Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán sè Cho a, b, c > Chøng minh r»ng a b c 1 1 a b c *Ph©n tÝch: Vế trái chứa a, b, c > nghịch đảo chúng Vì ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số a, b, c vµ 1 , , a b c ta cã: a b c 3 abc 1 1 33 a b c abc Nh©n tõng vÕ cđa hai bÊt đẳng thức ta được: a b c 1 1 9 a b c (đpcm) Cách 2: a b c 1 1 b a c a b c 3 3 2 2 9 a b c a b a c c b abc Dấu "=" xảy Bài toán số 1.1 Chứng minh bất đẳng thức: a b c (a, b, c > 0) b c a 2 b a b c ab bc ca a Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng: a x2 x 1 x R ¸p dụng BĐT Côsi cho số x2 +1 b x8 x > x 1 ¸p dụng BĐT Côsi cho số x - c a b ab 1 4ab a, b áp dụng BĐT Côsi ta có a b ab ab ab Nhân vế BĐT ta suy đpcm ThuVienDeThi.com Bài toán số 1.3 Chứng minh r»ng: a a b b c c a 8abc a, b, c b a b 2 b 1 c c 1 a 6abc 2 2 áp dụng BĐT Côsi cho sè a , a b , b , b c , c , c a 2 2 2 2 Bài toán số 1.4 a n sè d¬ng a1, a2, , an Chøng minh r»ng: n 1 a1 a2 an n a1a2 an b.NÕu a1, a2, , an d¬ng a1a2 an = a1+ a2 + + an n áp dụng BĐT Côsi cho n số dương trên) Bài toán số Chứng minh bất đẳng Netbit a b c a, b, c > bc ac ab Giải Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi x, y, z > a yzx xz y x yz ,b ,c 2 Ta cã: a b c 1 y z x x z y x y z b c a c a b 2 2 1 x y x z y z 2 3 2 y x z x z x Dấu "=" xảy x= y= z C¸ch kh¸c: a b c 1 x y z x y z x y z 6 b c a c a b 2 x y z 1 1 1 x y z 9 2 x y z Khai thác toán: Bằng cách tương tự, ta chứng minh bất đẳng thức sau: với a, b, c d¬ng ta cã: 2 bc ca ab abc a2 b2 c2 abc bc ca ab 1 Bài toán số 2.2 Cho x, y > Chøng minh r»ng x y x y Ph©n tÝch: ThuVienDeThi.com (1) Do x, y > nên BĐT (1) suy từ BĐT Côsi xét hiệu Giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho sè d¬ng x, y: x y xy x y xy x y xy x y 1 x y x y C¸ch XÐt hiƯu cđa vÕ: 1 yx y xx y xy x y x y x y xyx y xyx y (2) Do x > 0, y > nên BĐT (2) Vậy (1) (đpcm) Khai thác toán: Ta thấy BĐT có liên quan đến việc cộng mẫu nên sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c độ dài cạnh tam gi¸c, chøng minh r»ng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c p abc Bài tập tương tự: Bài Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 3 ab cb ac abc Bµi Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d2 abcd a b a b b c b c c d c d d a d a Bµi Cho a, b, c Chøng minh r»ng: a b c a 2b b c c a Bµi Cho a > 0, b > 0, c > Chøng minh: a b c 1 1 2 bc ac ab a b c Bµi Cho x, y, z > Chøng minh r»ng: x2 yz x yz Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: ThuVienDeThi.com a b a b b a Bµi Cho x, y > Chøng minh r»ng: x3 2x y x xy y Bµi Cho x, y ≠ Chøng minh r»ng: x6 y6 x y y x 4 Bµi Cho a, b > Chøng minh r»ng: ab a b ab ¸p dơng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT tam giác Bài toán số Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a b c bca acb abc Chøng minh r»ng: Giải: Cách đặt x = b + c a; y = a + c - b; z = a + b – c Khi ®ã x, y, z > vµ a x y xz yz ,b ,c 2 VÕ tr¸i: a b c 1 x y yz zx bc a a c b a bc 2 z x y 1 x y x z y z 2 y x z x z y DÊu b»ng x¶y x y x z y z y 2 x z x y z a b c x z 2 y C¸ch Nhận xét: Do a, b, c, độ dài cạnh tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > ThuVienDeThi.com áp dụng BĐT Côsi cho cặp số dương: a b c a c b a b c a c b a a c b b c a c b c a (a b c) b Nhận thấy vế BĐT số dương BĐT chiều, nhân vế được: a b c a c b b c a abc Ta cã: a b c abc 33 b c a a c b a b c bc a a c b a bc 33 abc 3 abc Bài tập 3.1 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC, Chứng minh rằng: a b c 2 9bc (*) a b c Giải Vì a b a b c b b c 2b c 2 để chứng minh (*) ta cần chứng minh: Thật vËy: 2b c 2 9bc (1) 2b c 2 9bc 4b 4bc c 9bc 4b 4bc c bc 2b c bc Ta cã: 2b c 2b b b 2b c bc 2b c 2c c c Bµi tËp 3.2 Chøng minh r»ng a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 2.3 Trong a, b, c độ dài cạnh tam giác Giải Ta cã b3 c3 b c 2 ThuVienDeThi.com (*) (®pcm) ThËt vËy: 1 4b c b c 3b c 3bc b c b c bc b b c c b c b c b c b c b c Luôn suy (1) a3 c3 T¬ng tù: a b3 a c 2 a b 2 Do ®ã: a 3 b2 c2 b c2 a2 3 b c a 4 (3) 2 bc ac ab a b c Mµ: b c 2a 2b 2c a b c a c a b b c a c a b ( ) ( ) ( ) 2a 2b 2c 2 (4) bac abc abc Do: a b c b c a a c b Tõ (3) (4) suy điều phải chứng minh Các tập khác: Bài tập 3.3 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi lµ Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 2abc < Bµi tËp 3.4 Cho a, b, c cạnh tam giác Chøng minh r»ng: a b c a b a c b c a b c 3abc Bµi tập 3.5 Giả sử a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a 3 1 abc 6 b c a b c abc Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c độ dài cạnh tam giác ThuVienDeThi.com 1 3a b b c c a 9 a b c Chøng minh r»ng a c b abc Bµi tËp 3.7 Cho a, b, c, d > vµ a + b + c + d = Chøng minh r»ng: abc bcd bd a cd a øNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cùc trÞ * Víi a 0, b ta cã a b ab , dÊu “=” x¶y a = b * Víi n số không âm: a1 , a2 , , an ta cã: a1 a2 an n n a1a2 an DÊu “=” x¶y a1 = = an * Từ BĐT ta suy ra: k a=b + NÕu a.b = k (const) th× min(a + b) = k2 a=b + NÕu a + b = k (const) th× max(a.b) = * Më rộng n số không âm: n + Nếu a1.a2…an = k (const) th× min(a1 + a2 + … + an) = n a1 = a2 = … = an k k + NÕu a1 + a2 + …+ an = k (const) th× max(a1.a2…an) = n a1 = a2 = … = an VÝ dơ: Cho x > 0, y > tho¶ m·n: n 1 x y x y Tìm GTNN A = Bài làm: Vì x > 0, y > nªn x > 0, y > 0, 1 Cs 1 x y2 x y x > 0, y > Ta cã: 1 xy xy A x y 2 x y 2 44 VËy A = x = y = NhËn xÐt: Trong ví dụ ta đà sử dụng BĐT Côsi theo chiỊu ngỵc nhau: + Dïng ab 1 ab ®Ĩ dïng ®iỊu kiƯn tỉng tõ ®ã ®ỵc x y 2 ThuVienDeThi.com xy + Dïng a b ab “lµm giảm tổng x y để dùng kết xy Không phải lúc ta dùng trực tiếp BĐT Côsi số đề Ta có số biện pháp biến ®ỉi mét biĨu thøc ®Ĩ cã thĨ vËn dơng B§T Côsi tìm cực trị nó: * Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức 3x 3x VÝ dơ: T×m GTNN cđa A = Bài giải Điều kiện: x 3 Ta cã: A2 = ( 3x – ) + ( – 3x ) + A2 3x 57 3x ( 3x – + – 3x ) + = 3x – = – 3x x = VËy max A2 = max A = x = DÊu “=” x¶y Ta thấy A cho dạng tổng thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì vây, bình phương A xuất hạng tử lần tích thức Đến vận dụng BĐT Côsi ab a b * Cách 2: Nhân chia biểu thức với số khác x 9 5x VÝ dơ: T×m GTLN cđa A = Bài giải: Điều kiện: x Ta có: x 9 5x A DÊu “=” x¶y VËy max A = x 9 x 9 3 x 3 5x 5x 10 x 30 x 9 x 18 x 18 30 Trong cách giải trên, x biểu diễn thành thành nửa tổng: x vận dụng BĐT Côsi tích trở x x cã d¹ng kx cã thĨ rót gän cho x mẫu ( số tìm cách lÊy 3 , sè cã ®Ị bài) * Cách 3: Biến đổi biểu thức đà cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số Ví dụ 1: ( Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau) ThuVienDeThi.com x 16 Cho x > 0, tìm GTNN A = x3 Bài giải 16 16 16 x 16 x.x.x x x x x A= = x3 x3 x3 x3 A 4.2 = ( dÊu “=” x¶y x 16 x2) x3 VËy A = x = Ví dụ 2: (Tách hạng tư chøa biÕn thµnh tỉng cđa mét h»ng sè víi hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biĨu thøc ®· cho) Cho < x < 2, t×m GTNN cđa A = 9x 2 x x Bài giải A 9x x 9x x 1 1 1 2 x 2 x x x DÊu “=” x¶y 9x 2 x x x 2 x VËy A = x Trong cách giải ta ®· t¸ch 2 x x 2 x Hạng tử thành tổng nghịch đảo với nên x x x x vận dụng BĐT Côsi ta tích chúng số * Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức đà cho VÝ dơ: Cho x, y, z > tho¶ m·n: x + y + z = x2 y2 z2 T×m GTNN cđa P = yz zx x y Bài giải Vì x, y, z > ta có: x2 yz áp dụng BĐT Côsi số dương ta được: yz x2 yz x2 y z x 2 x yz yz (1) T¬ng tù ta cã: y2 xz y (2) xz z2 x y z (3) x y ThuVienDeThi.com x2 y2 z2 x y x x yz y z z x x y Cộng (1) + (2) + (3) ta được: x yz P x xy z 1 2 x y z DÊu “=” x¶y VËy P = x y z x2 yz Nhận xét: Ta đà thêm vào hạng tử thứ y z có đề bài, để vận dụng BĐT Côsi khử (y + z) Cũng hạng tử lại đề Dấu đẳng thức xảy ®ång thêi (1), (2), (3) x yz Nếu ta thêm (y + z), (x + z), (x + y) vµo x2 y2 z2 ; ; yz xz x y ta khử (y + z), (x + z), (x + y) nhng điều quan trọng không tìm giá trị x, y, z để dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, không tìm GTNN P áp dụng cách với việc sử dụng BĐT Côsi ta có ví dụ khác nh sau: VD 1: Cho a, b, c > thoả mÃn: a + b + c = Tìm GTLN cđa P = Ph©n tÝch: a, b, c > 1 1 1 a b c abc 3 3 abc Do ®ã cã thĨ khai triển P ước lượng theo BĐT Côsi Bài giải C¸ch 1: P 1 1 1 1 a b c ab bc ac abc áp dụng BĐT Côsi cho sè d¬ng ta cã: a b c 3 abc 3 abc abc 33 (1) 33 27 abc Mặt khác: 10 ThuVienDeThi.com 1 33 27 ab ac bc abc (2) 1 1 33 32 a b c abc (1) + (2) ta cã: C¸ch 2: P 32 27 27 64 VËy P = 64 a 1 b 1 c 1 a 1b 1c 1 a b c abc P a a b c b a b c c a b c abc 43 4 4 P a b c 43 64 abc P Tỉng qu¸t: cho S = a + b + c t×m GTLN cđa P = VD 2: T×m GTLN cña B = 1 1 1 a b c x 1 x y2 y Bài giải 1.( x 1) x 1 x 1 x x x 2 y y y2 y y y 2 max B = x 1 x 2 2 4 y y VD 3: Cho sè d¬ng x, y cã x + y = T×m GTNN cđa B = 1 1 y x Bài giải 1 1 = + y xy x CS 2 x y 4 xy 8 B 9 xy VËy B = x y Ta cã: B = 11 ThuVienDeThi.com VD 4: Cho x, y, z > tho¶ m·n: 1 2 1 x 1 y 1 z T×m GTNN cđa P = xyz Bài giải Ta có: 1 y z 1 2 1 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z T¬ng tù: 2 1 y zx 1 x 1 z 2 1 z xy 1 x 1 y VËy max P = P xyz yz 1 y 1 z 1 x yz VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 2y + |x| + Tính giá trị M biết x, y số thoả mÃn x.y = biểu thức |x + y| đạt GTNN Bài giải: Ta có: x y CS 4 xy x y Min |x + y| = x = y, ®ã xy x y 2 Khi x = y = hc x = y = - + Khi x = y = th× M = + Khi x = y = - th× M = 17 VD 6: Cho số thực không âm a1, , a5 thoả mÃn: a1 + + a5 =1 Tìm GTLN cña A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bài giải Ta có: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 (a1 + a3 + a5)(a2 + a4) a1 a3 a5 a2 a4 a1 a3 a5 a2 a4 1 a1 a3 a5 a2 a4 2 A 12 ThuVienDeThi.com a a a a a a1 a2 VËy max A = a3 a4 a5 x a x b VD 7: Cho a, b > T×m GTNN cña A = A x a x b x x x ( x > 0) Bµi gi¶i ab ax bx ab ab x x x A a b ab A a b ab ab x x ab DÊu “=” x¶y x víi < x < VD 8: T×m GTNN cđa hàm y = x x Bài giải 2 2x 2x 1 x x Ta cã: y = x ( < x < 1) x 1 x x = 2x 1 x 2x 1 x 3 3 2 1 x x 1 x x 2x 1 x x 1 1 x x 3 DÊu “=” x¶y VD 9: Cho a, b > cho tríc C¸c sè x, y > thay ®ỉi cho a b x y Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm S theo a, b Bài giải Ta có: a b a b bx y S x y a b x y y x x y S ab bx ay a b ab y x S a b ab ay bx x y 13 ThuVienDeThi.com Mµ x a ab a b 1 x y y b ab VD 10: T×m GTNN cđa P = x 16 x3 56 x 80 x 356 x2 x Bài giải x 16 x3 56 x 80 x 356 Ta cã: P = x2 x CS 256 64 = x x x 2x Suy P = 64 x = hc x = - Bài tập tương tự BT 1: Cho x, y > thoả mÃn x y = Tìm GTLN cña A = x y 2 x y x y4 BT 2: T×m GTLN cđa c¸c biĨu thøc sau: A x x2 B yz x xz y xy z xyz x2 ; x x2 8 D 3x x2 1 E x 1 x2 x ; x F x x 1 x2 x G x 2x 1 x ; x 0 H x 2000 C BT 3: Cho a, b, c > tho¶ m·n 1 T×m GTLN cđa biĨu thøc Q = abc 1 a 1 b 1 c BT 4: Cho x, y > tho¶ m·n x + y = T×m GTNN cđa biĨu thøc P= 1 1 y x BT 5: Tìm GTNN biÓu thøc sau: 14 ThuVienDeThi.com x2 4x ; x x x2 B ; x 1 x 1 x2 x C x2 x 1 D 1 x 1 ; x x A x2 E x 1 ; x 1 x 1 x F ; x 0,1 1 x x x ; x 1 G x 1 x y T×m GTNN cđa BT 6: Cho x, y > th¶o m·n 1 1 x E= y y x x x ; 3 x BT 7: Tìm GTLN GTNN A = BT 8: T×m GTLN cđa A = biĨu thøc x y biÕt x, y 1 x y BT 9: Cho a, b > tho¶ m·n a b = 216 T×m GTNN cđa S = 6a + 4b b a b T×m GTNN cđa A = b a a BT 11: Cho a, b > tho¶ m·n ab BT 10: Cho a, b > thoả mÃn a Tìm GTNN cña S = a b BT 12: Cho x, y, z tho¶ m·n xy + yz + zx = 100 T×m GTNN cđa A = xyz 2 x a2 BT 13: Víi giá trị a tích xy nhận GTLN x, y, a số thực thoả mÃn a y >0 x a BT 15: Với giá trị số dương a biểu thức D đạt GTNN ? BT 14: T×m GTNN cđa A = biÕt a > 0, x x 15 ThuVienDeThi.com A= a1000 a 900 a 90 a BT 16: T×m GTNN cđa C = 1995 a x100 10 x10 2004 x xy y ; x 0, y BT 17: T×m GTLN cđa E = x xy y BT 18: T×m GTLN cđa tÝch BiÕt x1 x2 xn ; n xi ; i 1, n n vµ x12 x22 xn2 x BT 19: T×m GTLN cña B = ; x x 1995 biÕt r»ng x, y > x y x y BT 20: T×m GTNN cđa N = x BT 21: T×m GTLN cđa H = x x2 víi 1 x BT 22: T×m GTLN cđa biĨu thøc: P= x y z 1 x 1 y 1 z 1 y z 1 x z 1 x y Víi mäi x, y, z biến đổi thoả mÃn BT 23: T×m GTNN cđa f x, y x BT 24: T×m GTLN cđa BT 25: T×m GTLN cña x, y , z 1 x, y ; xy x y x y x2 x2 x 8 x 1 víi x > 16 ThuVienDeThi.com ... n số dương a1, a2, , an Chøng minh r»ng: n 1 a1 a2 an n a1a2 an b.NÕu a1, a2, , an dương a1a2 an = a1+ a2 + + an n áp dụng BĐT Côsi cho n số dương trên) Bài toán số Chứng minh bất đẳng. .. > Chøng minh r»ng: ab a b ab áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT tam giác Bài toán số Cho a, b, c độ dài cạnh tam gi¸c a b c bca acb abc Chứng minh rằng: Giải: Cách đặt x =... Không phải lúc ta dùng trực tiếp BĐT Côsi số đề Ta có số biện pháp biến đổi biểu thức để vận dụng BĐT Côsi tìm cực trị nó: * Cách 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biĨu thøc