Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức .
Ví dụ. Hãy xét ma trận
Phương trình đặc trưng được cho bởi
Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi
Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức.
Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực. Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng. Ta hãy xem nó được tính toán như thế nào.
Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính.
A X = (1+2i) X
Website: www.caotu95.blogspot.com
26
Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8. Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn một phương trình
(1-i)x - y = 0 Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c. Do đó, ta có
trong đó c là một số tùy ý.
Nhận xét. Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng .
Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên. Vì các phần tử của ma trận A là số thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp của nó cũng là một giá trị riêng. Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng , khi đó vector , có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng
. Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi
trong đó c là một số tùy ý.
Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên.
Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông. Giả sử là một giá trị riêng phức của A. Để tìm các vectơ riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:
1. Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
2. Giải hệ phương trình. Các phần tử của X sẽ là những số phức .
Website: www.caotu95.blogspot.com
27
Nói chung, một ma trận vuông với các phần tử là những số thực vẫn có thể có giá trị riêng phức. Điều này là bình thường. Ta có thể đặt câu hỏi liệu có tồn tại lớp các ma trận chỉ có giá trị riêng thực. Điều này chỉ đúng với ma trận đối xứng. Chứng minh rất kỹ thuật và được trình bày trong một trang khác. Nhưng đối với ma trận vuông cấp 2, chứng minh là khá dễ . Chúng ta sẽ trình bày dưới đây.
Xét ma trận vuông đối xứng
Phương trình đặc trưng của nó được cho bởi
Đây là một phương trình bậc hai. Nghiệm của nó (là những giá trị riêng của A) phụ thuộc vào các dấu hiệu của biệt thức
Sử dụng các thao tác đại số, ta có
Vì là một số dương nên ta suy ra các giá trị riêng của A là các số thực.
Nhận xét. Lưu ý rằng ma trận A sẽ có một giá trị riêng, tức là phương trình đặc trưng có nghiệm kép,
nếu và chỉ nếu . Nhưng điều này chỉ xảy ra nếu a = c và b = 0. Nói cách khác, ta có
A = a I2
Chéo hóa Ma trận
Khi giới thiệu về các giá trị riêng và các vectơ riêng , ta sẽ đặt câu hỏi khi nào thì ma trận vuông đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước một ma trận vuông A, có tồn tại một ma trận chéo D sao cho ? (tức là có tồn tại một ma trận P khả nghịch sao cho A = P-1DP).
Website: www.caotu95.blogspot.com
28
Giả sử tồn tại một ma trận chéo D sao cho A = P-1DP. Ta có
tức là đồng dạng với . Vì vậy, chúng có cùng một phương trình đặc trưng. Do đó A và D có cùng một giá trị riêng. Vì các giá trị riêng của D là các số trên đường chéo, và giá trị riêng duy nhất của A là 2, nên ta phải có
Như vậy ta có, A = P-1DP = 2 I2, . Điều này là vô lý. Do đó, A không đồng dạng với ma trận chéo.
Định nghĩa. Một ma trận chéo hóa được nếu nó là đồng dạng với một ma trận chéo.
Nhận xét. Ở mục trước, ta đã thấy rằng các ma trận
có ba giá trị riêng khác nhau. Và ta cũng đã chưng minh A là chéo hóa được. Trong thực tế, có một kết quả chung dọc theo những dòng.
Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n . Giả sử rằng A có n giá trị riêng phân biệt. Khi đó A là chéo
hóa được. Hơn nữa, nếu P là ma trận với các cột C1, C2, ..., và Cn là n vectơ riêng của A, khi đó ma trận
P-1AP là ma trận chéo. Nói cách khác, ma trận A là chéo hóa được.
Bài toán: Điều gì sẽ xảy ra với các ma trận vuông cấp n có ít hơn ít hơn n giá trị riêng?
Chúng ta có câu trả lời một phần cho bài toán này.
Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta làm
các bước sau:
Website: www.caotu95.blogspot.com
29
trong đó, mỗi i , i = 1, …, k , có thể là số thực hoặc số phức. Với mỗi i, lũy thừa ni được gọi là
số bội (đại số) của giá trị riêng i .
3. Với mỗi giá trị riêng, tìm các vectơ riêng tương ứng. Chẳng hạn, với các giá trị riêng i, các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính
Sau đó giải hệ trên, ta sẽ tìm được vectơ X chưa biết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ, tức là
,
trong đó, j , j = 1, …, mi là các hằng số tùy ý .Số nguyên mi được gọi là số bội hình học của i. 4. Nếu với mỗi giá trị riêng số bội đại số bằng số bội hình học, khi đó ta có
điều này suy ra nếu ta đặt các vectơ riêng Cj, tìm được trong 3., cho tất cả các giá trị riêng, ta sẽ có đúng n vectơ. Đặt P là ma trận vuông cấp n mà các cột là các vectơ riêng Cj. Khi đó P là khả nghịch và
là một ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng của A. Vị trí của các vectơ Cj ở trong P đồng nhất với vị trí của các giá trị riêng tương ứng trên đường chéo của D. Điều này suy ra A đồng dạng với D. Vì vậy, A chéo hóa được.
Nhận xét. Nếu số bội đại số ni các giá trị riêng i là bằng 1, khi đó rõ ràng là chúng ta có mi = 1. Nói cách khác, ni = mi.
5. Nếu có giá trị riêng nào mà số bội đại số không bằng số bội hình học, khi đó A không chéo hóa được.
Website: www.caotu95.blogspot.com
30
Ví dụ. Ta xét ma trận
Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta thực hiện theo các bước như trên. 1. Đa thức đặc trưng của A là
Như vậy, -1 là một giá trị riêng với số bội là 2 và -2 là một giá trị riêng với số bội là 1.
2. Để biết được liệu A có chéo hóa được không, ta chỉ quan tâm đến giá trị riêng -1. Thật vậy, các vectơ riêng tương ứng vơi giá trị riêng -1, được cho bởi hệ
Hệ này giảm xuống còn một phương trình -y + z = 0. Đặt và y = , khi đó ta có
Vì số bội hình học của -1 là 2 bằng số bội đại số của nó. Vì vậy, ma trận A là chéo hóa được. Để tìm ra P ma trận, chúng ta cần phải tìm vectơ riêng ứng vơi giá trị riêng -2. Hệ phương trình tương ứng là
Website: www.caotu95.blogspot.com 31 Đặt , khi đó ta có Đặt khi đó Nhưng nếu ta đặt khi đó
Chúng ta thấy rằng nếu A và B là đồng dạng, khi đó An có thể biểu diễn dễ dàng qua Bn. Thật vậy, nếu ta có A = P-1BP, khi đó ta sẽ có An
= P-1BnP. Đặc biệt, nếu D là một ma trận chéo thì Dn
dễ dàng tính được. Đây là một trong những ứng dụng của sự chéo hóa ma trận. Trong thực tế, các bước giải trên có thể được sử dụng để tìm căn bậc hai và căn bậc ba của một ma trận. Thật vậy, xét ma trận ở trên
Website: www.caotu95.blogspot.com 32 Đặt khi đó Do đó A = P D P-1 Đặt Khi đó ta có B3 = A Nói cách khác, B là một căn bậc ba của A.
Biên soạn: Cao Văn Tú
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com