Tổng hợp các công thức xác suất thống kê

Tổng hợp các công thức xác suất thống kê giúp cho việc giải bài tập dễ dang hơn

Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo PHẦN XÁC SUẤT  GIẢI TÍCH TỔ HP:  Chỉnh hợp : Ank  n! (n  k )!  Chỉnh hợp (lặp): k n A  nk  k  n (các p tử không lặp lại)  nhóm có thứ tự gồm k p.tử chọn từ n p.tử cho  k lớn n  nhóm có thứ tự gồm k p.tử lấy từ n p.tử cho, p.tử có mặt 1,2 k lần nhóm tạo thành  Hoán vị: Pn  A  n ! n n  Hoán vị n p.tử nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n p.tử cho  Tổ hợp: Cnk  Lớp: 08L1TH n! k !( n  k )!  k  n  laø nhóm không phân biệt thứ tự gồm k p.tử khác chọn từ n p.tử cho Trang 1/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  BIẾN CỐ – PHÉP THỬ:  Các loại biến cố: Biến cố chắn (U) Biến cố không (V) Biến cố ngẫu nhiên (A, B, C hay A1, B1, C1 )  Mối quan hệ biến cố: (Giả sử ta có A, B, C biến cố )  Định nghóa 1: Hai biến cố tương đương A = B - A xảy B xảy ngược lại  Định nghóa 2: Biến cố tổng C = A + B Nếu C xảy A B xảy  Định nghóa 3: Biến cố tổng n biến cố A = A1+A2+ +An Nếu n biến cố xảy  Định nghóa 4: Biến cố tích C = A B Nếu C xảy A B xảy  Định nghóa 5: Biến cố tích n biến cố A = A1.A2 An Nếu n biến cố đồng thời xảy  Định nghóa 6: Biến cố xung khắc A B gọi hai biến cố xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử  Định nghóa 7: Biến cố xung khắc n biến cố Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi nhóm biến cố xung khắc đôi có hai biến cố n biến cố xung khắc  Định nghóa 8: biến cố A1,A2, ,An nhóm biến cố đầy đủ chúng xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn (P(U) = 1)  Định nghóa 9: Hai biến cố đối lặp A B gọi hai biến cố đối lặp chúng tạo nên nhóm biến cố đầy đủ (P(U) = 1) Lớp: 08L1TH Trang 2/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Định nghóa cổ điển xác suất: P( A) m  n  m: Số trường hợp thuận lợi để A xảy  n: Số trường hợp khả xảy  Các tính chất xác suất:  Tính chất 1: A biến cố  P( A)   Tính chất 2: xác suất biến cố chắn P(U )   Tính chất 3: xác suất biến cố không P(V )   Tính chất 3: Nếu A B hai biến cố xung khắc, ta có P( A B )  P( A)  P( B ) Chú ý: A B hai biến cố xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử Lớp: 08L1TH Trang 3/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT:  Công thức cộng xàc suất :  Công thức 1: Nếu A B hai biến cố xung khắc ; P( A B )  P( A)  P( B )  Công thức 2: Nếu A B hai biến cố ; P( A B )  P( A)  P( B )  P( A.B )  Hệ : Nếu A B hai biến cố đối lập ; P( A)  P( B )  Chú ý: A B gọi đối lập chúng xung khắc; biến cố tổng chúng biến cố chắn (C = A + B)  Công thức nhân xác suất :  Xác suất có điều kiện : Xác suất biến cố A tính theo đk biến cố B xảy gọi xác xuất có đk  Công thức nhân xác xuất: P( A.B )  P( A) P( B / A)  P( A/ B )  Hệ quả: Nếu A B độc lập với nhau, ta có: P( A/ B )  P( A) P( B / A)  P( B ) P( A.B )  P( A) P( B ) Lớp: 08L1TH Trang 4/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Công thức Bernoulli: Áp dụng cho phép thử độc lập  Thực n phép thử độc lập  Trong phép thử xảy trường hợp Gọi A phép thử xảy hai trường hợp Hoặc A xảy A xảy  Trong phép thử :  xác suất để xảy biến có A p;  xác suất để xảy biến có A q = - p;  Ta có, xác xuất để n phép thử có biến cố A xảy tính theo công thức sau: Pn ( x)  Cnx p x q n  x với x = 0, 1, , , n  Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử B xảy n biến cố : A1, A2, An nhóm biến cố đầy đủ P B   P A1  P B / A1   P A2  P B / A2    P An  P B / An  Hay P B    i 1 P Ai  P B / Ai  n Lớp: 08L1TH Trang 5/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  ĐẠI LƯNG NGẨU NHIÊN:  Bảng phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc) (ĐLNN rời rạc ĐL mà giá trị có hữu hạn đếm được.) X x1 Pi p x2 p2 x3 p3 xn pn (Caùc giaù trị có ) (Các xác suất tương ứng )  Điều kiện: o  pi  o p1 + p2 +p3 + +pn =  Hàm phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc liên tục ) (ĐLNN liên tục ĐL mà giá trị có lắp kính khoản trục số )  Ký hiệu hàm phân phối xác suất : F(x) = P(X < x)  Các tính chất hàm phân phối xác suất : a  F x   b F(x) hàm không giảm ( Đạo hàm không âm ; c F'x   ) P( a  X b )  F(b )  F( a ) d Các biểu thức giới hạn: lim F( x)  ; Khi x   F (x) x lim F( x)  ; Khi x   F (x) x Lớp: 08L1TH Trang 6/19 =1 =0 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Hàm mật độ xác suất : (áp dụng cho ĐLNN liên tục )  Ký hiệu hàm mật độ xác suất : f  x   F 'x   Các tính chất hàm mật độ xác suaát : f x   a b P a xb  với x b =>  f dx x a x c F x     f x  dx  d   f x  dx   Chú ý: Một hàm f(x) muốn trở thành hàm mật độ xác suất ĐLNN LT X phải thỏa hai tính chất Lớp: 08L1TH Trang 7/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯNG NGẨU NHIÊN:  Kỳ vọng toán :  Các ĐLNN rời rạc X X x1 Pi p x2 p2 x3 p3 xn pn  Ký hiệu & công thức tính kỳ vọng toaùn: M(x) = x1p1+ x2p2+ x3p3+ + xnpn Hay n M  x    xi pi i 1  Ý nghóa kỳ vọng toàn: đặc trưng cho giá trị trung bình ĐLNN  Phương sai ĐLNN :  Các ĐLNN rời rạc X X x1 Pi p x2 p2 x3 p3 xn pn  Ký hiệu & công thức tính phương sai: D X   ( x12 p1  x22 p2   xn2 pn )  M x    Hay n D x    xi2 pi   M  x     i 1  Ý nghóa kỳ vọng toàn: đặc trưng cho mức độ phân tán giá trị có so với kỳ vọng toán Lớp: 08L1TH Trang 8/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP:  Quy luật nhị thức : ĐL NN rời rạc X nhận giá trị có: 0,1,2,3 n; với xác suất tương ứng tính theo công thức sau:  Công thức 1: P X  x   P x   Cnx p x q n x Bảng phân phối xác suất: X Pi Cn0 p q n n Cn1 p1q n1 Cnn p n q M  X   n p D X   n p.q  Công thức : P x X  x  h   Px  P x 1  P x     P x h  Trong P(x), P (x +1) tính theo công thức  Công thức : (Gần cho công thức 1) P x   fu  n p.q Với : u x  n p n p.q  fu   Lớp: 08L1TH u2 e 2 Hoặc tính u, tra bảng phụ lục trang 192 ta tính f(U) Nếu u f(u) = f(-u) Trang 9/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Công thức : Công thức gần cho công thức P x X  x  h   u2  u1 Với : u1  x  n p n p.q u2  ( x  h)  n p n p.q u  Lớp: 08L1TH 2 u e  u2 Hoặc tính u1, u2; tra bảng phụ lục trang 192 ta tính được: u ,  u Nếu u f(u) = -f(u) Nếu u > => f(u) = 0.5 du Trang 10/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo PHẦN THỐNG KÊ  MẪU NGẪU NHIÊN  Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên : WX = (X1, X2 Xn)  Ký hiệu mẫu cụ thể : wx = (x1, x2 xn)  CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẨU NHIÊN  Trung bình mẫu ngẫu nhiên:  Ký hiệu công thức tính trung bình mẫu ngẫu nhiên: X X  X   X n n   Xi n n i1  Ký hiệu công thức tính trung bình mẫu cụ thể : x x1  x2   xn n   xi n n i 1  Phương sai mẫu ngẫu nhiên:  Ký hiệu công thức tính phương sai mẫu ngẫu nhiên: S2  ( X  X )  ( X  X )   ( X n  X )2 n   ( X i  X )2 n n i 1  Ký hiệu công thức tính phương sai mẫu cụ thể : s2  Lớp: 08L1TH ( x1  x)  ( x2  x)   ( xn  x) n   ( xi  x)2 n n i 1 Trang 11/19 Löu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán  Tài liệu tham khảo Phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:  Ký hiệu công thức tính phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên: S 2  ( X  X )2  ( X  X )   ( X n  X ) n   ( X i  X )2 n 1 n  i 1 Hoaëc: S 2  n S n 1  Ký hiệu công thức tính phương sai mẫu cụ thể : s 2  Hoặc:  ( x1  x )2  ( x2  x)2   ( xn  x) n  ( xi  x)2  n n  i 1 s 2  n s n 1 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên:  Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên: S  S2  Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu cụ thể : s  s2  Độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:  Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên: S   S 2  Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể : s   s 2 Lớp: 08L1TH Trang 12/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  ƯỚC LƯNG TRUNG BÌNH:  Trường hợp 1: n  30; D X    (đã biết ) n  30 , D X  hoaëc   (đã biết ), X phân phối xác suất chuẩn x  < m < x  Với:   độ xác tiêu chuẩn   U  1  n      1  2  (Tính =>   U   n  , tra bảng phụ lục ta tính U     : độ tin cậy ước lượng  Trường hợp 2: n  30; D X    (chưa biết ) x  < m < x  Với:   độ xác tiêu chuẩn    U 1  s n         2  ( s : tính từ mẫu cụ thể; tính =>   U  s ; n  , tra bảng phụ lục ta tính U     : độ tin cậy ước lượng Lớp: 08L1TH Trang 13/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Trường hợp 3: n  30; D X    (chưa biết ), X phân phối xác suất chuẩn x  < m < x  Với:   độ xác tiêu chuẩn n 1    t1  s n (Tính         2  =>   tn 1 s ; n  , tra bảng phụ lục ta tính tn1    : độ tin cậy ước lượng ****************************************  Cả ba trường hợp có công thức : x  < m < x  Chỉ khác cách tính Lớp: 08L1TH I   U  n II   U s n III   tn 1  s n Trang 14/19 Löu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  ƯỚC LƯNG TỶ LỆ: GS P tỷ lệ chưa biết , ta cần ước lượng P, muốn ta tìm khoản số P1 P2:  Công thức tính: f  < m < f  Với:  f: tỷ lệ mẫu cụ thể   độ xác tiêu chuẩn    U 1  f (1  f )    ;      =>   U  2 n  (Tính f (1  f ) n  , tra bảng phụ lục ta tính U     : độ tin cậy ước lượng  KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH: GS ĐLNN X có kỳ vọng M(X ) = m chưa biết , dựa sở ta nêu giả thuyết: H : m  m0 Tương ứng có loại giả thuyết đối: H : m  m0 H : m  m0 H : m  m0 Lớp: 08L1TH Trang 15/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Các bước giải toán:  Bước 1: Ta chọn thống kê (tuỳ trường hợp) làm tiêu chuẩn kiểm định  Bước 2: Tìm miền bác bỏ W : o Với giả thuyết đối: H : m  m0  W   , U  1         U1  ,        o Với giả thuyết đối: H : m  m0 W  U1 ,   o Với giả thuyết đối: H : m  m0 W    ,  U1   Bước 3: tính uqs (Theo trường hợp) Lớp: 08L1TH Trang 16/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Bước 4: so sánh uqs với miền bác bỏ - Nếu - Nếu uqs  W uqs  W W => Bác bỏ H thừa nhận H => Thừa nhận H Các trường hợp để chọn thống kê U tính uqs:  Trường hợp 1: (Thực qua bước trên) n  30; D X    (đã biết ) n  30 , D X    (đã biết ), X phân phối xác suất chuẩn ( X  m0 ) n U  uqs  ( x  m0 ) n   Trường hợp 2: (Thực qua bước trên) n  30; D X    (chưa biết ) ( X  m0 ) n U S Lớp: 08L1TH Trang 17/19 uqs  ( x  m0 ) n s Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Trường hợp 3: n  30; D X    (chưa biết ), X phân phối xác suất chuẩn ( X  m0 ) n T S tqs  ( x  m0 ) n s Ở trường hợp xét miền bác bỏ, ta chuyển: U 1   T n 1 1 U1  T1n1 Lớp: 08L1TH Trang 18/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỶ LỆ: Tương tự kiểm định giả thuyết trung bình, ta có: H : p  p0 Tương ứng có loại giả thuyết đối:      W   , U     U  ,    1   1    H : p  p0 W  U1 ,   H : p  p0 W    ,  U1  H : p  p0 Chọn thống kê, tính uqs: (chỉ có trường hợp) ( X  p0 ) n U p0 (1  p0) uqs  ( f  p0 ) n p0 (1  p0 ) f: tỷ lệ mẫu cụ thể So sánh uqs với miền bác bỏ W - Nếu - Nếu Lớp: 08L1TH uqs uqs  W => Bác bỏ H thừa nhận H  W => Thừa nhận H Trang 19/19 Lưu hành nội ... Lớp: 08L1TH Trang 3/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT:  Công thức cộng xàc suất :  Công thức 1: Nếu A B hai biến cố xung... chẳn: => f(u) = f(-u) Trang 9/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  Công thức : Công thức gần cho công thức P x X  x  h   u2  u1 Với : u1 ... Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo  MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP:  Quy luật nhị thức : ĐL NN rời rạc X nhận giá trị có: 0,1,2,3 n; với xác suất