Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9.. Khi làm bài cần lưu ý: + Ta vẫn[r]
(1)Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương lPHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Dạy học giải toán là vấn đề trọng tâm dạy học môn Toán trường THCS Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu việc học tập môn Toán Do việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh là việc làm cần thiết Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, phương pháp giải toán, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi phương pháp và hay để dạy cho học sinh Từ đó học sinh trau dồi tư logic, sáng tạo qua việc giải các bài toán Ở chương trình toán học sinh đã làm quen định lý Vi – ét và các ứng dụng định lý Viet Đây là nội dung quan trọng không thể thiếu các kì thi THPT và HSG lớp 9, nó đóng vai trò quan trọng không chương trình toán học lớp mà còn chương trình toán học THCS Song qua việc giảng dạy Toán trường T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán Đứng trước vấn đề đó, tôi sâu vào nghiên cứu đề tài: “Một số dạng toán ứng dụng định lý Vi-ét” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học toán và kích thích hứng thú học tập học sinh II PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ Phạm vi chuyên đề: - Phần kiến thức chương IV – đại số lớp - Áp dụng cho HS đại trà lớp Mục đích chuyên đề: - Trao đổi với giáo viên cùng môn phương pháp giả và số dạng toán ứng dụng định lý Vi–ét lớp - Giúp học sinh có thêm công cụ và phương pháp giải số dạng toán ứng dụng định lí Vi-ét - Giúp HS có kiến thức chuẩn bị cho kì thi vào lớp 10 (2) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định lí Vi-ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1, x2 thì b S = x1 + x = a c P = x1 x2 = a ( a ≠ vµ Δ ≥ ) ⇒ −b ¿ x 1+ x2 = a c x1 x 2= a { ¿ * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = (*) c - Nếu a + b + c = thì (*) có nghiệm là x1 = 1, nghiệm là x2 = a c - Nếu a - b + c = thì (*) có nghiệm là x1 = - 1; nghiệm là x2 = a Định lý đảo: Nếu có số x1, x2 thoả mãn x x S x x P thì chúng là nghiệm số phương trình: t2 - st + p = (Điều kiện số x1, x2 là s2 - 4p 0) Chú ý: * Trước áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm a Δ 0(Δ' 0) *a+b+c=0x=1;a-b+c=0x=-1 (3) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương x y S xy P thì , là nghiệm phương trình: t2 - St * Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phương trình + P = II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có nghiệm là – Cách làm: Xét tổng a + b + c a – b + c Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) b) x +8 x −11=0 Giải: a) Ta có: a+b +c=3+ 8+(− 11)=0 2 x +5 x+ 3=0 nên phương trình có nghiệm là x 1=1 , nghiệm còn lại là c 11 x 2=− = a b) Ta có: a −b +c=2 −5+3=0 nên phương trình có nghiệm là x 1=−1 , nghiệm còn lại là c x 2= = a 1.2 Cho phương trình bậc hai, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm, tìm nghiệm còn lại và hệ số chưa biết phương trình: x −2 px +5=0 có nghiệm 2, tìm p và nghiệm còn lại phương trình Ví dụ 2: a) Phương trình b)Phương trình x +5 x +q=0 có nghiệm 5, tìm q và nghiệm còn lại phương trình c) Phương trình x −7 x +q=0 biết hiệu hai nghiệm 11 Tìm q và hai nghiệm phương trình d) Phương trình x − qx+50=0 có hai nghiệm đó nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó Giải: x 1=2 vào phương trình ta − p+5=0 a) Thay ⇒9 − p=0⇒ p= Phương trình đã cho trở thành Từ x x 2=5 ⇒ x 2= 5 = x1 x2 − ( x+5=0 9 x 1+ x 2= ⇒ x2 = − x 1= − 2= ) 2 2 Câu b tương tự (4) Vũ Thị Phát Giả sử hai nghiệm phương trình là c) Theo đề bài ta có x − x 2=11 Theo định lí Vi-et ta có Giải hệ phương trình x 1+ x 2=7 ¿ x − x 2=11 x 1+ x 2=7 ta ¿{ ¿ x 1=9 , x2 =−2 x x 2=9(− 2)=−18 q= x x 2=50 ⇒2 x =50 ⇔ x2 =25⇔ x 2=5 ¿ x2 =−5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ d) Ta có Trường THCS Đồng Cương x , x có vai trò x 1=2 x Theo định lí Vi-et ta có Với x 2=5 thì x1 10 , q=x 1+ x = 10 + = 15 Với x 2=5 thì x 1=−10 , q=x 1+ x = (- 10) + (- 5) = - 15 * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm phương trình: a) x +24 x +19=0 b) x −(m+5)x +m+4=0 Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại phương trình a) x mx 35 0 biết nghiệm – b) x (m 4) x m 0 biết nghiệm – c) mx 2(m 2) x m 0 biết nghiệm Dạng 2: Lập Phương trình bậc hai 2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là và Giải: (5) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương ¿ S=x + x 2=3+2=5 Theo Định lí Vi-et ta có P=x1 x 2=3 2=6 ¿{ ¿ Vậy và là hai nghiệm phương trình: \Ví dụ 2: Cho x1 = √3+1 ; x Sx P 0 hay x −5 x +6 =0 1+ √ x2 = Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2 Giải: Ta có x1 = Nên √ 3+1 ; x2 = √3+1 x1.x2 = x1 + x2 = √3+1 1+ √ 1+ √ + 1+ √ 1− √ √ 3− = ( 1+ √ ) ( − √ ) = = = √3 Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x2 2x2 - Hay √3 √3 x+ =0 x+1=0 2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ 1: Cho phương trình x −3 x +2=0 có hai nghiệm Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm x1 ; x2 y 1=x 2+ 1 ; y 2=x + x1 x2 - Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải: Cách 1: + Tính trực tiếp y ; y cách: Tìm nghiệm x ; x phương trình đã cho thay vào biểu thức tính y1 ; y2 Phương trình x −3 x +2=0 có a+b +c=1+(−3)+2=0 nên phương trình có hai nghiệm là x 1=1; x 2=2 Ta có y 1=x 2+ 1 1 =2+ =3 ; y 2=x + =1+ = x1 x2 2 + Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y ; y (dạng 2.1) (6) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương S= y + y 2=3+ = 2 P= y y 2=3 = 2 Phương trình cần lập có dạng: ( y − Sy+ P=0 hay y2 − 9 y + =0 2 y − y + 9=0 ) Cách 2: y ; y mà áp dụng Định lí Vi-et tính S= y + y ; P= y y sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y ; y Không tính Theo Định lí Vi-et ta có: S= y + y 2=x + ( x 2+ x +x 1 1 + x1 + =( x 1+ x )+ + =(x + x 2)+ =3+ = x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 ( ) 1 1 ).(x + )=x1 x 2+1+1+ =2+ 1+ 1+ = x1 x2 x1 x2 2 Phương trình cần lập có dạng: Ví dụ 2: Cho phương trình nghiệm y 1=x 1+ y − Sy+ P=0 hay x +5 x − 6=0 có hai nghiệm y2 − 9 y + =0 ( y − y + 9=0 ) 2 x ; x Hãy lập phương trình bậc hai có các 1 ; y 2=x + x2 x1 Nhận xét: - Nếu làm theo Cách 1: Phương trình x +5 x − 6=0 có Δ=52 −4 (− 6)=97 nên có hai nghiệm vô tỉ là: x 1= − 5+ √ 97 −5 − √ 97 ; x= 6 Việc tính y 1=x 1+ y ; y , S, P cũng phức tạp và nhiều thời gian 6 = ; y =x + = x 5+ √ 97 2 x 5− √ 97 S= y + y 2=− ; P= y y 2=− Phương trình cần lập: ( hay y − Sy+ P=0 hay y 2+ y − =0 2 y + y −3=0 ) (7) Vũ Thị Phát - Cách thích hợp phương trình ban đầu có nghiệm Trường THCS Đồng Cương x ; x là hữu tỉ đó nên chọn Cách để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể: Theo Định lí Vi-et, ta có: − x1 + x2 1 1 5 S= y + y 2=x + + x2 + =(x 1+ x )+ + =( x + x 2)+ =− + =− x2 x1 x1 x2 x1 x2 −2 ( P= y y 2=¿ (x 1+ ) 1 1 ).(x + )=x1 x 2+1+1+ =−2+1+1+ =− x2 x1 x1 x2 −2 y − Sy+ P=0 hay Phương trình cần lập: y 2+ y − =0 (hay y 2+ y −3=0 ) VÝ dô 3: T×m c¸c hÖ sè p vµ q cña ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = cho hai nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ x1 − x 2=5 x 31 − x 32=35 { m·n hÖ: Gi¶i: §iÒu kiÖn = p2 - 4q (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iÒu kiÖn: x1 − x 2=5 x 31 − x 32=35 { ( x − x 2) =25 2 ( x1 − x ) ( x 1+ x x2 + x ) =35 { ( x1 + x ) − 4x x 2=25 ( ( x 1+ x )2 −2 x1 x 2+ x x2 )=35 { { ❑1 q p − =25 p −q=7 Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - và p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị này thoả mãn (*) * Bài tập áp dụng: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) và -3 c) b) 36 và – 104 1+ √ và 1− √ Bài 2: Cho phương trình y 1=x ; y =x2 d) √ 2+ √3 và √ 2+ √ x −5 x − 1=0 có hai nghiệm x ; x Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm x −2 x − 8=0 có hai nghiệm x ; x Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm Bài 3: Cho phương trình y 1=x − 3; y =x2 −3 Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm nghịch đảo các nghiệm phương trình x + mx− = (8) Vũ Thị Phát Bài 5: Cho phương trình Trường THCS Đồng Cương 2 x −2 x − m =0 có hai nghiệm y 1=2 x1 −1 ; y 2=2 x2 −1 Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x ; x Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm x ; x thỏa mãn ¿ x − x 2=2 x − x =26 ¿{ ¿ 3 Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2 - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x ; x tìm Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích chúng Ví dụ 1: Tìm hai số a và b biết S = a + b = - 3, P = ab = - Giải: Hai số a và b là nghiệm phương trình Giải phương trình trên ta x 2+3 x −4=0 x=1 ; x 2=− Vậy a = thì b = - 4; a = - thì b = * Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = Giải: Hai số a và b là nghiệm phương trình x −3 x +6=0 Δ=32 −4 6=9 − 24=−15<0 Phương trình vô nghiệm nên không tồn hai số a và b thỏa mãn đề bài * Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét 2 S − P=3 − 6=9 −24=− 15<0 nên không tồn hai số a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hai số biết tổng S = và tích P = 20 Bài 2: Tìm hai số x, y biết: a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66 2 Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x y 25; xy 12 Dạng 4: Dạng toán biểu thức liên hệ các nghiệm phương trình bậc hai * Cách biến đổi số biểu thức thường gặp: (9) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương 2 2 x1 x2 ( x1 x1 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 x13 x23 ( x1 x2 )( x12 x1 x2 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x14 x2 ( x12 ) ( x2 ) ( x12 x2 ) x12 x2 [( x1 x2 ) x1 x2 ] x12 x2 1 x x2 x1 x2 x1 x2 Và tương tự học sinh có thể biến đổi nhiều biểu thức theo S x1 x2 ; P x1 x2 4.1 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et để tính x ;x Ví dụ 1: Cho phương trình x x 15 0 có hai nghiệm hãy tính a) x x2 1 x x2 b) x1 x2 x x1 c) Giải: Ta có a) x1 x2 b c 8; x1 x2 15 a a x12 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 82 2.15 64 30 34 1 x x2 x x2 x1 x2 15 b) x1 x2 x12 x2 34 x x x x 15 1 c) Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm Bài tập áp dụng: x ;x Bài 1: Cho phương trình x 72 x 64 0 có hai nghiệm hãy tính a) x x2 1 x x2 b) x ;x Bài 2: Cho phương trình x 14 x 29 0 có hai nghiệm hãy tính a) x x2 x1 x2 x x2 b) (10) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương 4.2 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc tham số Ta làm theo các bước sau: + Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm + Viết hệ thức x1 ; x2 ( a 0; 0 ) S x1 x2 ; P x1 x2 Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng các vế ta hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc tham số Ví dụ 1: Cho Phương trình mx (2m 3) x m 0 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 x1 ; x2 không phụ thuộc vào m Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm a 0 0 m 0 28m 0 x1 ; x2 thì m 0 m 28 2m 3 x1 x2 m 2 m (1) x x m 1 (2) m m b) Theo định lí Vi-et ta có: 12 x1 x2 4( x1 x2 ) 8(3) m m 12 (2) 1 x1 x2 3 x1 x2 (4) m m (1) Từ (3) và (4) ta được: Ví dụ 2: Gọi 4( x1 x2 ) 3 3x1 x2 hay 4( x1 x2 ) 3x1 x2 11 x1 ; x2 là nghiệm phương trình (m 1) x 2mx m 0 Chứng minh biểu thức A 3( x1 x2 ) x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Nhận xét: (11) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình nội dung không khác Ví dụ Khi làm bài cần lưu ý: + Ta tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm + Biểu thức A có giá trị là số xác định với m thỏa mãn điều kiện Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm a 0 0 m 0 5m 0 x1 ; x2 thì m 1 m 2m x1 x2 m x x m m Theo định lí Vi-et ta có: Thay vào A ta được: A 3( x1 x2 ) x1 x2 = 2m m 8 0 m m m m A 3( x x ) x x 2 Vậy = với m 1 và hay biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: x ;x x ;x Bài : Cho phương trình x (m 2) x 2m 0 có hai nghiệm Hãy lập hệ thức liên hệ cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) 2 Cho phương trình x 2(m 1) x m 0(1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm tất các giá trị m để (1) có nghiệm c) Tìm hệ thức kiên hệ hai nghiệm x1 ; x2 (1) cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m 4.3 Tìm giá trị tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước Cách làm: + Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 ( a và 0) + Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m (12) Vũ Thị Phát + Đối chiếu với điều kiện để xác định m Trường THCS Đồng Cương Ví dụ 1: Cho phương trình mx 6(m 1) x 9(m 3) 0 Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm a 0 ' 0 m 0 9( m 1) 0 x1 ; x2 m 0 m 6(m 1) x1 x2 m x x 9(m 3) m Theo định lí Vi-et ta có: 6(m 1) 9(m 3) x x2 x1 x2 m m Từ 6m 9m 27 3m 21 m 7 (TMĐK) Vậy với m = thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình mx 2(m 4) x m 0 Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 0 Nhận xét: Ví dụ này khác ví dụ 11 chỗ hệ thức không chứa sẵn thức Vi –et để tìm tham số m x1 x2 và x1 x2 nên ta không thể áp dụng hệ Vấn đề đặt là ta phải biến đổi biểu thức đã cho biểu thức chứa x1 x2 và x1 x2 rồi tìm m ví dụ trên m 0 16 m x ;x 15 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: (m 4) x1 x2 m x x m m Theo định lí Vi-et ta có: (1) x1 x2 3x2 2( x1 x2 )2 9 x1 x2 x x2 0 2( x1 x2 ) 3x1 Từ (2) (13) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Thế (1) vào (2) ta phương trình m 127m 128 0 , phương trình ẩn m Có hai nghiệm là: m1 1; m2 128 (TMĐK) x ;x Vậy với m 1 m 128 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 0 2 x ;x Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 3x 4(m 1) x m 4m 0 có hai nghiệm thỏa mãn 1 ( x1 x2 ) x1 x2 Nhận xét: Với bài toán này ta cần xét điều kiện ' 0 vì a 3 0 m m 4m 0 m (*) Hay 1 ; x x2 đó là m 2 - Cần thêm điều kiện P để có - Một sai lầm học sinh hay mắc phải đó là biến đổi 1 ( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 Hai vế đẳng thức chứa x1 x2 nên rút gọn để x1 x2 Điều này sai vì có thể có trường hợp x1 x2 = Do đó ta phải chuyển vế để đưa dạng tích: ( x1 x2 )(2 x1 x2 ) 0 4( m 1)( m 4m 5) 0 m 1 m m 5 - Ta thấy m = - không thỏa mãn (*) nên loại Vậy m = m = là giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho phương trình x 2(m 1) x 2m 0 Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với m Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: (14) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương 2 ( x 2mx1 2m 1)( x 2mx2 2m 1) Giải: a) ' = m2 – 4m + = (m – 2)2 + > 0, m pt luôn có nghiệm phân biệt với m x1 2(m 1)x1 2m 0 x 2(m 1)x 2m 0 b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên: x1 2mx1 2m 4 2x1 x 2mx 2m 4 2x x1 x 2m x x 2m Theo định lí Vi-et ta có : Theo bài ta có : (x12 2mx1 2m 1)(x 22 2mx 2m 1) 2x1 2x 16 x1 x 4x1x 16 2m 2m m Bài tập áp dụng: x ;x Bài 1: Cho phương trình x (m 1) x 5m 0 Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 1 Bài 2: Cho phương trình mãn mx −2(m −1)x +3( m−2)=0 Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm x1 ; x2 thỏa x 1+2 x 2=1 Bài 3: Cho phương trình x2 – 2mx + 4m – = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = Bài 4: Cho phương trình x (2 m 1) x m 0 a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 1 2 x ;x Bài 5: Cho phương trình x (2m 1) x m 0 Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 5( x1 x2 ) 0 Bài 6: Cho phương trình x x m 0 (*) (x là ẩn số) (15) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện: x14 x24 x13 x23 2 HD: ∆’ = 16 8m 8(1 m ) 4 3 Khi m = 1 thì ta có ∆’ = tức là : x1 x2 đó x1 x2 x1 x2 thỏa Điều kiện cần để phương trình sau có nghiệm phân biệt là: m hay m Khi m hay m ta có 2 2 2 x14 x24 x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1.x2 x1 x2 x12 x22 x12 x22 x1.x2 (Do x1 khác x2) x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) x1.x2 S ( S 2P ) S P 1(12 P) 12 P (Vì S = 1) P 0 m2 0 (vô nghiệm) Do đó yêu cầu bài toán m 1 Bài 7: Cho phương trình : Tìm 3x 3m x 3m 1 0 m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 6 Bài 8: Cho phương trình x – (m+1)x + m – = Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn HD: x1 x2 4 3 x1 x2 32 (m 1) 4(m 5) (m 1)2 20 0m Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – 3 Theo giả thiết: x1- x2 = và x1 –x2 = 32 nên ta biến đổi: 3 2 2 x1 –x2 = (x1- x2)(x1 + x1x2 + x2 ) =4((x1+x2) – x1x2) = 4((m+1) – (m-5)) = 32 (16) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương m +m+6=8 m 1 m Cả hai giá trị m=1 m=-2 thỏa mãn Bài 9: Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông có cạng huyền HD: (x12 + x22 = 5) Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 HD: Ta có ' m 1 4m m 1 0 phương trình luôn có nghiệm với m S 2 m 1 P 4m Áp dụng định lí Vi-et ta có: Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 và x1x2 + (x1 + x2) m - m2 – 12 = 0, và : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = và 6m = 12 và m= Bài 11: Cho phương trình x 3x m 0 (1) (x là ẩn) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 3 x ,x HD: Tìm m để thỏa mãn x12 x22 3 9 4m m Pt (1) có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Viet (1) 2 2 x1 x2 3, x1 x2 m Bình phương ta x1 x2 ( x1 1)( x2 1) 27 x12 x22 x12 x22 x12 x22 25 Tính (2) x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 9 2m và đưa hệ thức trên dạng m 2m 10 m m2 2m 10 m2 16m 64 18m 54 m Thử lại thấy m thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1) Bài 12: Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = (17) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2mx = x + 2mx = Đ/a: Vậy m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 : Bài 13: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + = (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 2(m 1)x 3m 16 4.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nghiệm Cách làm: Cũng tương tự dạng bài trên ta áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi biểu thức đã cho rồi tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất) Ví dụ 1: Cho phương trình : x (m 1) x m m 0 Gọi nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm giá trị m để x12 x22 đạt giá trị nhỏ x x2 x1 x2 x1 x2 (m 1) 2( m m 2) Giải: Ta có: = m 2m 2m2 2m 3m 4m 5 11 3 m m 3(m 2m ) 3 9 3(m Vậy GTNN x12 x22 2 11 11 ) 3 11 là m = Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - = (1) đó m là tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN Giải: Ta có ’ = (m+4)2 – (m2-8) = m2 + 8m + 16 – m2 + = 8m + 24 Để phương trình (1) có nghiệm thì: ’ 0 8m + 24 0 m - Ta có: x1 + x2 = 2(m+4); x1x2 = (m2 – 8) A = x1 + x2 – 3x1x2 = 2m+ - 3(m2 – 8) = -3m2 + 2m + 32 97 97 97 ) 3(m ) 3 3 A = -3(m2 - m + (18) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương 97 Vậy Max A = Dấu ‘=’ xảy m = Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2x – m = (1) (x ; là ẩn, m là tham số) Tìm tất các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x 1, x2 là hai nghiệm (có thể nhau) phương trình (1) Tính biểu thức P = x14 + x24 theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ Giải: Phương trình (1) là phương trình bậc (vì hệ số x2 là 0) có ’ = + m 0 m – Vậy phương trình (1) có nghiệm m –1 Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = –2 ; x1.x2 = – m Do đó, P = x14 + x24 = (x12 + x22)2 – x12.x22 = [(x1 + x2)2 - x1.x2] – 2(x1.x2)2 = (4 + 2m)2 – 2m2 = 2m2 + 16m + 16 Vì m –1 m + nên ta có: P = 2m2 + 16m + 16 = 2(m2 + 2m + 1) + 12m + 14 = 2(m + 1)2 + 12(m + 1) + Suy P đạt giá trị nhỏ là và m + = m = –1 Ví dụ 4: Cho a, b, c là số thực thoả mãn điều kiện: a a c b a a b c abc Tìm GTNN a (Xác định b, c a min) bc a b c abc a a a Giải: Từ giả thiết bài toán ta có: Theo Viet: b, c là nghiệm phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = = (a3 - a)2 - 4a2 a2 [(a2 - 1)2 - 4] (a2 - 3) (a2 + 1) a2 - a2 a Vậy: amin = (a > 0) a = b = c = b = c = 3 (19) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Ở bài toán trên vai trò a, b, c nên có thể yêu cầu tìm của1 các biến a, b, c Ví dụ 5: Cho phương trình : x mx m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ và giá trị B x1 x2 x x22 x1 x2 1 Ta có: Theo hệ thức Vi -ét thì : B lớn biểu thức sau: x1 x2 m x1 x2 m x1 x2 x1 x2 2( m 1) 2m 2 x x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B Vì m m 2m 1 m2 m 1 0 m 1 1 m 1 m2 2 m2 0 B 1 Vậy max B=1 m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m 2m m m 4m m m 2 2 2 B 2 m 2 m 2 m 2 m 2 0 Vì Vậy B m 2 2 m 2 0 B m 2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn là m và B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với m B 2m Bm 2m B 0 m2 (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) luôn có nghiệm với m thì (20) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương 2 B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 hay 2 B 0 B 0 2 B 0 B 0 B B 1 B B 1 2 B 1 max B=1 m = Vậy: m 2 B Bài tập áp dụng: 2 x ;x Bài 1: Tìm m để phương trình x 2(m 4) x m 0 có hai nghiệm thỏa mãn: a) A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn b) B x12 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ x ;x Bài 2: Cho phương trình x (4m 1) x 2( m 4) 0 có hai nghiệm Tìm m để A ( x1 x2 ) đạt giá trị nhỏ Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 ) Cho phương trình m x m x (m 2m 2) 0 (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình (1).Tìm giá trị lớn x1 x2 Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) 2 Cho phương trình x (3m 1) x 2( m 1) 0 (1) ,(m là tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với m c) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm (1), tìm giá trị nhỏ biểu thức A x12 x2 2 x ;x Bài 5: Cho phương trình x 2( m 1) x m 0 Tìm m để hai nghiệm thỏa mãn x12 x2 10 (21) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Bài 6: Cho phương trình x (m 2) x 0 , với m là tham số Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho biểu thức 2 Q = ( x1 1)( x2 4) có giá trị lớn HD: m Do x1 x2 nên với m Vậy pt có nghiệm phân biệt với m x2 8 x1 Q ( x12 1)( x22 4) ( x12 1)( (Do x12 64 16 4) 68 4( x12 ) 68 4.8 x1 x1 = 36 16 x12 8) Ta có Q = 36 và x1 Khi x1 2 thì m = 4, x1 = -2 thì m = Do đó ta có giá trị lớn Q = 36 và m = hay m = Bài 7: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - = Tìm m để phương trình x1, x2 thỏa mãn : A = x21 + x22 - x1 - x2 đạt GTNN B = x21 + x22 - x1 x2 đạt GTNN Bài 8: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – =0 (x là ẩn, m là tham số) Tìm tât các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x2 cho tổng P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Dạng 5: Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Khi xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai có thể xảy các trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương cùng âm) Dấu các nghiệm liên quan với ; S; P nào? Ta có bảng xét dấu sau: x ;x Dấu hai nghiệm Điều kiện Trái dấu x1 x2 >0 Cùng dấu Cùng dương 0 S P <0 >0 >0 (22) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương ( x1 x2 ; x1 x2 ) Cùng âm x x ; x1 x2 ) ( 0 <0 >0 Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy cho biết dấu các nghiệm? a )5 x x 0 b) x 13 x 40 0 c)3x x 0 Cách làm: Tính S; P theo hệ thức Vi – et rồi dựa theo bảng xét dấu trên Giải: a) P x1 x2 c b S x1 x2 a= a ; nên hai nghiệm cùng dấu âm Tương tự với phần b và c b) P = 40 > 0; S= 13 > nên hai nghiệm cùng dấu dương c) P 0 nên hai nghiệm trái dấu Ví dụ 2: Cho phương trình x (m 1) x m m 0 ( m là tham số) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu với m 1 3 ac m m m m (m ) 4 Giải : Ta có 2 1 1 3 m 0 m 1 ac 1 2 2 4 P 0, m Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu với m Ví dụ 3: Xác định m để phương trình x (3m 1) x m m 0 có hai nghiệm trái dấu (23) Vũ Thị Phát Giải:Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: m m2 m P 0 Trường THCS Đồng Cương m 7 2m3 (m 3)(m 2) Vậy với -2 < m < thì phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình x 2(m 1) x 2m 0 (1) a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với m b) Tìm giá trị m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm giá trị m để (1) có hai nghiệm cho nghiệm này gấp đôi nghiệm Bài 2: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 ) Cho phương trình x x m 0 a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương Bài 3: Cho phương trình x 2(m 3) x 4m 0 a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài : Xác định m để phương trình a) mx 2( m 2) x 3(m 2) 0 có hai nghiệm cùng dấu b) ( m 1) x x m 0 có ít nghiệm không âm * Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có: + hai nghiệm trái dấu + hai nghiệm cùng dương C KẾT LUẬN (24) Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Ứng dụng định lí Vi-ét việc giải toán là vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt và kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo các em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy và kết hợp nhần nhuyễn, logic các bài toán khác Ứng dụng định lí Vi-ét có nhiều dạng toán, nhiên đây tôi mạnh dạn đưa dạng toán nhằm phù hợp với đối tượng học sinh đại trà Mặc dù đã cố gắng, xong hẳn không tránh khỏi sai sót nội dung và hình thức, mong nhận ý kiến đóng góp để chuyên đề tôi thêm hoàn thiện Xin trân thành cảm ơn! Đông Cương, ngày 10 tháng 02 năm 2014 Người viết Vũ Thị Phát (25) Vũ Thị Phát Cương Trường THCS Đồng (26)