Để ước lượng số kẹo trung bình bán được trong 1 tuần với độ chính xác 10kg và độ tin c ậy 99% thì cần điều tra thêm bao nhiêu tuần nữa.. B ằng cách thay đổi mẫu mã, người ta thầy số kẹo[r]
(1)Page BỘ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ1
1 Đường kính loại trục máy đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn ĐỀ SỐ
2
( 250 ; 25 )
N µ = mmσ = mm Trục máy gọi hợp quy cách đường kính từ 245mm đến 255mm Cho máy sản xuất 100 trục Tính xác suất để:
a Có 50 trục hợp quy cách
b Có khơng q 80 trục hợp quy cách
2 Quan sát mẫu (người) , ta có bảng thống kê chiều cao X(cm), trọng lượng Y(kg): X
Y
150-155 155-160 160-165 165-170 170-175
50
55 11
60 15
65 17
70 10
75 12
a Ước lượng chiều cao trung bình với độ tin cậy γ =95%
b Những người cao từ 170cm trở lên gọi cao Ước lượng trọng lượng trung bình người cao với độ tin cậy 99%
c Một tài liệu thống kê cũ cho biết tỷ lệ người nặng (≥70kg ) 30% Cho kết luận tài liệu đó, với mức ý nghĩa α =10%
d Lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X BÀI GIẢI
1 Gọi D đường kính trục máy 2
( 250 ; 25 )
D∈N µ = mmσ = mm
Xác suất trục hợp quy cách là:
1Đề thi:GS Đặng Hấn Lời giải:Th.S Lê Lễ
(2)Page [245 255] (255 250) (245 250) (1) ( 1)
5
p= p ≤ ≤D = Φ − − Φ − = Φ − Φ −
2 (1) 2.0,8413 0, 6826
= Φ − = − =
a Gọi E số trục máy hợp quy cách 100 trục,
2
( 100; 0, 6826) ( 68, 26; 21, 67)
E∈B n= p= ≈N µ=np= σ =npq=
50 50 50
100
1 50 68, 26
[ 50] 0, 6826 0, 3174 ( ) ( 3, 9)
21, 67 21, 67 21, 67
p E = =C ≈ ϕ − = ϕ −
1
(3, 9) 0, 0002 0, 00004 21, 67ϕ 21, 67
= = =
b [0 80] (80 68, 26) (0 68, 26) (2.52) ( 14, 66)
21, 67 21, 67
p ≤ ≤E = Φ − − Φ − = Φ − Φ −
(2.52) (14, 66) 0, 9941 1 0, 9941
= Φ + Φ − = + − =
2
a n=100,Sx=5, 76,X =164, 35 1 0, 95 0, 05 α = − = −γ =
(0,05;99) 1, 96
t =
1, 96.5, 76 1, 96.5, 76
164, 35 164, 35
100 100
x x
S S
X t X t
n µ n µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 163, 22cm≤ ≤µ 165, 48cm
2Dùng định lý tích phân Laplace Tra bảng phân phối chuẩn tắc với lưu ý: Φ − = − Φ( 1) 1 (1)
3Dùng định lý Laplace địa phương Tra hàm mật độ chuẩn tắc với lưu ý hàm mật độ chuẩn tắc hàm chẵn
4
Tra bảng phân phối Student, α =0, 05và 99 bậc tự Khi bậc tự n>30, ( ; ) , ( ) n
(3)Page b nqc =19 ,Yqc =73,16,Sqc =2, 48
1 0, 99 0, 01 α = − = −γ =
(0,01;18) 2,878
t =
2,878.2, 48 2,878.2, 48
73,16 73,16
19 19
qc qc
qc q
q
c
c qc
S S
Y t Y t
n µ n µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 71,52kg≤ ≤µ 74,80kg
c H0:p=0, 3;H1:p≠0, 35
0, 35 100
f = =
0
0
0, 35 0,
1, 091 (1 ) 0, 3.0,
100 tn
f p
U
p p
n
− −
= = =
−
0, 05, ( ) 0, 975 1, 96
U α U
α = Φ = − = ⇒ = (hoặc t(0,05) =1, 96 )
|Utn|< , chU ấp nhận H :tài li0 ệu
d xy
y x
y y x x
r
s s
− −
(4)Page ĐỀ SỐ
1 Cho ba đại lượng ngẫu nhiên độc lập X,Y,Z X∈B(50; 0, 6),Y∈N(250;100)và Z tổng số phẩm sản phẩm lấy từ lơ hàng, lơ có 10 sản phẩm, lơ I có phẩm lơ II có phẩm Tính M U D U( ), ( )5
( ) ( ) [ 1]
U =Mod X X +D Y Y+P Z > Z
,
2 Quan sát mẫu (cây cơng nghiệp) , ta có bảng thống kê đường kính X(cm), chiều cao Y(m):
X Y
20-22 22-24 24-26 26-28 28-30
3
4
5 11
6 15 17
7 10
8 12
a Lập phương trình tương quan tuyến tính Y theo X b Kiểm tra tính phân phối chuẩn X với mức ý nghĩa 5%
c Để ước lượng đường kính trung bình với độ tin cậy 95% độ xác 5mm cần điều tra thêm nữa?
d Những cao không 7m gọi loại A Ước lượng tỷ lệ loại A với độ tin cậy 99%
BÀI GIẢI
1 X∈B(50; 0, 6)nên
( ) 50.0, 0, ( ) 50.0, 0,
np− ≤q Mod X ≤np− + ⇒q − ≤Mod X ≤ − +
29, Mod X( ) 31,
⇒ ≤ ≤
Vậy Mod X( )=30 ( ) 50.0, 30
M X =np= =
(5)
Page ( ) 50.0, 6.0, 12
D X =npq= =
(250;100)
Y∈N nên
( ) 250
M Y = =µ
2
( ) 100
D Y =σ =
[ 0] 0, 4.0, 0,12
p Z = = =
[ 1] 0, 6.0, 0, 4.0, 0, 46
p Z = = + =
[ 2] (0,12 0, 46) 0, 42
p Z = = − + =
Z
p 0,12 0,46 0,42
[ 1] [ 2] 0, 42
p Z > = p Z = =
( ) 0.0,12 1.0, 46 2.0, 42 1,
M Z = + + =
2 2
( ) 0,12 0, 46 0, 42 2,14
M Z = + + =
2 2
( )
( ) ( ) 2,14 1, 0, 45
D Z =M Z −M Z = − =
Vậy U =30X +100Y+0, 42Zsuy ( ) 30 ( ) 100 ( ) 0, 42 ( )
M U = M X + M Y + M Z
30.30 100.250 0, 42.1, 25900, 546
= + + =
2 2
( ) 30 D( ) 100 D( ) 0, 42 ( )
D U = X + Y + D Z
2 2
30 12 100 100 0, 42 0, 45 101 0800, 079
= + + =
2 a xy
y x
y y x x
r
s s
− −
= ⇒ y= −4, 98 0, 43+ x
(6)Page
1
H : đường kính khơng có phân phối chuẩn
X 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30
i
n 14 33 27 19
25, 74
x= ,sx=2, 30,N=100
Nếu X tuân thep phân phối chuẩn
1
22 25, 74 20 25,
2, 30 2, 30
74
( ) ( ) ( 1, 63) ( 2, 50)
p = Φ − − Φ − = Φ − − Φ −
(2, 50) (1, 63) 0, 9484 0, 0516
= Φ − Φ = − =
2
24 25, 74 22 25,
2, 30 2, 30
74
( ) ( ) ( 0, 76) ( 1, 63)
p = Φ − − Φ − = Φ − − Φ −
(1, 63) (0, 76) 0, 9484 0, 7764 0,172
= Φ − Φ = − =
3
26 25, 74 24 25
2, 30 2,
, 74
( ) ( ) (0,11) ( 0, 76
0 )
p = Φ − − Φ − = Φ − Φ −
(0,11) (0, 76) 0, 5438 0, 7764 0, 3203
= Φ + Φ − = + − =
4
28 25, 74 26 25
2, 30 2, 30
, 74
( ) ( ) (0, 98) (0,11)
p = Φ − − Φ − = Φ − Φ
0,8365 0, 5438 0, 2927
= − =
5
30 25, 74 28 25, 74
( ) ( ) (1,85) (0, 98) 0,
2, 30 2,30 1634
p = Φ − − Φ − = Φ − Φ =
Lớp 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30
i
n 14 33 27 19
i
p 0,0516 0,1720 0,3203 0,2927 0,1634
,
i i
n =N p 5,16 17,20 32,03 29,27 16,34
, 2
2 ( ) (7 5,16) (19 16, 34)
1,8899
5,16 16, 34
i i
i
n n
n
− − −
(7)Page
2
(0,05;5 1)− − (0,05;2) 5, 991
Χ = Χ =
2
(0,05;2)
Χ < Χ
nên chấp nhận H0:đường kính đại lượng ngẫu nhiên thuộc
phân phối chuẩn với µ=25, 74,σ2 =5, 29
c tsx
n ≤ ⇒
2
(tsx)
n≥
(0,05) 1, 96, x 2, 30, 0,
t = s = = mm= cm
2
1, 96.2, 30
( ) 81,
0,
n≥ = ⇒ ≥n 82
Đã điều tra 100 , không cần điều tra thêm
d a(1 a) a(1 a)
a a
f f f f
f t p f t
n n
− −
− ≤ ≤ +
35
0, 35 100
a
f = =
1 0, 99 0, 01 α = − = −γ =
(0,01) 2, 58
t =
0, 35.0, 65 0, 35.0, 65
100
0, 35 2, 58 0, 35 2,
0
10
p
− ≤ ≤ +
0, 227≤ ≤p 0, 473
Tỷ lệ loại A khoảng từ 22,7% đến 47,3%
6 Số lớp 5, phân phối chuẩn
( ; )
(8)Page ĐỀ SỐ
1 Một xí nghiệp có máy Trong ngày hội thi, công nhân chọn ngẫu nhiên máy sản xuất 100 sản phẩm Nếu số sản phẩm loại I khơng 70 thưởng Giả sử công nhân A xác suất sản xuất sản phẩm loại I với máy 0,6 0,7 a Tính xác suất để A thưởng
b Giả sử A dự thi 200 lần, số lần A thưởng tin bao nhiêu?
c A phải dự thi lần để xác suất có lần thưởng không 90%?
2 Theo dõi số kẹo X (kg) bán tuần, ta có:
i
x 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350
i
n 23 27 30 25 20
a Để ước lượng số kẹo trung bình bán tuần với độ xác 10kg độ tin cậy 99% cần điều tra thêm tuần nữa?
b Bằng cách thay đổi mẫu mã, người ta thầy số kẹo trung bình bán tuần 200kg Việc thay đổi có hiệu vể chất không? (mức ý nghĩa 5%) c Những tuần bán từ 250kg trở lên tuần hiệu Ước lượng tỷ lệ tuần
hiệu với độ tin cậy 90%
d Ước lượng số kẹo trung bình bán tuần có hiệu với độ tin cậy 98%
BÀI GIẢI
1
a Gọi T biến cố công nhân A thưởng I: Biến cố công nhân A chọn máy I
II: Biến cố công nhân A chọn máy II ( ) ( ) 0,
P I =P II =
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) [70 100] ( ) [70 100]
P T =P I P T I +P II P T II =P I P ≤X ≤ +P II P ≤ ≤Y
(9)Page
100 60 70 60
[70 100] ( ) ( ) (8,16) (2, 04) 0, 9793 0,
24 24 207
p ≤ X ≤ = Φ − − Φ − = Φ − Φ = − =
21
100 70 70 70
[70 100] ( )
21
( ) (6, 55) (0) 0, 0,
p ≤ ≤Y = Φ − − Φ − = Φ − Φ = − =
Vậy ( ) 1(0, 0207 0, 5) 0, 26
P T = + =
b Gọi Z số lần thưởng 200 lần A tham gia thi , Z∈B(200; 0, 26) ( ) 200.0, 26 0, 74 ( ) 200.0, 26 0, 74
np− ≤q Mod Z ≤np− + ⇒q − ≤Mod Z ≤ − +
51, 26≤Mod Z( )≤52, 56 Mod(Z)=52 Số lần A thưởng tin 52 c Gọi n số lần dự thi
M: Biến cố lần A thưởng
1
( ) ( ) 0,
n
n i
P M P T
=
= − Π = −
0,74
1 0, 74− n ≥0, 9⇒0, 74n ≤0,1⇒ ≥n log 0,1=7, 6→ ≥n
Vậy A phải dự thi lần a n=139 , sx=79, , t(0,01) =2, 58,=10
x
ts
n ≤ →
2
(tsx)
n≥
2
(2, 58.79, 3)
10 418, 419
n≥ = → ≥n Vậy điều tra 419-139=280 tuần
b H0:µ =200
1: 200
H µ ≠
139, 167,8, x 79,
(10)Page 10
0
( ) (167,8 200)
4, 78 139
79,3 73
tn
x
x n
T
s
µ
− −
= = = −
(0,05) 1, 96
t =
(0,05;138)
|Ttn|>t : Bác bỏ H , t0 ức việc thay đổi mẫu mã làm tăng lượng kẹo bán
trong tuần
c fhq t fhq(1 fhq) p fhq t fhq(1 fhq)
n n
− −
− ≤ ≤ +
25
0,18 139 hq
f = =
1 0, 0,1
α = − = −γ = ,t(0,1) =1, 65
0,18.0,82 0,18.0,82
139
0,18 1, 65 0,18 1,
9
13
p
− ≤ ≤ +
0,1262≤ ≤p 0, 2338
Tỷ lệ tuần có hiệu chiếm từ 12,62% đến 23,38% d nhq =25 ,xhq =285,shq =20, 41
1 0, 98 0, 02 α = − = −γ =
(0,02;24) 2, 492
t =
20, 41 20, 41
285 2, 492 285 2, 492
25 25
hq
hq hq
hq hq
hq
x t x t
n n
s s
µ µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
(11)Page 11 ĐỀ SỐ
1 Có giống lúa, sản lượng chúng (đơn vị tấn/ha) đại lượng ngẫu nhiên
1 (8; 0,8), (10; 0, 6), (10; 0, 5)
X ∈N X ∈N X ∈N Cần chọn giống để trồng, theo bạn cần chọn giống nào?Tại sao?
2 Số kw điện sử dụng tháng hộ loại A X∈N(90;100) Một tổ dân phố gồm 50 hộ loại A Giá điện 2000 đ/kw giờ, tiền phí dịch vụ 10 000 đ tháng Dự đoán số tiền điện phải trả tháng tổ với độ tin cậy 95%
3 X( %) Y(cm) tiêu sản phẩm Kiểm tra số sản phẩm ta có: X
Y
0-2 2-4 4-8 8-10 10-12
100-105
105-110 10
110-115 16
115-120 25
120-125 15 13 17
125-130 15 11
130-135 14
135-140
a Để ước lượng trung bình X với độ xác 0,2% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu?
b Những sản phẩm có X 2% loại II Ước lượng trung bình Y sản phẩm loại II với độ tin cậy 95%
c Các sản phẩm có Y ≥ 125cm loại I Để ước lượng trung bình X sản phẩm loại I cần điều tra thêm sản phẩm , muốn độ xác 0,3% độ tin cậy 95%?
d Giả sử Y sản phẩm loại II có phân phối chuẩn, ước lượng phương sai Y sản phẩm loại II với độ tin cậy 90%
BÀI GIẢI
1 Chọn giống X n3 ăng suất trung bình cao (kỳ vọng lớn nhất) độ ổn định
suất cao (phương sai bé )
2 Trước hết ước lượng khoảng số kw điện hộ loại A phải dùng tháng Dùng quy tắc 2σ , ta có: a u− σ µ≤ ≤ +a uσ
90, 10
(12)Page 12 1 0, 95 0, 05
α = − = −γ =
( ) 0, 974 1, 96
u α u
Φ = − = ⇒ =
→ 90 1, 96.10− ≤ ≤µ 90 1, 96.10+ →70, 4≤ ≤µ 109,
Vậy hộ loại A dùng từ 70,4 kw đến 109,6 kg điện tháng Trong tháng tổ phải trả số tiền từ 50(70, 4.2000 10000)+ đồng đến
50(109, 6.2000 10000)+ đồng , tức khoảng từ 540 000 đ đến 11 460 000 đồng a n=213, x =6, 545, sx=3, 01.=0,
x
ts
n = →
x
t s
n
= 0, 213 0, 97 3, 01
= =
1 (0, 97) 0,8340
α
− = Φ = → = −α (1 0,8340)2=0, 332
Độ tin cậy γ = − =1 α 0, 668=66,8%
b n2 =15,y2 =106,83,s2 =3, 27 , 1 0, 95 0, 05 α = − = −γ =
(0,05;14) 2,145
t =
2
2
2
2
106,83 2,145 106,83 2,145 15
3, 72 3,
5
y t y t
n n
s µ s µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 104, 77cm≤ ≤µ 108,89cm, trung bình tiêu Y sản phẩm loại II từ 104,77 cm đến 108,89 cm
c s1=1, 91 , t(0,05) =1, 96,=0,
x
ts
n ≤ →
2
(tsx)
n≥
(13)Page 13
2
1, 96.1, 91 0,
( ) 155, 156
n≥ = → ≥n Mà n1=60, nên điều tra thêm 156-60=96 sản phẩm loại I
d Khoảng ước lượng phương sai
2
2
2
( ; 1) (1 ; 1)
2
( 1) ( 1)
]
y y
n n
n s n s
α α
σ
− − −
− −
≤ ≤
Χ Χ
n=15, s2y =13,81,
2
(0,025;14) 6,
Χ = ,Χ(0,95;14)2 =6, 571
Khoảng ước lượng phương sai Y (các sản phẩm loại II) 14.13,81 14.13,81
[ ; ]
6, 6, 571 , tức từ 7,32
2
cm đến 29,42cm 2
(14)Page 14 ĐỀ SỐ
1 Có lơ sản phẩm, lơ có 10 sản phẩm Lơ thứ i có i phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lơ sản phẩm Tính xác suất:
a Cả tốt b Có tốt
c Số sản phẩm tốt số đồng xu sấp tung đồng xu
2 Theo dõi phát triển chiều cao bạch đàn trồng đất phèn sau năm, ta có:
i
x (cm) 250-300 300-350 350-400 400-450 450-500 500-550 550-600
n i 20 25 30 30 23 14
a Biết chiều cao trung bình bạch đàn sau năm trồng đất không phèn 4,5m Với mức ý nghĩa 0,05 có cần tiến hành biện pháp kháng phèn cho bạch đàn không?
b Để ước lượng chiều cao trung bình bạch đàn năm tuổi với độ xác 0,2m đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu?
c Những cao không 3,5m chậm lớn Ước lượng chiều cao trung bình chậm lớn với độ tin cậy 98%
d Có tài liệu cho biết phương sai chiều cao bạch đàn chậm lớn 400 Với mức ý nghĩa 5%, có chấp nhận điều không?
BÀI GIẢI
1
a p=0, 9.0,8.0, 7=0, 504
b p=0, 9.0,8.0, 0, 9.0, 2.0, 0,1.0,8.0, 7+ + =0, 398 c X: số đồng xu sấp tung đồng xu X=0,1,2
Y: số sản phẩm tốt sản phẩm p=p[Y=0]+p[Y=1]+p[Y=2]→
0,1.0, 2.0, 0, 9.0, 2.0, 0,1.0,8.0, 0,1.0, 2.0, 0, 398 0, 496
p= + + + + =
2
(15)Page 15
1: 450
H µ ≠
0
( )
tn
x T
s n
µ − =
438, 147, 81, 53
x= n= s=
1 (438 450 47
8 )
1
3 , 78
1, tn
T = − =
(0,05) 1, 96
t =
(0,05)
|Ttn|<t : chấp nhận H0, chưa cần biện pháp kháng phèn cho bạch đàn
b x=438,n=147,s=81, 53,=0, 2m=20cm
x
ts
n = →
x
t s
n
= 20 147 2, 97 81, 53
= =
1 (2, 97) 0, 9985
α
− = Φ = → = −α (1 0, 9985)2=0, 003
Độ tin cậy γ = − =1 α 0, 997=99, 7%
c ncl =25,xcl =315, scl =20, 41 1 0, 98 0, 02 α = − = −γ =
(0,02;24) 2, 492
t =
315 2, 492.20, 41 315 2, 20, 41
25 92 25
cl cl
cl
c
l cl
c l
x t x t
n n
s µ s µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 304,83cm≤ ≤µ 325,17cm
d H0:σ2 =400
2
1: 400
(16)Page 16
2
2
(n 1)scl σ −
Χ = → (25 1)20,
400
24, 994 −
Χ = =
2
(0,975;24) (1 ; 1)
2
12, n
α
− −
Χ = Χ =
2
(0,025;24) ( ; 1)
2
39, n
α −
Χ = Χ =
2 2
(0,975;24) (0,025;24)
(17)Page 17 ĐỀ SỐ
1 Một máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm 5% Một lô sản phẩm gồm 10 sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 30% Cho máy sản xuất sản phẩm từ lô lấy thêm sản phẩm X số sản phẩm tốt sản phẩm
a Lập bảng phân phối X
b Khơng dùng bảng phân phối X, tính M(X) D(X) Tiến hành quan sát độ bền
( / )
X kg mm loại thép, ta có:
i
x (cm) 95-115 115-135 135-155 155-175 175-195 195-215 215-235
n i 15 19 23 31 29 21
a Sẽ đạt độ tin cậy ước lượng độ bền trung bình X với độ xác
2
3kg mm ? /
b Bằng cách thay đổi thành phần nguyên liệu luyện thép , người ta làm cho độ bền trung bình thép 170kg mm Cho k/ ết luận cải tiến với mức ý nghĩa 1%
c Thép có độ bền từ 195kg mm tr/ lên gọi thép bền Ước lượng độ bền trung bình thép bền với độ tin cậy 98%
d Có tài liệu cho biết tỷ lệ thép bền 40% Cho nhận xét tài liệu với mức ý nghĩa 1%
BÀI GIẢI
1
a X : s1 ố sản phẩm tốt sản phẩm máy sản xuất
1 (3; 0, 95)
X ∈B
3
1
[ ] k0, 95 0, 05k k
p X =k =C −
1
X
i
p 0,000125 0,007125 0,135375 0,857375
2
(18)Page 18
2
X thuộc phân phối siêu bội
3
7
2
10
[ ]
k k
C C
p X k
C
−
= =
2
X
i
p
120
21 120
63 120
25 120
1
X = X +X : số sản phẩm tốt sản phẩm
1
1
[ 0] [ 0] [ 0] 0, 000125 0, 000001 120
p X = = p X = p X = = =
1 2
21
[ 1] [ 0, 1] [ 1, 0] 0, 000125 0, 007125 0, 000081
120 120
p X = = p X = X = +p X = X = = + =
Tương tự , ta có :
[ 2] 0, 002441
p X = =
1 2
[ 3] [ 0, 3] [ 1, 2] [ 2, 1]
p X = = p X = X = + p X = X = + p X = X =
1
[ 3, 0]
p X X
+ = =
1 2
[ 4] [ 0, 4] [ 1, 3] [ 2, 2]
p X = = p X = X = + p X = X = + p X = X =
+p X[ 1 =3,X2 = +1] p X[ 1=4,X2 = 0]
1 2
[ 5] [ 0, 5] [ 1, 4] [ 2, 3]
p X = = p X = X = + p X = X = + p X = X =
+p X[ 1=3,X2 = +2] p X[ 1=4,X2 = +1] p X[ 1=5,X2 = 0]
1 2
[ 6] [ 0, 6] [ 1, 5] [ 2, 4]
p X = = p X = X = +p X = X = + p X = X =
+p X[ 1 =3,X2 = +3] p X[ 1 =4,X2 = +2 p X][ 1 =5,X2 = +1] p X[ 1 =6,X2 = ]
(19)Page 19
1
( ) i i 2,85, ( ) 2, 025
M X = Σx p = M X = → M X( )=4,875
1
( ) ( ) ( )
D X =D X +D X
2 2
1 1
( ) ( ) ( ) 8, 265 2,85 0,1425
D X =M X −M X = − =
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) 4, 2, 025 0, 7994
D X =M X −M X = − = → D X( )=0, 9419
a n=144, sx =33, 41,=3
tsx
n = →
x
t s
n
= 144
33, 41
1, 08
= =
1 (1, 08) 0,8599
α
− = Φ = → = −α (1 0,8599)2=0, 2802
Độ tin cậy γ = − =1 α 0, 7198=71, 98%
b H :0 µ =170
1: 170
H µ ≠
162, 64, 144, 33, 41
x= n= s =
0
( )
tn
x T
s n
µ −
= → (162, 64 170) 144
33, 41 2, 644
tn
T = − = −
(0,01) 2, 58
t =
(0,01;143)
|Ttn|>t : bác bỏ H , c0 ải tiến làm tăng độ bền thép
c ntb =27,xtb =209, 444,stb =8, 473, 1 0, 98 0, 02
α = − = −γ =
(0,02;26) 2, 479
(20)Page 20
tb tb
tb t
b
b
t tb
x t x t
n n
s µ + s
− ≤ ≤
8, 473 8, 473
2
209, 444 2, 479
7 µ 09, 444 2, 479 27
⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 2
205, 36kg mm/ ≤ ≤µ 213, 44kg mm/ d H0:p=0, 4;H1:p≠0,
0,1875 144
27 tb
f = =
0
0
0,1875 0,
5, 025 (1 ) 0, 4.0,
144 tb
tn
f p
U
p p
n
− −
= = = −
−
(0,01) 2, 58
t =
(21)Page 21 ĐỀ SỐ
1 Ở xí nghiệp may mặc, sau may quần áo, người ta đóng thành kiện , kiện (3 quần, áo) Khi đóng kiện thường có tượng xếp nhầm số Xác suất xếp quần số 0,8 Xác suất xếp áo số 0,7 Mỗi kiện gọi chấp nhận số quần xếp số số áo xếp số
a Kiểm tra 100 kiện Tìm xác suất có 40 kiện chấp nhận
b Phải kiểm tra kiện để xác suất có kiện chấp nhận không 90%?
2 X( %) Y(kg mm ) ch/ ỉ tiêu sản phẩm Kiểm tra số sản phẩm ta có: X
Y
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
115-125
125-135 12 10
135-145 20 15
145-155 19 16
155-165
a Giả sử trung bình tiêu chuẩn Y 120kg mm Cho nh/ ận xét tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1%
b Sản phẩm có tiêu X ≥15%là sản phẩm loại A Ước lượng trung bình tiêu X sản phẩm loại A với độ tin cậy 99% Ước lượng điểm tỷ lệ sản phẩm loại A c Để ước lượng trung bình tiêu Y với độ xác 0, 6kg mm / đảm bảo độ tin
cậy bao nhiêu?
d Lập phương trình tương quan tuyến tính X theo Y Biết
145 /
Y = kg mm dự đoán
X
BÀI GIẢI
1
a p(A): xác suất kiện chấp nhận
1
X :số quần xếp số quần, X1∈B(3; 0,8)
2
(22)Page 22
1 2 2
( ) [ 0, ][ 1, 1] [ 2, ][ 3, 3]
p A = p X = X = +p X = X = + p X = X = + p X = X =
0 0
30,8 0, 30, 0,
C C
=
1 1
30,8 0, 30, 0,
C C
+
2 2
30,8 0, 30, 0,
C C
+
3 3
30,8 0, 30, 0,
C C
+ =0,36332
X: số kiện chấp nhận 100 kiện, X ∈B(100; 0, 36332)≈N(36, 332; 23,132)
[ 40] (k np)
p X
npqϕ −npq
= =
1 40 36, 332 0, 2898
( ) (0, 76) 0, 062
4,81 4,
4,81ϕ 4,81 ϕ 81
−
= = = =
b Gọi n số kiện phải kiểm tra M: kiện chấp nhận
1
( ) ( ) 0, 63668 0, n
n i
P M P A
=
= − Π = − ≥
0,63668
0, 63668n ≤0,1⇒ ≥n log 0,1 5,1= → ≥n
Vậy phải kiểm tra kiện
a H :0 µ=120
1: 120
H µ ≠
134, 142, 01, y 10, 46
n= y = s =
0
( )
tn
y
y n
T
s
(23)Page 23 (142, 01 120) 134
10, 46 24, 358 tn
T = − =
(0,01) 2, 58
t =
(0,01)
|Ttn|>t : bác bỏ H , s0 ản xuất tiêu Y vượt tiêu chuẩn cho phép
b nA =27,xA =18, 98,sA =2, 3266, 1 0, 99 0, 01
α = − = −γ =
(0,01;26) 2, 779
t =
A A
A A
A A
x t
n s
t x
n
s
µ +
− ≤ ≤
2, 3266 2, 3266
18, 98 2, 779 18, 98 2, 779
27 µ 27
⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 17, 74%≤ ≤µ 20, 22% 27
0, 134 A
f = = → pA ≈20%
c n=134,y =142, 0149,sy =10, 4615,=0,
y
y
ts
n = →
134
0 0,
0, 51 66 ,
y
n s
t= = =
1 (0, 66) 0, 7454
α
− = Φ = → = −α (1 0, 7454)2=0, 5092
Độ tin cậy γ = − =1 α 0, 4908=49, 08%
d xy
x y
x x y y
r
s s
− = − →
37, 2088 0, 3369
x= − + y
145 37, 2088 0, 3369.145 11, 641
(24)Page 24 ĐỀ SỐ
1 Sản phẩm đóng thành hộp Mỗi hộp có 10 sản phẩm có sản phẩm loại A Người mua hàng quy định cách kiểm tra sau: Từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm, sản phẩm loại A nhận hộp đó, ngược lại loại Giả sử kiểm tra 100 hộp
a Tính xác suất có 25 hộp nhận
b Tính xác suất khơng q 30 hộp nhận
c Phải kiểm tra hộp để xác suất có hộp nhận ≥95%? Tiến hành khảo sát số gạo bán hàng ngày cửa hàng, ta có
i
x (kg) 110-125 125-140 140-155 155-170 170-185 185-200 200-215 215-230
n i 12 25 30 20 13
a Giả sử chủ cửa hàng cho trung bình ngày bán khơng q 140kg tốt nghỉ bán Từ số liệu điều tra, cửa hàng định với mức ý nghĩa 0,01? b Những ngày bán ≥ 200kg ngày cao điểm Ước lượng số tiền bán
trung bình ngày với độ tin cậy 99%, biết giá gạo 5000/kg c Ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm
d Để ước lượng tỷ lệ ngày cao điểm với độ xác 5% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu?
BÀI GIẢI
1
a A: biến cố hộp nhận
3 10
( ) C 0, 29
p A C
= =
X: số hộp nhận 100 hộp X∈B(100; 0, 29)≈N(29; 20, 59)
[ 25] (k np)
p X
npqϕ −npq
= =
1 25 29 0, 2709
( ) ( 0,88) 0, 0597
20, 59ϕ 20, 59 20, 59ϕ 20, 59 −
(25)Page 25
b 30 29 29
20, 59 20, 59
[0 30] ( ) ( ) (0, 22) ( 6, 39)
p ≤ X ≤ = Φ − − Φ − = Φ − Φ −
(6, 39) (0, 22) 0, 5871
= Φ + Φ − =
c n: số hộp phải kiểm tra 0, 71n
p= −
0,71
1 0, 71− n ≥0, 95⇒0, 71n ≤0, 05⇒ ≥n log 0, 05=8,
Vậy phải kiểm tra hộp
a H :0 µ =140
1: 140
H µ ≠
115, 174,11, x 23,8466
n= x = s =
0
( )
tn
x
x n
T
s
µ − =
1 (174,11 140 15
23,8 )
15, 34 466
tn
T = − =
(0,01) 2, 58
t =
(0,01;114)
|Ttn|>t : bác bỏ H , trung bình m0 ỗi ngày cửa hàng bán 140kg gạo
b ncd =17,xcd =211, 03,scd =6, 5586 1 0, 99 0, 01
α = − = −γ =
(0,01;16) 2, 921
(26)Page 26
211, 03 2, 921.6, 5586 6, 5586
17 211, 03 2, 921 17
cd cd
cd cd
cd cd
s
x t x t s
n µ n µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 206, 38kg≤ ≤µ 215, 68kg
Số tiền thu ngày cao điểm từ 515 950 đ đến 539 200 đ
c 17 0,1478 115
cd
f = = pcd ≈14, 78% d fcd =0,1478,n=115,=0, 05
(1 )
cd cd
f f
u
n
−
= 0, 05 115 1, 51
0,1478.0,8522
u
⇒ = =
1 ( ) (1, 51) 0, 9345
2 u
α
− = Φ = Φ = ⇒ =α 2(1 0, 9345)− =0,13
(27)Page 27 ĐỀ SỐ
1 Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B, 2000 linh kiện C Xác suất hỏng loại linh kiện 0,001; 0,005 0,002 Máy tính ngưng hoạt động số linh kiện hỏng nhiều Các linh kiện hỏng độc lập với
a Tìm xác suất để có linh kiện loại A hỏng b Tìm xác suất để máy tính ngưng hoạt động
c Giả sử có linh kiện hỏng Tìm xác suất để máy ngưng hoạt động hai trường hợp:
c.1 Ở thời điểm bất kỳ, số linh kiện hỏng tối đa c.2 Số linh kiện hỏng không hạn chế thời điểm Quan sát biến động giá loại hàng A B tuần lễ, ta có Giá A
(ngàn đồng) 52 54 48 50 56 55 51
Giá A
(ngàn đồng) 12 15 10 12 18 18 12
a Tìm ước lượng khoảng cho giá trị thật A với độ tin cậy 95%
b Có ý kiến cho giá trị thật A 51 ngàn đồng Bạn có nhận xét với mức ý nghĩa 5%?
c Giả sử giá loại hàng A B có tương quan tuyến tính Hãy ước lượng giá trung bình A thời điểm giá B 12 ngàn đồng
BÀI GIẢI
1
a X : sa ố linh kiện A hỏng 1000 linh kiện Xa∈B(1000; 0, 001)≈ p(λ=np= 1)
[ a 1] [ a 0] [ a 1]
p X > = −p X = −p X =
1 1
.1
1 0, 264
0! 1!
e− e−
= − − =
(28)Page 28
[ b 1] [ b 0] [ b 1]
p X > = − p X = −p X =
4
4
.4
1
0! 1! 0, 908
e e
e
− −
−
= − − = − =
c
X : số linh kiện C hỏng 2000 linh kiện Xc∈B(2000; 0, 002)≈ p(λ=np=4)
[ c 1] [ c 0] [ c 1]
p X > = − p X = −p X =
4
4
.4
1
0! 1! 0, 908
e e
e
− −
−
= − − = − =
H: biến cố máy tính ngưng hoạt động
( ) ( [ a 0, b 0, c 0] (1, 0, 0) (0,1, 0) (0, 0,1))
p H = − p X = X = X = +p + p +p
1 4 4 4 4
1 (e e e− − − e e e− − − e e− − 4e− e e e− − − 4)
= − + + +
9
10
1 0, 9988
e
= − =
c H : bi1 ến cố máy tính ngưng hoạt động trường hợp I
1
( ) [ a 1, b 0, c 0] (0,1, 0) (0, 0,1))
p H = p X = X = X = + p +p
1 4 4 4
4
e e e− − − e e− − e− e e e− − −
= + +
9 0
9
, 01
e
= =
2
H : biến cố máy tính ngưng hoạt động trường hợp II
2
( ) [ a 0, b 0, c 0]
p H = − p X = X = X =
1 4
1 e e e− − − = −
9
1 0, 9999
e
= − =
(29)Page 29 a n=7,xa =52, 286,sa =2,87
1 0, 95 0, 05 α = − = −γ =
(0,05;6) 2, 447
t =
52, 286 2, 44 2,87 2,87
7
7 52, 286 2, 44
7
a a
a a
s s
x t x t
n µ n µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
Vậy 49, 631≤ ≤µ 54, 940
Giá trị thật A khoảng từ 49 631 đ đến 54 940 đ b H :0 µ=51
1: 51
H µ ≠
7, 52, 286, 2,87
n= x = s=
0
( )
tn
x T
s n
µ − =
(52, 286 2,87
1)
1,19 tn
T = − =
(0,05;6) 2, 447
t =
(0,05;6)
|Ttn|<t : chấp nhận H , giá tr0 ị thật A 51 000 đ
c a a
b
a b b
b a
x x x x
r
s s
− −
=
40, 380 0,859
a b
x = + x
40, 380 0,859.12
(12) 50, 688
a
(30)Page 30 ĐỀ SỐ 10
1 Hàng sản xuất xong đóng kiện, kiện 10 sản phẩm Kiện loại I có sản phẩm loại A Kiện loại II có sản phẩm loại A
Để xem kiện loại I hay loại II, người ta quy định cách kiểm tra: lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm có sản phẩm loại A xem kiện loại I, ngược lại xem kiện loại II
a Giả sử kiểm tra 100 kiện loại I Tính xác suất phạm sai lầm 48 lần b Giả sử kho chứa
3số kiện loại I,
3số kiện loại II Tính xác suất phạm sai lầm kiểm tra
2 Tiến hành quan sát độ chảy X kg mm( / 2)và độ bề Y kg mm( / 2)của loại thép ta có: X
Y
35-45 45-55 55-65 65-75 75-85
75-95
95-115 13 20
115-135 12 15 10
135-155 8
155-175 2
a Lập phương trình tương quan tuyến tính độ bền theo độ chảy
b Thép có độ bền từ 135kg mm tr/ lên gọi thép bền Hãy ước lượng độ chảy trung bình thép bền với độ tin cậy 99%
c Giả sử độ chảy trung bình tiêu chuẩn 50kg mm Cho nh/ ận xét tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 5%
d Để ước lượng tỷ lệ thép bền với độ tin cậy 80% ,độ xác 4% ước lượng độ chảy trung bình với độ tin cậy 90%, độ xác 0,8kg mm c/ ần điều tra thêm trường hợp nữa?
BÀI GIẢI
(31)Page 31 a p S : xác su( )1 ất phạm sai lầm kiểm tra kiện loại I
(kiện loại I mà cho kiện loại II)
0
5 5
1 3
0
3
1
( ) C C C C 0,
p S
C C
= + =
X:số kiện phạm sai lầm kiểm tra 100 kiện loại I X ∈B(100; 0, 5)≈N(50; 25)
[ 48] (k np)
p X
npqϕ −npq
= = (48 50) ( 0, 4) 0, 3683 0, 07366
25
25ϕ ϕ
−
= = − = =
b p S : xác su( 2) ất phạm sai lầm kiểm tra kiện loại II (kiện loại II mà cho kiện loại I)
3
2
3
3
10
3
1
( ) C C C C 0,18
p S
C C
= + =
p(I): xác suất chọn kiện loại I p(II): xác suất chọn kiện loại II p(S): xác suất phạm sai lầm
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0,18 0, 39
3
p S = p I p S + p II p S = + =
2
a xy
y x
y y x x
r
s s
− = − →
53, 33 1,18
y= + x
b ntb =29,xtb =63,10,stb =10, 725 1 0, 99 0, 01 α = − = −γ =
(0,01;28) 2, 763
t =
63,10 2, 763.10, 725 63,10 2, 76 10, 72
9
2
5
tb tb
tb tb
tb tb
x t x t
n n
s µ s µ
− ≤ ≤ + ⇒ − ≤ ≤ +
(32)Page 32 c H :0 µ=50
1: 50
H µ ≠
116, 56,8966, x 9, 9925
n= x = s =
0 ( ) tn x x n T s µ − =
(56,8966 50) 116
9, 9925 7, 433 tn
T = − =
(0,05) 1, 96
t =
(0,05)
|Ttn|>t : bác bỏ H , 0 độ chảy lớn tiêu chuẩn cho phép
d 1
1 (1 ) f f t n −
≤
1
( ) (1 )
n t f f
→ ≥ −
(0,2) 1, 28
t = , 1=0, 04, 29 0, 25 116
f = =
2
1, 28
( ) 0, 25.0, 75 192 0, 04
n ≥ =
2
x
t s
n ≤
2
2
(t sx)
n
→ ≥
0,1
0,1 t 1, 65
α = → = , 2 =0,8, sx =9, 9925
2
1, 65.9, 9925
( )
,8 ,
0 42
n ≥ = →n2 ≥425→max( ,n n1 2)=425
Cần thêm 425-116=309 quan sát