bài tập xác suất thống kê chương 1

Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ nhất là sản phẩm loại A, biết rằng sản phẩm lấy ra lần thứ hai là loại A... Tìm xác suất để chai kém phẩm chất là của hộp thứ nhất... Lấy ngẫu nhi

1.6 Một sinh viên thi hai môn Xác suất sinh

viên này đạt yêu cầu môn thứ nhất là 80% Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt yêu cầu môn thứ hai là 60% Nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt yêu cầu môn thứ hai là 30% Hãy tính các xác suất sinh viên này:

a) Đạt yêu cầu cả hai môn

b) Đạt yêu cầu môn thứ hai

c) Đạt yêu cầu ít nhất một môn

d) Không đạt yêu cầu cả hai môn

- 2010

1.6 A, B là “SV đạt môn thứ nhất, thứ hai”.

d) P(A B+ ) = 1 − P(A+B) = 0,14

1.7 Một kiện hàng có 7 sản phẩm loại A và

3 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt ra 2 sản phẩm từ lô hàng đó để kiểm tra Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ nhất là sản phẩm loại A, biết rằng sản phẩm lấy ra lần thứ hai là loại A

- 2010

1.7 B là “SP lấy lần II là loại A”.

A1, A2 là “SP lấy lần I là loại A, loại B”

1.8 Một người có 5 chìa khóa nhưng chỉ có 2

chìa mở được khóa cửa Người đó thử từng chìa (thử xong nếu không mở được khóa để riêng chìa đó ra) Tính xác suất để lần thứ hai người đó mở được khóa

- 2010

1.8 B là “Lần thứ hai mở được khóa”.

K1 là “Lần thứ nhất thử không đúng chìa”

D2 là “Lần thứ hai thử đúng chìa”

Ta có: B = K1.D2

P(B) = P(K1.D2) = P(K1).P(D2/K1) = (3/5)×(2/4)

= 0,3

1.9 Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi

xạ thủ bắn 1 viên Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,6; 0,7; 0,8 Tính xác suất để có hai viên trúng bia

- 2010

1.9 A, B, C là “xạ thủ I, II, III bắn trúng”.

D là “có hai viên trúng bia”

D = ABC + ABC + ABC

Do các biến cố trong mỗi số hạng XKtđ:

P(D) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)

Do các biến cố trong mỗi thừa số độc lập:

P(D) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)

+ P(A)P(B)P(C) = 0,4×0,7×0,8 + 0,6×0,3×0,8 + 0,6×0,7×0,2

1.10 Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi

xạ thủ bắn 1 viên Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,7; 0,8; 0,9 Tính xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia Biết rằng chỉ có một viên bắn trúng bia

- 2010

1.10 A, B, C là “xạ thủ I, II, III bắn trúng”.

D là “có một viên trúng bia”

1.11 Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó

có 3 chai kém phẩm chất) Hộp thứ hai có 5 chai thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một chai

a) Tìm xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt

b) Tìm xác suất lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất

c) Nếu lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất Tìm xác suất để chai kém phẩm chất là của hộp thứ nhất

- 2010

1.11 A1, A2 là “lấy được chai tốt từ hộp I, II”

a) Cần tính P(A1A2) Do A1, A2 độc lập nên:P(A1A2) = P(A1).P(A2) = (5/8)×(3/5) = 0,375

b) Gọi B là “lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất” thì B = A1A2 + A1A2.

Do tính XKtđ và ĐL của các biến cố:

P(B) = P(A1A2)+ P(A1A2) = P(A1).P(A2)

+ P(A1).P(A2) = 0,475 c) Cần tính P(A1A2/B)

Do B = A1A2 + nên B.A1A2 = A1A2 Vậy:

P(A1A2/B) = P(A1A2) / P(B) = 0,47368

1.12 Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó

có 3 chai kém phẩm chất) Hộp thứ hai có 5 chai thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên ra hai chai

a) Tìm xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt

b) Nếu lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất Tìm xác suất hộp thứ nhất được chọn

- 2010

1.12 A1,A2 là “chọn hộp I,II” A1,A2 ĐĐ&XK.

a) B là “lấy 2 chai từ hộp đã chọn và được 2 chai thuốc tốt” Theo CT XSĐĐ:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)

P(A1/C) = P(A1).P(C/A1) / P(C) = 0,4717

1.13 Hộp thứ nhất có 14 sản phẩm, hộp thứ

hai có 12 sản phẩm (trong mỗi hộp có một phế phẩm) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tìm xác suất lấy được phế phẩm

- 2010

1.13 A1, A2 là “SP lấy từ hộp I là phế phẩm, chính phẩm” A1, A2 ĐĐ&XK.

B là “SP lấy từ hộp II là phế phẩm”

Theo CT XSĐĐ:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)

= (1/14)×(2/13) + (13/14)×(1/13) = 0,08242

1.14 Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó

có 9 bóng loại I và 3 bóng loại II Lấy ngẫu nhiên 3 bóng để dùng Tìm xác suất để cả 3 bóng lấy ra đều loại I

- 2010

1.14 Mô hình Siêu bội:

N = 12 M = 9 n = 3 k = 3

P(X=k) = C /39 3

12

1.15 Một kiện hàng có 7 sản phẩm loại A và

3 sản phẩm loại B Người ta lấy ngẫu nhiên từ kiện ra 1 sản phẩm để trưng bày Sau đó một khách hàng chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong số các sản phẩm còn lại của kiện hàng để mua Tìm xác suất để khách hàng mua được 2 sản phẩm loại A

- 2010

1.15 A1, A2 là “SP lấy từ hộp I là loại A, B”

B là “2 SP lấy từ hộp II là 2 SP loại A”

1.17 Có hai lô sản phẩm Lô thứ nhất có tỷ

lệ sản phẩm loại I là 90%; lô thứ hai có tỷ lệ sản phẩm loại I là 70% Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được sản phẩm loại I Trả lại sản phẩm đó vào lô đã chọn rồi cũng từ lô đó lấy tiếp một sản phẩm nữa Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai là loại I

- 2010

1.17 A1, A2 là “lô I, II được chọn”

A1, A2 ĐĐ&XK

B là “lấy được SP loại I từ lô đã chọn”

C là “lần II lấy được SP loại I từ lô đã chọn”.Cần tính P(C/B)

Ta có: P(C/B) = ∑P(C/A B).P(A /B)i i

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)

= 0,5×0,9 + 0,5×0,7 = 0,8

P(A1/B) = P(A1).P(B/A1) / P(B)

= 0,45 / 0,8 = 0,5625P(A2/B) = P(A2).P(B/A2) / P(B) = 0,4375

P(C/A1B) = P(CA1B)/P(A1B) = P(A1BC)/P(A1B)

= 0,5×0,9×0,9 / 0,5×0,9 = 0,9P(C/A2B) = 0,7

P(C/B) = 0,5625×0,9 + 0,4375×0,7 = 0,8125

- 2010

1.20 Một lô hàng có 25% sản phẩm do phân

xưởng 1 sản xuất; 25% sản phẩm do phân xưởng 2 sản xuất và 50% sản phẩm do phân xưởng 3 sản xuất Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng 1, phân xưởng 2, phân xưởng 3 tương ứng là: 1%; 5%; 10% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng này thì được một sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm này do phân xưởng 3 sản xuất

P(A3/B) = P(A3).P(B/A3)/P(B)

= 0,05 / 0,065 = 0,76923

- 2010

1.21 Hộp thứ nhất có 10 sản phẩm (trong đó

có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B); hộp thứ hai có 8 sản phẩm (trong đó có 5 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm Tính xác suất có 3 sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm lấy ra

1.21 X, Y là “số SP loại A lấy từ hộp I, II”

1.22 Một công ty sử dụng hai hình thức

quảng cáo là quảng cáo trên đài phát thanh và quảng cáo trên tivi Giả sử có 25% khách hàng biết được thông tin quảng cáo qua tivi và 34% khách hàng biết được thông tin quảng cáo qua đài phát thanh và 10% khách hàng biết được thông tin quảng cáo qua cả hai hình thức quảng cáo Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó biết được thông tin quảng cáo của công ty

1.22 A, B là “KH biết QC qua tivi, đài”.Cần tính P(A+B).

P(A+B) = P(A) + P(B) − P(AB)

= 25% + 34% − 10% = 0,49

- 2010

1.23 Các sản phẩm do một máy sản xuất

gồm hai loại: loại A và loại B Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,85 Các sản phẩm do máy sản xuất được chuyển đến một máy phân loại sản phẩm Xác suất phân loại đúng của máy phân loại đối với sản phẩm loại A là 0,9 Xác suất phân loại đúng của máy phân loại đối với sản phẩm loại B là 0,8 Tính xác suất để một sản phẩm được máy phân loại là loại B

1.23 A1, A2 là “SP đem phân loại là SP loại

1.24 Các sản phẩm do một máy sản xuất

gồm hai loại: loại A và loại B Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,85 Các sản phẩm do máy sản xuất được chuyển đến một máy phân loại sản phẩm Xác suất phân loại đúng của máy phân loại đối với sản phẩm loại A là 0,9 Xác suất phân loại đúng của máy phân loại đối với sản phẩm loại B là 0,8 Tính xác suất để một sản phẩm bị phân loại sai

1.24 A1, A2 là “SP đem phân loại là SP loại

1.25 Có 2 kiện hàng: Kiện thứ nhất có 8 sản

phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B Kiện thứ hai có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại

B Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm thì được

2 sản phẩm loại A Sau đó từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần sau là sản phẩm loại A

1.25 A1, A2 là “kiện I, II được chọn”.

B là “được 2 SP A lấy từ kiện đã chọn”

C là “SP lấy lần II từ kiện đã chọn là SP A”.Cần tính P(C/B)

Ta có: P(C/B) = ∑P(C/A B).P(A /B)i i

A1, A2 ĐĐ&XK Theo CT XSĐĐ:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)

= 0,5×C /28 C + 0,5×102 C /26 C = 0,47778102

Theo CT Bayes:

P(A1/B) = P(A1).P(B/A1) / P(B) = 0,65116

P(A2/B) = P(A2).P(B/A2) / P(B) = 0,34884

- 2010

Ngoài ra:

P(C/A1B) = P(CA1B)/P(A1B) = P(A1BC)/P(A1B)

= 0,5×C /28 C102 ×6/8 / 0,5×C /28 C102 = 0,75P(C/A2B) = 0,5

P(C/B) = 0,65116×0,75+ 0,34884×0,5

1.26 Một lô hàng có 50 sản phẩm Trong đó

có 2 sản phẩm loại B, số còn lại là loại A Người ta kiểm tra lô hàng theo cách sau: Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra từng sản phẩm để kiểm tra cho đến khi phát hiện ra đủ 2 sản phẩm loại B thì việc kiểm tra dừng lại Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại sau khi kiểm tra sản phẩm thứ tư

- 2010

1.26 Ai, Bj là “lần i, j lấy được SP loại A, B”.

X là “số lần kiểm tra” Cần tính P(X=4)

(X=4) = A1A2B3B4 + A1B2A3B4 + B1A2A3B4

Do các biến cố trong mỗi số hạng là XKTĐ:P(X=4) = P(A1A2B3B4) + P(A1B2A3B4)

+ P(B1A2A3B4)P(A1A2B3B4) = (48/50)×(47/49)×(2/48)×(1/47)P(A1B2A3B4) = (48/50)×(2/49)×(47/48)×(1/47)P(B1A2A3B4) = (2/50)×(48/49)×(47/48)×(1/47)

1.27 Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném

một quả vào rổ Xác suất ném trúng rổ của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,5 ; 0,6 ; 0,7 Tính xác suất để người thứ ba ném trật, biết rằng có hai người ném trúng rổ

- 2010

1.27 A1, A2, A3 là “người 1, 2, 3 ném trúng”.

B là “có 2 người ném trúng rổ”

XS cần tính là P(A1A2A3/B)

B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3

Do tính XK và ĐL của các biến cố:

P(B) = P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3)

+ P(A1)P(A2)P(A3)

= 0,5×0,6×0,7+0,5×0,4×0,7+0,5×0,6×0,3 = 0,44

B = A1A2A3+ nên A1A2A3.B = A1A2A3 Vậy: P(A1A2A3/B) = P(A1A2A3) / P(B) = 0,20455

1.28 Bieát P(A)=0,4; P(B)=0,5; P(A+B+C)=0,79

Tìm P(C)

- 2010

1.28 Do A, B, C độc lập nên:

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)

− P(A)P(B) − P(B)P(C) − P(A)P(C)+ P(A)P(B)P(C)

= 0,4 + 0,5 + P(C) − 0,4×0,5 − 0,5P(C)

− 0,4P(C) + 0,4×0,5P(C) = 0,79

Suy ra P(C) = 0,3

1.29 Một kiện hàng có 12 bóng đèn, trong đó

có 7 bóng loại I và 5 bóng loại II Khách hàng thứ nhất chọn ngẫu nhiên 2 bóng đèn trong kiện để mua Sau đó khách hàng thứ hai chọn ngẫu nhiên 3 bóng đèn trong số các bóng đèn còn lại trong kiện để mua Tính xác suất để khách hàng thứ hai mua được 3 bóng loại I

- 2010

1.29 Ao, A1, A2 là “KH 1 mua 0, 1, 2 bóng I”.

B là “KH 2 mua 2 bóng loại I”

12

1.30 Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%

Người ta sử dụng một thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác cao nhưng vẫn có sai sót Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% Còn đối với phế phẩm thì tỷ lệ sai sót là 1% Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm nhưng thực ra là phế phẩm

- 2010

1.30 A1, A2 là “SP đem kiểm tra là PP, CP”

B là “SP được thiết bị kết luận là CP”

1.31 Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%

Người ta sử dụng một thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác cao nhưng vẫn có sai sót Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% Còn đối với phế phẩm thì tỷ lệ sai sót là 1% Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm nhưng thực ra là chính phẩm

- 2010

1.31 A1, A2 là “SP đem kiểm tra là CP, PP”

B là “SP được thiết bị kết luận là PP”

1.32 Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%

Người ta sử dụng một thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác cao nhưng vẫn có sai sót Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% Còn đối với phế phẩm thì tỷ lệ sai sót là 1% Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm

- 2010

1.32 A1, A2 là “SP đem kiểm tra là CP, PP”

B là “thiết bị kết luận nhầm”

A1, A2 ĐĐ&XK Theo CT XSĐĐ:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)