ta có: z1  az2  az1  z2   p  ar   i  q  as    ap  r   i  aq  s  2  p  ar    q  as    ap  r    aq  s  2 2   p  ar    q  as    ap  r    aq  s    p2  2apr  a2 r  q  2aqs  a2s2  a2 p2  2apr  r  a2 q  2aqs  s2     p  q  a p  q  r  s2  a s  r       a  p  q  a  r  s2  2  d n đ n u ph i ch ng minh Ví d 10 Ch ng minh r ng v i m i s ph c z , có nh t hai b t đ ng th c sau x y z   ho c z2   H ng d n gi i   z   *  Gi s ta có đ ng th i  z 1 1  Đ t z  a  bi, a,b   Lúc    2 a  b2  4a    a   b2      *    2   a  b2  4a b2   a  b2  a  b2        L y (1) c ng (2) v theo v ta đ a  b2  z1 ,z2 ,z3 ba s   2 c:   2a  1  (vô lý) T   1 ta đ c u ph i ch ng minh Ví d 10* Cho th c phân bi t cho z1  z2  z3  r  Ch ng minh r ng: N u z1z2  z3 , z 2z3  z1, z 3z1 z s th c r  z1z2z3  H ng d n gi i Vì z1 ,z2 ,z3 ba s th c phân bi t z1  z2  z3  r  nên z1 , z2 , z3 , z1  z2 , z2  z3 , z3  z1 đ u khác không z1 z1  z2 z2  z3 z3  r2 N u z1z2  z3, z 2z z1, z 3z z s th c ta có Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page 10 Ỏhuyên Đ S ớh c z1z2  z3  z1z2  z3  z1.z2  z3 z2 z3  z1  z2 z3  z1  z2 z3  z1 z3z1  z2  z3z1  z  z3 z1  z Do r  z1z2  z3  r  z1z2  z3  r  z1z  z3   z1z  z3  r2 T     2 z1z2 z3 z z z z z  z  z z z z z z z z z   r z r z z z z r z 1 2 3 3 2 3  t :  ng z z z z z z z z z r2    2 z1z2z3 z z  r z z2z3  r z1 z3z1  r 2z 2 Áp d ng tính ch t c a t l th c a c ac   b d bd Ta có: z1z2  z3   z2z3  z1  z z z  z  1 z2  z3   z1  r2    z1z2 z3 z z  r 2z z1z2  r z3  z2z3  r 2z1  z2  z3  z1  r2 z1  r2  T    ng t : z    z2  1 z 1 z 1 z 1 z z r2 r2       1 z1z2 z3 z  r z  r z  r z1z2z3 z  r  z  r z1  z2   Suy ra: z z z  r 2 z z z  r    r   r  1    z     1 z1z2 z3   z1z2 z3    z1   z1  r z r    Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 11 II ọÀI T VÀ ỎỨU H I Tờ Ỏ ộỒHI Ộ KHỦỎH ỜUỌộ Câu Cho s ph c z  x  yi,  x,y   1.1 Ph n th c c a s ph c z b ng: A z  z B z  z   D zz   D zz C zz C zz     1.2 Ph n o c a s ph c z: A  zz 2i  B  zz 2i  H Đ t z  x  yi,  x,y    z  x  yi    x zz z  z  2x  Từ   z z 2yi   y  z  z   2i  V y ch n đáp án ng d n gi i D  ọ Câu Cho s ph c z  a  bi,  a,b   Kh A a  z b  z B a  z b  z C a  z b  z D a  z b  z H ng đ nh sau ng d n gi i Ta có  z  a2  a  a  z  a  b2    z  b2  b  b  V y a  z b  z V y ch n đáp án Ọ Câu Cho z s ph c th a mãn o Tìm kh ng đ nh C z  B z  A z  z1 s z 1 H D z  ng d n gi i Ta có: z1 s z 1 o z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1    0  0 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1   z  1 z    z  1 z         z  1 z    z  1 z    z.z   z   z  V y z  V y ch n đáp án B Câu Cho z1 ,z2  Kh ng đ nh sau sai Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page 12 Ỏhuyên Đ S ớh c A z1 z2  z1 z2 s th c C zz  z3  z s z2 o D s th c s th c  z.z H Đ nh h   z B z2  z ng d n gi i ng: Ta s d ng k t qu sau: z   z  z z s o ch z  z Ta có: A) z1 z2  z1 z2  z1 z2  z1 z  z1 z  z1 z  z1 z  z1 z  z1 z2  z1 z  z1 z  z1 z V y z1 z2  z1.z s th c  B) z2  z C) zz  z  z  zz  z.z  z  z     z z2  z D)    z  z2  z2  z V y z2  z  z2  z.z zz   z  z   z2  z V y s th c zz  z  z  z.z V y  z2  z s o s o V y đáp án D sai  z.z V y ch n đáp án D Câu Cho s ph c z th a mãn A z  B z s o 2z  s th c Kh ng đ nh sau sai z2 C z  z H D z  z ng d n gi i 2z   2z   2z  2z  2z  2z  2z      s th c   z2  z2  z2 z2 z2 z2 z2  2z.z  4z  z   2z.z  z  4z   5z  5z  z  z V y z s th c V y ch n đáp án ọ Câu Đ ng th c A z1 z2 2 2 1 z z z z     2  i z1  iz  i z1  iz  b ng 4  B z1.z2 C z1  z2 H D z1  z2 ng d n gi i Ta có Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 13 2 z1  z  z1  z  i z1  iz  i z1  iz     z1 z  z1z  z1 z  z1 z  z1 z  z1z  z1 z  z1 z      iz1 z  z1z  z1 z  iz1 z  iz1 z  z1z  z1 z  iz1 z   4z1z Suy ra: 2 2 1 z1z2   z1  z2  z1  z2  i z1  iz2  i z1  iz2  , z1 ,z2  4  V y ch n đáp án ọ Câu Ch n đ ng th c đ ng th c sau: A z1z2   z1  z2 z1z2   z1  z2 B 2 b) z1z2   z1  z2 D    z1 C    z1 b) z1z2   z1  z2 2 1  z  2 1  z  2     z1   z1 1  z  2 1  z  2 H 2 1  z  z1z2   z1  z    z1 ng d n gi i 2  z1z  z1 z  z1z   z1  z1 z  z1z  z 2 2 V y ch n đáp án Ọ 6z  i  Tìm kh ng đ nh  3iz Câu Cho s ph c z th a u ki n A z  B z  C z  H Ta có: D z  ng d n gi i 6z  i   6z  i   3iz  3iz     6z  i   3iz   6z  i  6z  i    3iz   3iz 2  27z.z   z   1 z V y ch n đáp án C Câu G i z s ph c khác cho z3  z3  Tìm kh ng đ nh Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page 14 Ỏhuyên Đ S ớh c  z A z  B z   z C z  H  z D z   z ng d n gi i Ta có:   2 2 2 2 3  z    z   3z  z    z    z   , m t khác ta có: z z z z z z      z1  z2  z1  z2 Do  2 z    z   z  z z z   z 2  z3  6 z 96 z z z z z  z 2 6 z 90 z z Đ t a z lúc ta đ z c:   a  6a     a   a  3a    a  V y ch n đáp án Ọ Câu 10 Cho a,b,c,d   A a2  b2  c2  d   C a2  b2  2n c2  d2 n th a a  bi   c  di  Tìm kh ng đ nh n     B a2  b2  c2  d2  D a2  b2  c2  d H n ng d n gi i Gi s : c  di  r  cos  isin v i r  c2  d 1 Theo đ :  c  di  n  r n  cosn  isin n  a  bi  r n  a2  b2    T (1) r  c2  d  r2n  c2  d  n T (2) r n  a2  b2  r2n  a2  b2  V y a2  b2  c2  d  n V y ch n đáp án D Câu 11* Cho s ph c z th a mãn u ki n 11z10  10iz 10iz 11 0 Tìm kh ng đ nh A z  B z  C z  D z  Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 15 H ng d n gi i Ta có 11z10  10iz9  10iz  11   z9 11z  10i   11  10iz Hay: z9  11  10iz (*) 11z  10i Đ t z  x  iy v i x,y  T (*) suy ra:     10 x  y  112  220y f  x, y  11  10iz z    11z  10i g  x, y  112 x2  y  10  220y Xét tr  ng h p: N u z  x2  y2  nên:   10  x   y   11        g  x, y   112 x  y  10  220y  10 x  y  21 x  y  10  220y 2 2  220y  f  x, y  Do z9   z  (mâu thu n)  N u z  x2  y2  nên:   10  x   y   11  g  x, y   112 x  y  10  220y  10 x  y  21 x  y  10  220y 2 2  220y  f  x, y  Suy z9   z  (mâu thu n)  N u z  g  x,y   f  x,y  (th a mãn) V y z  V y ch n đáp án ọ Cách Casio nhanh ch ng b ng cách th tr c ti p Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page 16 Ỏhuyên Đ S ớh c Đ s d ng file word, quý th y cẫ vui lịng đóng góp chềt kinh phí đ t o đ ng l c cho tác gi đ i nh ng chuyên đ khác hay h n STT TÊN TÀI LI U Đ CH ỎỦỎ ớHÉớ TOỦộ Ỏ GIÁ ọ N {27 Trang} MÃ S 50K SP_PTCB 25K SP_BDHH 45K SP_THD 30K SP_CMDT 70 K SP_TDK 65K SP_PT T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh}  đ word thi th THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 64-68} Đ 2_BI U DI N HÌNH H C S CH PH C {13 Trang} T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh}  đ word thi th THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 69-74} Đ 3_T P H ĐI M {22 Trang} CH T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh}  đ word thi th THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 75-79} Đ 4_CH ộỒ ỘIộH Đ NG TH C {16 Trang} CH T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh}  đ word thi th THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 80-84} Đ 5_TÌM S CH PH C TH Ọ ỘỪộ ĐI U KI N {37 Trang} T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh} 11 đ word thi th  THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 85-94} CH Đ ớH ộỒ TờÌộH S PH C {33 Trang} T ng: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 17 file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh}  10 đ word thi th  THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 95-104} Đ 7_H ớH CH ộỒ TờÌộH {16 Trang} 30K SP_HPT 60k SP_LG 60k SP_UD 100K SP_VD T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh}  đ word thi th THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 105-109} Đ 8_D ộỒ L CH NG GIÁC S PH C {41 Trang} T ng: 10 đ word thi th  THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 110-119} Đ 9_ NG D NG S CH PH C GI I TOỦộ S Ỏ P T ng: đ word thi th THPT Qu c gia  2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 120-125} 10 Đ 10_TUY N CH N 100 CÂU S ớH Ỏ V N D NG VÀ V N DUNG CAO CH T ng:  file đ {không l i gi i, dùng đ phát cho h c sinh} 10 đ word thi th  THPT Qu c gia 2017 có đáp án l i gi i chi ti t) Đ 125-134} H ng d n toán Quý th y tốn cho qua ngân hàng Sau chuy n kho n, s l p t c g i tài li u cho quý th y cô N u ngày mà th y cô ch a nh n đ Th y c c vui lòng g i n tr c ti p cho SĐT NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHO N TR ộ ĐÌộH Ỏ TR N ĐÌộH Ỏ TR ộ ĐÌộH Ỏ S 4010205025243 0161000381524 55110000232924 TÀI KHO N Ths Tr n ình C S T: 01234332133 TP Hu ThuVienDeThi.com Page 18 Ỏhuyên Đ S ớh c CHI NHÁNH TH A THIÊN HU TH A THIÊN HU TH A THIÊN HU N i dung: H tên_email_ma tai li u Ví d : Nguy n Th B_nguyenthib@gmail.com_HHKG_TTKC L u Th y cẫ đ c k file PDF tr bán l i ho c chia s cho ng c mua, tài li u mua ch dùng v i m c đích cá nhân khẫng đ i khác CHÚC QUÝ TH Y CÔ D Y T T VÀ THÀNH CÔNG TRONG S NGHI P TR ộỒ ộỒ Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 19 c I ... minh: S ph c z s th c ch z  z ph c z1 ,z2 đ u có mođun b ng 1, z1 z2  1 Ch ng minh V n d ng: Cho hai s z z1  z s th c  z1z b) Ch ng minh: S ph c z s o ch z  z z z V n d ng: Ch ng minh. .. x2  y  z  z.z Công th c ch ng minh d dàng nh sau 2 z.z   x  yi  x  yi   x2  y   x2  y   z   I ỎỦỎ VÍ D ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ Ví d Ch ng minh r ng: a) z1  z2  z1  z2 ; z... s ch ng minh h th v i n  k  Th t v y: Đ t z  z1z2 z k , ta có: z  z1z2 z3 zn  z1 z2 z3 zk V i hai s ph c z zk 1 ta có: z.zk1  z.zk1  z1 z2 z3 zk zk1 H th c cu i đ c ch ng minh v i