Công thức xác suất thống kê

Công thức xác suất thống kê

PHẦN I: XÁC SUẤT1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:1.1. Công thức cộng xác suất: 1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)1.2. Công thức nhân xác suất:1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)  1 2 1 2 1 1 2 1( . ) ( ). ( / ) . ( / )n n np A A A p A p A A p A A A A−=1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và A1.3.1.( )x x n xn np x C p q−=, p=p(A), q=1-p1.4. Công thức xác suất đầy đủ: 1 1 2 2( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) . ( ). ( / )n np F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +1.5. Công thức Bayes: ( . ) ( ). ( / )( / )( ) ( )i i iip A F p A p F Ap A Fp F p F= =2. Biến ngẫu nhiên:2.1. Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc) 2.2. Hàm mật độ xác suất (( )f x) (biễn ngẫu nhiên liên tục)2.2.1.( )f x≥02.2.2.( ) 1f x dx+∞−∞=∫2.2.3.( ) ( )bap a x b f x dx≤ ≤ =∫2.3. Hàm phân phối xác suất (( )F x) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục)2.3.1.( )F x=p(F<x)2.3.2.'( ) ( )F x f x=2.3.3.( ) ( )xF x f t dt−∞=∫2.4. Kỳ vọng 2.4.1.1 1 2 2( ) .n nE x x p x p x p= + + +(từ bảng phân phối xác suất)2.4.2.( ) ( )E x xf x dx+∞−∞=∫2.5. Phương sai:2.5.1.2 2( ) ( ) [ ( )]V x E x E x= −2.5.2.2 2( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx+∞ +∞−∞ −∞= −∫ ∫3. Một số phân phối xác suất thông dụng: 3.1. Phân phối chuẩn tổng quát: 2~ ( ; )X Nµ σ3.1.1.22( )21( )2xf x eµσσ π−−=3.1.2.( ) 1f x dx+∞−∞=∫3.1.3.ModX MedXµ= =;2( ) , ( )E x V xµ σ= =3.1.4.( ) ( ) ( )b ap a x bµ ϕϕ ϕσ σ− −≤ ≤ = −3.1.5. Phân phối chuẩn tắc 20, 1µ σ= =3.1.5.1.~ (0,1)T N3.1.5.2.221( )2tf t eπ−=3.1.5.3. Đổi biến XTµσ−=3.1.5.4.( ) ( ) ( )p a x b b aϕ ϕ≤ ≤ = −3.2. Phân phối Poisson: ~ ( )X Pλ,λ>03.2.1.( )!kp k ekλλλ−= =3.2.2.( ) ( )E x V xλ= =3.3. Phân phối nhò thức:~ ( , )X B n p3.3.1.( ) ( ) , 1k k n kn np X k p k C p q p q−= = = + =3.3.2.0( ) 1nkp X k== =∑3.3.3.( )E x np=,0 0,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ +3.3.4. Khi n=1: ~ (1, )X B p:phân phối không-một3.3.4.1.2( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq= = =3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhò thức:3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson:n>50, p<0.1; ~ ( , ) ~ ( )X B n p X Pλ≈,npλ=. ( )!kk k n knp x k C p q ekλλ− −= = =3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn: 0.5, 0.5, ,np nq np npqµ σ≥ ≥ = =.~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈1( ) ( )kp x k fµσ σ−= =; p(1k<X<2 12) ( ) ( )k kkµ µϕ ϕσ σ− −= − 3.4. Phân phối siêu bội:~ ( , , )AX H N N n[N:tổng số phần tử, AN:Số phần tử có tính chất A trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n. .( )A Ak n kN N NnNC Cp X kC−−= =3.4.1.( ) ,ANE X np pN= =;( ) . , 11N nV X npq q pN−= = −−3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhò thức: 0.05 ~ ( , )n N X B n p≤ ⇒;( ) ,k k n kAnNp X k C p q pN−= = =3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập( ). ( )ij i jP p x q y⇔ =với mọi i,j3.6.Hiệp phương sai và hệ số tương quan:3.6.1. Hiệp phương sai(cov): cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y= −3.6.2. Hệ số tương quan,X Yρ: ,cov( , )( ) ( )X YX YX Yρσ σ=PHẦN 2: THỐNG KÊ1. Tổng thể và mẫu1.1. Thực hành tính toán trên mẫu:1.1.1. Tính trung bình (nX): 11nn iiX xn==∑1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: (nf);Anmfn=(Am:số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu)1.1.3. Tính phương sai mẫu: 2 2 211[ ( ) ]1ki iS n x n Xn= −−∑1.2. Ước lượng tham số của tổng thể: 1.2.1. Ước lượng điểm: 2 2( ) , ( ) , ( )n nE X E f p E Sµ σ= = =1.2.2. Ước lượng khoảng:1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1-α cho trước, 1 mẫu kích thước n.30n ≥,2σbiết30n ≥,2σchưa biếtX,σ1 2,X Xµ ε µ ε= − = +2.unασε=(1α−0.5-2α2uα)X,s1 2,X Xµ ε µ ε= − = +2.sunαε=(1α−0.5-2α2uα)n<30,2σbiếtn<30,2σchưa biếtNhư TH1X,s1 2,X Xµ ε µ ε= − = + ( 1, )2.nstnαε−=1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy 1α−cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu nf. Tìm 2 số 1 2,p pthoả: 1 2( ) 1p p p pα≤ ≤ = −, 1,2 np fε= m Công thức: 2(1 )f funαε−=1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có 2σchưa biết. Dựa vào 1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1-α cho trước.TH1: µchưa biết, biết 2S . Khi đó ta có 2 222 21 2( 1) ( 1)[ , ]n S n Sσχ χ− −∈ trong đó 2 21( 1, )2nαχ χ= −,2 22( 1,1 )2nαχ χ= − −TH2: µbiết. Khi đó 22 21 2( ) ( )[ , ]i i i in x n xµ µσχ χ− −∈∑ ∑, trong đó 2 21( , )2nαχ χ=,2 22( ,1 )2nαχ χ= −1.2.3. Kiểm đònh giả thuyết thống kê:1.2.3.1. Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho µ1.2.3.1.1. TH1:2σbiếtGiả thuyết thống kêWα:2σbiết (miền bác bỏ 0H)0 0:Hµ µ=1:Hµ≠0µ0{ ,XW u n uαµσ−= = >2uα}0 0:Hµ µ=1:Hµ<0µ0{XW u nαµσ−= =,u<-uα}0 0:Hµ µ=1:Hµ>0µ0{XW u nαµσ−= =,u>uα}1.2.3.1.2. TH2: 30n ≥,2σkhông biếtGiả thuyết thống kêWα(miền bác bỏ 0H)0 0:Hµ µ=1:Hµ≠0µ0{ ,XW u n usαµ−= = >2uα}0 0:Hµ µ=1:Hµ<0µ0{XW u nsαµ−= =,u<-uα}0 0:Hµ µ=1:Hµ>0µ0{XW u nsαµ−= =,u>uα} 1.2.3.1.3. TH3: n<30,2σkhông biếtGiả thuyết thống kêWα(miền bác bỏ 0H)0 0:Hµ µ=1:Hµ≠0µ0{ ,XW t n tsαµ−= = >( 1, )2ntα−}0 0:Hµ µ=1:Hµ<0µ0{XW t nsαµ−= = ,t<-( 1, )2ntα−}0 0:Hµ µ=1:Hµ>0µ0{ ,XW t nsαµ−= =t>( 1, )2ntα−}1.2.3.2. Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho tỷ lệ:Giả thuyết thống kêWα(miền bác bỏ 0H)0: 0H p p=1:H p≠0p00 0{ ,(1 )f pW u up pnα−= =−>2uα}0: 0H p p=1:H p<0p00 0{(1 )f pW up pnα−= =−,u<-uα}0: 0H p p=1:H p>0p00 0{(1 )f pW up pnα−= =−,u>uα}1.2.3.3. Kiểm đònh giả thuyết thống kê cho phương sai:1.2.3.3.1. TH1:µchưa biếtGiả thuyết thống kêWα(miền bác bỏ 0H)2 20 0:Hσ σ=21:Hσ≠20σ2220( 1){n sWαχσ−= =,2χ<21χhoặc 2χ>22χ2 2 2 21 2( 1,1 ) ( 1, )2 2,n nα αχ χ χ χ− − −= =2 20 0:Hσ σ=21:Hσ<20σ2220( 1){n sWαχσ−= =,2χ<2( 1,1 )nαχ− −2 20 0:Hσ σ=21:Hσ>20σ2220( 1){n sWαχσ−= =,2χ>2( 1, )nαχ−1.2.3.3.2. TH2:µbiết.Giả thuyết thống kêWα(miền bác bỏ 0H)2 20 0:Hσ σ=21:Hσ≠20σ2220( ){i in xWαµχσ−= =∑,2χ<21χhoặc 2χ>22χ 2 2 2 21 2( ,1 ) ( , )2 2,n nα αχ χ χ χ−= =2 20 0:Hσ σ=21:Hσ<20σ2220( ){i in xWαµχσ−= =∑,2χ<2( ,1 )nαχ−2 20 0:Hσ σ=21:Hσ>20σ2220( ){i in xWαµχσ−= =∑,2χ>2( , )nαχ1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:1.2.4.1. So sánh 2 số trung bình:1.2.4.1.1. TH1:2 21 230, 30, ,m nσ σ≥ ≥biếtGTTKWα0 1 2:Hµ µ=1 1 2:Hµ µ≠2 221 2;X YW u u um nα ασ σ  − = = >  +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ<2µ2 21 2;X YW u u um nα ασ σ  − = = < −  +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ>2µ2 21 2;X YW u u um nα ασ σ  − = = >  +  1.2.4.1.2. TH2:m<30,n<30,2 21 2,σ σbiết, X,Y có phân phối chuẩnGTTKWα0 1 2:Hµ µ=1 1 2:Hµ µ≠2 221 2;X YW u u um nα ασ σ  − = = >  +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ<2µ2 21 2;X YW u u um nα ασ σ  − = = < −  +   0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ>2µ2 21 2;X YW u u um nα ασ σ  − = = >  +  1.2.4.1.3. TH3:2 21 230, 30, ,m nσ σ≥ ≥không biếtGTTKWα0 1 2:Hµ µ=1 1 2:Hµ µ≠2 221 2;X YW u u us sm nα α  − = = >  +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ<2µ2 21 2;X YW u u us sm nα α  − = = < −  +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ>2µ2 21 2;X YW u u us sm nα α  − = = >  +  1.2.4.1.4. TH4:m<30,n<30, X,Y có phân phối chuẩn,2 21 2σ σ=không biếtGTTKWα0 1 2:Hµ µ=1 1 2:Hµ µ≠2,2 2;1 1m nX YW t t tsm nαα + −    − = = >   +    ( ) ( )2 21 221 12m s n ssm n− + −=+ −0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ<2µ( )2,2;1 1m nX YW t t tsm nαα+ −  − = = < −   +    0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ>2µ( )2,2;1 1m nX YW t t tsm nαα+ −  − = = >   +     1.2.4.1.5. TH5:m<30,n<30, X,Y có phân phối chuẩn,2 21 2σ σ≠chưa biếtGTTKWα0 1 2:Hµ µ=1 1 2:Hµ µ≠2 21 2 1 1 2 21 2 1 22 21, 1,1 22 21 2; ; , ; , ;m ns s t v t vX YW g g t t t t t v v tm n v vs sm nαα α   − −        +− = = > = = = = = + +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ<2µ( )1 2 ( 1, )1,2 21 2; ; ,nmX YW g g t t t t ts sm nα αα−−  − = = < − = =  +  0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ>2µ2 21 2;X YW g g ts sm nα  − = = >  +  1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ:GTTKWα0 1 2:Hµ µ=1 1 2:Hµ µ≠( )1 2 1 21 22; ; ,1 11f f k kW u u u f fm nf fm nα α  − = = > = =   − +    0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ<2µ( )1 2;1 11f fW u u uf fm nα α  − = = < −   − +    0 1 2:Hµ µ=1 1:Hµ>2µ( )1 2;1 11f fW u u uf fm nα α  − = = >   − +    1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:GTTKWα2 20 1 2:Hσ σ=2 21 1 2:Hσ σ≠( )( )2122221, ; 1, 1 ,1, 1sW g g f hayg f f f m n fs f n mα αα  = = < > = − − = − −   2 20 1 2:Hσ σ=2 21 1 2:Hσ σ>2122, ( 1, 1)sW g g f m nsα α = = > − −   . PHẦN I: XÁC SUẤT1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:1.1. Công thức cộng xác suất: 1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến. A p A A p A A A A−=1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và A1.3.1.( )x x n xn np x C p q−=, p=p(A), q=1-p1.4. Công thức xác suất đầy đủ: 1 1 2 2( )