Thông tin tài liệu
CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I Chuyên ð : NG D NG C A ð NH LÍ LAGRANG I Lý thuy t: ð nh lí Lagrang: Cho hàm s y=f(x) liên t c [a;b] kh vi (a;b), f (b) − f (a ) t m t i s th c c ∈ (a; b) : f '(c) = b−a H qu 1:N u hàm s y=f(x) liên t a [a;b] , kh vi (a;b) f(a)=f(b) Pt: f’(x)=0 có nh t m t nghi m (a;b) H qu 2:Cho hàm s y=f(x) có ñ o hàm ñ n c p n .N u pt f ( n) ( x) = có k nghi m Pt f ( n −1) ( x) = có nhi u nh t (k+1) nghi m II Các ng d ng: ng d ng ñ/l Lagrang ñ gi i pt: Phương pháp: ð gi i pt f(x)=0 ta s d ng h qu ch ng minh s nghi m nhi u nh t c a pt có th có đư c, sau ta ch ñư c nghi m c a pt Bài 1:Gi i pt: + = + (HSG Ngh an 2005) = + − − Gi i: Xét hàm s : Ta có: = + − = + > ∀ ⇒ = ! ⇒ ! ⇒ Mà ta th y f(1)=f(0)=0 nên pt cho có hai nghi m x=0 x=1 Bài 2: Gi i pt: 3cosx = 2cosx + cosx Gi i: ð t t=cosx; t ∈[-1;1] ñó pt tr thành: 3t = t + t ⇔ 3t − 2t − t = , ta th y pt có hai nghi m t=0 t=1 ta s c/m s nghi m nhi u nh t mà pt có th có: Xét hàm s : f (t ) = 3t - 2t - t v i t ∈[-1;1] ta có f '(t ) = 3t ln − 2t ln − f "( x) = 3t ln − 2t ln 2 > ⇒ f’(x)=0 có nhi u nh t nghi m nên f(x) =0 có nhi u nh t hai nghi m t ta có ñpcm V y pt có hai h nghi m: x = k 2π ; x = π + kπ (TH&TT) Bài 3: Gi i pt: ="+ + "+ Gi i: ðk: x>-1/2 ⇔ + ="+ + "+ ⇔ + ="+ + = + ta có f(t) hàm đ ng bi n nên Xét hàm s : " ⇔ = "+ "+ ⇔ (1) = +"⇔ − −"= Xét hàm s : = − −"⇒ = − ⇒ = > ⇒ = có nhi u nh t hai nghi m, mà f(0)=f(1)=0 nên pt cho có hai nghi m x=0 x=1 GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa DeThiMau.vn CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I Bài 4: Gi i pt: x + 12 x = x + 11x Gi i: pt ⇔ 12 x − 11x = x − x Gi s m nghi m c a pt, xét hàm s f (t ) = t m − (t − 1)m ta có f(12)=f(6) nên theo h qu t n t i c ∈ (6;12) : f’(c)=0 hay mc m −1 − m(c − 1)m −1 = ⇔ m[c m −1 − (c − 1) m −1 ]=0 ⇔ m = 0, m = Th l i ta th y tho mãn V y x=0 x=1 nghi m c a pt Bài T p: Gi i pt sau 3x + x = 2.4 x (1 + x)(2 + x ) = 3.4 x x + 3x = (2 x + 1)2 x +1 2 4 x + x = 3x + 3x ng d ng ñ nh lí Lagrang đ cm pt có nghi m: Phương pháp:ð cm pt f(x)=0 có nghi m (a;b) ta xét hàm F(x) có tính ch t :th a mãn ñi u ki n ñ/l Lagrang , F’(x)=f(x) sau ñó ta cm hàm F(x) th a mãn ñk c a H qu t ta có u ph i ch ng minh a b c Bài 1: Cho s th c a,b,c th a mãn ñk: + + = Cmr b ≥ 4ac (1) m + m +1 m Gi i: Ta có (1) u ki n c n đ đ pt: ax2+bx+c=0 có nghi m nên ta chuy n vi c cm (1) v cm pt ax2+bx+c=0 có nghi m * N u a=0 (1) ln ñúng xm+ x m +1 xm +b +c ta th y f(x) có đ o hàm R * N u a ≠ Xét hàm s f ( x) = a m+2 m +1 m a b c f(1)= + + = =f(0) nên theo h qu pt f’(x)=0 có nghi m (0;1) m + m +1 m hay pt: ax m+1 +bx m +cx m-1 =0 ⇔ ax + bx + c = có nghi m (0;1) t ñó ta có ñpcm Bài 2:Cho s th c a,b,c s nguyên n>0 tho mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0 Cmr pt π a.sin n x + b.cos n x + c.sinx+c=0 ln có no (0; ) (HSG Ngh an 2004) a 5c b + =− (*) Gi i: Ta có: gt ⇔ n+2 n+2 sin n + x cos n+2 x sin x sin x π Xét hàm s f ( x) = a −b +c +c [0; ] ta th y f(x) tho n+2 n+2 π b π a 5c mãn ñk ñ/l Lagrang [0; ] M t khác ta l i có: f (0) = − ;f( )= + n+2 n+2 π π ⇒ f (0) = f ( ) (do (*) ) Theo đ/l Lagrang pt f’(x) có nghi m (0; ) 2 GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa DeThiMau.vn CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I hay pt: a.sin n +1 x.cosx+cos n+1x sinx+c.sin x.cosx+c.sinx.cosx=0 ⇔ sinx.cosx(asin n x + b.cos n x + csinx+c)=0 ⇔ a.sin n x + b.cos n x + c.sinx+c=0 (vì sinx, cosx >0 (0; π π ) ) có nghi m (0; ) (đpcm) 2 Bài 3:Cho s th c a1, a2 , , an th a mãn: a0 + a1 a2 a + + + n = n +1 a1k a2k ank n a0 + + + + = v i k >0 Cmr pt sau ln có nghi m n +1 a1 + 2a2 x + + nan x n = a1x a2 x3 a n x n +1 + + + ta có f(0)=f(1)=f(k)=0 Gi i: Xét hàm s f ( x) = a0 x + n +1 Nên theo h qu pt: f '( x) = a0 + a1x + a2 x + + an x n = có hai nghi m phân bi t x1,x2 ⇒ f '( x1 ) = f ' ( x2 ) = ⇒ Pt f "( x) = a1 + 2a2 x + + nan x n −1 = có nghi m Bài 4: Pt: a sin x + p 2b sinpx+q 2c sin qx = (v i p,q s ngun dương l ) có nh t nghi m [0;2π ] ? Gi i: Xét pt: f(x)= asinx+bsinpx+csinqx=0 f (0) = f (π ) = f (2π ) nên pt f '(x) = acosx + pb.cos px + qc.cos qx = có n0 x1, x2 : < x1 < π < x2 < 2π π π Vì p,q s nguyên dương l nên ta có : f '( ) = ⇒ f '( x1 ) = f '( x2 ) = f '( ) = 2 2 ⇒ pt f’’(x)= a sin x + p b sinpx+q c sin qx = có n0 y1, y2 : π π Min{x1, }
Ngày đăng: 31/03/2022, 00:16
Xem thêm:
