Bài giải Xác suất thống kê

Các bài tập mẫu và lời giải bài tập Xác suất thống kê của thầy Trần Ngọc Hội

Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội BÀI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ Câu 1. Có hai kiện hàng I và II, mỗi kiện chứa 15 sản phẩm. Số sản phẩm tốt có trong kiện I và II lần lượt là 5 và 10. Từ kiện I lấy ra 1 sản phẩm và từ kiện II lấy ra 2 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ 3 sản phẩm có được. Tính xác suất được ít nhất 1 sản phẩm tốt. Lời giải Gọi A là biến cố trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có ít nhất 1 sản phẩm tốt. A j (j = 0, 1, 2, 3) là biến cố có j sản phẩm tốt và (3 − j) sản phẩm xấu có trong 3 sản phẩm lấy từ hai kiện I và II. Khi đó A 0 , A 1 , A 2 , A 3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A 0 )P(A/A 0 ) + P(A 1 )P(A/A 1 ) + P(A 2 )P(A/A 2 ) + P(A 3 )P(A/A 3 ) Ta có: 0 11 12 1 2 3 23 P(A/A ) = 0 CC 2 P(A/A ) = 3 C P(A/A ) = P(A/A ) = 1. = Bây giờ ta tính P(A 1 ); P(A 2 ); P(A 3 ). - Gọi B i (i = 0, 1) lần lượt là các biến cố có i sp tốt và (1 − i) sp xấu được chọn ra từ kiện I. Khi đó B 0 , B 1 xung khắc và ta có: 01 510 0 1 15 10 510 1 1 15 10 P(B ) ; 15 5 P(B ) . 15 CC C CC C == == - Gọi C j (j = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có j sp tốt và (2 − j) sp xấu được chọn ra từ kiện II. Khi đó C 0 , C 1 , C 2 xung khắc và ta có: - Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội 2 02 10 5 0 2 15 11 10 5 1 2 15 20 10 5 2 2 15 10 P(C ) ; 105 50 P(C ) ; 105 45 P(C ) . 105 CC C CC C CC C == == == - B i và C j độc lập. - Tổng số sp tốt có trong 3 sp chọn ra phụ thuộc vào các biến cố B i và C j theo bảng sau: C 0 C 1 C 2 B 0 0 1 2 B 1 1 2 3 Ta có: A 1 = B 0 C 1 + B 1 C 0 ; A 2 = B 0 C 2 + B 1 C 1 ; A 3 = B 1 C 2 . Từ đây, nhờ các công thưcù cộng và nhân xác suất ta tính được: XK 10110 ĐL XK 20211 ĐL DL 312 10 50 5 10 22 P(A ) P(B )P(C ) P(B )P(C ) . . 15 105 15 105 63 10 45 5 50 4 P(A ) P(B )P(C ) P(B )P(C ) . . 15 105 15 105 9 545 1 P(A ) P(B )P(C ) . 15 105 7 =+=+= =+=+= === Suy ra xác suất cần tìm là 22 2 4 1 P(A) . .1 .1 0,8201. 63 3 9 7 =++= Câu 2. Có hai máy sản xuất cùng một loại sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại tốt của máy I là 75%, của máy II là 90%. Cho máy I sản xuất 1 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội 3 sản phẩm, máy II sản xuất 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm thu được. a) Tìm luật phân phối của X. b) Thông thường trong 3 sản phẩm thu được có bao nhiêu sản phẩm tốt? Lời giải Gọi X 1 , X 2 lần lượt là các ĐLNN chỉ số sp tốt do máy I, máy II sản xuất; do lấy từ lô hàng. Khi đó X 1 , X 2 độc lập và ta có: - X 1 có phân phối nhò thức X 1 ∼ B(n 1 , p 1 ); n 1 = 1; p 1 = 0,75. Cụ thể ta có: 0 01 111 1 0 10 111 1 P(X 0) p q 0,25; P(X 1) p q 0,75. C C == = == = - X 2 có phân phối nhò thức X 2 ∼ B(n 2 , p 2 ); n 2 = 2; p 2 = 0,9. Cụ thể ta có: 0 02 2 222 2 1 11 222 2 2 20 2 222 2 P(X 0) p q (0,1) 0,01; P(X 1) p q 2.(0,9)(0,1) 0,18; P(X 2) p q (0,9) 0,81. C C C == = = == = = == = = a) Ta có X = X 1 + X 2 . Luật phân phối của X có dạng: X 0 1 2 3 P p 0 p 1 p 2 p 3 trong đó: p 0 = P(X = 0) = P(X 1 = 0)P(X 2 = 0) = 0,0025; p 1 = P(X = 1) = P(X 1 = 0)P(X 2 = 1) + P(X 1 = 1)P(X 2 = 0) = 0,0525; p 2 = P(X= 2) = P(X 1 = 0)P(X 2 = 2) + P(X 1 = 1)P(X 2 = 1) = 0,3375; p 3 = P(X = 3) = P(X 1 = 1)P(X 2 = 2) = 0,6075. Vậy luật phân phối của X là: X 0 1 2 3 P 0,0025 0,0525 0,3375 0,6075 Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội 4 b) Từ luật phân phối của X ta thấy Mod(X) = 3. Do đó thông thường trong 3 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt. Câu 3. Để theo dõi sự phát triển chiều cao của một giống cây trồng trong một nông trại, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau: X(cm) 70-74 74-78 78-82 82-86 86-90 90-94 94-98 Số cây 11 18 25 30 24 19 11 Lời giải Ta có: X i 72 76 80 84 88 92 96 n i 11 18 25 30 24 19 11 • Cỡ mẫu la n = 138.ø • Kỳ vọng mẫu của X là ii 1 X X n 84,0290(cm). n == ∑ • Phương sai mẫu của X là:  2 22 22 ii 1 SXnX(6,7673)(cm). n =−= ∑ • Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của X là:  2 222 n SS(6,7919)(cm). n1 == − a) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1,4cm thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu cây nữa? Đây là bài toán xác đònh cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của X với độ chính xác ε = 1,4cm và độ tin cậy γ = 1- α = 99% = 0,99. Vì n ≥ 30, σ 2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội 5 S z n α ε = , trong đó ϕ(z α ) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra bảng giá trò hàm Laplace ta được z α = 2,58. Suy ra 2 2 zS 2,58.6,7919 n 156, 66. 1, 4 α ε ⎛⎞ ⎛⎞ == ≈ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Thực tế yêu cầu: n156,66157.≥= ⎡⎤ ⎢⎥ Vì n 1 = 156 > 138 (138 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 157 – 138 = 19 cây nữa. b) Những cây trồng có chiều cao từ 86cm trở lên được gọi là những cây cao. Hãy ước lượng tỉ lệ cây cao với độ tin cậy 96%. Với độ tin cậy đó, nếu trong nông trại có 10000 cây thì số cây cao tối đa khoảng bao nhiêu? Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các cây cao với độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta có công thức ước lượng khoảng : nn nn nn F(1 F) F(1 F) (F z ;F z ) nn αα −− −+ , trong đó ϕ(z α ) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra bảng giá trò hàm Laplace ta được z α = 2,06. Mặt khác, trong n = 138 cây có m = 54 cây có chiều cao từ 86cm trở lên nên tỉ lệ mẫu cây cao là F n = 54/138 = 0,3913. Vậy ước lượng khoảng là: 0, 3913(1 0, 3913) 0, 3913(1 0, 3913) (0, 3913 2,06 ; 0,3913 2,06 138 138 (0,3057;0, 4769) −− −+ = Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, tỉ lệ cây cao nằm trong khoảng từ 30,57% đến 47,69%. Khi trong nông trại có 10000 cây, gọi m là số cây cao có trong nông trại, Ta có tỉ lệ cây cao là m/10000. Số cây cao tối đa có trong nông trại tương ứng với giá trò tối đa của tỉ lệ cây cao. Do đó trước hết ta ước lượng bên trái cho tỉ lệ p các cây cao với độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96 (α = 0,04). Ta có công thức ước lượng khoảng bên trái: Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội 6 nn n2 F(1 F) (;F z ) n α − −∞ + , trong đó ϕ(z 2α ) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra bảng giá trò hàm Laplace ta được z 2α = 1,75. Suy ra giá trò tối đa của tỉ lệ cây cao là: nn n2 F (1 F ) 0, 3913(1 0, 3913) F z 0, 3913 1,75 0, 4640. n138 α −− +=+ = Như vậy, với độ tin cậy 96%, ta có m 0,4640 m 4640 1000 ≤⇔≤ Vậy với độ tin cậy 96%, so ácây cao tối đa có trong nông trại là 4640. Câu 4. Năng suất trung bình của giống lúa cũ là 5tấn/ha. Năm nay, người ta sử dụng một giống lúa mới. Khảo sát 100ha trồng giống lúa mới thì thấy năng suất trung bình đạt 5,2tấn/ha và phương sai mẫu 0,25tấn 2 . a) Với mức ý nghóa 1%, có thể cho rằng giống lúa mới có năng suất cao hơn giống lúa cũ hay không? b) Một tài liệu cho rằng năng suất trung bình của giống lúa mới là 5,3tấn/ha. Hãy nhận đònh về tài liệu này với mức ý nghóa 2%. Lời giải Gọi X là năng suất của giống lúa mới. Giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu n = 100. • Kỳ vọng mẫu của X là X 5,2= (tấn/ha). • Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là S 2 ≈ 0,25(tấn 2 ). • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là S ≈ 0,5(tấn). a) Đây là bài toán kiểm đònh giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H 0 : μ = 5 với giả thiết đối H 1 : μ > 5. Vì n ≥ 30; σ 2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm đònh như sau: Bước 1: Ta có 0 (X ) n (5, 2 5) 100 z4. S0,5 −μ − == = Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê Trần Ngọc Hội 7 Bước 2: Tra bảng giá trò hàm Laplace để tìm z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1− 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta được z 2α = 2,33. Bước 3: Kiểm đònh. Vì z = 4 > 2,33 = z 2α nên ta bác bỏ giả thiết H 0 : μ = 5, nghóa là chấp nhận H 1 : μ > 5. Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, có thể cho rằng giống lúa mới có năng suất cao hơn giống lúa cũ. b) Đây là bài toán kiểm đònh giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghóa α = 2% = 0,02: H 0 : μ = 5,3 với giả thiết đối H 1 : μ ≠ 5,3. Vì n ≥ 30; σ 2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm đònh như sau: Bước 1: Ta có 0 (X ) n (5, 2 5, 3) 100 z2. S0,5 −μ − == =− Bước 2: Tra bảng giá trò hàm Laplace để tìm z 2α thoả ϕ(z α ) = (1− α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta được z α = 2,33. Bước 3: Kiểm đònh. Vì |z| = 2 < 2,33 = z α nên ta chấp nhận giả thiết H 0 : μ = 5,3. Kết luận: Với mức ý nghóa 2%, tài liệu về năng suất trung bình của giống lúa mới là phù hợp. ---------------------------------- Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com