Bài giải xác suất thống kê

Bài giải xác suất thống kê

BÀI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) CHƯƠNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Bài 1.1: Có ba súng I, II III bắn độc lập vào mục tiêu Mỗi bắn viên Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba I, II III 0,7; 0,8 0,5 Tính xác suất để a) có bắn trúng b) có bắn trúng c) có bắn trúng d) bắn trúng e) thứ bắn trúng biết có trúng Lời giải I 0,7 IIù 0,8 P(A1 A A ) = P(A )P(A )P(A ) = 0, 3.0, 2.0, = 0, 03 Suy P(A) = 0,22 b) Gọi B biến cố có trúng Ta có Tính toán tương tự câu a) ta P(B) = 0,47 c) Gọi C biến cố có trúng Ta có C = A1A A Tính toán tương tự câu a) ta P(C) = 0,28 d) Gọi D biến cố có trúng Ta có D = A + B + C Chú ý A, B, C xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có: P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97 e) Gỉa sử có trúng Khi biến cố B xảy Do xác suất để thứ trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/B) Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A2B) = P(B)P(A2/B) Suy P(A /B) = III 0,5 Goïi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố thứ j bắn trúng Khi A1, A2, A3 độc lập giả thiết cho ta: P(A1 ) = 0, 7; P(A1 ) = 0, 3; P(A ) = 0, 8; P(A ) = 0, 2; P(A ) = 0, 5; P(A ) = 0, a) Gọi A biến cố có trúng Ta coù A = A1 A A + A1 A A + A1 A A Vì biến cố P(A1 A A ) = P(A )P(A )P(A ) = 0, 3.0, 8.0, = 0,12; B = A1A A + A1A A + A1 A A NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG Tóm tắt: Khẩu súng Xác suất trúng P(A1 A A ) = P(A )P(A )P(A ) = 0, 7.0, 2.0, = 0, 07; A1 A A , A1 A A , A1 A A xung khắc đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có P(A) = P(A A A + A A A + A1 A A ) = P(A A A ) + P(A A A ) + P(A1 A A ) Maø A 2B = A A A + A A A nên lý luận tương tự ta Suy P(A2/B) =0,851 P(A2B)=0,4 Bài 1.2: Có hai hộp I II hộp chứa 10 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Tính xác suất để bi đỏ b) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng c) Tính xác suất để bi đỏ bi trắng d) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng có hộp I Vì biến cố A1, A2, A3 độc lập nên theo công thức Nhân xác suất ta có Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A 2B) P(B) Lời giải Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi đỏ (2 - i) bi trắng có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - A0, A1, A2 xung khắc đôi ta có: P(A ) = 0; CC C )=CC C P(A ) = = = chọn bi đỏ bi trắng Ta có: C = A1B2 + A2B1 Lý luận tương tự ta P(C) = P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933 36 45 c) Gọi C biến cố ; 45 10 P(A 10 d) Giả sử chọn bi đỏ bi trắng Khi biến cố C xảy Do xác suất để bi trắng có thuộc hộp I trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/C) Theo Công thức nhân xác suất , ta có P(A 1C) = P(C)P(A /C) - B0, B1, B2 xung khaéc đôi ta có: CC C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B0 ) = 2 = ; 45 = 24 ; 45 = 15 45 10 1 10 2 10 - Ai Bj độc lập - Tổng số bi đỏ có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo baûng sau: B0 B1 B2 A0 A1 A2 a) Goïi A biến cố chọn bi đỏ Ta có: A = A2 B2 Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: P(A) = b) Gọi B biến cố B = A0B2 + A1B1 + A2B0 Do tính xung khắc đôi biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng xác suất cho ta: P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0) Từ đây, tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ cho ta: P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133 36 15 P(A )P(B2 ) = = 0, 2667 45 45 chọn bi đỏ bi trắng Ta coù: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Suy P(A /C) = Maø P(A 1C) P(C) A1C = A1B2 neân P(A 1C) = P(A 1B2 ) = P(A )P(B2 ) = vaø Do xác suất cần tìm là: P(A1/C) = 0,1352 15 = 0, 0667 45 45 Baøi 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm sản phẩm tốt sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra cách lấy sản phẩm sản phẩm tốt dừng lại a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ b) Giả sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Tính xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu Lời giải Gọi Ti, Xi biến cố chọn sản phẩm tốt, xấu lần kiểm tra thứ i a) Gọi A biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: A = T1T2T3 Suy Lời giải P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2) = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667 b) Gọi B biến cố khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: Gọi Di, Ti, Xi biến cố chọn bi đỏ, bi trắng, bi xanh lần rút thứ i a) Gọi A biến cố rút bi trắng, bi xanh bi đỏ Ta coù: ⎡T − T − X − D A xảy ⇔ Rút ⎢ T − X − T − D ⎢ ⎢X − T − T − D ⎣ B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 Suy P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3) + P(T1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3) + P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857 c) Giaû sử khách hàng dừng lại lần kiểm tra thứ Khi biến cố B xảy Do xác suất để lần kiểm tra thứ khách hàng gặp sản phẩm xấu trường hợp xác suất có điều kiện P(X3/B) Theo Công thức nhân xác suất , ta có P(X 3B) = P(B)P(X /B) Suy P(X /B) = Mà P(X 3B) P(B) X3B = T1T2X3T4 nên P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3) = (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952 Suy A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4 Từ đây, tính xung khắc đôi biến cố thành phần, ta có: P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 ) Theo Công thức Nhân xác suất, ta có P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) = (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3) = (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66 Suy P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455 b) Gọi B biến cố bi trắng rút Ta có: ⎡D ⎢X − D B xảy ⇔ Rút ⎢ ⎢X − X − D ⎢ ⎣X − X − X − D Suy P(X3/B) = 0,3333 Bài 1.4: Một hộp bi gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh có cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hòan lại bi bi đỏ dừng lại Tính xác suất để a) bi trắng, bi xanh bi đỏ b) bi trắng rút Suy B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4 Từ đây, tính xung khắc đôi biến cố thành phần, ta có: P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4) Theo Công thức Nhân xác suất, ta coù Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2) + P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3) = 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9) = 5/9 Bài 1.5: Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm ba phân xưởng I, II III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% phân xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A ba phân xưởng I, II III sản xuất 70%, 50% 90% a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A Lời giải Tóm tắt: Phân xưởng Tỉ lệ sản lượng Tỉ lệ loại A I II III 30% 45% 25% 70% 50% 90% a) Để tính tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất ta chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm thị trường Khi tỉ lệ sản phẩm loại A xác suất để sản phẩm thuộc loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố sản phẩm phân xưởng I, II, III sản xuất Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3) = 90% = 0,9 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Suy P(B) = 0,66 = 66% Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung nhà máy sản xuất 66% b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, sản phẩm có khả phân xưởng sản xuất nhiều nhất? Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả phân xưởng sản xuất nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn sản phẩm có khả phân xưởng thứ i sản xuất nhiều Theo công thức Bayes ta có: P(A1 /B) = P(A /B) = P(A /B) = P(A1 )P(B/A1 ) 0, 3.0, 21 ; = = P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 45.0, 22, = = ; P(B) 0, 66 66 P(A )P(B/A ) 0, 25.0, 22, = = P(B) 0, 66 66 Vì P(A2/B) = P(A3/B) > P(A1/B) nên sản phẩm loại A có khả phân xưởng II III sản xuất nhiều c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong nhiều sản phẩm X) thị trường 1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A 2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A p dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có: 1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A laø 80 80 P121 (80) = C121p 80q 41 = C121 (0, 66)80 (0, 34) 41 = 0, 076 2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A 85 ∑P k = 80 121 (k) = 85 ∑C k = 80 k 121 p k q121− k = 85 ∑C k = 80 k 121 (0, 66) k (0, 34)121− k = 0, 3925 Bài 1.6: Có ba cửa hàng I, II III kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A ba cửa hàng I, II III 70%, 75% 50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả người khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? Lời giải I II III 70% 75% 50% P(A /B) = P(A1 )P(B/A1 ) (1 / 3).0, 70 ; = = P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 75 75 = = ; P(B) 0, 65 195 P(A )P(B/A ) (1 / 3).0, 50 = = P(B) 0, 65 195 Vì P(A2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) nên cửa hàng II có nhiều khả chọn Chọn nhẫu nhiên cửa hàng từ mua sản phẩm a) Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A Gọi B biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A A1, A2, A3 biến cố chọn cửa hàng I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Bài 1.7: Có hai hộp I II hộp chứa 12 bi, hộp I gồm bi đỏ, bi trắng; hộp II gồm bi đỏ, bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi bỏ sang hộp II; sau lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi a) Tính xác suất để lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II b) Giả sử lấy ba bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để ba bi lấy từ hộp I có hai bi đỏ bi trắng Lời giải P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) Theo giả thiết, P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 75% = 0,75; P(B/A3 = 50% = 0,5 Gọi A biến cố chọn bi đỏ bi trắng từ hộp II Ai (i = 0, 1, 2, 3) biến cố có i bi đỏ (3-i) bi trắng có bi chọn từ hộp I Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta coù: CC C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = C C C P(A ) = Suy P(B) = 0,65 = 65% Vậy xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại A 65% b) Giả sử mua sản phẩm loại A Theo bạn, khả khách hàng chọn cửa hàng nhiều nhất? P(A1 /B) = P(A /B) = Tóm tắt: Cửa hàng Tỉ lệ loại A P(A2/B) P(A3/B) Nếu P(Ai/B) lớn cửa hàng thứ i có nhiều khả chọn Theo công thức Bayes ta có: người 3 = ; 220 = 48 ; 220 = 112 ; 220 = 56 220 12 1 12 12 Giả sử mua sản phẩm loại A Khi biến cố B xảy Do đó, để biết sản phẩm loại A có khả khách hàng chọn cửa hàng nhiều ta cần so sánh xác suất có điều kiện P(A1/B), 3 12 a) Tính xác suất để lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 10 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3) Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C P(A / A ) = C C C 10 15 100 ; = 1365 = = 280 ; 1365 = 392 1365 15 3 15 Suy xaùc suất cần tìm P(A) = 0,2076 b) Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng Giả sử lấy bi đỏ bi trắng từ hộp II Khi biến cố A xảy Do dó xác suất để bi lấy từ hộp I có bi đỏ bi trắng trường hợp xác suất có điều kiện P(A2/A) p dụng công thức Bayes, ta có: P(A /A) = a) Gọi Aj (j = 1, 2, 3) biến cố lấy bi trắng từ hộp thứ j Khi A1, A2, A3 độc lập ; P(A ) = P(A ) = ; P(A ) = P(A ) = ; P(A ) = P(A1 ) = 180 ; 1365 15 Lời giải 112 280 P(A )P(A/A ) 220 1365 = = 0, 5030 P(A) 0, 2076 Vậy xác suất cần tìm P(A2/A) = 0,5030 Bài 1.8: Có ba hộp hộp đựng viên bi hộp thứ có bi trắng, bi đen; hộp thứ hai có bi trắng, bi đen; hộp thứ ba có bi trắng, bi đen a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi ñen 11 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com ; ; 1) Gọi A biến cố lấy bi trắng Ta có A = A1 A A Suy P(A) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048 2) Gọi B biến cố lấy bi đen, bi trắng Ta có B = A1 A A + A1A A + A1 A A Suy P(B) =0,464 3) Giả sử viên lấy có bi trắng Khi biến cố B xảy Do xác suất để bi trắng hộp thứ trường hợp xác suất có điều kiện P(A1/B) Theo công thức Nhân xác suất ta có: P(A1B) = P(B)P(A1/B) Suy P(A /B) = P(A1B) P(B) Maø A 1B = A A A nên lý luận tương tự ta P(A1B) = 0,048 Suy P(A1/B) =0,1034 b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi đen Gọi A biến cố lấy bi đen A1, A2, A3 biến cố chọn hộp I, II, III Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/ A2)+ P(A3)P(A/A3) Theo công thức xác suất lựa chọn, ta coù: 12 P(A/A1 ) = C1 C3 C5 C 0C = ; P(A/A ) = 3 = ; P(A/A ) =0 10 10 C5 p dụng Công thức Bayes sử dụng kết vừa tìm câu a) ta coù P(A /A) = Suy P(A) = 0,1667 Bài 1.9: Có 20 hộp sản phẩm lọai, hộp chứa nhiều sản phẩm, có 10 hộp xí nghiệp I, hộp xí nghiệp II hộp xí nghiệp III Tỉ lệ sản phẩm tốt xí nghiệp 50%, 65% 75% Lấy ngẫu nhiên hộp chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp a) Tính xác suất để sản phẩm chọn có sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩåm tốt Tính xác suất để sản phẩm tốt xí nghiệp I Lời giải Gọi A biến cố sản phẩm chọn có sản phẩm tốt Aj (j = 1, 2, 3) biến cố chọn hộp xí nghiệp thứ j Khi A1, A2, A3 đầy đủ, xung khắc đôi ta có: C C )= C C )= C C P(A ) = 10 = 10 ; 20 = ; 20 = 20 20 P(A 20 P(A 20 Maët khác, từ giả thiết, theo công thức Bernoulli, ta có P(A / A1 ) = C3 (0, 5)2 (1 − 0, 5) = 0, 375 P(A / A ) = C2 (0, 65)2 (1 − 0, 65) = 0, 443625 P(A / A ) = C2 (0,75)2 (1 − 0, 25) = 0, 421875 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) = (10/20).0,375 + (6/20) 0,443625 + (4/20) 0,421875 = 0,4050 b) Giả sử sản phẩm chọn có sản phẩåm tốt Khi đó, biến cố A xảy Do đó, xác suất để sản phẩm tốt xí nghiệp I xác suất có điều kiện P(A1/A) 13 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com P(A )P(A/A1 ) (10/20).0,375 = = 0, 4630 P(A) 0,4050 Bài 1.10: Có 10 sinh viên thi, có thuộc loại giỏi, trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định sinh viên lọai giỏi trả lời tất cả, sinh viên trả lời 16 câu sinh viên trung bình 10 câu Gọi ngẫu nhiên sinh viên phát phiếu thi gồm câu hỏi trả lời câu hỏi Tính xác suất để sinh viên thuộc loại Lời giải Tóm tắt: Xếp loại sinh viên Số lượng Số câu trả lời được/20 Giỏi Khá Trung bình 20 16 10 Gọi A biến cố sinh viên trả lời câu hỏi A1, A2, A3 biến cố sinh viên thuộc loại Trung bình Giỏi, Khá; Yêu cầu toán tính xác suất có điều kiện P(A2/A) Các biến cố A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi, ta có: P(A1) = 3/10; P(A2) = 4/10; P(A3) = 3/10 Theo công thức Bayes, ta coù P(A /A) = P(A )P(A/A ) P(A) Mặt khác, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta coù: P(A / A ) = C4 20 = 1; C4 20 P(A / A ) = C16C4 1820 = ; C20 4845 P(A / A ) = C10C10 210 = C20 4845 14 Suy P(A2/A) = 0,3243 Bài 1.11: Có hai hộp I II, hộp I chứa 10 bi trắng bi đen; hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp rút ngẫu nhiên bi bỏ đi, sau bỏ tất bi lại hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp III Tính xác suất để bi lấy từ hộp III có trắng, đen - Bi Cj độc lập - Tổng số bi trắng có bi chọn phụ thuộc vào biến cố Bi Cj theo bảng sau: B0 B1 B2 Lời giải Gọi A biến cố bi lấy trắng, đen Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) biến cố có j bi trắng (4-j) bi đen có bi bỏ (từ hai hộp I II) Khi A0, A1, A2 , A3, A4 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) + P(A4)P(A/A4) P(A/A ) = C1 C1 18 10 10 (Vì A0 xảy hộp III có 28 bi gồm 21 = C2 28 18 trắng , 10 đen) Tương tự, P(A/A1 ) = P(A/A ) = C1 C1 17 11 C2 28 C1 C1 15 13 C2 28 C1 C1 65 14 ; P(A/A ) = 142 14 = 126 27 C28 Bây ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4) Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i bi trắng (2 - i) bi đen có bi chọn từ hộp I, hộp II Khi - B0, B1, B2 xung khắc ta coù: C C C P(B0 ) = 10 = 18 28 ; P(B1 ) = 153 C C C 1 10 = 18 80 ; P(B2 ) = 153 C C C 10 18 = 17 - C0, C1, C2 xung khắc ta có: CC C P(C0 ) = 14 = 15 ; P(C1 ) = 91 CC C 14 = 48 ; P(C ) = 91 CC C C1 C2 ⇒ P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663 A0 = B0C0 ⇒ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641 A1 = B0C1 + B1C0 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 ⇒ P(A2) = P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(C0) =757/1989 ⇒ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923 A3 = B1C2 + B2C1 ⇒ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221 A4 = B2C2 Từ suy P(A) = 0,5080 Bài 1.12: Có hai hộp cỡ Hộp thứ chứa bi trắng bi xanh, hộp thứ hai chứa bi trắng bi xanh Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy bi bi trắng Tính xác suất để viên bi lấy từ hộp lại bi trắng C1 C1 187 32 = ; P(A/A ) = 162 12 = ; 378 63 C28 = C0 vaø 14 = 28 91 15 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Lời giải Gọi A1 biến cố bi lấy bi trắng A2 biến cố bi lấy lần sau bi trắng Bài tóan yêu cầu tính P(A2/A1) Theo công thức nhân xác suất, ta coù P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1) Suy P(A / A1 ) = P(A1 A ) P(A1 ) Bây ta tính xác suất P(A1) P(A1A2) Gọi B1, B2 biến cố chọn hộp I, hộp II Khi B1, B2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: P(B1) = P(B2) = 0,5 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1) = P(B1) P(A1/ B1) + P(B2) P(A1/ B2) 16 Maø CC C /B )= C C C P(A / B1 ) = = ; 45 = 10 66 10 P(A 2 12 nên P(A1) = 47/330 Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A1A2) = P(B1) P(A1A2/ B1) + P(B2) P(A1A2/ B2) Maø = ; 45 30 10 P(A A / B2 ) = P(A / B2 )P(A / A 1B2 ) = = 66 10 22 a a −1 a −1 a + b a + b −1 = P(A1 / A) = a a −1 b a a + b −1 + a + b a + b −1 a + b a + b −1 Bài 1.14: Có hộp phấn, hộp I chứa 15 viên tốt viên xấu, hộp II chứa 10 viên tốt viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt 10 viên xấu Ta gieo xúc xắc cân đối Nếu thấy xuất mặt chấm ta chọn hộp I; xuất mặt chấm chọn hộp II, xuất mặt lại chọn hộp III Từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất để lấy viên tốt P(A A / B1 ) = P(A / B1 )P(A / A 1B1 ) = Lời giải nên P(A1A2) = 13/330 Suy xác suất cần tìm P(A2/A1) =13/47= 0,2766 Bài 1.13: Một lô hàng gồm a sản phẩm loại I b sản phẩm loại II đóng gới để gửi cho khách hàng Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc sản phẩm Chọn ngẫu nhiên sản phẩm thấy sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm thất lạc thuộc loại I Lời giải Gọi A biến cố sản phẩm chọn thuộc lọai I A1, A2 biến cố sản phẩm thất lạc thuộc loại I, loại II Yêu cầu toán tính xác suất có điều kiện P(A1/A) Ta thấy A1, A2 hệ đầy đủ, xung khắc đôi P(A1 ) = C1 C0 a a b = ; C1 + b a+b a P(A ) = Ca C1 b b = C1 + b a+b a Theo công thức Bayes, ta có P(A / A) = - Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Từ giả thiết ta có: P(A / A ) = 2 C15C5 C15C1 C15C5 4690 ; + + = 4 C4 C20 C20 4845 20 P(A / A ) = 2 C10C4 C10C1 C10C0 960 4 + + = ; 4 C14 C14 C14 1001 P(A / A ) = C2 C10 C20C10 C20C10 24795 20 + + = 4 C30 C30 C30 27405 P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A1 ) = P(A) P(A1 )P(A / A1 ) + P(A )P(A / A ) Suy P(A) =0,9334 C C a −1 = ; C a + b −1 Bài 1.15: Có hai kiện hàng I II Kiện thứ chứa 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy từ kiện sản phẩm Sau đó, sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Mà P(A / A ) = - Gọi A biến cố chọn viên phấn tốt Aj (j =1,2, 3) biến cố chọn hộp thứ j Khi A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi ta có: A1 xảy thảy xúc xắc, xuất mặt chấm, P(A1) = 1/6 P(A3) = 3/6 Tương tự, P(A2) = 2/6; a −1 b a + b −1 P(A / A ) = CC C a b −1 a + b −1 = a a + b−1 nên Lời giải 17 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 18 CC C P(C ) = C C C P(C ) = C C C P(C0 ) = Gọi C biến cố sản phẩm chọn sau có sản phẩm loại A Aj (j = 0, 1, 2, 3, ) biến cố có j sản phẩm lọai A (4-j) sản phẩm lọai B có sản phẩm lấy từ hai kiện I II Khi A0, A1, A2, A3, A4 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có 2 16 = 120 ; 190 = 64 ; 190 = ; 190 20 1 16 20 2 16 20 P(C) = P(A0)P(C/A0) + P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) + P(A3)P(C/A3) + P(A4)P(C/A4) - Bi Ta có: - Tổng số sp A có sp chọn phụ thuộc vào biến cố Bi Cj theo bảng sau: P(C/A ) = 0; P(C/A1 ) = P(C/A ) P(C/A ) C1C1 C2 C1 C1 = 222 C4 C1 C1 = 321 C4 = = C0 B0 B1 B2 P(C/A ) =0 CC C P(B ) = C C C P(B ) = C C C ; 45 = 1 16 = ; 45 10 10 2 10 C1 vaø C2 Ta có: Bây ta tính P(A1); P(A2); P(A3) Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) biến cố có i sp A (2 - i) sp B có sp chọn từ kiện I, kiện II Khi - B0, B1, B2 xung khắc đôi ta có: P(B0 ) = độc lập = vaø Cj = 28 45 - C0, C1, C2 xung khắc đôi ta có: A1 = B0C1 + B1C0 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 A3 = B1C2 + B2C1 Từ đây, nhờ công thưcù cộng nhân xác suất ta tính được: P(A1) = 0,2320 ; P(A2) = 0,5135 ; P(A3) = Suy xác suất cần tìm P(C) = 0,5687 Bài 1.16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào mục tiêu Xác suất để viên đạn bắn trúng mục tiêu 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng mục tiêu chắn bị diệt Nếu có từ đến viên trúng mục tiêu bị diệt vơiù xác suất 80% Nếu có viên trúng mục tiêu bị diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Lời giải Tóm taét: - 19 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 0,2208 Số viên bắn ra: 10 viên Xác suất trúng viên: 0,8 20 Số viên trúng 2-9 10 Xác suất mục tiêu bị diệt 20% 80% 100% a) Gọi A biến cố mục tiêu bị diệt A0, A1, A2, A3 biến cố có 0; 1; 2-9; 10 viên trúng Khi đó, A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi giả thiết cho ta: P(A/A0) = 0; P(A/A1) = 20% = 0,2; P(A/A2) = 80%= 0,8; P(A/A3) = 100% = Lời giải Gọi Aj (j = 0, 1, 2) biến cố có j sản phẩm loại A (2-j) sản phẩm không thuộc loại A có sản phẩm máy sản xuất Gọi Bj (j = 0, 1, 2, 3) biến cố có j sản phẩm loại A (3-j) sản phẩm không thuộc loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng Khi - A0, A1, A2 xung khắc đôi theo công thức Bernoulli với n = 2; p = 0,6; q = 0,4 ta coù: P(A ) = C 2p0q = (0, 4)2 = 0,16; P(A1 ) = C 2p1q1 = 2(0, 6)(0, 4) = 0, 48; Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A ) = C 2p2q = (0, 6)2 = 0, 36 P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Theo công thức Bernoulli với n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta coù P(A0 ) = q10 = (0, 2)10; P(A1) = C1 pq9 = 10(0, 8)(0, 2)9; 10 - B0, B1, B2 , B3 xung khắc đôi theo công thức tính xác suất lựa chọn với N = 10, NA = 6, n= ta có (vì lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60%, nghóa lô hàng gồm sản phẩm loại A sản phẩm không thuộc loại A): CC C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B ) = C C C P(B0 ) = P(A3) = p = (0, 8) ; 10 10 3 = ; 120 = 36 ; 120 = 60 ; 120 = 20 120 10 P(A2 ) = − P(A0 ) − P(A1 ) − P(A3) = − (0, 2)10 − 10(0, 8)(0, 2)9 − (0, 8)10 Suy P(A) = 0,8215 10 b) Giả sử mục tiêu bị diệt Khi biến cố A xảy Do xác suất có 10 viên trúng trường hợp xác suất có điều kiện P(A3/A) Theo công thức Bayes, ta coù: P(A / A) = P(A )P(A / A ) P(A) Từ ta tính P(A3/A) = 0,1307 Bài 1.17: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Một lô hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A 60% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô hàng lấy sản phẩm a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng b) Giả sử sản phẩm thu có sản phẩm loại A Tính xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất 21 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 10 3 10 - Ai Bj độc lập a) Gọi C biến cố số sản phẩm loại A có sản phẩm máy sản xuất số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy từ lô hàng Ta có: C = A0B0 + A1B1 + A2B2 Từ đây, tính xung khắc độc lập, công thức cộng nhân xác suất cho ta: P(C) = P(A0)P(B0)+ P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2) = 0,3293 22 b) Gọi D biến cố có sản phẩm loại A sản phẩm có Giả sử sản phẩm có sản phẩm loại A Khi biến cố D xảy Do đó, xác suất để sản phẩm loại A máy sản xuất xác suất có điều kiện P(A2/D) Theo công thức nhân xác suất ta có: P(A 2D) P(D) P(A /D) = a) Goïi A biến cố lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Theo công thức xác suất đầy đủ, ta coù: P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) Từ giả thiết ta suy lô I có 15.60% = sp tốt sp xấu Do theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta coù: P(A / A ) = A0 A1 A2 Suy D = A0 B2 + A1B1 + A2B0 B0 B1 B2 Từ đây, ta tính P(D) = 0,236 ; P(A2D) = 0,012 Suy xác suất cần tìm P(A2/D) = 0,0508 Bài 1.18: Có hai lô hàng, lô chứa 60% sản phẩm tốt, lô I chứa 15 sản phẩm, lô II chứa nhiều sản phẩm Từ lô II lấy sản phẩm bỏ vào lô I, sau từ lô I lấy sản phẩm a) Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I b) Tính xác suất lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, sp tốt có lô I từ trước c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Tính xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II Lời giải Gọi Aj (j = 0,1, 2, 3) biến cố có j sản phẩm tốt (3-j) sản phẩm xấu có sản phẩm chọn từ lô II Khi A0, A1, A2, A3 hệ đầy đủ, xung khắc đôi Theo công thức Bernoulli ta coù: P(A ) = C0 p0 q3 = (0, 4)3 = 0, 064; P(A1 ) = C1 p1q2 C1 C1 77 11 = ; C18 153 P(A / A ) = A2D = A2B0 C1 C1 80 10 ; = C18 153 P(A / A ) = B3 C1C1 81 9 ; = C18 153 P(A / A1 ) = Nhận xét tổng số sản phẩm loại A có sản phẩm thu phụ thuộc vào biến cố Ai Bj theo bảng sau: C1 C1 72 12 = C18 153 Suy xác suất cần tìm là: P(A) = 0,5035 b) Gọi B biến cố lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, sp tốt có lô I từ trước Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Ta coù: P(B / A ) = C1 C1 81 9 ; = C18 153 P(B / A1 ) = C1 C1 72 = ; C18 153 P(B / A ) = C1 C1 63 = ; C18 153 P(B / A ) = C1 C1 54 = C18 153 Suy xác suất cần tìm là: P(B) = 0,4235 = 3(0, 6) (0, 4) = 0, 288; P(A ) = C2 p2 q1 = 3(0, 6)2 (0, 4)1 = 0, 432; P(A ) = C3p3q0 = (0, 6)3 = 0, 216 23 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com c) Giả sử lấy 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I Khi biến cố A xảy Do xác suất lấy 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II trường hợp XS có điều kiện P(A2/A) Theo công thức Bayes, ta coù: 24 P(A )P(A / A ) P(A / A) = = P(A) * 77 153 = 0, 4318 0, 5035 0, 432 - 25 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com ... bị diệt vơiù xác suất 80% Nếu có viên trúng mục tiêu bị diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Lời giải Tóm tắt:... 1) Tính xác suất để bi trắng 2) Tính xác suất bi đen, bi trắng 3) Giả sử viên lấy có bi trắng.Tính xác suất để bi trắng hộp thứ b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi... công thưcù cộng nhân xác suất ta tính được: P(A1) = 0,2320 ; P(A2) = 0,5135 ; P(A3) = Suy xác suất cần tìm P(C) = 0,5687 Bài 1.16: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào mục tiêu Xác suất để viên đạn bắn