BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Tìm xác suất của biến cố sau: a Có 2 sinh viên làm được bài b Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm đượcbài Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn.. Tìm xác

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục tiêu bị tiêu

diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng Gọi X là số đạn bắn đến khi mục tiêu bị diệt Tìm a) P( K = x) với x = 3; 4; 5;6

b) Tìm E(x)

Giải a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận các giá trị x

= 3, 4, 5, 6

Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi viên là 0,6.Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi phép thử là 0,6 ¿>¿X có phân phối nhị thức X ~ B (6 ; 0,6)

Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì

vọng 42tạ/ha và  3tạ/ha Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha

Giải

Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X ~ N (  ) , 2

Với kì vọng (năng suất trung bình) E X( )  42tạ/ha và  3tạ/ha

b) E(X) =

100

3 100

Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8 Của

sinh viên B là 0,7 Của sinh viên C là 0,6 Tìm xác suất của biến cố sau:

a) Có 2 sinh viên làm được bài

b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm đượcbài

Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng mục

tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi Gọi X là số viên đạn đã bắn Mốt Mod [X] ?

Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì (0 ≤ p≤ 1)

Gọi X là số viên đạn đã bắn Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4P(X=1) = p

Câu 7: Cho Z = 2X – Y + 5 biết

=13

V ậ y P ( A B )=1

3Câu 10/ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựa chọnđúng Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm Tính sác xuất để sinh viên làm đượcđúng 5 điểm

Vậy xác suất để sinh viên được 5 điểm là P( X =5) = C105 0,255 0,755 = 0,058 = 5,8%

C âu 11:C ó 3 nh ó m h ọ c Nh ó m I c ó 5 nam2 nữ , nh ó m II c ó 4 nam1 n ữ , nh ó m III c ó 3 nam

2 n ữ Ch ọ n ng ẫ u nhi ê n 1sinh vi ê n trong nh ó mthì đ ượ c sinh vi ê n nam X á c xu ấ t đ ể

sinh viê n đó thu ộ c nh ó m II

Gi ả i:G ọ i A1l à biế n c ố sinh viê n đ ượ c ch ọ n ở nh ó m I

G ọ i A2l à biế n c ố sinh viê n đ ượ c ch ọ n ở nh ó m II G ọ i A3l à bi ế n c ố sinh vi ê n đ ượ c ch ọ n ở nh ó m I

C âu 12 : L ấ y ng ẫ u nhi ê n1 l á b à it ừ b ộ b ài 52l á X á c su ấ t l ấ y đ ượ c lá Á ch ho ặ c l á C ơ

V ậ y P(X2+Y2≤ 1)=∬

r ,φ

❑

drdφ cosφ V ớ i ∀ r , φ={0≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π

0

π

4

dφ cosφ

Câu 14: Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95 Tìm xác suất để

số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong khoảng từ 900 đến 980

Giải:

Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn X có phân phối nhị thức X ~ B(1000 ; 0,95)

nhưng vì n = 1000 ( sản phẩm ) là lớn và p = 0,95 không quá gần 0 và 1 nên :

X ~ B(1000 ; 0,95) → X ~ H(μ, δ2 )

Câu 15: Có 2 lô hàng, mỗi lô gồm 10000 sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại I của lô thứ

nhất, thứ hai tương ứng là 70% , 80% Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm đểkiểm tra (lấy không hoàn lại) Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩmloại I trở lên thì mua lô hàng đó

a) Tìm xác suất để lô hàng thứ nhất được mua

b) Tìm xác suất để ít nhất một lô hàng được mua

A1 là biến cố lô hàng thứ nhất được mua

A2 là biến cố lô hàng thứ hai được mua

Xi là số sản phẩm lấy ra để kiểm tra

Theo đề bài thì lô hàng thứ nhất và thứ hai có quy luật phân bố siêu bội

.(lấy không hoàn lại)

XI ~ H(10000;7000;10)

XII ~ H(1000;8000;10)

Nhưng vì số tổng sản phẩm là N = 10000 rất lớn trong khi đó số sản phẩm lấy ra n = 10rất nhỏ nên có thể coi 2 lô hàn có quy luật phân phối nhị thức.

Gọi A là biến cố có ít nhất một lô hàng được mua

⇒ ´A là biến cố không có lô hàng nào được mua

Câu 16: Một lô hàng gồm 10000 sản phẩm , trong đó có 40000 sản phẩm loại II Chọn ngẫu

nhiên 2400 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại để kiểm tra

a) Tính xác suất để trong số 2400 sản phẩm chọn ra kiểm tra có không quá 960 sản phẩmloại II

b) Tính số sản phẩm loại II trung bình có trong 2400 sản phẩm được chọn Nếu chọn theophương thức không hoàn lại thì kết quả thay đổi thế nào?

Giải:

Lô hàng gồm 100000 sản phẩm, trong đó 40000 sản phẩm loại II, ta chọn ngẫu nhiên

2400 sản phẩm nhưng theo phương thức có hoàn lại nên:

Gọi X là số sản phẩm được kiểm tra thì X có phân phối nhị thức

Câu 17: Trong ngày lễ quân đội, người ta đưa hai khẩu súng A và B Xạ thủ M vào chơi

sẽ được rút ngẫu nhiên 4 cây bài trong 52 cây (trong đó có 4 cây A t) Nếu có ít nhất 1 cây

t

A thì M lấy được súng A, ngược lại sẽ lấy được súng B Sau đó bắn 100 viên đạn Người

ta biết rằng với M thì xác suất bắn trúng bia bằng súng A là 0,8 và bằng súng B là 0,7.Nếu trong 100 viên đạn đó trúng 80 viên thì được thưởng 1 tivi, có 50 viên trúng thì đượcthưởng 1 catxet Nếu có trên 80 viên trúng thì được 1 đồng hồ treo tường Nếu dưới 40viên thì phát 50 ngàn đồng Tính xác suất của các biến cố

a) Được thưởng tivi

b) Được thưởng catxet

c) Được thưởng đồng hồ tường

d) Bị phạt 50 ngàn đồng

Giải:

Gọi X là số lá át mà xạ thủ M rút được:

¿>X H (52,4,4 )

Gọi A1 là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng A

Gọi A2 là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng B

Gọi XA là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng A ¿>X A B (100,0.8)

vì n=100 khá lớn và pA=0.8 không quá gần 0 và 1 nên có thể xem 1 cách gần đúng XA cóphân phối chuẩn là :X A H (μ , δ2) với {δ2 μ=np=100 × 0.8=80

b/ Gọi T2 là biến cố mà xạ thủ M được thưởng catxet

C âu 1 8 :Choh à mm ật đ ộ c ủ a BNN nh ư sau : f ( x )={15, 0<x<5

0Tìm kỳ vọng , phương sai của BNN X

Câu 19: X,Y là hai BNN có hàm mật độ đồng thời là:

⇒ Khoảng ước lượng là ( xn− ε ; xn+ ε ) hay ( 59,9625 ; 64,6625 ).

Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 59,9625 ; 64,6625 )

⇒ Khoảng ước lượng là ( xn− ε ; xn+ ε ) hay ( 58,7125 ; 65,9125 ).

Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 58,7125 ; 65,9125 )b/ Nếu mỗi lít nước mắm có giá là 6 ngàn đồng thì cửa hàng cần phải dự trữ món tiềntrung bình trong một ngày để lấy nước mắm cung cấp cho khách hàng là : ( 58,7125.6 ;65,9125.6 ) hay ( 352,275 ; 395,475 ) (ngàn)

c/ Với độ tin cậy 1−α ta ước lượng được ( δ12;δ22 ) với

p ( δ12≤δ2≤δ22 ) = 1−α Vì μ chưa biết

Câu21 Cân thử trọng lượng 15 con gia súc ở một trại chăn nuôi khi xuất chuồng, ta

được các kết quả sau:

a) Giả sử trọng lượng các con gia súc tuân theo luật phân phối chuẩn với phương sai0,01 Hãy ước lượng trọng lượng trung bình các con gia súc với độ tin cậy 99%b) Giám đốc trại tuyên bố trọng lượng trung bình của các con gia súc khi xuất chuồng

là 3,5 Kg thì có thể tin lời tuyên bố đó không? (với  = 1%)

c) Giả sử người ta dùng một loại thức ăn mới và trọng lượng trung bình của giống giasúc này khi xuất chuồng là 3,9 kg Cho kết luận về loại thức ăn này (với  = 1%)

a/ Trọng lượng con gia súc có phân phối chuẩn :

{n=15< 30 δ2=0.01 và 1−α=0.99

´

x n=3.62, δ=0.1

Câu 22 Tại một nông trường, để điều tra trọng lượng một loại trái cây, người ta cân thử

một số trái cây được kết quả cho trong bảng sau

a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy

99%

b) Để ước lượng trung bình của một loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy 99%

và độ chính xác 0,22g thì cần cân them bao nhiêu trái cây nữa?

c) Người ta quy ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại II Hãy

ước lượng tỉ lệ trái cây loái II với độ tin cậy 95%

d) Sau đợt kiểm tra, người ta bón them một loại phân hóa học mới làm cho trọng

lượng trung bình một trái cây là 70g Hãy cho kết luận về tác dụng của loại phân

này với mức ý nghĩa 1%

2 =0.495

⇒tổng số trái cây loại II là m=2+11+ 25=38

Trong tổng số trái cây là n=361

Tức trọng lượng trung bình của trái cây là < 70(g)

Câu 23: Người ta dùng phương sai hay độ lệch tiêu chuẩn làm độ đo đánh giá sự rủi ro

của cổ phiếu Điều tra NN giá cổ phiếu công ty A trong 25 ngày tính được s 12 6,52 , củacông ty B trong 22 ngày tính được s 22 3, 47 Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ rủi

ro cổ phiếu của công ty A cao hơn của công ty B không?

Giải:

Gọi rủi ro cổ phiếu của công ty A là A2

Gọi rủi ro cổ phiếu của công ty B là B2

Vì g = 1,88 < f = 2,37  chấp nhận H0 tức với mức ý nghĩa là 5% thì vẫn chưa đủ đểnói rủi ro cổ phiếu của công ty nào là hơn