Đại học quốc gia hà nội Trờng đại học công nghệ môn Thi: xác suất-thống kê-QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K49 CA và CC Đề số 1 (120 phút) 1) Phát biểu và chứng minh công thức cộng xác suất trong trờng hợp có hai sự kiện A và B. Mở rộng cho trờng hợp có 3 sự kiện A, B, C. 2) Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng. 3) Các hệ số a,b, c của phơng trình bậc hai 2 0ax bx c+ + = đợc xác định qua 3 lần gieo một con xúc sắc 6 mặt đối xứng. Tìm xác suất để phơng trình bậc hai trên có: a) Nghiệm thực. b) Nghiệm phức. 4) Cho A là tập hợp bị giới hạn bởi hình vuông đơn vị và các đờng cong 2 y x= và y x= . Xét véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời 5 ( ) ( ) 0 X Y khi x y A f x y nguoc lai , , , , = a) Hãy vẽ đồ thị hàm mật độ đồng thời trên. b) Tính hàm mật độ biên duyên của X và Y. 5) Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ: 1 1 ( ) 0 khi x f x x nguoc lai = trong đó là một tham số cha biết. Hãy tìm ớc lợng hợp lý cực đại của từ một mẫu ( 1 2 , , , n X X XL ) Thang điểm và lời giải Đề1/05-06 XSTK-QTNN 1)2 điểm Trờng hợp 2 sự kiện A và B , chứng minh nh trong giáo trình và ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) .P A B P A P B P A B = + Trờng hợp 3 sự kiện A, B và C, lần lợt ứng dụng công thức cộng xác suất cho 2 sự kiện ( A B ), C và A, B ta đợc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C = + + + 2) 2 điểm Nh trong giáo trình 3) 2 điểm b) ( ) 2 ( ) 5 0 1 X f x x x x= ( ) 2 ( ) 5 0 1 Y f y y y y= 4) 2 điểm a) Muốn phơng trình có nghiệm thực, ta phải có: 2 4 0b ac = hay 2 4 b ac . Vì a, b, c đều là các biến ngẫu nhiên lấy các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 với cùng xác suất bằng 1/6 nên số trờng hợp để 2 4 b ac thoả mãn là: b 2 4 b ac Số trờng hợp 2 4 b ac Các cặp giá trị của (a, c) thoả mãn 2 4 b ac 1 1 4 ac 0 Không có 2 4 1 4 ac= 1 (1,1) 3 9 2,5 4 ac= 3 (1,1) (1,2) (2,1) 4 16 4 4 ac= 8 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (3,1) 5 25 6,25 4 ac= 14 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (5,1) (6,1) 6 36 9 4 ac= 17 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (4,1) (4,2) (5,1) (6,1) b) Xác suất để phơng trình bậc hai có nghiệm thực là: (0+1+3+ 8+14 +17)/216= 43/216. c) Xác suất để phơng trình bậc 2 có nghiệm ảo là 1- 43/216 =173/216. 5) 2 điểm Hàm hợp lý có dạng sau: ( ) 1 1 ( 1) min( , , ) 1 ( ) 0 n n n X X L X X khac = Để ( , )f x là hàm mật độ, ta giả thiết: 1 > . Suy ra: ( ) ( ) ( ) 1 ln ln( 1) ln n L n X X = Từ phơng trình hợp lý: ( ) ( ) 1 1 ln ln 0 1 . 1 ln n i n i i i d n n L X d X = = = = = + Vì ( ) ( ) 2 2 2 ln 0 ( 1) d n L d = < nên điểm dừng chính là điểm cực đại và 1 1 ln n i i n X = = + là ớc lợng hợp lý cực đại của tham số . Đại học quốc gia hà nội Trờng đại học công nghệ môn Thi: xác suất-thống kê-QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K50 CA và CC Đề số 1 (120 phút) 1) Cho A và B là 2 sự kiện. Sử dụng định nghĩa xác suất theo tiên đề, lần lợt chứng minh: a) Công thức cộng xác suất. b) ( ) ( ) ( ) .P A B P A P B + c) ( ) ( ) ( ) 1 .P A B P A P B 2) Xác suất để truy nhập vào một trang web tại một thời điểm nào đó là 0,7. Gọi X là số lần thử để truy nhập thành công vào trang web. Ký hiệu hàm xác suất { } ( )p x P X x= = . a) Tính hàm xác suất p(x) với x=1, 2, 3, 4. b) Tính hàm phân phối ( ) { } X F x P X x= với x=2 và với x=4. c) Tính { } 2 5P X< < và { } 3 4 .P X 3) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Laplace có dạng sau: ( ) ( ) , exp , 2 f x x x R = a) Xác định ớc lợng hợp lý cực đại của . b) Tính với mẫu cỡ 5 nh sau ( ) 1 2 3 4 5 , , , ,x x x x x = ( ) 2,1; 2,7;1,7;2,6;0,9 . 4) Giả sử X là thời gian lắp ráp một thiết bị mới tại một phân xởng lắp ráp của một nhà máy lớn. X là biến ngẫu nhiên có ( ) 2 D X = đã biết, cụ thể 3,6 = nhng ( ) E X à = cha biết. Qua điều tra 121 công nhân lắp ráp cùng thiết bị mới, ngời quản lý tính đợc thời gian lắp ráp trung bình thiết bị trên là X = 16,2 phút. Với mức ý nghĩa 5% = hãy kiểm định: a) Giả thuyết :" 15" o H à = so với đối thuyết 1 :" 15".H à b) Giả thuyết :" 15" o H à = so với đối thuyết 1 :" 15".H à > Cho biết 0,025 1,96z = và 0,050 1,65.z = 5) Cho quá trình ngẫu nhiên ( ) ( )X t cos at = + trong đó phân phối đều trong khoảng ( ) , , a là hằng số, t R a) Tính hàm trung bình ( ) X m t và hàm tự tơng quan ( ) X R t s, . b) Rút ra kết luận về quá trình X(t). Đáp án và thang điểm 1) 2 điểm a) 1 điểm. b) 1/2 điểm. c) 1/2 điểm. 2) 2 điểm a) p (1)= 0,7 ; p (2)=0,21; p (3)=0,063; p (4)=0,0189; 1 điểm b) F(2) 0,91; F(4)= 0,9919; 1/2 điểm c) Cả 2 xác suất đều bằng F(4)-F(2) = 0,0819; 1/2 điểm. 3) 2 điểm d) Ước lợng hợp lý cực đại của là 1 2 . n n x x x = + + + 1,5 điểm. e) Với mẫu cỡ 5 đã cho, 0,5 = ; 1/2 điểm. 4) 2 điểm a) 0 16,2 15 11 121 3,66 1,96. 3.6 3 X Z n à = = = = > Bác bỏ 0 H ; 1.5 điểm . b) Z=3,66 >1,65;Bác bỏ 0 H : 0,5 điểm 5) 2 điểm a) ( ) 0 X m t = Tối đa: 1/2 điểm; 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ( )) X R t t cos a t t, = . Tối đa : 1 điểm. b) X(t) là quá trình dừng theo nghĩa rộng. Tối đa: 1/2 điểm. Đại học quốc gia hà nội Trờng đại học công nghệ môn Thi: xác suất-thống kê-QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K50 CA và CC Đề số 2 (120 phút) 1) Một hệ thống máy tính nối mạng trực tuyến có 4 đờng truyền với tính năng sau: Đờng truyền Tỉ lệ đợc sử dụng Xác suất nhận bản tin không sai sót 1 0,4 0,998 2 0,3 0,999 3 0,1 0,997 4 0,2 0,992 Chọn ngẫu nhiên một bản tin. Tính xác suất để hệ thống nhận bản tin đó không sai sót. 2) Giả sử hàm mật độ đồng thời của một vectơ ngu nhiên 2 chiều (X,Y) đợc cho bởi ( ) ( ) , 2 XY f x y c x y= + với 0 3x < < và 1 2y< < a) Tính c và các hàm mật độ biên duyên ( ) X f x , ( ) . Y f y b) X có độc lập với Y không ? Tại sao ? 3) Cho một mẫu ngẫu nhiên ( ) 1 2 , , , n X X X cỡ n lấy từ biến ngẫu nhiên X có ( ) .E X à = Đặt 1 1 n i i X X n = = . Chứng minh: X là ớc lợng không chệch và ớc l- ợng vững của . à . 4) Cho ( ) 1 2 , , , n X X X là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: 1 1/ 1 1 ( ) 0 khi x f x x nguoc lai + > = trong đó là một tham số thực duơng cha biết. Hãy tìm ớc lợng hợp lý cực đại của . 5) Xét hai quá trình dừng đồng thời theo nghĩa rộng ( ) { } X t và ( ) { } Y t với các hàm ( ) X R , ( ) Y R và ( ) XY R đã cho. Xét ( ) ( ) ( )S t X t Y t= + và ( ) ( ) ( )D t X t Y t= . a) Tìm hàm tự tơng quan của ( ).S t b) Tìm hàm tơng quan chéo ( , ) SD R t s Đáp án và thang điểm đề 2 Môn thi: Xác suất-Thống kê-QTNN 1) 2 điểm Xác suất cần tìm : 0,4 x 0,998+ 0,3 x 0,999 +0,1 x 0,097 +0,2 x 0,992= 0,997. 2) 2 điểm c= 2/27 ( ) 2 ( ) 3 ; 27 X f x x= + ( ) 1 ( ) 3 4 . 9 Y f y y= + X và Y không độc lập vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 , . 243 X Y XY f x f y x y f x y= + + 3) 2 điểm Chứng minh ớc lợng không chệch 1 điểm; ớc lợng hiệu quả 1 điểm . 4) 2 điểm 1 ln ˆ n i i X n θ = = ∑ 5) 2 ®iÓm a) ( ) ( ) ( ) ( ). X YX XY Y R t s R t s R t s R t s− + − + − + − 1 ®iÓm b) ( ) ( ) ( ) ( ). X YX XY Y R t s R t s R t s R t s− + − − − + − 1 ®iÓm . nghệ môn Thi: xác suất- thống kê- QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K49 CA và CC Đề số 1 (120 phút) 1) Phát biểu và chứng minh công thức cộng xác suất trong trờng hợp có hai sự kiện A và B quan của ( ).S t b) Tìm hàm tơng quan chéo ( , ) SD R t s Đáp án và thang điểm đề 2 Môn thi: Xác suất- Thống kê- QTNN 1) 2 điểm Xác suất cần tìm : 0,4 x 0,998+ 0,3 x 0,999 +0,1 x 0,097 +0,2 x. học quốc gia hà nội Trờng đại học công nghệ môn Thi: xác suất- thống kê- QTNN (5 đơn vị học trình) Các lớp: K50 CA và CC Đề số 2 (120 phút) 1) Một hệ thống máy tính nối mạng trực tuyến có 4 đờng