Bài tập xác suất thống kê chương 5 có hướng dẫn giải

Bài tập xác suất thống kê chương 5 có hướng dẫn giải

1/16

CHƯƠNG 5

1.1: Cân 50 sản phẩm của doanh nghiệp A thì có được các giá trị x1, x2, , x50

Cho biết: x1+ x2 + + x50 = 173

x12 + x22 + + x502 = 677

Hãy tính phương sai trọng lượng sản phẩm của doanh nghiệp A

c) 1,5 d) (1,6 ; 2,8)

HD:

3, 46 50

i

n

Lưu ý:

ni là số lần xuất hiện của xi trong mẫu

1

i i

n

 

1.2: Khảo sát thu nhập của 1 số người, ta có 2 mẫu quan sát Mẫu thứ nhất có cỡ mẫu là 40,

trung bình mẫu là 50, độ lệch chuẩn mẫu là 8 Mẫu thứ hai có cỡ mẫu là 60, trung bình mẫu là

80, độ lệch chuẩn mẫu là 10 Gộp chung hai mẫu này lại ta được mẫu gộp Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu gộp

Độ lệch chuẩn mẫu là: 2

1

1

1

n

i i

a) 67 và 302,9899 b) 68 và 302,9899

c) 68 và 17,5066 d) 68 và 17,4066

HD:

1

x

n

( x 1) x x( )

Mẫu 1:

x= 40(50) = 2000 , x2 = (40-1)*64+40*(50*50) = 102496

Mẫu 2:

y= 60(80) = 4800 , y2 = (60-1)*100+60*(80*80) = 389900

Mẫu gộp:

1

x y

   = (1/100)*(2000+4800) = 68

2/16

1

x y

sz = 17,4066

1.3: Đo chiều cao của một số cây trong một vườn ươm, ta có hai mẫu quan sát Mẫu thứ nhất có

kích thước mẫu 70, trung bình mẫu 65 (cm) và độ lệch chuẩn mẫu 9,3 (cm) Mẫu thứ hai có kích thước mẫu 90, trung bình mẫu 68 (cm) và độ lệch chuẩn mẫu 9,8 (cm) Nhập chung hai mẫu này lại Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu nhập

Độ lệch chuẩn mẫu – ký hiệu s được định nghĩa như sau : s= 2







1 i

2 i 2

x x 1 n

1

a) 66,6875 và 9,6475 b) 66,6875 và 9,6706

c) 66,1245 và 9,6706 d) 66,1245 và 9,6475

Câu 1.1 1.2 1.3 Chọn a d b

2.1: Tuổi thọ của các bóng đèn do một nhà máy sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn với tuổi thọ trung bình là 1800 giờ và độ lệch chuẩn là 140 giờ Chọn một mẫu ngẫu

nhiên (có hoàn lại) gồm 100 bóng đèn để kiểm tra X là trung bình mẫu ngẫu nhiên này Tính P(1772  X  1814)

a) 0,7672 b) 0,8158

c) 0,8949 d) 0,8185

HD:

n



   

Cỡ mẫu n= 100 X~N(1800 ; 1402)  X ~N(1800 ; 142)

P(1772  X  1814) = 1814 1800 1772 1800

    

Học mà thi đậu là ĐẠI NHÂN Không học mà đậu là VĨ NHÂN

Vĩ nhân thì 1 tỷ người mới có 1 người

3/16

2.2: Thu nhập của những người trong một ngành là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

với thu nhập trung bình là 5,6 triệu đồng/tháng và độ lệch chuẩn là 2,5 triệu đồng/tháng Chọn

một mẫu ngẫu nhiên (có hoàn lại) gồm 100 người làm việc ở ngành này để khảo sát về thu

nhập X là trung bình mẫu ngẫu nhiên này Tính P(5,35  X 6,1)

a) 0,7672 b) 0,9185

c) 0,8949 d) 0,8185

2.3: Chiều cao thanh niên của một vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với  cm,

200cm

  Người ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 50 thanh niên vùng đó Xác suất để chiều cao trung bình của 50 thanh niên này sẽ sai lệch so với chiều cao trung bình thanh niên của vùng không vượt quá 4 cm là:

a) 0,999 b) 0,087

c) 0,473 d) 0,9544

HD:

XN( ; 200)  X ~N( ; 22)

  4

2

P X       

2.4: Tuổi thọ của các bóng đèn do một nhà máy sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên phân phối

theo qui luật chuẩn với tuổi thọ trung bình là 1400 giờ và độ lệch chuẩn là 300 giờ Chọn một mẫu gồm 225 bóng đèn để kiểm tra Tính xác suất để tuổi thọ trung bình một bóng đèn của mẫu đạt ít nhất 1420 giờ

a) 0,8413 b) 0,9772

c) 0,1587 d) 0,0228

HD:

Cỡ mẫu n= 225 X~N(1400 ; 3002)  X ~N(1400 ; 202)

P( X  1420) = 0,5 1420 1400

20

  

   = 0,5-(1) = 0,5-0,3413 = 0,1587

2.5: Tuổi thọ của các bóng đèn do một nhà máy sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên phân phối

theo qui luật chuẩn với tuổi thọ trung bình là 1400 giờ và độ lệch chuẩn là 300 giờ Chọn một mẫu gồm 225 bóng đèn để kiểm tra Tính xác suất để tuổi thọ trung bình một bóng đèn của mẫu đạt nhiều nhất 1420 giờ

4/16

a) 0,8413 b) 0,9772

c) 0,1587 d) 0,0228

2.6: Thu nhập của những người trong một ngành là đại lượng ngẫu nhiên X Biết

2

~ (6,8 ; 4, 2 )

X N Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 người làm việc ở ngành này để khảo sát về thu nhập X là trung bình mẫu ngẫu nhiên này Tính P(X 8,5976)

a) 0,9883 b) 0,9838

c) 0,0126 d) 0,0162

Câu 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3.1: Một mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ tổng thể (lấy có hoàn lại) Biết phương sai của tổng thể

là 600 Nếu muốn độ lệch chuẩn của trung bình mẫu không vượt quá 2 thì kích thước mẫu phải tối thiểu là bao nhiêu

a) 300 b) 200

c) 150 d) 100

HD:

Tổng thể có phân phối X với E(X)= µ và var(X)= 2 thì E( X )= µ và var( X )= 2/n

var( X )= 2/n ≤ 22 n 2/4 = 600/4 = 150

3.2: Một mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ tổng thể Biết phương sai của tổng thể là 1080 Nếu

muốn độ lệch chuẩn của trung bình mẫu không vượt quá 3 thì kích thước mẫu phải tối thiểu là bao nhiêu

a) 100 b) 120

c) 150 d) 180

3.3: Tỷ lệ học sinh nam của một trường tiểu học là 60% Từ tổng thể gồm các học sinh của

trường này người ta chọn một mẫu ngẫu nhiên kích thước n (chọn mẫu theo phương thức có hoàn lại) Nếu muốn độ lệch chuẩn của tỷ lệ học sinh nam của mẫu này không vượt quá 0,02 thì n tối

thiểu phải là bao nhiêu

a) 450 b) 550

c) 600 d) 700

5/16

HD:

P q= 1-p = 0,4 p= 0,6 E(Xi)= p = 0,6 và var(Xi) = pq = 0,24

1

F  n Xi  var(F) = var(Xi)/ n = pq/n = 0,24/n ≤ (0,02)2 n  0,24/ 0,0004 = 600

3.4: Tỷ lệ học sinh nam của một trường trung học là 60% Từ tổng thể gồm các học sinh của

trường này người ta chọn một mẫu ngẫu nhiên kích thước n (chọn mẫu theo phương thức có

hoàn lại) Nếu muốn độ lệch chuẩn của tỷ lệ học sinh nữ của mẫu này không vượt quá 0,05 thì n

tối thiểu phải là bao nhiêu

a) 90 b) 96

c) 100 d) 106

Câu 3.1 3.2 3.3 3.4 Chọn c b c b

4.1: Cho X là trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên

X (lấy mẫu có hoàn lại) Cho biết XN( ; 82) Tìm n sao cho: P X   0,980,95

a) 16 b) 64

c) 128 d) 256

HD:

Cỡ mẫu n XN( ; 82)  X ~N( ; 82/n)

8

8 / n

8

 0, 98 n   n 16    n 256

4.2: Cho X là trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên

X Cho biết XN( ; 64) Tìm n sao cho: P X   0,980, 05

a) 256 b) 128

c) 64 d) 16

6/16

4.3: Cho X là trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên

X Cho biết XN( ; 29,16) Tìm n sao cho: P X   0,8370,97

a) 256 b) 144

c) 121 d) 196

4.4: Cho X là trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên

X Cho biết XN(120 ; 2500) Tìm n sao cho: P X( 122)0,975

a) 1024 b) 2401

c) 94 d) 49

Câu 4.1 4.2 4.3 4.4 Chọn d a d b

5.1: Tỷ lệ nhân viên nữ ở một công ty là 80% Gọi (X1, X2, …, X10) là mẫu ngẫu nhiên kích

thước n= 10 được chọn trong số 2000 nhân viên của công ty này (lấy mẫu có hoàn lại) Xi nhận giá trị 1 nếu nhân viên thứ i chọn vào mẫu là nữ Xi nhận giá trị 0 nếu nhân viên thứ i chọn vào mẫu là nam ( i = 1,2,…,10) Các Xi được coi là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất Tìm phương sai của tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên: 



 10

1 i i X 10

1 F

a) 0,16 b) 0,016

c) 0,48 d) 0,061

HD:

Xi 0 1

P 0,2 0,8

E(Xi)= 0,8 và var(Xi)= 0,16

Vậy var(F)= var(Xi)/ n = 0,16/ 10 = 0,016

5.2: Một lớp gồm 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên nam Gọi (X1, X2, …, X20) là mẫu ngẫu nhiên gồm n= 20 sinh viên chọn ngẫu nhiên từ lớp này (chọn theo phương pháp có hoàn lại), với

Xi là số sinh viên nam có trong lần chọn sinh viên thứ i vào mẫu, i = 1,2,…,20 Tìm phương sai của tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên này: 



 20

1 i i X 20 1 F

7/16

a) 6/25 b) 57/250

c) 3/25 d) 3/250

Câu 5.1 5.2 Chọn b d

* 6.1: Cho tổng thể được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên X Cho biết X có phân phối xác

suất như sau :

X -5 -2 2 5

P 0,1 0,4 0,4 0,1

Gọi (X1, X2, …, X10) là mẫu ngẫu nhiên gồm n= 10 quan sát độc lập được chọn từ tổng thể (chọn theo phương thức có hoàn lại) Tìm kỳ vọng toán của  



 n 2

2

i

i 1

1

n 1

a) 0,82 b) 8,2

c) 2,593 d) 2,8

HD:

Tổng thể có phân phối X với E(X)= µ và var(X)= 2

Nếu lấy mẫu có hoàn lại với n  2

2

i

i 1

1

n 1 

  thì E(S2)= 2 Từ bảng phân phối xác suất tính được var(X)= 8,2

* 6.2: Cho tổng thể được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:

P 0,1 0,4 0,3 0,2

Gọi (X1, X2, …, X30) là mẫu ngẫu nhiên gồm n= 30 quan sát độc lập được chọn từ tổng thể trên (chọn theo phương pháp có hoàn lại) Tìm kỳ vọng toán của n  2

2

i

i 1

1

n 1 

 

a) 0,028 b) 8,4

c) 0,84 d) 0,48

8/16

Câu 6.1 6.2 Chọn b c

* 7.1: Xem tổng thể là tập hợp gồm 4 công ty A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt

là: 21, 23, 26, 29 Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước n= 3 từ tổng thể này X là

trung bình mẫu ngẫu nhiên Tính E ( X )

a) 70/3 b) 24,75

c) 26,25 d) 25,32

HD:

Bảng phân phối của trung bình mẫu ngẫu nhiên

Mẫu cụ thể X Xác suất (21, 23, 26) 70/3 ¼

(21, 23, 29) 73/3 ¼ (21, 26, 29) 76/3 ¼ (23, 26, 29) 78/3 ¼

E(X)= 99/4 = 24,75

Lưu ý:

Ta có bảng phân phối của tổng thể X

X 21 23 26 29

P ¼ ¼ ¼ ¼ E(X) = 99/4

E( X )= E(X)

* 7.2: Tổng thể là tập hợp gồm 4 công ty A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt là: 21,

23, 26, 29 Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước n= 3 từ tổng thể này X là trung bình

mẫu ngẫu nhiên Tính var( )X

a) var( )X = 49/48 b) var( )X = 48/49

c) var( )X = 1 d) var( )X = 47/48

9/16

HD:

Bảng phân phối của trung bình mẫu ngẫu nhiên

Mẫu cụ thể X Xác suất (21, 23, 26) 70/3 ¼

(21, 23, 29) 73/3 ¼ (21, 26, 29) 76/3 ¼ (23, 26, 29) 78/3 ¼

E(X)= 99/4 ; var(X)= 49/48

Lưu ý:

Ta có bảng phân phối của tổng thể X

X 21 23 26 29

P ¼ ¼ ¼ ¼ E(X)= 99/4 ; var(X)= 147/16

var( )

1

X



.



 = 49/48

* 7.3: Tổng thể là tập hợp gồm 4 công ty A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt là: 21,

23, 26, 29 Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước n= 3 từ tổng thể này Tính E(S2),

2

i

i 1

1

n 1 

 

a) E(S2)= 49/8 b) E(S2)= 47/4

c) E(S2)= 49/2 d) E(S2)= 49/4

10/16

HD:

Bảng phân phối của phương sai mẫu ngẫu nhiên

Mẫu cụ thể X S 2 Xác suất

(21, 23, 26) 70/3 114/18 ¼ (21, 23, 29) 73/3 312/18 ¼ (21, 26, 29) 76/3 294/18 ¼ (23, 26, 29) 78/3 162/18 ¼

E(S2)= (882/18)*(1/4) = 49/4  var(X)

* 7.4: Tổng thể X có 2 phần tử là 3, 6 Lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại kích thước 3 từ tổng thể

a) E(X)= 4 ; var(X)= 2 b) E(X)= 4,5 ; var(X)= 2,25

c) E(X)= 4 ; var(X)= 2,25 d) E(X)= 4,5 ; var(X)= 2

HD:

Bảng phân phối của tổng thể

X 3 6

P 1/2 1/2

E(X)= 9/2 = 4,5

var(X)= 9/4 = 2,25

* 7.5: Tổng thể X có 2 phần tử là 3, 6 Lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại kích thước 3 từ tổng thể

X là trung bình mẫu ngẫu nhiên

a) E(X)= 9/2 ; var(X )= 3/4 b) E(X )= 9/2 ; var(X)= ½

c) E(X )= 8 ; var(X )= 3/4 d) E(X )= 8 ; var(X )= ½

11/16

HD:

Bảng mẫu cụ thể

Mẫu cụ thể X Xác suất

3, 3, 3 3 1/8

3, 3, 6 4 1/8

3, 6, 3 4 1/8

6, 3, 3 4 1/8

3, 6, 6 5 1/8

6, 3, 6 5 1/8

6, 6, 3 5 1/8

6, 6, 6 6 1/8

Bảng phân phối của trung bình mẫu ngẫu nhiên

P 1/8 3/8 3/8 1/8

E(X)= 9/2 = E(X)

var(X )= ¾ = var(X)/n

* 7.6: Tổng thể X có 2 phần tử là 3, 6 Lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại kích thước 3 từ tổng thể

Phương sai mẫu ngẫu nhiên n  2

2

i

i 1

1

n 1 

12/16

HD:

b) Bảng mẫu cụ thể

Mẫu cụ thể X S2 Xác suất

3, 3, 3 3 0 1/8

3, 3, 6 4 3 1/8

3, 6, 3 4 3 1/8

6, 3, 3 4 3 1/8

3, 6, 6 5 3 1/8

6, 3, 6 5 3 1/8

6, 6, 3 5 3 1/8

6, 6, 6 6 0 1/8

Bảng phân phối của phương sai mẫu ngẫu nhiên

S2 0 3

P 1/4 3/4 E(S2)= 9/4 = var(X)

* 7.7: Tổng thể X có 2 phần tử là 3, 6 với bảng phân phối như sau:

X 3 6

P 0,6 0,4

Lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại kích thước 3 từ tổng thể

a) E(X)= 2,4 ; var(X)= 2,61 b) E(X)= 4,2 ; var(X)= 2,61

c) E(X)= 2,4 ; var(X)= 2,16 d) E(X)= 4,2 ; var(X)= 2,16

13/16

* 7.8: Tổng thể X có 2 phần tử là 3, 6 với bảng phân phối như sau:

X 3 6

P 0,6 0,4

Lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại kích thước 3 từ tổng thể X là trung bình mẫu ngẫu nhiên a) E(X)= 2,4 ; var(X)= 0,27 b) E(X )= 4,2 ; var(X )= 0,72

c) E(X )= 2,4 ; var(X)= 0,72 d) E(X )= 4,2 ; var(X )= 0,27

HD:

b) Bảng mẫu cụ thể

Mẫu cụ thể X Xác suất

3, 3, 3 3 0.6*0.6*0.6 = 0,216

3, 3, 6 4 0.6*0.6*0.4 = 0,144

3, 6, 3 4 0.6*0.4*0.6 = 0,144

6, 3, 3 4 0.4*0.6*0.6 = 0,144

3, 6, 6 5 0.6*0.4*0.4 = 0,096

6, 3, 6 5 0.4*0.6*0.4 = 0,096

6, 6, 3 5 0.4*0.4*0.6 = 0,096

6, 6, 6 6 0.4*0.4*0.4 = 0,064

Bảng phân phối của trung bình mẫu ngẫu nhiên

P 0,216 0,432 0,288 0,064

E(X)= 4,2 = E(X)

var(X )= 0,72 = 2,16/3 = var(X)/n

14/16

* 7.9: Tổng thể X có 2 phần tử là 3, 6 với bảng phân phối như sau:

X 3 6

P 0,6 0,4

Lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại kích thước 3 từ tổng thể

Phương sai mẫu ngẫu nhiên n  2

2

i

i 1

1

n 1 

a) E(S2)= 21,6 b) E(S2)= 0,216

c) E(S2)= 2,16 d) E(S2)= 1,26

HD:

Bảng mẫu cụ thể

Mẫu cụ thể X S2 Xác suất

3, 3, 3 3 0 0.6*0.6*0.6 = 0,216

3, 3, 6 4 3 0.6*0.6*0.4 = 0,144

3, 6, 3 4 3 0.6*0.4*0.6 = 0,144

6, 3, 3 4 3 0.4*0.6*0.6 = 0,144

3, 6, 6 5 3 0.6*0.4*0.4 = 0,096

6, 3, 6 5 3 0.4*0.6*0.4 = 0,096

6, 6, 3 5 3 0.4*0.4*0.6 = 0,096

6, 6, 6 6 0 0.4*0.4*0.4 = 0,064

Bảng của phương sai mẫu ngẫu nhiên:

S2 0 3

P 0,28 0,72 E(S2)= 2,16 = var(X)

15/16

* 7.10: Xem tổng thể là tập hợp gồm 5 công ty du lịch A, B, C, D, E với lợi nhuận (tỷ

đồng/năm) lần lượt là: 17, 19, 20, 21, 24 Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n= 4 từ tổng thể này theo phép chọn lặp Tính kỳ vọng toán và phương sai của trung bình mẫu ngẫu nhiên

a) E( )= 20,2 ; var( )= 1,34 b) E( )= 20,2 ; var( )= 1,34

c) E( )= 20,2 ; var( )= 1,34 d) E( )= 20,2 ; var( )= 1,34

* 7.11: Xem tổng thể là tập hợp gồm 4 công ty A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt

là: 25, 27, 28, 30 Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước n= 2 từ tổng thể này

Tính E(X)

a) 27,5 b) 77/3

c) 28,25 d) 26,5

* 7.12: Xem tổng thể là tập hợp gồm 4 công ty du lịch A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm)

lần lượt là: 25, 27, 28, 30 Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n= 2 từ tổng thể này theo phép chọn không lặp Tính phương sai của trung bình mẫu ngẫu nhiên

a) 1,4243 b) 1,32425

c) 1,0833 d) 0,89654

* 7.13: Xem tổng thể là tập hợp gồm 4 công ty A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) lần lượt

là: 20, 23, 26, 29 Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước n= 3 từ tổng thể này

Tính E(S2) Với n  2

1 i i 2

X X 1 n

1







a) 12,75 b) 15

c) 16,524 d) 17,3255

Câu 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13

https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

https://sites.google.com/site/phamtricao/