Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề - Giáo viên Việt Nam

Höôùng daãn : Goïi x laø quaûng ñöôøng AB (Km.. TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷ cña tæ. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«.. vËn tèc mçi xe. T×m thÓ tÝch cña mçi b×nh.. NÕu chóng chuyÓn[r]

BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN

Baứi :

1) Đơn giản biểu thức : P = 14 5  14 5 2) Cho biÓu thøc : Q = x x x

x

x x x

    



 

    

 

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tìm x để Q > - Q

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

Hướng dẫn : 1 P =

2 a) §KX§ : x > ; x  BiÓu thøc rót gän : Q =  x b) Q > - Q  x >

c) x =  2;3 th× Q  Z

Bài : Cho biĨu thøc P = x

x x x



 

a) Rót gän biĨu thøc sau P

b) Tính giá trị biểu thức P x =

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x  Biểu thức rút gọn : P =

x x

 

1

b) Víi x =

2 th× P = - – 2 Bài : Cho biĨu thøc : A =

1 1

1

   

 x x x

x x

a) Rót gän biĨu thøc sau A

b) Tính giá trị biểu thức A x =

c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  Biểu thức rút gọn : A =

1  x

x

b) Víi x =

th× A = - c) Víi  x < th× A < d) Víi x > th× A = A

Bài : Cho biĨu thøc : A = 1

a a a

   

 

   

 

   

a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A >

2

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a  Biểu thức rút gọn : A =

3

 a b) Víi < a < th× biĨu thøc A >

2

Bài : Cho biĨu thøc: A =

2

x x x 4x x 2003

x x x x

      

 

 

  

 

1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa

2) Rót gän A

3) Với x  Z ? để A  Z ?

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ ; x ≠ 

b) BiÓu thøc rót gän : A = x x2003

víi x ≠ ; x ≠  c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z

Bài : Cho biĨu thøc: A = x x x x :2 x x 1 x

x x x x

 

   



 

    

 

a) Rót gän A

b) Tìm x để A <

c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A =

1   x x

b) Víi < x < th× A <

c) x =  4;9 th× A  Z

Bài : Cho biĨu thøc: A = x x : x

2

x x x x 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A

b) Chøng minh r»ng: < A <

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A =

1

  x x b) Ta xét hai trường hợp :

+) A > 

1

  x

x > với x > ; x ≠ (1) +) A < 

1

  x

x <  2(x x1) >  x  x > theo gt x > (2) Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm)

Bài : Cho biĨu thøc: P = a a a 4 a

a a

  

 



a) Rót gän P

b) Tính giá trị P với a =

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a  0, a  Biểu thức rút gọn : P =

2

 a b) Ta thÊy a =  §KX§ Suy P =

Bài : Cho biĨu thøc: N = a a a a

a a

     

 

   

     

   

1) Rót gän biĨu thøc N

2) Tìm giá trị a để N = -2004

Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a  0, a  Biểu thức rút gọn : N = – a b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ Suy N = 2005

Bài 10 : Cho biĨu thøc

3 x

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

      

 

 a Rót gän P

b Tính giá trị P x74 3

c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hướng dẫn :

a ) §KX§ : x  0, x  BiĨu thøc rót gän :

3 x

16 x P

 



b) Ta thÊy x74 3  §KX§ Suy

22 3 3 103

P  c) Pmin=4 x=4

Bài 11 : Cho biĨu thøc 

  

  

 

 

   

  

     



3 2 :

3 3

2

x x x

x x

x x

x P

a Rút gọn P b Tìm x để

2 1

P c Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn :

a ) §KX§ : x  0, x  BiĨu thøc rót gän :

3 x

3 P

 



b Víi 0x9 th×

2 1

P c Pmin= -1 x =

Bµi 12: Cho A= 1

1

a a

a a

a a a

     

  

   

     

 

b TÝnh A víi a = 4 15   10   4 15 ( KQ : A= 4a )

Bµi 13: Cho A= :

9

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x  , x  9, x  a Rót gän A

b x= ? Thì A < c Tìm xZđể AZ

(KQ : A= x  )

Bµi 14: Cho A = 15 11 2

2 3

x x x

x x x x

  

 

    víi x  , x 

a Rót gän A

b Tìm GTLN A c Tìm x để A =

2 d CMR : A

3

 (KQ: A =

x x 

 )

Bµi 15: Cho A = 1

1 1

x x

x x x x x

 

 

    víi x  , x  a Rót gän A

b T×m GTLN cđa A ( KQ : A =

1 x x x )

Bµi 16: Cho A =

1 1

x x x  x x víi x  , x  a Rót gän A

b CMR : 0 A1 ( KQ : A =

1 x x x )

Bµi 17: Cho A = : 25

25 15

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

a Rót gän A

b Tìm xZđể AZ

( KQ : A = x  )

Bµi 18: Cho A =

5

a a a

a a a a

  

 

    víi a  , a  , a  a Rót gän A

b Tìm a để A <

c Tìm aZ để AZ ( KQ : A = a a

Bµi 19: Cho A= : 2

4 2

x x x x x

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x > , x  a Rót gän A

b So s¸nh A víi

A ( KQ : A = x

x 

)

Bµi20: Cho A =  

2

3

:

x y xy

x y

x y

y x

x y x y

     

  

    

 

víi x  , y  0, x y

a Rót gän A

b CMR : A  ( KQ : A = xy

x xyy )

Bµi 21 : Cho A = 1 1

1

x x x x x x

x

x x x x x x x

 

     

      



       

Víi x > , x  a Rót gän A

b Tìm x để A = ( KQ : A =  

2 x x

x

 

)

Bµi 22 : Cho A =

 

4

:

2

2

x x x

x x x

x x

   

 

     

 

      

 

víi x > , x 

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = 1 x)

Bµi 23 : Cho A= 1 : 1

1 x x x x x

   

  

   

   

   

víi x > , x  a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = 2 x )

Bµi 24 : Cho A= 3 1 :

1

1

x x

x x x

x

     

 

   

      



 

víi x  , x  a Rót gän A

b Tìm xZ để AZ (KQ: A =

3 x x  )

Bµi 25: Cho A= 2 :

1

1 1

x

x

x x x x x x

    

 

   

         

 

víi x  , x  a Rót gän A

b Tìm xZđể AZ

c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = 1 x x

  )

Bµi 26 : Cho A = 3 : 2

9

3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

b Tìm x để A < -1

( KQ : A = 3 a

  )

Bµi 27 : Cho A = 1 :

1

1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

   

víi x  , x  a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 5 (KQ: A = 4 x x  ) c CMR : A 1

Bµi 28 : Cho A = 1 :

1

x

x x x x x



 



 

   

 

víi x > , x 

a Rót gän A (KQ: A = x x

 ) b.So s¸nh A víi

Bµi 29 : Cho A = 1 :

9

3 3

x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

Víi 0, x x

a Rút gọn A b Tìm x để A =6

5 c Tìm x để A <

( KQ : A =

3

x x

x 

 ) Bµi30 : Cho A =

2

2 2

1 2

x x x x

x x x

     



 

    

 

víi x  , x  a Rót gän A

b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2

d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x) )

Bµi 31 : Cho A = :

2

1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

 

víi x  , x 

a Rót gän A

b CMR nÕu x  , x  th× A > , (KQ: A = x x )

Bµi 32 : Cho A = :

1

1

x x

x x

x



 

 

 

 



 

víi x > , x  1, x 

b Tìm x để A =

Bµi 33 : Cho A = :

1

1

x x x x

x x

x x

       

 

   

     

 

 

víi x  , x  a Rót gän A

b TÝnh A x= 0,36

c Tìm xZ để AZ

Bµi 34 : Cho A= : 2

1

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

víi x  , x  , x  a Rót gän A

b Tìm xZ để AZ

c Tìm x để A < (KQ: A = x

x   )

BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài :

1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với trục tung trục hoành

Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b

Do đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta cã hÖ pt :   

   

 

b a

b a

  

   

1 b a

Vậy pt đường thẳng cần tìm y = 3x –

2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

3

Baøi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m +

1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ

3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Hướng dẫn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m +  m – <  m <

2) Do đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta m =

4

3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – nghiệm hệ pt :   

 

  

1

2 x y

x y

 (x;y) = (1;1)

Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) nghiệm pt : y = (m – 2)x + m +

Víi (x;y) = (1;1)  m =

1 

Baøi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m +

2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m

Hướng dẫn :

1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = -  m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0;y0) Ta có y0 = (m – 1)x0 + m +  (x0 – 1)m - x0 - y0 + = 

  

 

2 0 y x

Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định (1;2)

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB

2) Tìm giá trị m để đường thẳng y = (m2

– 3m)x + m2

– 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)

Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b

Do đường thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hÖ pt :   

  

 

b a

b a

2 1

  

   

3 b a

VËy pt đường thẳng cần tìm y = - 2x +

2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) ta cần :

    

  

  

2 2

2

2

m m

m m

 m =

Vậy m = đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)

Baứi : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định

3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1 Hướng dẫn :

1) m =

2) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0;y0) Ta có

y0 = (2m – 1)x0 + m -  (2x0 + 1)m - x0 - y0 - =        

 

 

2

1

0

y x

Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định (

5 ;

1  

y = x 

; y = 4x



vµ y = kx + k + cắt điểm

Bai : Gi sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1)

Baứi : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đường thẳng x – y + =

Chủ đề : Phương trình – bất phương trình bậc ần Hệ phương trình bậc ẩn

A kiÕn thøc cÇn nhí :

1 Phương trình bậc : ax + b = Phương pháp giải :

+ Nếu a ≠ phương trình có nghiệm : x = b

a 

+ Nếu a = b ≠  phương trình vơ nghiệm + Nếu a = b =  phương trình có vơ số nghiệm 2 Hệ phương trình bậc hai ẩn :

  

 

 

c' y b' x a'

c by ax

Phương pháp giải :

Sư dơng mét c¸c c¸ch sau :

+) Phương pháp : Từ hai phương trình rút ẩn theo ẩn , vào phương trình thứ ta phương trình bậc ẩn

+) Phương pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn

- Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dô minh häa :

Ví dụ : Giải phương trình sau :

a)

2 x

x -x

x

 

 §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S =  4

b)

1 x x

1 -2x

3 

 =

Giải : ĐKXĐ : x3 x 1 ≠ (*) Khi :

1 x x

1 -2x

3



 =  2x = -  x = 

Víi  x =

3 

thay vµo (* ) ta cã (

3 

)3 +

2 

+ ≠

VËy x =

3 

lµ nghiƯm

+ NÕu m  th× (1)  x = - (m + 2) + NÕu m = th× (1) v« nghiƯm

Ví dụ : Tìm m  Z để phương trình sau có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2

+ m - = Gi¶i :

Ta có : với m  Z 2m –  , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - -m

4 để pt có nghiệm ngun  2m

Giải ta m = 2, m =

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 7x + 4y = 23 Giải :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y =

7x -23

= – 2x +

1 x 

V× y  Z  x –  Gi¶i ta x = y =

BÀI TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Baứi : Giải hệ phương trình: a) 2x 3y

3x 4y    



  



b) x 4y 4x 3y

 

 

 



c) 2x y y 4x   

   

d) x y

x y

   

  

e) 2x

4x 2y

  



  



f)

2

2

x x y

3

1,

x x y



 

 

 

  

 



Baứi : Cho hệ phương trình :

mx y

x my

  



 



1) Giải hệ phương trình theo tham số m

2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn :

Baứi : Cho hệ phương trình:

x 2y m

2x y 3(m 2)

  

 

  



1) Giải hệ phương trình thay m = -1

2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ

Baứi : Cho hệ phương trình: (a 1)x y a

x (a 1)y

  

 

  



cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y =

3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức 2x 5y x y



Baứi : Cho hệ phương trình: x ay

(1) ax y

 

 

  

1) Gi¶i hƯ (1) a =

2) Với giá trị a hệ có nghiệm nhÊt

Baứi : Xác định hệ số m n, biết hệ phương trình mx y n

nx my

  



 



cã nghiƯm lµ 1; 3

Baứi : Cho hệ phương trình a x y ax y 2a

   

 

  



(a tham số) 1) Giải hệ a =

2) Chứng minh với a hệ ln có nghiệm (x ; y) thoả mãn x + y  Baứi (trang 22): Cho hệ phương trình :

  

 

 

1 -m 4y 2)x -(m

0 3)y (m -x

(m tham số) a) Giải hệ m = -1

b) Giải biện luận pt theo m

Baứi : (trang 24): Cho hệ phương trình :   

  

 m 4y mx

0 y m -x

(m tham số) a) Giải hệ m = -1

b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >

Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h

Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau

4 đầy bể

Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vịi thứ hai sau

bể Nếu vịi thứ hai chảy bể

Đáp số :

Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C

Hường dãn : Ta có hệ pt :

  

 

 

400 20y 100x

10 y x

   

 

7,5 y

2,5 x

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dịch ban đầu

Theo baøi ta có hệ pt :       

 



 



% 40 % 100 500 y

200) (

% 50 % 100 200 y

200) (

x x

   

 

1000 y

400 x

Vậy nồng độ phần trăm dung dịch axít ban đầu 40%

Phương trình bậc hai định lý viet ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp

a) Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm

- vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a 

Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac *  < (/ < ) phương trình (1) vơ nghiệm

*  = (/ = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -

a b (hoặc x1,2 =

-a b/

) * > (/ > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 =

a b

2   

; x2 =

a b

2   

(hoặc x1 =

a b/  / 

; x2 =

a b/  / 

) 2 Định lý Viét

Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a  0)

S = x1 + x2 = -

a b

p = x1x2 =

a c

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu cã ) cđa

phương trình bậc 2:

x2 – S x + p =

3.Dấu nghiệm số phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phương trình Ta có kết sau:

Hai nghiệm dương( x1 > x2 > )           0 S p

Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0)           0 S p

Một nghiệm nghiệm dương( x2 > x1 = 0)           0 S p

Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm ©m (x1 < x2 = 0)           0 S p

4.Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0)

 Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = a c

 Nếu a – b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - a c

 Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n x1 = n , x2 = m

b) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 ca nú

Cách làm : - Lập tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2

- Phương trình cần tìm : x2

– S x + p =

c)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho

trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp cách biến đổi): *) x1

2 + x2

2

= (x1+ x2)

– 2x1x2 = S

– 2p *) (x1 – x2)

2

= (x1 + x2)

– 4x1x2 = S

– 4p *) x1

3 + x2

3

= (x1 + x2)

– 3x1x2(x1 + x2) = S

– 3Sp *) x1

4 + x2

4 = (x1

2 + x2

2

)2 – 2x1 x2 *) 2 1 x x x x x x    = p S *) 2 2 1 2 x x x x x x x x    = p p S2 2

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a

= p – aS + a2 *) 2 2 ) )( ( 1 a aS p a S a x a x a x x a x a

x  

         

(Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện 0) d)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm

 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc cho có nghiệm:

0 (hc / 0

) (*)

- Thay x = x1 vào phương trình cho ,tìm giá trị tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0) mà ta thay x = x1 vào phương trình cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào phương trình giải phương trình

Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình cho mà phương trình bậc hai có  < kết luận khơng có giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước

Đê tìm nghiệm thứ ta có cách lµm

+) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình (như cách trình bầy trên)

+) Cách :Thay giá trị tham số tìm vào công thức tổng nghiệm tìm nghiệm thø

+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm nghiệm thứ

B Bài tập áp dụng

Bi 1: Giải biện luận phương trình : x2

– 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i

Ta cã  = (m + 1)/

– 2m + 10 = m2 – + NÕu  >  m/

– >  m < - m > Phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1 = m + -

2 

m x2 = m + +

 m + NÕu  =  m =  /

- Với m =3 phương trình có nghiệm x1.2 = - Với m = -3 phương trình có nghiệm x1.2 = -2 + Nếu  <  -3 < m < phương trình vơ nghiệm /

KÕt kuËn:

 Với m = phương trình có nghiệm x =  Với m = - phương trình có nghiệm x = -2

 Với m < - m > phương trình có nghiệm phân biệt

x1 = m + -



m x2 = m + +

 m  Với -3< m < phương trình vơ nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phương trình: (m- 3) x2

– 2mx + m – =

Hướng dẫn

 Nếu m – =  m = phương trình cho có dạng

- 6x – =  x = -

- Nếu  =  9m – 18 =  m = phương trình có nghiệm kép / x1 = x2 = -

3

2 /

  a b

= -

- Nếu  >  m >2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt / x1,2 =

3

  

m m m

- Nếu  <  m < Phương trình vơ nghiệm / Kết luận:

Với m = phương trình có nghiệm x = -

Với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2 Với m > m  phương trình có nghiệm x1,2 =

3

  

m m m

Với m < phương trình vơ nghiệm

Bài 3: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a) 2x2 + 2007x – 2009 =

b) 17x2

+ 221x + 204 = c) x2

+ (  5)x - 15 = d) x2

–(3 - )x - =

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = có a + b + c = + 2007 +(-2009) = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 =

2 2009   a c

b) 17x2 + 221x + 204 = có a – b + c = 17 – 221 + 204 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = -

17 204   a c

= - 12 c) x2

+ (  5)x - 15 = cã: ac = - 15 <

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -(  5) = - +

x1x2 = - 15 = (- )

Vậy phương trình có nghiệm x1 = - , x2= (hoặc x1 = , x2 = - ) d ) x2 –(3 - )x - = có : ac = - <

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có

    

 

 

) 3(-2 x x

7 -3 x x

2

2

Vậy phương trình có nghiệm x1 = , x2 = -

Bài : Giải phương trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + =

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 =

Hc x2 =

1  m

b) (m – 3)x2

– (m + 1)x – 2m + = (*)

* m- =  m = (*) trë thµnh – 4x – =  x = -

* m –   m  (*)            2 m m x x

Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phương trình : x

– 3x – = a) TÝnh:

A = x1

+ x2

B = x 1 x2 C= 1 1    x

x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) b) lập phương trình bậc có nghiệm

1 1 

x vµ

1  x Giải ; Phương trình bâc hai x2

– 3x – = có tích ac = - < , suy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã

+ A = x1

+ x2

= (x1 + x2)

– 2x1x2 = S

– 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)

2 = S2

– 4p => B = x 1 x2 = S2  p4  37 + C =

1 1    x

x =

1 ) )( ( ) ( 2

1 

        S p S x x x x + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1

2 + x2

2

) + x1x2 = 10x1x2 + (x1

2 + x2

2 ) = 10p + 3(S2

– 2p) = 3S2

+ 4p = - b)Ta cã :

S = 1 1      x

x (theo c©u a)

p = 1 ) )( (      

 x p S

x

VËy 1 1

x vµ

1 

x nghiệm hương trình : X2 – SX + p =  X2 +

9

X -

=  9X2 + X - =

Bài : Cho phương trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phương trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phương trình (1) Tìm k để : x1

3 + x2

1 Phương trình (1) phương trình bậc hai có:  = (k -1)2

– 4(- k2

+ k – 2) = 5k2

– 6k + = 5(k2 - k + )

= 5(k2 – k + 25 + 25 36

) = 5(k -

) + 36

> với giá trị k Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt

2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  p <  - k2 + k – <  - ( k2 –

2 k + +

) <

 -(k - )2 -

< với k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x1

+ x2

= (x1 + x2)

– 3x1x2(x1 + x2)

Vì phương trình có nghiệm với k Theo hệ thức viét ta có x1 + x2 = k – x1x2 = - k

2

+ k –  x1

3 + x2

3

= (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2

- 3(- k2

+ k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k - )2 + 16 87 ]

Do x1

+ x2

>  (k – 1)[(2k -

)2 + 16 87

] >

 k – > ( v× (2k - )2 + 16 87

> víi mäi k)  k >

VËy k > giá trị cần tìm Bài 7:

Cho phương trình : x2

– 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phương trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phương trình (1) nói phần 2.)

Giải Với m = - phương trình (1) trở thành x2

+ 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x1 = , x2 = - Cã  = (m + 1)/

– (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = m2

+ 2.m + + 19

= (m + )2 + 19

> với m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phương trình có nghiệm với m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)

= (x1 + x2)

– 4x1x2 = 4( m + 1)

– (m – 4) = 4m2

+ 4m + 20 = 4(m2

+ m + 5) = 4[(m + )2 + 19 ]

=> x 1 x2 =

4 19 )

(m 

4 19

 = 19 m +

=  m = -

Bài : Cho phương trình (m + 2) x2

+ (1 – 2m)x + m – = (m tham số) 1) Giải phương trình m = -

2

2) Chứng minh phương trình cho có nghiệm với m

3) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Gi¶i: 1) Thay m = -

2

vào phương trình cho thu gọn ta 5x2 - 20 x + 15 =

phương trình có hai nghiệm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phương trình cho trở thành; 5x – =  x =

+ Nếu : m +  => m  - Khi phương trình cho phương trình bậc hai có biệt số :

 = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

) (    m m

=

4    m m

x2 =

2 ) ( ) ( ) (          m m m m m m

Tóm lại phương trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m  - phương trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trường hợp

Trường hợp : 3x1 = x2  =   m m

giải ta m = -

(đã giải câu 1)

Trường hợp 2: x1 = 3x2  1= 3   m m

 m + = 3m –  m = 11

(thoả mÃn điều kiện m - 2)

KiĨm tra l¹i: Thay m = 11

vào phương trình cho ta phương trình : 15x2 – 20x + = phương trình có hai nghiệm

x1 = , x2 = 15

5 =

3

(thoả mÃn đầu bài)

Bi 9: Cho phương trình : mx2

– 2(m-2)x + m – = (1) với m tham số Biện luận theo m có nghiệm phương trình (1)

2 Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải

1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – =  x =

+ NÕu m  LËp biÖt sè  = (m – 2)/ 2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m = - m +

/

 <  - m + <  m > : (1) v« nghiÖm /

 =  - m + =  m = : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =

-2 2 /      m m a b /

x1 =

m m m2  4

; x2 =

m m m2  4

Vậy : m > : phương trình (1) vơ nghiệm

m = : phương trình (1) Có nghiệm kép x =

 m < : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

m m m2  4

; x2 =

m m m2  4

m = : Phương trình (1) có nghiệm đơn x =

2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu  a c

<  m m3

<                     0 0 m m m m                   3 m m m m Trường hợp      m m

không thoả mÃn

Trng hp    m m

 < m <

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm /

    m  (*) (ở câu a có) - Thay x = vào phương trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m =  4m =  m = -4

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -4

tho¶ m·n

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện   mà thay x = vào (1) để tìm m = -/

.Sau

thay m = -4

vào phương trình (1) :

-4 x2 – 2(-4

- 2)x -

- =  -9x2

+34x – 21 =

cã  = 289 – 189 = 100 > => /        x x

VËy víi m = -4

phương trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

C¸ch 1: Thay m = -

vào phương trình cho giải phương trình để tìm x2 =

C¸ch 2: Thay m = -4

vµo c«ng thøc tÝnh tỉng nghiƯm:

x1 + x2 =

9 34 ) ( ) (       m m

 x2 = 34

- x1 = 34

- =

C¸ch 3: Thay m = -

vào công trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm

x1x2 =

9 21 9       m m

=> x2 = 21

: x1 = 21

: =

Bài 10: Cho phương trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k tham số 1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x1

2 + x2

2 = 10

Giải 1.Phương trình (1) có nghiệm kép   =  k/

– (2 – 5k) =  k2

+ 5k – = ( cã  = 25 + = 33 > )  k1 =

2 33  

; k2 =

33  

VËy cã gi¸ trÞ k1 =

33  

hc k2 =

33  

phương trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách giải

Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: /

   k2

+ 5k –  (*) Ta cã x1

2 + x2

2

= (x1 + x2)

– 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)

2

– 2x1x2 = 10

Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = -  a b

- 2k vµ x1x2 = – 5k VËy (-2k)2

– 2(2 – 5k) = 10  2k2

+ 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay k1 , k2 vào /  = k2

+ 5k – + k1 = =>

/

 = + – = > ; tho¶ m·n + k2 = -

2

=>  = /

8 29 70 49 2 35 49    

không thoả mÃn

Vậy k = giá trị cần tìm

Cách : Không cần lập điều kiện Cách giải là: / Từ điều kiện x1

2 + x2

2

= 10 ta tìm k1 = ; k2 = -

(cách tìm trên) Thay k1 , k2 vào phương trình (1)

+ Víi k1 = : (1) => x

+ Víi k2 = -

(1) => x2 - 7x +

2 39

= (có = 49 -78 = - 29 < ) Phương trình vơ nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm

BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Baứi : Cho phương trình : x2

– 6x + = 0, gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính:

1) x1

+ x2 2) x1 x1 x2 x2

3)  

   

2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x

x x x x

  

  

Baứi : Cho phương trình: 2x2

– 5x + =

Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 hai nghiệm phương trình) Baứi : Cho phương trình bậc hai:

x2

– 2(m + 1)x + m2

+ 3m + =

1) Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x1

2 + x2

2

= 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phương trình) Baứi : Cho phương trình:

x2 – 2mx + 2m – =

1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2, tìm giá trị m để: x1

2 (1 – x2

2 ) + x2

2 (1 – x1

2 ) = -8 Baứi : Cho phương trình:

x2

– 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Giải phương trình với m =

2) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Baứi : Cho phương trình: x2

+ 4x + = (1) 1) Giải phương trình (1)

2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tính B = x1

+ x2

Baứi : Cho phương trình : x2

- (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1

3 + x2

3  Baứi : Cho phương trình:

(m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Giải phương trình m =

2) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm phân biệt Câu9 Cho phương trình (2m-1)x2

-2mx+1=0

Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu 10: Phương trình: ( 2m-1)x2

-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

,  = m2

-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=

1

1 

 

m m m

=

1

pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<

1  m <0

    

 

  

0

0 1

1

m

m =>

    

 

 

0

0

2

m m

m

=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm khoảng (-1,0) m<0

GII BAỉI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Baứi : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô

Hướng dẫn : Gọi vận tốc ôtô thứ x (km/h ĐK x > 0) Ta có : Vận tốc ô tô thứ hai : x – 10 (km/h)

Do ôtô thứ đến B sớm ơtơ thứ hai ta có phương trình : x 300 -10 -x

300

 Giải ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h

Baứi : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau 2/3 qng đường với vận tốc đó, đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10 km qng đường cịn lại Do ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường AB

Hướng dẫn : Gọi x quảng đường AB (Km ĐK x > 0) Theo giả thiết tốn ta có phương trình :

2 50 40

x 50

2

 

 x

x

Giải ta được: x = 300 (tmđk)

Vậy quảng đường AB : 300km

Baứi : Hai vòi nước chảy vào bể sau 48 phút đầy Neỏu chảy thời gian lượng nước vịi II 2/3 lượng nước vòi I chảy Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể

Hướng dẫn : Gọi x, y thời gian vòi I, vịi II chảy đầy bể

Theo ta có hệ phương trình :       

  

2y x

24 y x

1

Giải ta :   

  x

12 y

(tmđk)

Đáp số : Vòi chảy đầy bể

Vòi chảy ®Çy bĨ mÊt 12 giê

đờng AB thời gian dự định lúc đầu

Hướng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ y(giụứ) ẹK : x > 0, y > Theo baứi ta coự heọ pt :

  

  

x 1) -50(y

x 2) y ( 35

suy : 35y + 70 = 50y -50  y = (TMĐK) Thay vào hệ ta x = 350 (TMĐK)

Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km) Thời gian dự định : (giờ)

Baứi : Quãng đường AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ơtơ?

Hướng dẫn : Gọi x (km) vận tốc ca ôtô thứ ĐK x > Theo gt toán ta cã pt :

15 x

180 x

180

Giải ta : x = 30 ; x = -45(lo¹i)

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ hai : 30 (km/h) Vận tốc ôtô thứ nhât : 45 (km/h)

Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng tất 80 Biết số bạn nam trồng số bạn nữ trồng ; bạn nam trồng nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ

Giải : Gọi số học sinh nam x (em) ĐK : x nguyên dương, x  13 Theo gt ta có pt :

x -13

40 x

40



  3x2

– 119x + 520 = ( = 89)

Giải ta : x =

89 119 

(lo¹i) ; x = (TMĐK)

Đáp số : Sè HS nam : (em) Sè HS n÷ : em

Baứi : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ

Gi¶i : Gäi vËn tèc lúc x (km/h) ĐK : x > Theo gt bµi ta cã pt : 10

5 -x 180 x 180

 

  17x2 – 805x + 1800 = ( = 725)

Giải ta : x = 34

725 805 

(loại) ; x = 45 (TMĐK)

Đáp sè : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h)

Baứi : Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ

Gi¶i : Gọi vận tốc thực canô x (km/h) §K x > Theo gt bµi ta cã pt :

4 -x

16 x

24

 

  2x

2

– 40x = Gi¶i ta : x = (loại) ; x = 20

vận tốc xe

Giải : Gọi vận tốc xe thứ hai x (km/h) ĐK x > Theo gt ta cã pt :

5 108 x

108

  

x  x

2

+ 6x – 3240 = (  = 57 ) ' Gi¶i ta : x = - 60 (loại) ; x = 54

Đáp số : Vận tốc xe thứ : 60 (km/h) Vận tốc xe thứ hai : 54 (km/h) Baứi 11 : Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên cơng nhân cịn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân? Biết suất lao động công nhân

Giải : Gọi x số công nhân lúc đầu ( công nhân) ĐK : x nguyên dương, x > Theo gt ta có pt :

x 360 x

360

 

  x

2

– 3x – 270 = (  = 33 ) Gi¶i ta : x = -15 (loại) ; x =18

Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)

Bai 12 : Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nước vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nước, bình thứ 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nước bình thứ 1/3 thể tích Tìm thể tích bình

Gi¶i : Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thĨ tích ba bình ĐK : x,y, z >

Theo gt bµi ta cã hpt :

        

 

 

  

z y

y z x

120 z y x

x

     

  

30 z

40 y

50 x

(TMĐK)

Đáp số : Bình thø nhÊt cã thÓ tÝch : 50 (lÝt) B×nh thø hai cã thĨ tÝch : 40 (lÝt) B×nh thø ba cã thĨ tÝch : 30 (lÝt)

Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' người từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , người xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km

Giải : Gọi x (giờ) thời gian từ A đến C ĐK : x > Theo gt ta có pt : 10x + 14(x – 2) = 56

Giải ta : x =

3 (TMĐK)

Đáp số : Gặp lúc : 10h15 Cách A : 35 (km)

Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngược từ B trở A Thời gian xi thời gian ngược 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nước l 3km/h

Giải : Gọi x (km) quảng ®­êng AB §K : x > Theo gt bµi ta cã pt :

24 x 30

x 



Gi¶i ta : x = 80 (TMĐK)

Đáp số : Quảng đường AB : 80 (km)

đạp

Giải : Gọi x (km/h) vận tốc người xe đạp ĐK x > Theo gt ta có pt :

2 2,5x

50 x 50

Giải ta : x = 12 (TM§K)

Đáp số : Vận tốc người xe đạp : 12 (km/h) Vận tốc người xe máy : 30(km/h)

Baøi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phòng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng cã bao nhiªu ghÕ?

Giải : Gọi x số dãy ghế phòng họp ĐK x nguyên dương Theo gt ta có pt : (x + 1)( 1)

x 360

 = 400  x2

– 39x –360 = ( = ) Giải ta : x = 24 (TM§K) , x = 15 (TM§K)

Đáp số : Có thể xảy khả

+) KN : Phßng häp có 24 dÃy ghế dÃy có 15 ghế +) KN : Phßng häp cã 15 dÃy ghế dÃy có 24 ghế

Bai 17 : Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ làm họ làm 25% cơng việc Hỏi người làm cơng việc giời xong?

Giải : Gọi x, y (giờ) thời gian người làm hồn thành công việc ĐK x, y >

Theo gt bµi ta cã hpt :       

 

 

4 y

16 y 1

x x

  

  

48 y

24 x

(TM§K)

Đáp số : Người thứ hồn thành cơng việc : 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc : 48 Baứi 18 : Hai vật chuyển động đường trịn có đường kính 20m , xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngược chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật

Giải : Gọi x, y (m/s) vận tốc hai vật ĐK x > y > Theo gt ta có hpt :

  

 

 

10y 62.8 10x

62,8 2y 2x

  

  

13 y

18,84 x

(TM§K)

Đáp số : Vận tốc hai vât : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h)

Baứi 19 : Tháng thứ hai tổ sản xuất 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vượt 15%.tổ vượt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất sản phẩm

Giải : Gọi x, y sản phẩm tổ tổ làm tháng thứ ĐK : x, y nguyờn dng

Theo gt toán ta có hpt :     

 

 

145 100 20y 100 15x

800 y x

  

  

500 y

300 x

(TM§K)

Đáp số : Trong tháng :

Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhưng thực tế ngày làm thêm 100 chi tiết, nên sản xuất thêm tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trước ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất

Giải : Gọi x số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x nguyên dương Theo gt tốn ta có pt :

400 600 x 300

x

 

  x = 3000 (TMĐK) Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết)

Bài 21: Một ca nơ xi dịng 42km ngược dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dịng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nơ lúc dịng nước n lặng

Giải : Gọi x vận tốc ca nô lúc nước yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2) Theo gt tốn ta có pt :

2 -x

20 x

42

 

  5x

2

- 62x + 24 = ( = 29) '

Giải ta : x =

(lo¹i) ; x = 12

Đáp số : Vậy vận tốc ca nô lúc nước yên lặng : 12 (km/h)

Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hơm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?

Giải : Gọi x số xe đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2) Theo gt tốn ta có pt : 16

x 120 x

120

 

  x

2

- 2x -15 = ( = 4) ' Giải ta : x = - (lo¹i) ; x =

Đáp số : Vậy đội xe có xe

Bài 23: Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trước ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc tơ biết quãng đường AB dài 240km

Gi¶i : Gọi x vận tốc ôtô thứ hai (Km/h ĐK : x > 0) Theo gt toán ta cã pt :

3 x 240 x

240

 

  5x

2

- 60x – 8640 = ( =210) ' Giải ta : x = -36 (loại) ; x = 48

Đáp sè : VËn tèc cđa «t« thø hai : 48 km/h VËn tèc cđa «t« thø nhÊt : 60 km/h

Bài 24: Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vịi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vịi chảy đầy bể?

Gi¶i : Gäi x lµ th

Bài 24: Hai tổ học sinh trồng số sân trường

NÕu lÊy c©y cđa tỉ chun cho tổ số trồng hai tæ sÏ b»ng

Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng tổ hai gấp đôi số tổ

Hỏi tổ trồng cây? Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngược chiều gặp

nhau sau Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tô B giảm 5km/h vận tốc ô tô A lần vËn tèc cđa « t« B

Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nước 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã

ôn tập hình học Phần : hình học phẳng I.Đường tròn:

1,Định nghĩa:

Tp hp cỏc im cách điểm cho trước khoảng cách R > khơng đổi gọi đường trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)

2, Vị trí tương đối:

* Cđa điểm với đường tròn : xét (0 ; R ) điểm M

v trí tương đối Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R

M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R)

OM = R

M n»m ( O ; R ) OM < R

* Của đường thẳng với đường tròn :

xét ( O ; R ) đường thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a )

vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R

a vµ ( O ; R ) kh«ng giao

0 d > R

* Của hai đường tròn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tương đối Số điểm chung H thc

Hai đường tròn cắt R – r < d < R- r Hai ®­êng trßn tiÕp xóc

nhau :

+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :

1

d = R + r d = R – r Haiđường tròn không giao

nhau :

+hai đường tròn :

+ng tròn lớn đựng đường tròn nhỏ :

d > R + r

d < R -r

3 Tiếp tuyến đường tròn : a Định nghÜa :

đường thẳng d gọi tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường

b, TÝnh chÊt :

+ TÝnh chÊt : NÕu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính đI qua tiÕp ®iĨm

+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

c, C¸ch chøng minh :

 Cách : chứng minh đường thẳng có điểm chung với đường trịn

 Cách : chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính đường trịn điểm điểm thuộc đường trịn

4 Quan hệ đường kính dây cung :

* Định lí : Đường kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần

* Định lí : Đường kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông gãc víi d©y cung Êy

5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :

* Định lí : Trong đường trịn hai dây cung chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung khơng đường trịn, dây cung lớn gần tõm hn

II Góc đường tròn:

1, Các loại góc đường tròn: - Gãc ë t©m

- Gãc néi tiÕp

- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đường trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

2, Mối quan hệ cung dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đường tròn: a, Hai cung căng hai dây

b, Dây lớn trương cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghĩa:

T giỏc ni tip mt đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đương trịn gọi đường trịn ngoại tiếp tứ giác

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đường tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện góc

B Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB, AC E F

a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhËt b CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp

c Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC d CMR: NÕu S ABC = S AEHF th× tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho tam gi¸c ABC ( AB> AC ) néi tiÕp (O) VÏ đường phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I

1 Chứng minh tam giác BMC cân Chứng minh: góc BMA < gãc AMC

3 Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC

4 §­êng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?

6 Chứng minh AM phân giác góc OAH

7 OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE MB



8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp

10 Tõ C vÏ tiÕp tun cđa (O) c¾t BM kÐo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK 11 So sánh góc KMC KCB víi gãc A

14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON

16 Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC theo thø tù t¹i D, E Gäi I giao điểm BE CD

1 Chứng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI Cho gãc BAC = 600

Chứng minh tam giác DOE

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đường cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E

a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân

b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c) Tính bán kính cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm

Bài 5: Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB lấy hai điểm M N cho c¸c cung AM, MN, NB b»ng Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR:

a) Tứ giác AMNB hình thang cân

b) PH ┴ AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đường tròn đươnngf kính PH

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD cắt AB E F CMR:

a Tam giác MAE MCA đồng dạng b ME MC = MF MD

c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp

d Khi AB  R tam giác OAM

Bµi 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đường cao AH Vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC F

a Tứ giác AEHF hình gì?

b Chứng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC

d Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)

e Gọi Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiÕp tam gi¸c ABC Chøng minh Ax // EF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD H, đường thẳng BH cắt CA E

a Chứng minh tứ giác AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE

d Chøng minh AD = AE

e Khi ®iĨm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đường nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gäi E lµ giao ®iĨm cđa AB vµ CD, F lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh r»ng:

a EF ┴ AC

b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp

Bài 10: Cho đường trịn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đường tròn (O) C cắt OK I

a Chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn (O)

b Chứng minh CK tia phân gi¸c cđa gãc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI

Bµi 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB VÏ vỊ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho gãc MON = 900 Gäi I lµ trung ®iĨm cđa MN Chøng minh r»ng :

a AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO) b MO lµ tia phân giác góc AMN

c MN tiếp tuyến đường tròn đường kính AB

d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi

Bài 12: Cho (O;R) (O; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đường tròn ( B thuéc (O); C thuéc (O’) ) TiÕp tuyÕn chung hai đường tròn A cắt BC M a Chứng minh A, B, C thuộc đường tròn tâm M

b ng thng OO cú v trí tương đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đường tròn qua ba điểm O, O’ , M

d Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn đường tròn qua ba điểm O, O, M

Bài 13: Cho (O) (O)tiếp xúcngoài A Đường thẳng Ô cắt (O) (O) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ( D thuéc (O); E thuéc (O’)) M lµ giao điểm BD CE Chứng minh :

a Góc DME góc vuông

b MA tiếp tuyến chung hai đường tròn c MD MB = ME MC

Bµi 14: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O), ®­êng cao BD, CE , M lµ trung ®iĨm cđa BC a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp

b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE

Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp

b Chứng minh HA tia phân giác góc BHA

c Gọi I giao điểm BC vµ DE Chøng minh : AB2 = AI AH d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK

Bài 16: Cho (O), đường tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N

a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b Tứ giác MNDC nội tiếp

c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di ng

Bài 17: Xét nửa đường tròn (O), đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E

a Chứng minh tam giác ABE cân B

b Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB c Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi

Bi 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T

a Chøng minh r»ng OT // AB

b Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diƯn tÝch tam gi¸c TBD theo R

d TÝnh diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R

Bài 19: Hai đườngtròn (O) (O) có bán kính R R ( R > R) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng DC với (O) F

a Tứ giác AEBD hình gì?

b Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF néi tiÕp

d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF DE

2

 vµ MF lµ tiếp tuyến (O)

Bài 20: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) I

b.Chứng minh BI // AD

c.Chøng minh ba ®iĨm I, B, E thẳng hàng MD = MI

d.Xỏc nh giải thích vị trí tương đối đường thẳng MI với (O’)

Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đường tròn Gọi I trung điểm dây MN

a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm ®­êng trßn

b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đường tròn A cắt đường thẳng BC M

a Chứng minh MA = MD

b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hng

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đường kính MC Đường thẳng BM cắt (O) D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S

a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB

b Gi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chứng minh DM phân giác góc ADE

d Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A

a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C

b Hai đường trịn (O) (O’) vị trí tương đối nào?

c Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O’) d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)

Bài 25: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N

a Chứng minh tích AM AN khơng đổi

b Vẽ CD ┴ AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa ®iĨm A

a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bµi 27: Cho (O,R) (O,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đường thẳng OO cắt (O) C, cắt (O) D Tiếp tuyến chung AB (A(O),B(O') ) cắt đưòng thẳng OO H Tiếp tuyến chung hai đường tròn M cắt AB I

a Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chứng minh AB2 R.r

c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba ®iĨm A, O, B’ vµ A’ , O’ , B thẳng hàng CD2

= BB2

+ AA’2

d Gọi N N’ giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r

Bµi 28: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đường tròn TiÕp tun Cx cđa (O) c¾t tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O

a Chøng minh (O’, O’C) võa tiÕp xóc víi (O) vừa tiếp xúc với đường thẳng AB

b Gọi D,E theo thứ tự giao điểm thứ hai cđa CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O’, E thẳng hàng c Tìm vị trí C cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc víi AC

Bài 29: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C D hai điểm di động nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E F ( F nằm B E ) a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng

b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp

c Khi D C di động nửa đường tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const

Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:

a Góc MAH = góc MCB b Tam giác ADE cân c Tø gi¸c AHBK néi tiÕp

Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P Chứng minh:

a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB

c  APB vu«ng

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn

Bài 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai ®­êng th¼ng CE víi (O)

a Chøng minh ®iĨm A, O, E, C cïng n»m trªn mét ®­êng trßn b Chøng minh gãc AOC=gãc BIC

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bµi 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD)

a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đường tròn nói biết AC=6cm; gãc ACB = 30o

Bµi 34 Cho (O) có đường kính BC Gọi A ®iÓm thuéc cung BC (cung AB < cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đường vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA ë F

a Chøng minh tø gi¸c ADCF nội tiếp

b Gọi M trung điểm EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)

d TÝnh diƯn tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o

Bài 35 Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đường tròn cắt MA, MB điểm thứ hai C, D

a Chøng minh CD//AB

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ

Bài 36 Cho đường tròn đường kính AB, điểm C, D đường trịn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD M, N Giao điểm MN với AC, AD H, I Giao điểm MD với CN l K

a CM: NKD MAK cân

b CM: tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH//AD c So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK

d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND

Bài 37 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) B, C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BO1D, CO2E

a Chứng minh M trung điểm BC b Chứng minh O1MO2 vuông

c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng

d Gọi I trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d

d

Phần 2: Hình học không gian A.Lý thuyết:

I Một số kiến thức hình học khơng gian: 1 Các vị trí tương đối:

a.Vị trí tương đối hai đường thẳng:

* a b chéo  a b không thuộc mặt phẳng b Vị trí tương đối đường thẳng a mặt phẳng (P):

* a // (P)  a (P) điểm chung * a cắt (P)  a (P) có điểm chung * a  (P)  a (P) có vơ số điểm chung c Vị trí tương đối hai mặt phẳng (P) (Q): * (P) // (Q)  điểm chung

* (P)  (Q) = a có đường thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng) * (P) (Q)

2 Mét sè c¸ch chøng minh:

a Chứng minh hai đường thẳng song song: C1: a b thuộc mặt phẳng a b điểm chung C2: a // c vµ b // c

C3 : a b

b R Q a R P Q P // ) ( ) ( ) ( ) ( ) //( ) (        

b.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

) //( ) ( // P a P b b a   

c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:

) //( ) ( ) //( ), //( ), ( , Q P P b P a aXb Q b a     

d.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

b a P b P a        ) ( ) (

e.Chøng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

( ) ) ( ), ( , , P a P c P b bXc c a b a         

g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

( ) ( ) ) ( ) ( Q P Q a P a    

II Một số hình không gian: 1 Hình lăng trụ:

Sxq = P h với P: chu vi đáy

V = B h h : chiều cao B: diện tích đáy

Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy V = B.h = R2.h h: chiều cao

2 H×nh chãp:

h B V d P Sxq  

với d: đường cao mặt bên

2 Hình nón:

h R h B V l R d P Sxq 2      

d: đường sinh; h: chiều cao 3 Hình chóp côt:

 

B B BB h V d P P Sxq ' ' '     

3 H×nh nãn cơt:

   

B B BB h hR r Rr

V d r R d P P Sxq ' ' ' 2       

4 Hình cầu:

3 4 R V R S    

B Bµi tËp:

Bµi 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S nằm ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?

Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD Gäi G, H theo thứ tự trung điểm AD, CD Lấy ®iÓm E AB, F  BC cho: AE AB CF CB

4 ;  

a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH

b Gäi I lµ giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng

Bài 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đường thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a

Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a b CMR:

a Nếu a x d = M a, b, d đồng qui b Nếu a // d a, b, d đơi song song

Bµi 5: Cho tø diƯn S.ABC, ®iĨm D  SA cho SD SA,EAB

1

cho BE BA

Gọi M trung điểm SC, I giao điểm DM AC, N giao điểm IE BC CMR:

a SB // (IDE)

Bµi 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Một đường thẳng d (ABC) A Trên d lÊy ®iĨm S bÊt kú

a Chøng minh BC SH

b Kẻ AI đường cao tam gi¸c SAH Chøng minh AI  (SBC)

c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đường thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S

a Chøng minh SA = SB = SC

b Gäi IH đường cao tam giác SIM CMR: IH (SBC)

c Tính Sxq V hình chóp S ABC biÕt AB3 3cm; SA = cm

Bài 8: Cho tứ diện S ABC Điểm E  SA, F  AB cho SE SA BF BA ;

3



 Gäi G, H theo

thø tù trung điểm SC, BC CMR: a EF // GH

b EG, FH, AC đồng qui

Bµi 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đường thẳng d vuông góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm

a CMR: SB  AC b TÝnh SB, BC, SC

c CM: Tam giác SAC vuông d Tính Stp , V

Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh cm Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) A lÊy ®iĨm S cho SA = cm CMR:

a (SAB)  (SAD) b SC  BD

c Các tam giác SBC SDC vuông d Tính Sxq , V cđa h×nh chãp S ABCD

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đường cao AA’ = cm, đường chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm

a TÝnh AB?

b TÝnh Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD c TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính Sxq V Bài 13: Hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm Tính Sxq v V ?

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a CM: C¸c tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhật

b CM: AC’2 = AB2

+ AD2

c TÝnh Stp , V ?

Bµi 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCDcó AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300

TÝnh Stp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm a Tính đường chéo BD’

b Tính Stp V hình chóp A ABD c Tính Stp V hình chóp A.BCD

Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đường cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa lít nước ? ( biết dm3

= lÝt )

Bµi 18: Mét mặt phẳng qua trục OO hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( gọi thiết diện) hình chữ nhật có diƯn tÝch b»ng 72 cm2

Tính bán kính đáy, đường cao hình trụ biết đường kính đáy nửa chiều cao

Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính Sxq V hình trụ

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đường sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a Tính Sxq hình nón

b TÝnh V hình nón

c Gọi CD dây cung cđa (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD  (AOB)

Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đường cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 60

0 Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V Bài 23: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm

a TÝnh Sxq cđa h×nh nãn cơt

b Tính V hình nón sinh hỡnh nún ct ú

Bài 24: Một hình thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600 TÝnh Stp hình tạo thành quay hình thang vuông vòng xung quanh:

a Cạnh AD b Cạnh DC

Bài 1: Cho phương trình        

 

3

1

x m x m

x

x (*)

a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Gii túm tt:

ĐKXĐ: x Đặt x1 t

x phương trình (*) trở thành   

t t   t m  a) m = (Tù gi¶i)

Để phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt phương trình t2 + t + – m = phải có nghiệm kép khác Hay m = 11

4

Bµi 2: a) Cho a, b, c  Z tháa m·n ®iỊu kiƯn       

 

2

2 2

1 1 1

a b c a b c

Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho

b) Giải phương trình x3 + ax2 + bx + = 0, biết a, b, c số hữu tỉ + nghiệm phương trỡnh

Giải tóm tắt: a) ĐK: a, b, c  Tõ gt suy a + b + c = Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho vµ a + b + c = chia hÕt cho nªn a3 + b3 + c3 chia hÕt cho

b) Vì + nghiệm phương trình nên ta có

       

2 2a b 3a b a, b số hữu tØ nªn   

 

   

2a b 3a b 

   

 

a

b Thay vµo HS tự giải tiếp Bài 3: Cho x, y N* tháa m·n x + y = 2011

Tìm GTNN GTLN biểu thức P = x x 2y y y2x Giải tóm tắt:

Cách 1: Vì x, y N* nên 1 x y 2009    2  x y 2009

Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy =   

 

 

2

x y 4044121

4 VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031   

 

 

2

x y 4044121

4 Ta cã 20113 + 6031.

 2 

1

1 4044121

4  P  2011

3 + 6031.

 2 

1

2009 4044121

Hay 2035205401  P  8120605021

Vậy GTNN P 2035205401 Dấu = xảy x = 1006 y = 1005 x = 1005 vµ y = 1006 GTLN cđa P 8120605021 Dấu = xảy x = 2010 y = x = y = 2010

C¸ch 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ta cã  x, y  2010 Ta chøng minh 2010  xy  1005 1006 ThËt vËy

xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1)  (v×  x, y  2010)

Ta có xy  2010 Do P  8120605021

Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x)  Ta có 1005.1006 – xy  Do 2035205401  P

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, mét d©y cung MN = R di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song ON cắt đường thẳng AB E Qua N kẻ đường thẳng song song OM cắt đường thẳng AB t¹i F

a) CMR: MNE  NFM

b) Gọi K giao điểm EN FM Hãy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn Giải tóm tắt:

a) Dễ dàng chứng minh EMNFNM 120 Mặt khác EMO ONF ME MOME MN

b) MNE  NFM MNENFM FMO  

mà MKN 180  0MNE NMF  1800FMO NMF  1800600 1200không đổi

K thuộc cung trịn chứa góc 1200 dựng đoạn thẳng MN = R khơng đổi Từ suy K điểm cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM FN cắt I ta chứng minh MN vị trí cho AM = MN = NB = R

Bµi 5: Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng

              

3 3

a b c

1 b c c a a b

Giải tóm tắt: áp dụng BĐT CauChy ta cã

     

   

   

   

3

3

a b c a b c 3a

3

1 b c 8 b c 8

tương tự cộng lại

        

 

   

     

3 3

a b c a b c

1 b c c a a b

Mµ a b c  3 abc3 3 ruy ®pcm DÊu “=” x¶y a = b = c =

Giới thiệu số đề thi vào lớp 10 tỉnh

SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 24/ 06/2008

Bài : (2 điểm) Cho biểu thức P =  

a b b a

ab :

b a

ab b

a

 

 

a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa rút gọn P

b/ Tính giá trị P a = 15 6  3312 b = 24

Bài : (2 điểm)

a/ Cho hệ phương trình

  

  

 

2 m y mx

m my x

2

Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2  2x  y >

b/ Giải phương trình x2  x 

x

+ 2

x

 10 =

Bài : (2 điểm)

Một ô tô quãng đường AB dài 80 km thời gian định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh dự định 10 km/h, quãng đường cịn lại tơ chạy chậm dự định 15 km/h Biết ô tô đến B quy định Tính thời gian tơ hết qng đường AB

Bài : (3 điểm)

Gọi C điểm nằm đoạn thẳng AB (C  A, C  B) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I (I  A), tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P

1/ Chứng minh:

b/ AI.BK = AC.BC c/  APB vuông

2/ Cho A, I, B cố định Tìm vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn

Bài : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008

- HẾT -

Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1: Giám thị 2:

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN TỐN QUẢNG NGÃI

Ngày thi 24-6-2008

-

Bài 1: Cho biểu thức P =  

a b b a

ab :

b a

ab b

a

 

 

a) P có nghĩa a > ; b > a  b

P =

ab ) b a ( ab b

a

ab b ab

a 

 

  

=   ( a b)

b a

b

a

   

= a  b

b) Với a = 15 6  3312 = 3 62  32 62 = = 3  6+ 3  6=  +  =

Với b = 24 =

Do P = a  b =  = 

Bài 2:

a) Cho hệ phương trình

  

  

 

) (

m y mx

) ( m

3 my x

2

Từ(1) ta có x = 3m  my (3) Thay (3) vào (2): m(3m  my)  y = m-2   3m2  m2y  y = 2(m2 + 1)  (m2 + 1)y = 2(m2 + 1)

Vì m2 + > với m nên y =

1 m

) m (

2

 

Thay y = vào (3) ta có x = 3m  m.2 = m

Vậy nghiệm (x ; y) hệ phương trình (x = m ; y = 2)

Để x2  2x  y > m2  m  >  (m  1)2  ( 3)2 >  (m   3).(m  1+ 3) >

                               m m m m                            m m m m          m m

Vậy m > + m <  hệ phương trình cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2  2x  y >

b) Giải phương trình x2  x 

x

+ 2

x

 10 = (1) Điều kiện x 

Phương trình (1)  (x2 + 2

x

)  (x +

x

)  10 =  (x2 + 2

x

+ )  (x +

x

)  12 =

 (x +

x

)2  (x +

x

)  12 = (*)

Đặt y = x +

x

Phương trình (*) trở thành : y2  y  12 =  y1 =  ; y2 =

Với y =   x +

x

=   x2 + 3x + =  x1 =

5 

; x1 =

5 

Với y =  x +

x

=  x2  4x + =  x3 = + ; x4 = 

Các giá trị x vừa tìm thỏa mãn x 

Vậy nghiệm số (1) : x1 =

5 

; x1 =

5 

; x3 = + ; x4 = 

Bài 3:

Gọi x (km/h) vận tốc dự định ô tô từ A đến B ( x> 15)

Thời gian ô tô dự định từ A đến B

x 80

(h)

Vận tốc ô tô ba phần tư quãng đường AB x + 10 (km/h)

Thời gian ô tô ba phần tư quãng đường AB

10 x

60  (h)

Vận tốc ô tô phần tư quãng đường AB x  15 (km/h)

Thời gian ô tô phần tư quãng đường AB

15 x

20  (h)

Ơ tơ đến B quy định nên ta có phương trình :

10 x

60

 + x 15 20

 = x 80



10 x

3

 + x 15

 = x

 3x(x  15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x  15)

 4x2  35x = 4x2  20x  600  15x = 600  x = 40 (thỏa mãn điều kiện)

Do vận tốc dự định ô tô 40 km/h

Bài 4:

1 a/ P nằm đường trịn tâm O1

đường kính IC  IPC = 900 Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù)  CPK = 900

Do CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nên CPKB nội tiếp đường trịn tâm O2

đường kính CK

b/ Vì ICK = 900  C1 + C2 = 90

 AIC vuông A  C1 + A1 = 90

 A1 + C2 có A = B = 90

Nên  AIC  BCK (g.g)



BK AC BC

AI

  AI BK = AC BC (1)

c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt chắn cung PC)

Trong (O2) có B1 = K1 (gnt chắn cung PC)

Mà I2 + K1 = 90

(Vì  ICK vng C)  A1 + B1 = 900, nên  APB vuông P

2/ Ta có AI // BK ( vng góc với AB, nên ABKI hình thang vng

Do SABKI =

.AB.(AI + BK)

Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn  BK lớn

Từ (1) có AI BK = AC BC  BK =

AI BC AC

Nên BK lớn  AC BC lớn

Ta có  AC  BC2   AC + BC  AC.BC  AC.BC 

2 BC AC 

 AC.BC 

2 AB

 AC.BC 

4 AB2

Vậy AC BC lớn AC BC =

4 AB2

 AC = BC =

2 AB

 C trung điểm AB

Vậy SABKI lớn C trung điểm AB

Bài 5:

Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008  Cách :

Từ 1003x + 2y = 2008  2y = 2008  1003x  y = 1004 

2 x 1003

Vì y >  1004 

2 x 1003

>  x <

1003 2008

Suy < x <

1003 2008

x nguyên  x  {1 ; 2}

Với x =  y = 1004 

2 1003

 Z nên x = loại

Với x =  y = 1004 

2 1003

=  Z+ nên x = thỏa mãn

Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1  Cách :

Vì x ; y số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008  1003x < 2008

 x <

1003 2008

< Do x  Z+  x  {1 ; 2}

P

K

I

C B

A

2

2

1

1

1

O2 01

x y

Với x =  2y = 2008  1003 = 1005  y =

2 1005

 Z+ nên x = loại

Với x =  2y = 2008  2006 =  y =  Z+ nên x = thỏa mãn Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1

-

SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN THI: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 26/ 06/2008

Bài : (2 điểm)

Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10 a/ Chứng minh với m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x1

+ x2

+ x1x2 m thay đổi

Bài : (2 điểm)

a/ Giải phương trình :

6 x x x 15

x        

b/ Chứng minh : Với a ; b khơng âm ta có a3 + b3  2ab ab

Bài : (2 điểm)

Một phòng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp 400 nên phải kê thêm hàng ghế ngồi thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế ngồi

Bài : (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC

a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp xác định tâm I đường tròn

b/ Vẽ đường kính AK đường trịn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng

c/ Giả sử BC =

4

AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R

Bài : (1 điểm)

Cho y =

1 x

1 x x2

  

, Tìm tất giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên

- HẾT -

Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1: Giám thị 2:

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN TỐN QUẢNG NGÃI

Ngày thi 26-6-2008

-

Bài 1:

a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 nghiệm số phương trình: x2 = 4mx + 10  x2  4mx  10 = (1)

Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 cắt hai điểm phân biệt

b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 =  10

F = x1

+ x2

+ x1x2 = [(x1 + x2)

 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)

 x1x2 = 16m

+ 10  10 Dấu “ = ” xảy 16m2 =  m =

Vậy GTNN F = 10 m =

a/ Giải phương trình: x 15 x 1  x  3 x 1  Điều kiện x   x 1 x 1.4 16  x 1 x 1.2  6

  x 1 42   x 1  22   x 1 4 x 1  6

 x 1 6  x 1 0  x  =  x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x =

b/ Với a , b  ta có:  a  b2   a + b  ab

Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2  ab) = (a + b).[(a + b)2  3ab]  ab[(2 ab)2  3ab]  a3 + b3  ab(4ab  3ab) = ab.ab = 2ab ab

Dấu “ = ” xảy a = b

Vậy với a, b khơng âm ta có a3 + b3  2ab ab

Bài 3:

Gọi x (hàng) số hàng ghế ban đầu phòng họp (x nguyên, dương)

Do

x 360

(ghế) số ghế ban đầu hàng

x + (hàng) số hàng ghế lúc dự họp phịng họp

Do

1 x

400

 (ghế) số ghế lúc dự họp hàng

Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình :

1 x

400   x

360

=  x2  39x + 360 =

Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện

Vậy ban đầu phịng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi Hoặc ban đầu phịng họp có 15 hàng ghế, hàng có 24 ghế ngồi

Bài 4:

a/ Ta có BD CE hai đường cao cua ABC Nên BEC = BDC = 900

Suy BCDE nội tiếp đường tròn

b/ Ta có BH // CK (cùng vng góc với AC) Và CH // BK (cùng vng góc với AB) Nên BHCK hình bình hành

Do hai đường chéo BC HK giao trung điểm đường

Mà I trung điểm BC  I trung điểm củaHK Nên H, I, K thẳng hàng

c/ Gọi F giao điểm AH BC

Ta có  ABF  AKC (g.g) 

KC BF AK AB

  AB KC = AK BF (1)

Và  ACF  AKB (g.g) 

KB CF AK AC

  AC KB = AK CF (2) Cộng (1) (2) theo vế ta có: AB KC + AC KB = AK BF + AK CF

= AK.(BF + CF) = AK.BC

Mà BC =

4

AK  AB KC + AC KB = AK

4

AK =

4

AK2 =

4

.(2R)2 = 3R2

Bài 5:

Với x   ta có y =

1 x

1 x x2

  

= x  +

1 x

1 

D

B A

O

F I

H

Với x  Z x +  Z Để y  Z

1 x

1

  Z  x +  { ; 1}

 x + =   x =  (thỏa mãn điều kiện)  x + =  x = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy y có giá trị nguyên x =  ; x =

-

ĐỀ THI TS VÀO 10 TỈNH HẢI DƯƠNG Năm học : 2008 – 2009

Khoá thi ngày 26/6/2008 - Thời gian 120 phút

Câu I: (3 điểm)

a) 5.x 450

b) x(x + 2) – =

2) Cho hàm số y = f(x) =

2 x

2

a) Tính f(-1)

b) Điểm M 2; 1 có nằm đồ thị hàm số khơng ? Vì ?

Câu II: (2 điểm)

1) Rút gọn biểu thức

P = a a

a a a

   

 

   

   

 

    với a > a  Câu III: (1 điểm)

Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ

hai số cơng nhân đội thứ

3 số cơng nhân đội thứ hai Tính số cơng nhân đội

lúc đầu

Câu IV: (3 điểm)

Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F

1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM  AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2

Câu V: (1 điểm)

Cho biểu thức :

B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008

Tính giá trị B x =

2

 

- HÕt -

Họ tên thí sinh: Số báo danh Giám thị số (họ tên kí): Giám thị số (họ tên kí):

Gii Cõu I:

b) x(x + 2) – =  x2 + 2x – =

’ = + =   ' Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 =  1

2) a) Ta có f(-1) =

2 ( 1)

2





b) Điểm M 2; 1 có nằm đồ thị hàm số y = f(x) =

2 x

2 Vì  

 2

f

2

 

Câu II:

1) Rút gọn: P = a a

a a a

   

 

   

   

 

    =

     

  

a a a a

a

a a 2 a 2

    



 

=    

a a a a

a

a a

    



 =

6 a

a a

 



2) ĐK: ’ >  + 2m >  m >

2 

Theo đề : 1 x 121 x 22  5 x x1 22x12x22 5

 1x x1 22x1x222x x1 5

Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m

 + 4m2 + + 4m =  4m2 + 4m =  4m(m + 1) =  m = m = -1 Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m)

Vậy m =

Câu III:

Gọi số công nhân đội thứ x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai 125 – x (người)

Sau điều 13 người sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ lại x – 13 (người) Đội thứ hai có số cơng nhân 125 – x + 13 = 138 – x (người)

Theo ta có phương trình : x – 13 =

3(138 – x)

 3x – 39 = 276 – 2x  5x = 315  x = 63 (thoả mãn) Vậy đội thứ có 63 người

Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người)

Câu V:

Ta có x =  

  

2

1 1

2 2 2



 

 

  

 x2 = 2

4 

; x3 = x.x2 =

8 

; x4 = (x2)2 = 17 12

16 

; x5 = x.x4 = 29 41

32 

Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – = 29 41

32 

+ 17 12

16 

- 5

8 

+

2 

-

= 29 41 34 24 25 35 20 20 16

8

        = -1

Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009

M F

E

D

B O C

A

3) Xét hai tam giác ACF ECB có góc C chung , AE900 Do hai tam giác ACF ECB đồng dạng

 AC EC CE.CF AC.CB

CF CB  (1)

Tương tự ABD AEC đồng dạng (vì có BAD chung, CADB 180 BDE)

 AB AE AD.AE AC.AB

AD AC  (2)

Từ (1) (2)  AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2

1) Ta có FAB900(Vì FA AB)



BEC90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  BEF900

 FAB FEB 180

Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800)

2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên

 

AFB AEB

2

  sđ AB Trong đường trịn

(O) ta có AEB BMD

  sđ BD

Do AFBBMD Mà hai góc vị trí so le nên AF // DM Mặt khác AF

Đề thi vào 10 THPT chuyên ngoại ngữ (ĐHNN)

( năm học 2008-2009)

Câu 1: (2 điểm) cho biểu thức

P=

    

  

  

 

x y y x

y x x

y y x

y x

y x

y y

x y x

  

2

Ch­ng minh P nhận giá trị nguyên vơí x,y thoả mÃn điều kiện

x> 0,y> 0,và xy

Câu 2: (3 điểm )

1) Giải PT: x13 x2 13 x2 3x2

2) Tìm x,y số nguyên thảo mãn đẳng thức x2- xy –y +2 =

C©u : (3 ®iĨm )

Cho nưa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm cung AB Gọi K trung điểm

đoạn thẳng BC Đường thẳng qua hai điểm A K cắt (O)tại điểm M ( MA ) Kẻ CH vuông góc với AM

tại H Đương thẳng OH cắt đường thẳng BC N , đường thẳng MN cắt (O) D (D≠M )

1) CM : Tø gi¸c BHCM hình bình hành

2) CM: OHC OHM b»ng

3) CM : ®iĨm B,H,D thẳng hàng

Câu 4: ( điểm )

Tìm tất nghiệm nhỏ -1 cña PT

)

(

2

  

x x x

Câu :( 1điểm )

Cho a,b số không âm thoả mÃn a2 b2 2> Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc

) ( ) (

3b a b b a b a

a

M    

HÕT

SỞ GD- ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Mơn thi: Tốn

Ngày thi: 27/6/2007

Thời gian làm bài: 30 phút (không kể phát đề)

PHẦN THI TRẮC NGHIỆM:

1 Hai đường thẳng: (2 2) 5

y m xm ymx3m7song song với giá trị m là:

a/1 b/ c/ –2 d/ –1

2 Phương tình bậc hai

3x 4xmcó hai nghiệm x1, x2 thoả x13x2thì giá trị m là:

a/ m = b/ m = c/ m = d/ m=2

3 Phương trình 2007 2006 2005 2004

x x x x

   có nghiệm là:

a/ x  2007 b/ x 2007 c/ x  2008 d/ x 2008

4 Cho hàm số y = ax2 , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm sau điểm thuộc đồ thị hàm số trên?

a/ A(1;

 ) b/ B(1;

2) c/ C(

1

 ;1) d/ D(1

2;1)

5 Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) giá trị a b là: a/ a = -2; b = b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = d/ a =2;b = -3 Phương trình bậc hai  

1 2

x   x  có hai nghiệm là:

a/  2; 1 b/ 2;1 c/  2;1 d/ 2; 1

7 Giá trị biểu thức 1

7



 

bằng:

a/ b/ -4 c/ 2 d/ 2

8 Hệ phương trình 2007

2007

x y

x y

  

 

 

 

có nghiệm là:

a/ 1; 2007 1  b/  2007 1;1  c/  2007;1 d/1; 2007

9 Cho hàm số y1 2007x2008, x x  1 2007 giá trị y là:

a/ b/ -2 c/ 2 2007 d/ 2007

10 2006 2007 x xác định

a/ 2007 2006

x  b/ 2007

2006

x  c/ 2006

2007

x  d/ 2006

2007 x 

11 Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là:

a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm

12 Cho đường thẳng a điểm O cách a cm Vẽ đường trịn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a đường tròn (O) là:

a/ b/ c/ d/

13 Một hình thang ABCD (AB // CD) có Bˆ2Cˆ số đo Bˆ là:

a/ 800 b/ 1000 c/ 1200 d/ 600

14 Cho tam giác ABC vng A có AB 3AC Ta có sinBˆ bằng: a/

3 b/

3

2 c/

2

2 d/

1

15 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp ˆ

80

A  Số đo Cˆbằng:

a/ 800 b/ 600 c/ 1200 d/ 1000

16 Biết O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng:

a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300

17 Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ là:

a/

24 cm b/

96 cm c/

12 cm d/

48 cm

18 Biết điểm A thuộc đường trịn đường kính BC Khi số góc BAC bằng:

a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600

19 Biết độ dài đường trịn 12cm Vậy diện tích hình trịn bằng: a/ 2

36 cm b/

24 cm c/

144 cm d/

36 cm

20 Các khẳng định sau, khẳng định đúng?

a/ Trong đường tròn, hai dây cách tâm b/ Trong đường trịn, dây nhỏ dây gần tâm c/ Trong đường tròn, dây gần tâm dây nhỏ

d/ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây âý

Câu 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức A :

1 1

x x

x x x x x x

   

      

    

   

với x 0và x 1

a/ Rút gọn biểu thức A

b/ Tính giá trị biểu thức A x  4

c/ Tìm giá trị x để A > Câu 2: (1,5 điểm)

Cho hai hàm số: y = x2 y = –x +2

a/ Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị

Câu 3: (1 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0

a/ Chứng minh phương trình cho ln ln có nghiệm với m b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình cho thoả hệ thức 2

1 10

x x 

Câu 4: (3 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C đường thẳng AB cho B trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M N

a/ chứng minh tứ giác CDOE tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác b/ chứng minh tam giác CDE tam giác

c/ Chứng minh CD2 = CM.CN

d/ Tính đọ dài cung DOE diện tích hình trịn ngoại tiếp tư giác

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009

Ngày thi : 26/6/ 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN - ĐỀ CHUNG

( Thời gian làm bài: 120phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) có

phương án Hãy viết vào làm phương án mà em cho ( cần viết chữ ứng với phương án trả lời )

Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho đường thẳng d1: y = 2x +1 d2: y = x – 1.Hai đường thẳng cho

cắt tai điểm có toạ độ là:

A (-2;-3) B ( -3;-2) C (0;1) D (2;1)

Câu 2: Trong hàm số sau đây,hàm số đồng biến x < ?

A y = -2x B y = -x + 10 C y = x2 D y = ( - 2)x2

Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị hàm số y = 2x + hàm số y = x2 Các đồ thị cho cắt tại điểm có hồnh độ là:

A -3 B -1 -3 C D -1

Câu 4: Trong phương trình sau đây, phương trình có tổng nghiệm 5?

A x2 – 5x +25 = B 2x2 – 10x - = C x2 – = D 2x2 + 10x +1 =

Câu 5: Trong phương trình sau đây, phương trình có hai nghiệm âm?

A x2 + 2x +3 = B x2 + 2x – 1=0 C x2 + 3x + 1=0 D x2 + =0

Câu 6: Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) có OO’ = 4cm ; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn cho:

A Cắt B.Tiếp xúc C Ở D Tiếp xúc

Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán

kính bằng:

A 5cm B 2cm C 2,5cm D cm

Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 5cm Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ

cho bằng:

A 30cm2 B 30cm2 C 45cm2 D 15cm2

Bài 2( 1,5 điểm)

Cho biểu thức P = :

1

x x x

x x x x

 

 



 

  

 

với x  Rút gọn P

2 Tìm x để P <

Bài (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 + 2mx + m – = Giải phương trình m =

2 Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương

Bài ( 3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O;R) tai M N.Gọi S giao điểm đường thẳng BM AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh:

1 Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK = HA.HM KM tiếp tuyến đường tròn (O;R)

3 Ba điểm H,N,B thẳng hàng

Bài ( 1,5 điểm)

Giải hệ phương trình

2

2 12

xy y

xy x

   

 

  



SỞ GD - ĐT QUẢNG NGÃI KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2008 – 2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN THI: TOÁN

Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008

Bài 1: (2 điểm)

1) Giải phương trình:

15 x x

x

x x

x

2

2 

    

2) Giải hệ phương trình:

    

 



 



3 x y x x y

3 y x y y x

Bài 2: (2 điểm)

1) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 ab + bc + ca ≤ Chứng minh rằng: < a + b + c ≤

2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + 28n2

 số nguyên A số phương

Bài 3: (2 điểm)

1) Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x2 + 2y2 – z2

2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số x1 x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c =

Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc +

Bài 4: (4 điểm)

Cho hai đường tròn (O1; R1) (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A B cho số đo góc

O1AO2 lớn 90

.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến

đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M giao điểm AB CD

1) Chứng minh:

AD AC BA BC BD BA

 

2) Gọi H, N trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC

3) Tính tỉ số

MD MC

theo R1 R2

4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O1) (E tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO1 cắt đường

tròn (O1) F (O1 nằm C F) Gọi I hình chiếu vng góc A đường thẳng EF J

trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O1) K Chứng minh đường thẳng CO1 tiếp tuyến

đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC 5)

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

MÃ ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán

Thêi gian lµm bµi :150 ( Đề gồm 05 câu, 01 trang)

Bài 1: Rót gän biĨu thøc sau :

P =

6 2

6

2 2

2

  

 

  



x x

x x

x x

Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình sau:

a)

    

 

 

2

2 2

x xy

y x

b) 1x 4x 3

Bµi 3: Chøng minh r»ng :

        2009

2007 2008

2007 4015

1

3

1

2

1

1

1

 

   

 

 

Bài : BC dây cung khơng đường kính đường tròn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC

cho t©m O nằm tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H

a) Chứng minh tam giác AEF ABC ng dng

b) Gọi A' trung điểm cña BC, chøng minh AH = 2OA'

c) Gäi A1 trung điểm EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA'

d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí A để tổng (EF + FD + DE) lớn

Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi

Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc <

Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm

HD01T- 08 - TS10CT Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

Bµi 1: (2,5 ®iĨm)

Cã : A =  2 3 2

2 2          x x x x x

cho 0,25 ®iĨm

A =

 2 3

2    x x

cho 0,25 ®iĨm

Tương tự có:

B =

 32 2

6 2         x x x x x

cho 0,25 ®iĨm

Từ Tập xác định x0 vàx9 cho 0,25 điểm Ta có P = A+B =

    32 2

6 2        x x x x =     

 3 32 2

3 3         x x x x x x

cho 0,5 ®iĨm

=

 92 2

18 2          x x x x x x x

Cho 0,25 ®iĨm

=   

  

9 2 2        x x x x

Cho 0,25 ®iĨm

VËy P =

9   x x

Víi x0 vµ x9 Cho 0, 25 điểm

Bài ( 4,5 điểm)

a, Tõ hÖ

         2 2 x xy y x

 xy +x24x 2 2y2 cho 0,25 ®iĨm

0   

 x xy y (*) cho 0,25 ®iĨm

- NÕu y = ta :

    2 2 x x

hệ vô nghiệm cho 0,25 ®iĨm

- NÕu y ≠ ta cã : (*)  2          y x y x

cho 0,25 ®iĨm

          y x y x

cho 0,5 ®iĨm

      2x2 y2

y x hay          2 y x y x

cho 0,25 ®iĨm

Giải hệ đầu ta (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm Vậy hệ cho có nghiệm x = y = x = y = -1 cho 0,25 điểm b) Điều kiện -  x  cho 0,25 điểm Phương trình tương đương với : (vì vế không âm)

9

4

5  xx2  cho 0,25 ®iĨm  43xx2 2

cho 0,25 ®iĨm  4- 3x - x2 = cho 0,25 ®iĨm

 x2 +3x = cho 0,25 ®iĨm

 x(x + 3) = cho 0,25 điểm  x = x = -3 cho 0,25 điểm Vậy phương trình có nghiệm x = x = -3 cho 0,25 điểm

Bµi : (3®iĨm)

Ta cã víi n  th×

     4 1 2       

 n n

n n

n n

n cho 0,5 ®iÓm

<  

 

1 1 2       n n n n n n

cho 0,5 ®iĨm

Từ ta có :

Sn =

    2 1 1

2       

  n n n

< 1- 4 4 1       

 n n n

n cho 0,75 ®iĨm

= 1-2 2    n n

n cho 0,5 ®iĨm

VËy Sn <

2  n

n

cho 0,25 điểm

áp dụng cho n = 2007 ta cã S2007 <

2009 2007

Bài : Hình vẽ cho 0,25 điểm

a) Chứng minh AEF đồng dạng  ABC

Có E, F nhìn BC góc vng nên E, F thuộc đường trịn đường kính BC

Cho 0,25 ®iĨm

 góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE) cho 0,25 điểm   AEF đồng dạng  ABC (g.g) cho 0,25 điểm b) Vẽ đường kính AK

Cã BE AC(gt)

KC  AC (V× gãc ACK = 900 ) cho 0,25 ®iĨm

 BE // KC cho 0,25 điểm Tương tự CH // BK cho 0,25 điểm Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 im

HK đường chéo nên qua trung ®iĨm A' cđa ®­êng chÐo BC  H, A', K thẳng hàng

cho 0,25 điểm

XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K

OA = OK cho 0,25 ®iĨm Nên OA' đường trung bình

AH = A'O cho 0,25 ®iĨm

c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tương ứng, tỉ số bán kính đường trịn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có:

cho 0,25 ®iĨm

 AEF đồng dạng  ABC  ' R R

=

1 ' AA AA

cho 0,25 ®iĨm

Trong R bán kính ng trũn tõm O

R' bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF cho 0,25 điểm cũng đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 ®iĨm

 R AA1 = R' AA' =

2 AH

.AA' cho 0,5 ®iĨm

= AA'

2 ' 2OA

= AA' OA' cho 0,25 ®iĨm

VËy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm

d, Trước hết ta chứng minh OA  EF vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn tâm O

Ta cã OA  Ax cho 0,25 ®iĨm Vì góc xAB = Góc BCA

mà góc BCA = gãc EFA (cmt)

 gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iĨm

 EF// Ax cho 0,25 ®iĨm

 OA  EF cho 0,25 điểm Chứng minh tương tự có OB  DF OC  ED

Ta cã SABC = SOEAF + SOFBD +SODCE

K

C B

A

E F

D x

O H

=

2

OA EF +

2

OB FD +

2

OC.DE cho 0,25 ®iĨm

=

2

R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R)

 R (EF + FD + DE) = SABC cho 0,25 ®iÓm

 EF + FD + DE =

R SABC

Nªn EF + FD + DE lín nhÊt  SABC lín nhÊt cho 0,25 điểm Lại có SABC =

2

BC.h (h đường vng góc hạ từ A đến BC)  SABC lớn  h lớn nht

ABC tam giác cân A điểm giưÃ cung AB lớn

cho 0,25 điểm

Bài 5: (3 điểm)

Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nên ta có: < a; b, c1 (cho 0,25 ®iĨm)

 a -  ; b -  0; c-1  cho 0,25 ®iÓm  ( a -1) (b -1) (c -1) 0

 ( ab - a - b +1) ( c -1) 0 cho 0,25 ®iĨm  abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 0 cho 0,25 ®iĨm  2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c)  cho 0,25 ®iÓm  2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2  cho 0,25 ®iĨm  2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)2  cho 0,5 ®iĨm

 2abc - 2(ab + ac + bc) + a2 + b2 + c2 +2(ab + ac + bc)  (cho 0,25 ®iĨm)  2abc + a2 + b2 + c2  (®pcm) cho 0,25 ®iĨm

Chú ý: có cách giải khác mà làm cho điểm tối đa

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

M· ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán

Thêi gian lµm bµi :150 phó

Bµi 1:

a, Chøng minh r»ng nÕu ab ta luôn có

ab b a ab b a

   



2

2 = a  b

b, Phân tích đa thức M = a10a5 1

thành nhân tử

Bài 2:

a, Giải hệ phương trình

 

    

   

 

1 )

(

2 ) (

2

2

y xy x y x

y y x

b, cho x, y  vµ x + y =

Chøng minh 8(x4+ y4) + 5 xy

Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax3bx2 cxd

a) Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên

b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d số ngun đa thức f(x) có nhận giá trị ngun vi bt

kỳ giá trị nguyên x không? sao?

Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm đơí xứng với D qua AB, G

làgiao điểm AB với DE, từ giao diểm H AB với CE hạ HI vuông góc với BC I tia CH, IG cắt

nhau K Chứng minh KC tia phân giác cña gãc IKA

Bài 5: Chứng minh phương trình

x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x +

4

=

Vô nghiệm tập hợp số thùc

……… HÕt………

Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm

HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ

Bài 1: (3 điểm)

a, Vỡ vế khơng âm nên bình phương vế trái ta có:

( ab  ab

2 + ab

b a

 

2 )

2

=

= (

2 b a 

)2+ ab + (a + b) ab + (

2 b a 

)2 + ab - (a + b) ab +2 ab)2 ab

Cho 0,25 ®iĨm

= 2(

2 b a 

)2 + 2ab + 2(

2 b a 

)2 - 2ab Cho 0,25 ®iĨm

( v× (

2 b a 

)2  ab) Cho 0,25 ®iĨm

= 4(

2 b a 

)2 = (a + b)2 = (a + b)2 Cho 0,5 ®iĨm

(v× ab   a; b cïng dÊu)

 ab  ab

2 + ab

b a

 

2 = a + b Cho 0,25 ®iĨm

(Víi ab  0) b, Ta cã A = a10 + a5 +

= a10 - a + a5 - a2 + a2 + a +

= a(a3 - 1)(a6 + a3 + 1) + a2(a3 - 1) + a2 + a + Cho 0,25 ®iĨm

= a(a - 1)( a2 + a + 1)( a6 + a3 + 1) +

+ a2(a - 1)(a2 + a + 1) + a2 + a + Cho 0,25 ®iĨm

= (a2 + a + 1) a(a - 1)(a6 + a3 + 1) + a2(a - 1) + 1) Cho 0,25 ®iĨm

= (a2 + a + 1)(a8 - a7+ a5 - a4+ a3 - a + 1) Cho 0, ®iĨm

Bài 2: (5 điểm)

a, Nếu x = thay vµo ta cã

    

 

1

2

y y y

v« lý Cho 0,25 ®iĨm

VËy x≠ Đặt y = tx Cho 0,25 điểm

Ta cã

 

    

 

 

 

1 )

(

2 ) (

2 2 2

x t tx x tx x

tx tx x

Cho 0,25 ®iĨm



 2

2 ) (

) (

t t t

t t

  



=

1

Cho 0,25 điểm

( t ≠ -1 hƯ míi cã nghiƯm) Cho 0,25 ®iĨm



2

) (

t t

t t  



= Cho 0,25 ®iĨm

 t + t2 = - 2t + 2t2 Cho 0,25 ®iĨm

 t2 - 3t + = Cho 0,25 ®iĨm

 

 

 

2 t t

Cho 0,25 ®iĨm

 x = y =

3 2

Cho 0,25 ®iĨm

* nÕu t =  y = 2x

 18x3 = Cho 0,25 ®iÓm



      

 

3

9

9

y x

Tãm l¹i hƯ cã nghiƯm

x = y =

3 2

Hc ( x =

3 9

; y =

3 9

) Cho 0,25 ®iĨm

b, áp dụng bất đẳng thức

2 2 b a 

 (

2 b a 

)2 Víi mäi a, b Cho 0,25 ®iĨm

ta cã

2 4

y x 

 (

2 2

y x 

)2 

2 )

( 

  

  x y

Cho 0,25 ®iÓm



2 4

y x 

 (

2 y x 

)4 =

16

Cho 0,5 ®iĨm

 8( x4+ y4)  Cho 0,25 điểm lại có xy (

2 y x 

)2 =

4

Cho 0,25 ®iĨm



xy

 Cho 0,25 ®iĨm

VËy 8( x4+ y4) +

xy

 + = Cho 0,25 ®iĨm

Bµi 3: ( ®iĨm)

a, Ta có f(0) = d số nguyên Cho 0,25 ®iĨm

f(1) = a + b + c + d số nguyên Cho 0,25 ®iĨm

 f(1) - f(0) = a + b + c số nguyên Cho 0,25 ®iĨm

f( -1) =- a + b - c + d số nguyên Cho 0,25 ®iÓm

f(2) = 8a + 4b + 2c + d số nguyên Cho 0,25 điểm

VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d số nguyên Cho 0,25 điểm

f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d số nguyên Cho 0,25 điểm

Mà

 

  

d b

c b a

2 số nguyên

Nên 6a số nguyên Cho 0,25 điểm

Ta có điều phải chứng minh

b, Đảo l¹i:

f(x) = ax3 + bx2+ cx + d

= (ax3 - ax) + (bx2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iĨm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm

=

6

) ( ) (

6a x x x

+

2 ) ( 2bx x

+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm

= 6a

6 ) ( ) (x x x

+ 2b

2 ) ( x x

+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm

Vì (x - 1)x( x + 1) tích số nguyên liên tiếp nên nã chia hÕt cho

 6a

6 ) ( ) (x x x

số nguyên Cho 0,25 điểm

x(x -1) tích số nguyên liên tiếp nên nã chia hÕt cho

nªn 2b

2 ) ( x x

số nguyên Cho 0,25 điểm

Và (a + b + c)x số nguyên Cho 0,25 điểm

d số nguyên

f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên 4số 6a; 2b; a + b + c; d số nguyên

Cho 0,25 điểm

Bài 4: ( ®iĨm)

(Vẽ hình 0,5 điểm)

Ta có G I nhìn HD góc vng nên HGID tứ giác nội tiếp

E

B

I D

C A

H G K

Cho 0,5 ®iĨm

 Gãc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID) Cho 0,5 ®iĨm

Hay gãc GHD = gãc KIB Cho 0,5 ®iĨm

lại có góc GHD = góc GHK ( E I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm

 gãc KIB = gãc KHB ( cïng = gãc GHD) Cho 0,25 điểm

Nên KHIB tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm

Vì góc HIB = 900  gãc HKB = 900 Cho 0,5 ®iĨm

Ta cã gãc B1 = gãc K1 (Do KHIB tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 ®iĨm

Lại có K A nhìn BC góc vng nên AKBC tứ giác nội tiếp

Cho 0,5 ®iĨm

 gãc K2 = gãc B1 Cho 0,5 ®iĨm

Từ ta có KC phân giác góc IKA Cho 0,5 điểm

Chú ý học sinh vẽ hình khác cho điểm tương tự

Bµi 5: (2 ®iĨm)

* Nếu x vế phải nhận giá trị dương nên khoảng phương trình vơ nghiệm

Cho 0,5 ®iĨm

* NÕu < x <

Ta cã vÕ tr¸i = 2

4

1

1

x x x

x x

x x

x           Cho 0,25 ®iĨm

= 2 3

2

2

1

1

1

1

x x x

x

x   

    

     

 

     

 

 Cho 0,25 ®iĨm

cũng ln dương nên khoảng phương trình vơ nghiệm

* NÕu x  ta cã

VÕ tr¸i = x5 (x - 1) + x3(x - 1) + x(x - 1) +

4

Cho 0,25 ®iĨm

Cũng số dương nên khoảng phương trình vơ ngiệm Cho 0,25 điểm

Tóm lại phương trình cho vơ nghiệm tập hợp số thực R

(Cho 0,25 ®iĨm)