Bộ đề thi và lời giải xác suất thống kê

Bộ đề thi và lời giải xác suất thống kê

BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ SỐ 1 Đường kính loại trục máy đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn = 250mm; σ 25mm ) Trục máy gọi hợp quy cách đường kính từ N (µ = 245mm đến 255mm Cho máy sản xuất 100 trục Tính xác suất để: a Có 50 trục hợp quy cách b Có khơng q 80 trục hợp quy cách Quan sát mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg): X 150-155 50 55 60 65 70 75 155-160 160-165 165-170 15 10 17 170-175 Y 11 12 a Ước lượng chiều cao trung bình với độ tin cậy γ = 95% b Những người cao từ 170cm trở lên gọi cao Ước lượng trọng lượng trung bình người cao với độ tin cậy 99% c Một tài liệu thống kê cũ cho biết tỷ lệ người nặng ( ≥ 70kg ) 30% Cho kết luận tài liệu đó, với mức ý nghĩa α = 10% d Lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X BÀI GIẢI Gọi D đường kính trục máy D ∈ = 250mm; σ 25mm ) N (µ = Xác suất trục hợp quy cách là: Đề thi:GS Đặng Hấn Lời giải:Th.S Lê Lễ Tài liệu dùng cho sinh viên đại học, học viên thi Th.s, NCS Page p = p[245 ≤ D ≤ 255] = Φ ( 255 − 250 245 − 250 ) − Φ( ) = Φ (1) − Φ (−1) 5 = 2Φ (1) − = 2.0,8413 − = 0, 6826 Gọi E số trục máy hợp quy cách 100 trục, E ∈ B(n = 100; p =0, 6826) ≈ N ( µ =np =68, 26; σ =npq =21, 67) a 50 p[ E = 50] = 50 ≈ C100 0, 682650.0,3174 = b = ϕ (3,9) 21, 67 p[0 ≤ E ≤ 80] = Φ ( 50 − 68, 26 )= ϕ( ϕ (−3,9) 21, 67 21, 67 21, 67 0, 0002 = 0, 00004 21, 67 80 − 68, 26 − 68, 26 ) − Φ( ) = Φ (2.52) − Φ (−14, 66) 21, 67 21, 67 = (2.52) + Φ (14, 66) − = Φ 0,9941 + − = 0,9941 a n=100, S x = 5, 76 , X = 164,35 α =1 − γ =1 − 0,95 =0, 05 t(0,05;99) = 1,96 X −t Sx S 1,96.5, 76 1,96.5, 76 ≤ µ ≤ X + t x ⇒ 164,35 − ≤ µ ≤ 164,35 + 100 100 n n Vậy 163, 22cm ≤ µ ≤ 165, 48cm Φ (−1) = − Φ (1) Dùng định lý tích phân Laplace Tra bảng phân phối chuẩn tắc với lưu ý: Dùng định lý Laplace địa phương Tra hàm mật độ chuẩn tắc với lưu ý hàm mật độ chuẩn tắc hàm chẵn Tra bảng phân phối Student, u α = 0, 05 99 bậc tự Khi bậc tự n>30, t(α ;n ) =, Φ (u ) =− α Page b nqc = 19 , Yqc = 73,16 , S qc = 2, 48 α =1 − γ =1 − 0,99 =0, 01 t(0,01;18) = 2,878 Yqc − t S qc nqc ≤ µ ≤ Yqc + t S qc nqc ⇒ 73,16 − 2,878.2, 48 2,878.2, 48 ≤ µ ≤ 73,16 + 19 19 Vậy 71,52kg ≤ µ ≤ 74,80kg c H : p 0,3; H1 : p ≠ 0,3 = = f = U tn 35 = 0,35 100 f − p0 0,35 − 0,3 = = 1, 091 0,3.0, p0 (1 − p0 ) 100 n α = 05, Φ (U ) = − 0, α = 0,975 ⇒ U = 1,96 (hoặc t(0,05) = 1,96 ) | U tn |< U , chấp nhận H :tài liệu d y− y x−x = rxy sy sx ⇒ y = + 1, 012 x −102,165 Page ĐỀ SỐ Cho ba đại lượng ngẫu nhiên độc lập X,Y,Z X ∈ B(50;0, 6), Y ∈ N (250;100) Z tổng số phẩm sản phẩm lấy từ lô hàng, lơ có 10 sản phẩm, lơ I có phẩm lơ II có phẩm Tính M (U ), D(U ) , = Mod ( X ) X + D(Y )Y + P[ Z > 1].Z U Quan sát mẫu (cây cơng nghiệp) , ta có bảng thống kê đường kính X(cm), chiều cao Y(m): X 20-22 22-24 24-26 26-28 15 10 17 28-30 Y 11 12 a Lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X b Kiểm tra tính phân phối chuẩn X với mức ý nghĩa 5% c Để ước lượng đường kính trung bình với độ tin cậy 95% độ xác 5mm cần điều tra thêm nữa? d Những cao không 7m gọi loại A Ước lượng tỷ lệ loại A với độ tin cậy 99% BÀI GIẢI X ∈ B(50;0, 6) nên np − q ≤ Mod ( X ) ≤ np − q + ⇒ 50.0, − 0, ≤ Mod ( X ) ≤ 50.0, − 0, + ⇒ 29, ≤ Mod ( X ) ≤ 31, Vậy Mod ( X ) = 30 M ( X ) np 50.0,= 30 = = Kỳ vọng U phương sai U Page D(= npq 50.0, 6.0, 12 X) = = Y ∈ N (250;100) nên M (Y = µ 250 ) = D(Y ) σ 100 = = p[ Z 0] 0, 4.0,3 0,12 = = = p[ Z = 6.0,3 + 0, 4.0, = 1] = 0, 0, 46 p[ Z = − (0,12 + 0, 46) = 2] = 0, 42 Z p 0,12 0,46 0,42 p[ Z > 1] = p[ Z = 2] = 0, 42 M ( Z ) = 0.0,12 + 1.0, 46 + 2.0, 42 = 1,3 M ( Z ) = 02.0,12 + 12.0, 46 + 22.0, 42 = 2,14 D( Z= M ( Z ) − M ( Z ) = 2,14 − 1,3= 0, 45 ) Vậy U = 30 X + 100Y + 0, 42 Z suy M (U ) = 30 M ( X ) + 100 M (Y ) + 0, 42 M ( Z ) = 30.30 + 100.250 + 0, 42.1,3 = 25900,546 D(U ) = 302 D( X ) + 1002 D(Y ) + 0, 422 D( Z ) = 2.12 + 1002.100 + 0, 422.0, 45 = 0800, 079 30 101 a y− y x−x = rxy ⇒ y = + 0, 43 x −4,98 sy sx b H : đường kính có phân phối chuẩn Page H1 : đường kính khơng có phân phối chuẩn X ni 20-22 22-24 14 24-26 33 26-28 27 28-30 19 x = 25, 74 , sx = 2,30 ,N=100 Nếu X tuân thep phân phối chuẩn p1 = Φ ( 22 − 25, 74 20 − 25, 74 ) − Φ( ) = Φ (−1, 63) − Φ (−2,50) 2,30 2,30 = Φ (2,50) − Φ (1, 63) = − 0,9484 = 0, 0516 p2 = Φ ( 24 − 25, 74 22 − 25, 74 ) − Φ( ) = Φ (−0, 76) − Φ (−1, 63) 2,30 2,30 = Φ (1, 63) − Φ (0, 76) = 0,9484 − 0, 7764 = 0,172 p3 = Φ ( 26 − 25, 74 24 − 25, 74 ) − Φ( ) = Φ (0,11) − Φ (−0, 76) 2,30 2,30 = (0,11) + Φ (0, 76) − = Φ 0,5438 + 0, 7764 − = 0,3203 p4 = Φ ( 28 − 25, 74 26 − 25, 74 ) − Φ( ) = Φ (0,98) − Φ (0,11) 2,30 2,30 = 0,8365 − 0,5438 = 0, 2927 p5 = Φ ( 30 − 25, 74 28 − 25, 74 ) − Φ( ) = Φ (1,85) − Φ (0,98) = 0,1634 2,30 2, 30 Lớp ni 20-22 22-24 14 24-26 33 26-28 27 28-30 19 pi 0,0516 0,1720 0,3203 0,2927 0,1634 ni, = N pi 5,16 17,20 32,03 29,27 16,34 (ni − ni, ) (7 − 5,16) (19 − 16,34) Χ =Σ = +…+ = 1,8899 5,16 16,34 ni Page 2 Χ (0,05;5− 2−1) = = Χ (0,05;2) 5,991 Χ < Χ (0,05;2) nên chấp nhận H :đường kính đại lượng ngẫu nhiên thuộc phân phối chuẩn với µ 25, 74, σ 5, 29 = = c tsx ts ≤  ⇒ n ≥ ( x )2  n t(0,05) 1,96, sx 2,30,  5= 0,5cm = = = mm 1,96.2,30 n≥( ) = 81,3 ⇒ n ≥ 82 0,5 Đã điều tra 100 , không cần điều tra thêm d fa − t = fa f a (1 − f a ) ≤ p ≤ fa + t n f a (1 − f a ) n 35 = 0,35 100 α =1 − γ =1 − 0,99 =0, 01 t(0,01) = 2,58 0,35 − 2,58 0,35.0, 65 0,35.0, 65 ≤ p ≤ 0,35 + 2, 58 100 100 0, 227 ≤ p ≤ 0, 473 Tỷ lệ loại A khoảng từ 22,7% đến 47,3% Số lớp 5, phân phối chuẩn lớp-số tham số-1=5-2-1=2 N ( µ ; σ ) có tham số nên: tra bảng chi bình phương Χ với bậc tự bằng: số Page ĐỀ SỐ Một xí nghiệp có máy Trong ngày hội thi, công nhân chọn ngẫu nhiên máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại I khơng 70 thưởng Giả sử công nhân A xác suất sản xuất sản phẩm loại I với máy 0,6 0,7 a Tính xác suất để A thưởng b Giả sử A dự thi 200 lần, số lần A thưởng tin bao nhiêu? c A phải dự thi lần để xác suất có lần thưởng không 90%? Theo dõi số kẹo X (kg) bán tuần, ta có: xi 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350 ni 23 27 30 25 20 a Để ước lượng số kẹo trung bình bán tuần với độ xác 10kg độ tin cậy 99% cần điều tra thêm tuần nữa? b Bằng cách thay đổi mẫu mã, người ta thầy số kẹo trung bình bán tuần 200kg Việc thay đổi có hiệu vể chất khơng? (mức ý nghĩa 5%) c Những tuần bán từ 250kg trở lên tuần hiệu Ước lượng tỷ lệ tuần hiệu với độ tin cậy 90% d Ước lượng số kẹo trung bình bán tuần có hiệu với độ tin cậy 98% BÀI GIẢI a Gọi T biến cố công nhân A thưởng I: Biến cố công nhân A chọn máy I II: Biến cố công nhân A chọn máy II = P ( II ) 0,5 P( I ) = = P ( I ).P (T / I ) + P ( II ).P (= P ( I ).P[70 ≤ X ≤ 100] + P ( II ).P[70 ≤ Y ≤ 100] P(T ) T / II ) X ∈ B(100;0, 6) ≈ N (60; 24), Y ∈ B(100;0, 7) ≈ N (70; 21) Page 100 − 60 70 − 60 ) − Φ( ) = Φ (8,16) − Φ (2, 04) = − 0,9793 = 0, 0207 p[70 ≤ X ≤ 100] = Φ ( 24 24 100 − 70 70 − 70 p[70 ≤ Y ≤ 100] = Φ ( ) − Φ( ) = Φ (6,55) − Φ (0) = − 0,5 = 0,5 21 21 (0, 0207 + 0,5) 0, 26 = Vậy P= (T ) b Gọi Z số lần thưởng 200 lần A tham gia thi , Z ∈ B (200;0, 26) np − q ≤ Mod ( Z ) ≤ np − q + ⇒ 200.0, 26 − 0, 74 ≤ Mod ( Z ) ≤ 200.0, 26 − 0, 74 + 51, 26 ≤ Mod ( Z ) ≤ 52,56 Mod(Z)=52 Số lần A thưởng tin 52 c Gọi n số lần dự thi M: Biến cố lần A thưởng n P( M ) = − Π P(T ) = − 0, n i =1 − 0, 74 n ≥ 0,9 ⇒ 0, 74 n ≤ 0,1 ⇒ n ≥ log 0,74 0,1 = → n ≥ 7, Vậy A phải dự thi lần a n=139 , sx = 79,3 , t(0,01) = 2,58 ,  = 10 ts tsx ≤  → n ≥ ( x )2  n n≥( 2,58.79,3 = 418, → n ≥ 419 Vậy điều tra 419-139=280 tuần ) 10 b H : µ = 200 H1 : µ ≠ 200 = 139, x 167,8, sx 79,3 n = = Page Ttn = ( x − µ0 ) n (167,8 − 200) 139 = = −4, 7873 79, sx t(0,05) = 1,96 | Ttn |> t(0,05;138) : Bác bỏ H , tức việc thay đổi mẫu mã làm tăng lượng kẹo bán tuần c f hq − t = f hq f hq (1 − f hq ) n ≤ p ≤ f hq + t f hq (1 − f hq ) n 25 = 0,18 139 α =1 − γ =1 − 0,9 =0,1 , t(0,1) = 1, 65 0,18 − 1, 65 0,18.0,82 0,18.0,82 ≤ p ≤ 0,18 + 1, 65 139 139 0,1262 ≤ p ≤ 0, 2338 Tỷ lệ tuần có hiệu chiếm từ 12,62% đến 23,38% d nhq = 25 , xhq = 285 , shq = 20, 41 α =1 − γ =1 − 0,98 =0, 02 t(0,02;24) = 2, 492 xhq − t shq nhq ≤ µ ≤ xhq + t shq nhq ⇒ 285 − 2, 492 20, 41 20, 41 ≤ µ ≤ 285 + 2, 492 25 25 Vậy 274,83kg ≤ µ ≤ 295,17 kg Trung bình tuần hiệu bán từ 274,83 kg đến 295,17kg kẹo Page 10 X thuộc phân phối siêu bội C7k C3 − k p[ X= k= ] C10 X2 pi 120 21 120 63 120 25 120 X X + X : số sản phẩm tốt sản phẩm = p[ X 0] p[ X= 0] p[ X = 0] 0, 000125 = = = = 0, 000001 120 p[ X = p[ X = = p[ X = = 0, 000125 1] = 0, X 1] + 1, X 0] = Tương tự , ta có : 21 + 0, 007125 = 0, 000081 120 120 p[ X 2] 0, 002441 = = p[ X ==X =X =+ p[ X = =+ p[ X =X = 3] p[ 0, 3] 1, X 2] 2, 1] + p[ X = 3, X = 0] p[ X ==X =X =+ p[ X = = p[ X =X = 4] p[ 0, 4] 1, X 3] + 2, 2] + p[ X = = p[ X = = 3, X 1] + 4, X 0] p[ X ==X =X =+ p[ X = =+ p[ X =X = 5] p[ 0, 5] 1, X 4] 2, 3] + p[ X = = p[ X = = p[ X = = 3, X 2] + 4, X 1] + 5, X 0] p[ X ==X =X =+ p[ X = =+ p[ X =X = 6] p[ 0, 6] 1, X 5] 2, 4] + p[ X = = p[ X = = p X = = p[ X = = ] 3, X 3] + 4, X + ][ 5, X 1] + 6, X b M ( X ) M ( X ) + M ( X ) = Page 18 M ( X ) = pi = M ( X ) = → M ( X ) = 4,875 Σxi 2,85, 2, 025 D( X ) D( X ) + D( X ) = D( X ) = M ( X 12 ) − M ( X ) = 8, 265 − 2,852 = 0,1425 D( X ) =( X ) − M ( X ) = − 2, 0252 = M 4,9 0, 7994 → D( X ) = 0,9419 a n=144, sx = 33, 41 ,  = tsx  n 144 = = 1, 08 = → t = sx 33, 41 n 1− α 0,8599 → α = (1 − 0,8599)2 = 0, 2802 =(1, 08) = Φ Độ tin cậy γ = − α =0, 7198 =71,98% b H : µ = 170 H1 : µ ≠ 170 = 162, 64, n 144, s 33, 41 x = = Ttn = ( x − µ0 ) n (162, 64 − 170) 144 → Ttn = = −2, 644 s 33, 41 t(0,01) = 2,58 | Ttn |> t(0,01;143) : bác bỏ H , cải tiến làm tăng độ bền thép c ntb = 27, xtb 209, 444, stb 8, 473 , = = α =1 − γ =1 − 0,98 =0, 02 t(0,02;26) = 2, 479 Page 19 xtb − t stb s ≤ µ ≤ xtb + t tb ntb ntb ⇒ 209, 444 − 2, 479 8, 473 8, 473 ≤ µ ≤ 209, 444 + 2, 479 27 27 Vậy 205,36kg / mm ≤ µ ≤ 213, 44kg / mm d H : p 0, 4; H1 : p ≠ 0, = = ftb U tn = 27 = 0,1875 144 ftb − p0 0,1875 − 0, = = −5, 025 0, 4.0, p0 (1 − p0 ) 144 n t(0,01) = 2,58 | U tn |> U , bác bỏ H :tài liệu cho tỷ lệ cao so với thực tế Page 20 ĐỀ SỐ Ở xí nghiệp may mặc, sau may quần áo, người ta đóng thành kiện , kiện (3 quần, áo) Khi đóng kiện thường có tượng xếp nhầm số Xác suất xếp quần số 0,8 Xác suất xếp áo số 0,7 Mỗi kiện gọi chấp nhận số quần xếp số số áo xếp số a Kiểm tra 100 kiện Tìm xác suất có 40 kiện chấp nhận b Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện chấp nhận không 90%? X( %) Y( kg / mm ) tiêu sản phẩm Kiểm tra số sản phẩm ta có: X Y 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 0-5 12 5-10 10-15 20 19 10 15 16 15-20 20-25 a Giả sử trung bình tiêu chuẩn Y 120kg / mm Cho nhận xét tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1% b Sản phẩm có tiêu X ≥ 15% sản phẩm loại A Ước lượng trung bình tiêu X sản phẩm loại A với độ tin cậy 99% Ước lượng điểm tỷ lệ sản phẩm loại A c Để ước lượng trung bình tiêu Y với độ xác 0, 6kg / mm đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? d Lập phương trình tương quan tuyến tính X theo Y Biết Y = 145kg / mm dự đoán X BÀI GIẢI a p(A): xác suất kiện chấp nhận X :số quần xếp số quần, X ∈ B(3;0,8) X :số áo xếp số áo, X ∈ B (3;0, 7) Page 21 p ( A) =X = = p X = = p[ X = = p X = = p[ 0, X + ][ 1, X 1] + 2, X + ][ 3, X 3] = C30 0,80.0, 23.C30 0, 0.0,33 1 +C3 0,81.0, 22.C3 0, 71.0,32 +C32 0,82.0, 21.C32 0, 2.0,31 3 +C3 0,83.0, 20.C3 0, 73.0,30 =0,36332 X: số kiện chấp nhận 100 kiện, X ∈ B(100;0,36332) ≈ N (36,332; 23,132) k − np ) ϕ( npq npq 40 − 36,332 0, 2898 = ϕ( = ) ϕ= = 0, 062 (0, 76) 4,81 4, 81 4,81 4, 81 p[= 40] X = b Gọi n số kiện phải kiểm tra M: kiện chấp nhận n P( M ) = − Π P( A) = − 0, 63668n ≥ 0,9 i =1 0, 63668n ≤ 0,1 ⇒ n ≥ log 0,63668 0,1 = → n ≥ 5,1 Vậy phải kiểm tra kiện a H : µ = 120 H1 : µ ≠ 120 = 134, y 142, 01, s y 10, 46 n = = Ttn = ( y − µ0 ) n sy Page 22 (142, 01 − 120) 134 = 24,358 10, 46 = Ttn t(0,01) = 2,58 | Ttn |> t(0,01) : bác bỏ H , sản xuất tiêu Y vượt tiêu chuẩn cho phép b nA = 27, x A = 18,98, s A = 2,3266 , α =1 − γ =1 − 0,99 =0, 01 t(0,01;26) = 2, 779 xA − t sA s ≤ µ ≤ xA + t A nA nA ⇒ 18,98 − 2, 779 2,3266 2,3266 ≤ µ ≤ 18,98 + 2, 779 27 27 Vậy 17, 74% ≤ µ ≤ 20, 22% 27 = 0, → p A ≈ 20% 134 = fA c n 134, y 142, 0149, s y 10, 4615 ,  = 0, = = = ts y ny 1− α = = → t  n 0, 134 = = 0, 66 sy 10, 4615 =(0, 66) = 7454 → α = (1 − 0, 7454)2 = 0,5092 Φ 0, Độ tin cậy γ = − α =0, 4908 =49, 08% d x−x y− y = rxy → x = + 0,3369 y −37, 2088 sx sy x145 = + 0,3369.145 = −37, 2088 11, 641 (%) Page 23 ĐỀ SỐ Sản phẩm đóng thành hộp Mỗi hộp có 10 sản phẩm có sản phẩm loại A Người mua hàng quy định cách kiểm tra sau: Từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm, sản phẩm loại A nhận hộp đó, ngược lại loại Giả sử kiểm tra 100 hộp a Tính xác suất có 25 hộp nhận b Tính xác suất khơng q 30 hộp nhận c Phải kiểm tra hộp để xác suất có hộp nhận ≥ 95% ? Tiến hành khảo sát số gạo bán hàng ngày cửa hàng, ta có xi (kg) 110-125 125-140 140-155 155-170 170-185 185-200 200-215 215-230 ni 12 25 30 20 13 a Giả sử chủ cửa hàng cho trung bình ngày bán khơng q 140kg tốt nghỉ bán Từ số liệu điều tra, cửa hàng định với mức ý nghĩa 0,01? b Những ngày bán ≥ 200kg ngày cao điểm Ước lượng số tiền bán trung bình ngày với độ tin cậy 99%, biết giá gạo 5000/kg c Ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm d Để ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm với độ xác 5% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? BÀI GIẢI a A: biến cố hộp nhận p (= A) C7 = 0, 29 C10 X: số hộp nhận 100 hộp X ∈ B(100;0, 29) ≈ N (29; 20,59) k − np ) ϕ( npq npq 25 − 29 0, 2709 = ) = = 0, 0597 ϕ( ϕ (−0,88) 20,59 20,59 20,59 20,59 p[= 25] X = = Page 24 b p[0 ≤ X ≤ 30] = Φ ( 30 − 29 − 29 ) − Φ( ) = Φ (0, 22) − Φ (−6,39) 20,59 20,59 = Φ (6,39) + Φ (0, 22) − = 0,5871 c n: số hộp phải kiểm tra p = − 0, 71n − 0, 71n ≥ 0,95 ⇒ 0, 71n ≤ 0, 05 ⇒ n ≥ log 0,71 0, 05 = 8, Vậy phải kiểm tra hộp a H : µ = 140 H1 : µ ≠ 140 = 115, x 174,11, sx 23,8466 n = = Ttn = = Ttn ( x − µ0 ) n sx (174,11 − 140) 115 = 15,34 23,8466 t(0,01) = 2,58 | Ttn |> t(0,01;114) : bác bỏ H , trung bình ngày cửa hàng bán 140kg gạo b ncd = 17, xcd 211, 03, scd 6,5586 = = α =1 − γ =1 − 0,99 =0, 01 t(0,01;16) = 2,921 Page 25 xcd − t scd s 6,5586 6,5586 ≤ µ ≤ xcd + t cd ⇒ 211, 03 − 2,921 ≤ µ ≤ 211, 03 + 2,921 ncd ncd 17 17 Vậy 206,38kg ≤ µ ≤ 215, 68kg Số tiền thu ngày cao điểm từ 515 950 đ đến 539 200 đ 17 = 0,1478 pcd ≈ 14, 78% 115 d = 0,1478, n 115,  0, 05 f cd = = c = f cd u 1− f cd (1 − f cd ) 115 = ⇒u = 0, 05 = 1,51 n 0,1478.0,8522 α =(u ) =(1,51) = Φ Φ 0,9345 ⇒ α = 2(1 − 0,9345) = 0,13 Độ tin cậy: γ = − α =0,87 =87% Page 26 ĐỀ SỐ Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B, 2000 linh kiện C Xác suất hỏng loại linh kiện 0,001; 0,005 0,002 Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với a Tìm xác suất để có linh kiện loại A hỏng b Tìm xác suất để máy tính ngưng hoạt động c Giả sử có linh kiện hỏng Tìm xác suất để máy ngưng hoạt động hai trường hợp: c.1 Ở thời điểm bất kỳ, số linh kiện hỏng tối đa c.2 Số linh kiện hỏng không hạn chế thời điểm Quan sát biến động giá loại hàng A B tuần lễ, ta có Giá A (ngàn đồng) Giá A (ngàn đồng) 52 54 48 50 56 55 51 12 15 10 12 18 18 12 a Tìm ước lượng khoảng cho giá trị thật A với độ tin cậy 95% b Có ý kiến cho giá trị thật A 51 ngàn đồng Bạn có nhận xét với mức ý nghĩa 5%? c Giả sử giá loại hàng A B có tương quan tuyến tính Hãy ước lượng giá trung bình A thời điểm giá B 12 ngàn đồng BÀI GIẢI a X a : số linh kiện A hỏng 1000 linh kiện X a ∈ B (1000;0, 001) ≈ p (λ = = np 1) p[ X a > 1] = [ X a = p[ X a = 1− p 0] − 1] e −1.10 e −1.11 1− 0, 264 = − = 0! 1! b X b : số linh kiện B hỏng 800 linh kiện X b ∈ B(800;0, 005) ≈ p(λ = = np 4) Page 27 p[ X b > 1] = [ X b = p[ X b = 1− p 0] − 1] e −4 40 e −4 41 1− 1− = − =e −4 = 0,908 0! 1! X c : số linh kiện C hỏng 2000 linh kiện X c ∈ B(2000;0, 002) ≈ p (λ = = np 4) p[ X c > 1] = [ X c = p[ X c = 1− p 0] − 1] e −4 40 e −4 41 1− 1− = − =e −4 = 0,908 0! 1! H: biến cố máy tính ngưng hoạt động p ( H ) = a = 0, X c = 0, 0) + p(0,1, 0) + p(0, 0,1)) − ( p[ X 0, X b = 0] + p(1, =e −4 e −4 + e −1e −4 e −4 + e −1e −4 4e −4 + e −1e −4 e −4 4) − (e −1 =− 10 = 0,9988 e9 c H1 : biến cố máy tính ngưng hoạt động trường hợp I p ( H1 ) == 0, X c 0] + p(0,1, 0) + p(0, 0,1)) p[ X a 1, X b == e = −1e −4 e −4 + e −1e −4 4e −4 + e −1e −4 e −4 = = 0, 001 e9 H : biến cố máy tính ngưng hoạt động trường hợp II p ( H ) = [ X a =b =c = 1− p 0, X 0, X 0] = − e −1e −4 e −4 =− = 0,9999 e9 Page 28 a = 52, 286, sa 2, 87 n = 7, xa = α =1 − γ =1 − 0,95 =0, 05 t(0,05;6) = 2, 447 xa − t sa s 2,87 2,87 ≤ µ ≤ xa + t a ⇒ 52, 286 − 2, 447 ≤ µ ≤ 52, 286 + 2, 447 n n 7 Vậy 49, 631 ≤ µ ≤ 54,940 Giá trị thật A khoảng từ 49 631 đ đến 54 940 đ b H : µ = 51 H1 : µ ≠ 51 = 7, x 52, 286, s 2,87 n = = Ttn = = Ttn ( x − µ0 ) n s (52, 286 − 51) = 1,19 2,87 t(0,05;6) = 2, 447 | Ttn |< t(0,05;6) : chấp nhận H , giá trị thật A 51 000 đ c xa − xa x −x = rab b b sa sb = 40,380 + 0,859 xb xa xa (12) = 40,380 + 0,859.12 = 688 (ngàn đồng) 50, Page 29 ĐỀ SỐ 10 Hàng sản xuất xong đóng kiện, kiện 10 sản phẩm Kiện loại I có sản phẩm loại A Kiện loại II có sản phẩm loại A Để xem kiện loại I hay loại II, người ta quy định cách kiểm tra: lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm có q sản phẩm loại A xem kiện loại I, ngược lại xem kiện loại II a Giả sử kiểm tra 100 kiện loại I Tính xác suất phạm sai lầm 48 lần b Giả sử kho chứa số kiện loại I, số kiện loại II Tính xác suất phạm sai lầm 3 kiểm tra Tiến hành quan sát độ chảy X (kg / mm ) độ bề Y (kg / mm ) loại thép ta có: X Y 75-95 95-115 115-135 135-155 155-175 35-45 45-55 13 12 55-65 65-75 75-85 20 15 10 a Lập phương trình tương quan tuyến tính độ bền theo độ chảy b Thép có độ bền từ 135kg / mm trở lên gọi thép bền Hãy ước lượng độ chảy trung bình thép bền với độ tin cậy 99% c Giả sử độ chảy trung bình tiêu chuẩn 50kg / mm Cho nhận xét tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 5% d Để ước lượng tỷ lệ thép bền với độ tin cậy 80% ,độ xác 4% ước lượng độ chảy trung bình với độ tin cậy 90%, độ xác 0,8kg / mm cần điều tra thêm trường hợp nữa? BÀI GIẢI Page 30 a p ( S1 ) : xác suất phạm sai lầm kiểm tra kiện loại I (kiện loại I mà cho kiện loại II) C50 C5 C5 C52 + = 0,5 p ( S1 ) = C130 C10 X:số kiện phạm sai lầm kiểm tra 100 kiện loại I X ∈ B(100;0,5) ≈ N (50; 25) p[= 48] X = b k − np 48 − 50 0,3683 )= ϕ( ) = ϕ (−0, 4) = = 0, 07366 ϕ( 5 npq npq 25 25 p ( S ) : xác suất phạm sai lầm kiểm tra kiện loại II (kiện loại II mà cho kiện loại I) p( S2 ) = C32 C7 C3 C7 + = 0,18 C10 C130 p(I): xác suất chọn kiện loại I p(II): xác suất chọn kiện loại II p(S): xác suất phạm sai lầm p ( S ) =p ( I ) p ( S1 ) + p ( II ) p ( S ) = 0,5 + 0,18 =0,39 3 a y− y x−x = rxy → y 53,33 + 1,18 x = sy sx b ntb = 29, xtb = 63,10, stb = 10, 725 α =1 − γ =1 − 0,99 =0, 01 t(0,01;28) = 2, 763 xtb − t stb s 10, 725 10, 725 ≤ µ ≤ xtb + t tb ⇒ 63,10 − 2, 763 ≤ µ ≤ 63,10 + 2, 763 ntb ntb 29 29 Vậy 57, 60kg / mm ≤ µ ≤ 68, 6kg / mm Page 31 c H : µ = 50 H1 : µ ≠ 50 = 116, x 56,8966, sx 9,9925 n = = Ttn = = Ttn ( x − µ0 ) n sx (56,8966 − 50) 116 = 7, 433 9,9925 t(0,05) = 1,96 | Ttn |> t(0,05) : bác bỏ H , độ chảy lớn tiêu chuẩn cho phép d t f (1 − f ) t ≤ 1 → n1 ≥ ( ) f (1 − f ) n1 1 t(0,2) = 1, 28 , 1 = 0, 04 , = f n1 ≥ ( 29 = 0, 25 116 1, 28 ) 0, 25.0, 75 = 192 0, 04 t.sx t.s ≤ 2 → n2 ≥ ( x ) 2 n2 α = 0,1 → t0,1 = 1, 65 , 2 = 0,8 , sx = 9,9925 1, 65.9,9925 425 n2 ≥ ( ) = 424, → n2 ≥ 425 → max(n1 , n2 ) = 0,8 Cần thêm 425-116=309 quan sát Thương nhớ thầy, bạn, thời mài đũng quần giảng đường suphamle2341@gmail.com Page 32 ... xuất sản phẩm loại I với máy 0,6 0,7 a Tính xác suất để A thưởng b Giả sử A dự thi 200 lần, số lần A thưởng tin bao nhiêu? c A phải dự thi lần để xác suất có lần thưởng khơng 90%? Theo dõi số kẹo... hộp đó, ngược lại loại Giả sử kiểm tra 100 hộp a Tính xác suất có 25 hộp nhận b Tính xác suất khơng q 30 hộp nhận c Phải kiểm tra hộp để xác suất có hộp nhận ≥ 95% ? Tiến hành khảo sát số gạo bán... nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với a Tìm xác suất để có linh kiện loại A hỏng b Tìm xác suất để máy tính ngưng hoạt động c Giả sử có linh kiện hỏng Tìm xác suất để máy ngưng hoạt động hai trường