Bài tập và bài giải xác suất thống kê

Câu 1. L n I rút 2 lá bài trong b bài 52 lá đ trên bàn. L ầ ộ ể ần II rút thêm 2 lá nữa để trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là số lá cơ có trong 2 lá khoanh sau cùng. a/ Tìm phân phối XS của X b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 con cơ. Giải Thực chất rút 2 lần (2 lá, 2 lá) thì tương đương với rút 1 lần 4 lá. Gọi Aj là biến cố trong 4 lá có j lá cơ. Aj = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, hệ Aj là 1 hệ đầy đủ ngoài.Tính P(Aj)

Câu 1 L n I rút 2 lá bài trong b bài 52 lá đ trên bàn L n II rút thêm 2 lá n a ầ ộ ể ầ ữ

( )

20825

6327 270725

82251

4

52

4 39

118807

4 52

3 39

1 13

C

C C A

( )

20825

4446 270725

57798

4

52

2 39

11154

4 52

1 39

3 13

C

C C A

( )

20825

55 270725

715

4

52

0 39

2 4

X

2

1 6

3 0

2 4

1 3

6

1 0

2 4

2 2

P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588

C C A k X P

k i

k i i

1 13

C

C C

=

1326 507

P(A2)= 2

52

0 39

78

• =

850 11

b/ B là bi n c rút l n II có 1 lá c v i không gian đ y đ Aế ố ầ ơ ớ ầ ủ i,i=0,1,2

)

C

=50

13 P(

C

C

= 50

12

C

C

=

50 11

P(B)=

50

131326

741

× +

50

121326

507

× +

50

111326

) ( ) (

0 0

B P A

B P A P

=

25 0 50

13 1326

12 1326

507

× = 0.367

052 0 25

0 50

11 1326

78 )

B

A P

Kì v ng Mọ x =( − 1 ) × 0 581 + 2 × 0 367 + 5 × 0 052 = 0 413

V y trong trò ch i tôi có l i.ậ ơ ợ

Bài 4: M t h p đ ng 5 chai thu c trong đó có 1 chai gi ng ộ ộ ự ố ả ườ i ta l n l ầ ượ t ki m ể tra t ng chai cho t i khi phát hi n đ ừ ớ ệ ượ c chai thu c gi thì thôi( gi thi t các ố ả ả ế chai ph i qua ki m tra m i xác đ nh đ ả ể ớ ị ượ c là thu c gi hay th t) L p lu t phân ố ả ậ ậ ậ

ph i xác su t c a s chai đ ố ấ ủ ố ượ c ki m tra ể

P[X=5] = P[A1 A2 A3 A4 A5] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096

Câu 5: Ba ng ườ i cùng làm bài thi Xác su t làm đ ấ ượ c bài c a sinh viên A là 0,8; ủ

c a sinh viên B là 0,7; c a sinh viên C là 0,6 Xác su t đ có 2 sinh viên làm đ ủ ủ ấ ể ượ c bài.

Bài làm:

G i A, B, C l n lọ ầ ượt là xác su t làm đấ ược bài c a 3 sinh viên A, B, C.ủ

D là xác su t có 2 sinh viên làm đấ ược bài

A=0,8; B=0,7; C=0,6

Ta có:

) C B (A C) B (A C) B A (

) (

P ) (

P ) (

P ) (

PD = A∩B∩C + A∩B∩C + A∩B∩C

Vì A, B, C đ c l p nên:ộ ậ

) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) (

P

C B A C

B A C

B A

Chia ng u nhiên 9 h p s a (trong đó có 3 h p kém ph m ch t) thành 3 ph n ẫ ộ ữ ộ ẩ ấ ầ

b ng nhau Xác su t đ trong m i ph n đ u có 1 h p s a kém ch t l ằ ấ ể ỗ ầ ề ộ ữ ấ ượ ng Bài Gi i ả

G i Aọ i là h p th i có đúng m t s n ph m x u:ộ ứ ộ ả ẩ ấ

C = A1∩A2∩A3 (v i i = 3)ớ

V y xác su t đ trong m i ph n đ u có m t s n ph m kém ch t lậ ấ ể ỗ ầ ề ộ ả ẩ ấ ượng là:

P(C) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩A2)

Bài gi i ả

Xác su t th ng m i ván: p ấ ắ ỗ = 150= 0 02

Ta có xác su t đ ngấ ể ườ ấi y ch i 50 ván mà không th ng ván nào:ơ ắ

Goi X là s l n thành công trong dãy phép th Becnuli: ố ầ ử X ~ B( 50 , 0 02 )

364 0 98 0 02 0 )

6

1 60

10

1 60

1

C C

Bài 9

Trong h p I có 4 bi tr ng và 2 bi đen ,h p II có 3 bi tr ng và 3 bi đen Các bi có ộ ắ ộ ắ kích c nh nhau chuy n 1 bi t h p II sang h p I ,sau đó l y ng u nhiên 1 bi t ỡ ư ể ừ ộ ộ ấ ẫ ừ

P(A2) =

2 1

P(C/A1)=

7 3

P(C/A2)=

7 5

 P(C)=

7

4 14

8 7

5 2

1 7

3 2

3

A A

A

8

3 6

1 2 4

12

3 9

1

C

C C C

C C

=0.2857

Bài 11: M t lô hàng do 3 nhà máy I, II, III s n xu t t l s n ph m do 3 nhà ộ ả ấ ỷ ệ ả ẩ máy s n xu t l n l ả ấ ầ ượ t là 30%, 20%, 50% và t l ph ph m t ỉ ệ ế ẩ ươ ng ng là 1%, ứ 2%, 3% ch n ng u nhiên s n ph m t lô hàng Xác su t đ s n ph m này là ọ ẫ ả ẩ ừ ấ ể ả ẩ

ph ph m? ế ẩ

Bài gi i:ả

P(B2) =

10 2

P(B3) =

10 5

Áp d ng công th c xác su t toàn ph n ta đụ ứ ấ ầ ược:

) ( P ) (

P

B

B A B

4

3 2

1

= 154 + Ta có: A1, A2, A3 đ c l pộ ậ

A1 ∩A2∩A3 = Ω, {A 1 , A 2 , A 3} là h đ y đ ệ ầ ủ

Áp d ng công th c xác su t đ y đ ta có:ụ ứ ấ ầ ủ

) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P ) ( P (

P

3 3

2 2

1

A

4 7

5 3

) ( P ) (

P

B

B A B

V y xác su t đ ng thu c đậ ấ ể ố ố ượ ấc l y ra thu c h p II là: ộ ộ ⋅

37 14

Câu 13

Trong m t lô hàng có 800 s n ph m lo i 1 và 200 s n ph m lo i 2 L y ng u ộ ả ẩ ạ ả ẩ ạ ấ ẫ nhiên ra 5 s n ph m có hoàn l i G i X là s s n ph m lo i 1 l y đ ả ẩ ạ ọ ố ả ẩ ạ ấ ượ c.

a) X tuân theo quy lu t nào? Vi t bi u th c xác su t t ng quát c a quy lu t ậ ế ể ứ ấ ổ ủ ậ b) Tính kỳ v ng và ph ọ ươ ng sai cua X.

c) Tìm s s n ph m trung bình đ ố ả ẩ ượ ấ c l y ra và tính kh năng đ x y ra đi u ả ể ả ề đó.

0,20506

0,41063

P 0,0062

7

0,05088

0,20506

0,41063

= 6( ) ( )6 2

8 0 9 0 1 25

.

8 0 9 0 1 25

.

8 0 8 0 2 25

.

Câu 15 : Lu t phân ph i c a bi n (X, Y) cho b i b ng:ậ ố ủ ế ở ả

, 2 0

, 8

6

y x y x

f

Tính P(1<Y<3/X=2)

X 10 20 30

PX 2 λ 4 λ 5 λ

4

3 2

6 8

1 8

6 ,

x y

xy y dy

y x dy

y x f

2

4

5 2

6 8

1 8

6 ,

y xy

x x dx

y x dx

y x f

y x x

f

y x f

4 2

1 2

4 3

2

6

2 / 2

/ 3 2

2 /

3

1

3 2

2 3

2 2

y dy

x

y

x

dy x y f X

Y P X

Y

P

y

y x

y

y

y

y Y

1

12 5

1

12 5 9 ] 5 9

D(X-Y)=D(X)+D(Y)= 2.25=1 52

0918 0 4082 0 5 0 5 0 ) 333 1 ( 5

1

2 5

1

2 0 ) 0 (

3 0 163

2

3 )

2 0

( )

3

28 61

3

29 28 )

28 3

x y

2

1 2

1 2

b/

Hình a

1 4

1 2 2

2

1 2

2

1 2

1 2

2

2 2

dy e dx

y

y x

x

x

π

π π

c/

707 , 0 8314 , 0 2

1

2

1 2

1

2

2 1

x

x

dy e

dy e dx

e

π

π π

a) Tìm ướ ượ c l ng cho t l trái cây h ng trong nông tr ỉ ệ ỏ ườ ng.

b) Tìm ướ ượ c l ng cho t l trái cây h ng trung bình m i s t ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ

Hình b

c) Tìm ướ ượ c l ng không ch ch cho đ bi n đ ng t l trái cây h ng m i ệ ộ ế ộ ỉ ệ ỏ ở ỗ

s t ọ

Bài làm:

a) Ướ ược l ng cho t l trái cây h ng trong nông trỉ ệ ỏ ường chính là ướ ượ c l ng

đi m cho t l đám đông.ể ỉ ệ

T ng s trái cây đi u tra là:ổ ố ề

Vây ướ ược l ng t l trái cây h ng trong nông trỉ ệ ỏ ường là vào kho ng : 44,4%ả

b) G i xọ i là t l ph n trăm trái cây h ng m i s t ng v i s trái h ng trongỉ ệ ầ ỏ ở ỗ ọ Ứ ớ ố ỏ

0237206470

-4-3-2-101234

0-6-6-7068210

0181270616630

01

56

06

036n=50 ∑x'i.ni = 22 x' 2 ni 158

n x' '

x n = x 'n.h+x0 = 0 , 44 10 + 40 = 44 , 4 (%).

V y ậ ướ ược l ng cho t l trái cây h ng trung bình m i s t vào kho ng 44,4% ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ ả

Ta th y k t qu này tấ ế ả ương t k t qu câu (a).ự ế ả ở

c) Tìm ướ ược l ng không ch ch cho đ bi n đ ng t l trái cây h ng m i s t:ệ ộ ế ộ ỉ ệ ỏ ở ỗ ọ

Ta có:

3,16.

50

158 x'2 = =

2,9664.

0,44 3,16 )

' x ( x'

n

2 2

296,64.

2,9664.10 h

296,64.50 1

Tr ng lọ ượng trung bình c a m t lo i s n ph m là 6kg Qua th c t s n xu t, ngủ ộ ạ ả ẩ ự ế ả ấ ườ i

ta ti n hành m t s ki m tra và đế ộ ố ể ược k t qu cho trong b ng sau (tính b ng kg).ế ả ả ằ

112 82 125

699 113

x

y y x x r

i i

i i

XY

Phương trình h i quy y theo xồ : y− =ax+b=0.9036x+3.829

Câu 23:

= 2.186844Thành ph có 600000 h nên kho ng ố ộ ả ướ ược l ng t ng s lổ ố ượng s n ph m công ty tiêuả ẩ

th là:ụ

µ 1 = 1.725656 x 600000 = 1,035,396 (kg)

µ 2 = 2.186844 x 600000 = 1,312,106 (kg)

CÂU 24

X(Kg)là ch tiêu c a m t lo i s n ph m Di u tra m t s s n ph m ta có k tỉ ủ ộ ạ ả ẩ ề ộ ố ả ẩ ế quả

x 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80

a.ướ ược l ng trung bình ch tiêu v i đ tin c y 98%ỉ ớ ộ ậ

b có tài li u nói r ng trung bình X là 70% cho nh n xét v i m c ý nghĩa 5%ệ ằ ậ ớ ứ

c ướ ược l ng trung bình ch tiêu X c a các s n ph m có ch tiêu X không qáuỉ ủ ả ẩ ỉ60kg v i d tin c y 99% G a thi t ch tiêu này có phân ph i chu nớ ộ ậ ỉ ế ỉ ố ẩ

x t

s n

Khi đó n

x

s n