Bài tập xác suất thống kê chương 2 có hướng dẫn giải

Bài tập xác suất thống kê chương 2 có hướng dẫn giải

1.2: Một lô hàng gồm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô

hàng này ra 3 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm có trong 3 sản phẩm lấy ra Phát biểu nào sau đây là đúng:

a) (X=1) và (X=2) là hai biến cố xung khắc

b) (X=1) và (X=3) là hai biến cố độc lập

c) (X=1), (X=2), (X=3) là một hệ biến cố đầy đủ

d) (X=1)+(X=2) = (X=3)

1.3: Một lô hàng gồm có 6 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô

hàng này ra 3 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm có trong 3 sản phẩm lấy ra Phát biểu nào sau đây là đúng:

a) (X=2) và (X=3) là hai biến cố độc lập

b) (X=2) và (X=3) là hai biến cố đối lập

c) (X=1).(X=2) = (X=2)

d) (X=1), (X=2), (X=3) là một hệ biến cố đầy đủ

1.4: X, Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Phát biểu nào là đúng?

a) Mod(X) có duy nhất giá trị

b) Mod(X) là giá trị chắc chắn nhất của X

c) var(X+Y)= var(X)+var(Y)

d) E(X) có thể âm

Câu 1.1 1.2 1.3 1.4 Chọn d a d d

Bạn nên đọc kỹ, hiểu thấu đáo Chương 1 rồi hãy đọc Chương 2

Nếu không bạn sẽ dễ bị “Tẩu hỏa nhập ma” ! Chuyển từ trạng thái “Mơ Hồ” sang “Mơ mơ Hồ hồ”

2.1: Một kiện hàng có 8 sản phẩm A và 2 sản phẩm B Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại 2 sản phẩm

từ kiện hàng Gọi X là số sản phẩm A trong 2 sản phẩm được chọn Bảng phân phối xác suất của X là:

a)

P 0,64 0,32 0,04 b)

P 0,0222 0,3556 0,6222 c)

P 0,6222 0,3556 0,0222 d)

P 0,04 0,32 0,64

2.2: Một kiện hàng có 8 sản phẩm A và 2 sản phẩm B Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện

hàng Gọi X là số sản phẩm A trong 2 sản phẩm được chọn Mod(X) là:

2.3: Một kiện hàng có 8 sản phẩm A và 2 sản phẩm B Chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại

2 sản phẩm từ kiện hàng Gọi X là số sản phẩm A trong 2 sản phẩm được chọn Mod(X) là:

2.4: Hộp có 4 bi Trắng, 4 bi Xanh, 2 bi Vàng Lấy có hoàn lại 2 bi từ hộp

Gọi X= số bi Trắng lấy được Giá trị kỳ vọng của X là:

2.5: Hộp có 4 bi Trắng, 4 bi Xanh, 2 bi Vàng Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp

Gọi X= số bi Trắng lấy được Mod(X) là:

a) 0 ; 2 b) 1 ; 2

2.6: Hộp có 4 bi Trắng, 4 bi Xanh, 2 bi Vàng Lấy lần lượt không hoàn lại 2 bi từ hộp

Gọi X= số bi Trắng lấy được Mod(X) là:

a) 0 ; 2 b) 1 ; 2

2.7: Chùm chìa khóa có 4 chìa, trong đó có 1 chìa mở được cửa Thử từng chìa (thử xong bỏ ra

ngoài) cho đến khi mở được cửa Tính số lần thử trung bình để mở được cửa

2.8: Một hộp đựng 5 chai thuốc trong đó có một chai thuốc giả Người ta lần lượt kiểm tra từng

chai cho đến khi phát hiện ra chai thuốc giả thì ngừng kiểm tra (Giả sử các chai thuốc phải qua

kiểm tra mới xác định được là chai thuốc giả hay tốt, không thể nhìn bằng mắt mà biết) Gọi X là

số chai thuốc được kiểm tra E(X) là:

2.9: Chùm chìa khóa có 5 chìa, trong đó có 2 chìa mở được cửa Thử từng chìa (thử xong bỏ ra

ngoài) cho đến khi mở được cửa Gọi X là số lần thử chìa (cho đến khi mở được cửa) Tìm mod(X)

2.10: Lô hàng có 5 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từng sản

phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng Tính số lần lấy trung bình để gặp được phế phẩm

2.11: Một xạ thủ có 3 viên đạn Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,8 Xạ thủ này bắn từng viên

vào mục tiêu cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì dừng Gọi X là số viên đạn được bắn Tính phương sai của X

a) 0,2624 b) 1,2400

c) 0,3426 d) 1,8000

2.12: Một xạ thủ có 4 viên đạn Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,7 Xạ thủ này bắn từng viên

vào mục tiêu cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì dừng Gọi X là số viên đạn được bắn Tìm mod(X)

2.13: Một xạ thủ có 4 viên đạn Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,7 Xạ thủ này bắn từng viên

vào mục tiêu cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì dừng Gọi Y= số viên đạn bắn

trúng Tìm mod(Y)

2.14: Một xạ thủ có 3 viên đạn Người này bắn từng viên đạn cho đến khi bắn trúng 2 viên hoặc

hết đạn thì dừng Xác suất bắn trúng mỗi lần là 0,6 Gọi X= số viên đạn đã bắn

Bảng phân phối xác suất của X là:

a)

P 0,36 0,42 0,22 b)

X 2 3

P 0,64 0,36 c)

* 2.15: Một xạ thủ có 3 viên đạn Người này bắn từng viên đạn cho đến khi bắn trúng 2 viên

hoặc hết đạn thì dừng Xác suất bắn trúng mỗi lần là 0,6 Gọi Y= số viên đạn đã bắn trúng

Bảng phân phối xác suất của Y là:

a)

P 0,32 0,48 0,2 b)

P 0,28 0,64 0,08 c)

P 0,08 0,2 0,32 0,4 d)

P 0,064 0,288 0,648

2.16: Một xạ thủ có 3 viên đạn Người này bắn từng viên đạn cho đến khi bắn trúng 2 viên liên

tiếp hoặc hết đạn thì dừng Xác suất bắn trúng mỗi lần là 0,6 Gọi X= số viên đạn đã bắn

Mod(X) là:

2.17: Một xạ thủ có 3 viên đạn Người này bắn từng viên đạn cho đến khi bắn trúng 2 viên liên

tiếp hoặc hết đạn thì dừng Xác suất bắn trúng mỗi lần là 0,6 Gọi Y= số viên đạn đã bắn trúng

Mod(X) là:

2.18: Một hộp có 5 bi đỏ và 5 bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi cho đến khi lấy được bi

đỏ thì dừng lại Gọi X là số bi xanh được lấy ra Tính P(X  2)

a) 5/6 b) 7/8

c) 13/15 d) 11/12

Câu 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Ai= biến cố lần thử chìa thứ i là mở được cửa

X= số lần thử chìa

3.1: Hộp thứ nhất có 10 bi xanh, hộp thứ hai có 5 bi xanh và 5 bi đỏ, hộp thứ ba có 10 bi đỏ

Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 3 bi Gọi X là số bi xanh lấy được Giá trị tin chắc nhất của X là:

a) 1 ; 2 b) 2 ; 3

c) 0 ; 3 d) 0 ; 1

3.2: Một kiện hàng có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ kiện ra 2 sản

phẩm Gọi X là số sản phẩm loại B có trong 2 sản phẩm lấy ra Tìm Mod(X)

a) 0 ; 1 b) 1 ; 2

3.3: Ngân hàng đề thi có 10 câu hỏi Biết rằng 1 sinh viên học tủ trả lời đúng 8 câu trong ngân

hàng Lấy ngẫu nhiên 3 câu trong ngân hàng làm đề thi Gọi X là số câu trả lời đúng của sinh viên khi làm đề thi này Tìm mod(X)

a) 2 ; 3 b) 1 ; 3

3.4: Có hai kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm Kiện thứ nhất có 7 sản phẩm loại A Kiện thứ

hai có 4 sản phẩm loại A Từ mỗi kiện lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 1 sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra Tìm Mod(X)

c) 0 d) 3

3.5: Có 3 cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném một quả bóng vào rổ Xác suất ném trúng rổ của cầu

thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,6 ; 0,7 ; 0,9 Gọi X là số lần ném trúng rổ của ba cầu thủ Tìm Mod(X)

* 3.6: Một kiện hàng có 12 sản phẩm Trong đó có 6 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B và 2

sản phẩm loại C Giá bán sản phẩm loại A, loại B, loại C tương ứng là 8, 7, 6 ngàn đ/sản phẩm Lấy ngẫu nhiên từ kiện ra 2 sản phẩm để bán Gọi X là số tiền thu được khi bán 2 sản phẩm này Xác định giá trị tin chắc nhất của X

a) 13 b) 14

c) 15 d) 16

* 3.7: Một kiện hàng có 12 sản phẩm Trong đó có 6 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B và 2

sản phẩm loại C Giá bán sản phẩm loại A, loại B, loại C tương ứng là 8, 7, 6 ngàn đ/sản phẩm

Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại từ kiện ra 2 sản phẩm để bán Gọi X là số tiền thu được khi bán 2

sản phẩm này Xác định giá trị tin chắc nhất của X

a) 12 b) 15

c) 14 d) 16

* 3.8: Một kiện hàng có 12 sản phẩm Trong đó có 6 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B và 2

sản phẩm loại C Giá bán sản phẩm loại A, loại B, loại C tương ứng là 8, 7, 6 ngàn đ/sản phẩm

Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từ kiện ra 2 sản phẩm để bán Gọi X là số tiền thu được

khi bán 2 sản phẩm này Xác định giá trị tin chắc nhất của X

a) 12 b) 13

c) 14 d) 15

3.9: Tung một con xúc xắc (cân đối và đồng chất) 5 lần Gọi X là tổng số chấm của 5 lần tung

Tính kỳ vọng toán của X

C C

2 1

8 2 3 10

715

C C

3 10

715

HD 3.6:

Lấy từ kiện ra 2 sản phẩm, ta có các trường hợp:

Trường hợp Giá trị X Xác suất

1 sp loại A và 1 sp loại B 15 C(1,6)C(1,4)/C(2,12)= 24/66

1 sp loại A và 1 sp loại C 14 C(1,6)C(1,2)/C(2,12)= 12/66

Lấy từ kiện ra 2 sản phẩm, ta có các trường hợp:

Trường hợp Giá trị X Xác suất

1 sp loại A và 1 sp loại B 15 2(6/12)(4/12)= 12/36

1 sp loại A và 1 sp loại C 14 2(6/12)(2/12)= 6/36

4.1: Thống kê số xe máy Honda bán được (X – chiếc/tuần) ở một cửa hàng người ta tính được

bảng phân phối xác suất của X như sau:

4.2: Một công ty có 3 tổng đại lý Gọi X1, X2, X3 tương ứng là số hàng bán được trong một ngày của các tổng đại lý (đơn vị tính là tấn) Biết phân phối xác suất của X1, X2, X3 như sau:

b) Mua hiệu A Kỳ vọng như nhau nhưng phương sai nhỏ hơn

c) Mua hiệu B Kỳ vọng như nhau nhưng phương sai nhỏ hơn

d) Mua hiệu B Phương sai lớn hơn

4.5: Cho biết đại lượng ngẫu nhiên Z= 2+X với X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất

như sau:

P 0,1 0,2 0,3 0,4 Khi đó P(Z≤5) là:

X= X1+X2+X3 E(X)= E(X1)+E(X2)+E(X3)= 21 tấn

Số hàng bán được trung bình trong 1 tháng 30 ngày là (21)(30)= 630 tấn

HD 4.3:

P 0,15 0,25 0,40 0,20 P 0,50 0,30 0,20 var(X) = 0,9275 var(Y) = 0,61

Phương sai của lợi nhuận là: var(X–Y) = var(X)+var(Y) = 1,5375

 độ lệch chuẩn của lợi nhuận (X–Y) = 1,23996

HD 4.4:

P 0,12 0,28 0,42 0,18 P 0,50 0,34 0,16 E(X) = 84,66 E(Y) = 84,66 var(X) = 0,8244 var(Y) = 0,5444 Mua hiệu B Kỳ vọng như nhau nhưng phương sai nhỏ hơn

Ngoài ra E(Z)= 10-3E(X)= 10-(3)(3,5)= -0,5

5.1: Lãi suất (%/năm) gởi tiền ngân hàng vào năm sau có bảng phân phối xác suất:

5.2: Qua theo dõi nhiều năm kết hợp với các đánh giá của các chuyên gia tài chính thì lãi suất

đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

X (%) 9 10 11 12 13 14 15

P 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05 Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó thì thu được lãi suất ít nhất là 12%

5.3: Qua theo dõi nhiều năm kết hợp với các đánh giá của các chuyên gia tài chính thì lãi suất đầu tư

vào các công ty A, B, C, D tương ứng là các biến ngẫu nhiên X A , X B , X C , X D có bảng phân phối xác suất như sau:

X A (%/năm) 9 10 11 12 13 14 16 Xác suất 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05

X B (%/năm) 9 10 11 12 13 14 15 Xác suất 0,05 0,1 0,25 0,2 0,2 0,1 0,1

X C (%/năm) 8 9 10 12 13 14 16 Xác suất 0,05 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,05

X D (%/năm) 8 9 11 12 13 14 Xác suất 0,1 0,2 0,15 0,25 0,25 0,05

Nếu muốn đạt được lãi suất tối thiểu là 12%/năm thì nên đầu tư vào công ty nào trong các công ty A, B,

C, D?

a) Công ty A b) Công ty B

c) Công ty C d) Công ty D

5.4: Qua kinh nghiệm, một cửa hàng bán bánh biết được số bánh Trung thu có thể bán được

trong dịp tết Trung thu là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:

Số bánh bán được (X) 500 600 700 800 900 1000 Xác suất 0,05 0,15 0,45 0,30 0,03 0,02 Để có thể chắc chắn đến 95% là sẽ không thiếu bánh bán thì cửa hàng cần đặt mua bao nhiêu bánh?

Câu 5.1 5.2 5.3 5.4 Chọn d c c b

HD 5.4:

* Nếu cửa hàng đặt mua 700 tấn:

- Nếu số lượng mua là 700 tấn: bán hết

- Nếu số lượng mua nhiều hơn 700 tấn: cửa hàng bán thiếu, xác suất bán thiếu là (0,3)+(0,03)+(0,02)= 0,35

* Nếu cửa hàng đặt mua 800 tấn:

-Nếu số lượng mua là 800 tấn: bán hết

-Nếu số lượng mua nhiều hơn 800 tấn: cửa hàng bán thiếu, xác suất bán thiếu là (0,03)+(0,02)= 0,05  xác suất bán không thiếu là 1-0,05 = 0,95

6.1: Tiến hành khảo sát số khách trên một ô tô buýt tại một tuyến giao thông người ta thu được

bảng số liệu sau: (số xe khảo sát là 500)

Số khách trên một chuyến 25 30 35 40 45 Tần suất 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1 Giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn đồng không phụ thuộc vào số khách đi trên xe thì công ty phải quy định giá vé (đơn vị: ngàn đồng) là bao nhiêu để có thể thu được số tiền lời bình quân cho mỗi chuyến là 100 ngàn đồng

a) 8,262 b) 7,386

c) 8,633 d) 8,366

6.2: Số thực khách dùng buổi ăn trưa tự chọn có phân phối như sau:

Số khách 20 30 40 50 Xác suất 0,1 0,2 0,3 0,4 Chi phí mỗi buổi ăn của nhà hàng là 5 triệu đồng Phải định giá bao nhiêu ngàn đồng một vé ăn trưa để nhà hàng lời bình quan 1 triệu đồng mỗi buổi ăn trưa?

a) 150 b) 160

c) 170 d) 140

6.3: Trong 900000 vé số phát hành có 20 giải trị giá 50 triệu đồng; 150 giải trị giá 5 triệu đồng

và 1600 giải trị giá 1 triệu đồng Tìm số tiền lãi kỳ vọng của một người khi mua một vé Biết giá mỗi vé là 5 ngàn đồng (đơn vị của tiền lãi là ngàn đồng; kết quả lấy 2 số thập phân)

a) -1,68 b) -1,19

c) -1,28 d) -2,18

6.4: Một trò chơi quay số trúng thưởng, vòng tròn quay số gồm có 11 ô chia đều được đánh số từ

0 đến 10 Nếu kim quay dừng ở ô nào thì số tiền được thưởng bằng chữ số ở ô đó nhân với 3,5 (ngàn đồng) Mỗi lần tham dự quay về số người chơi phải mua vé với giá 20 ngàn đồng Một người mua một vé để tham dự trò chơi Tính xác suất để số tiền lời mà người đó thu được ít nhất

8 ngàn đồng

c) 4/11 d) 5/11

6.5: Theo tài liệu thống kê về tai nạn giao thông ở một khu vực thì người ta thấy tỷ lệ xe máy bị

tai nạn là 0,0055 (vụ/tổng số xe/năm) Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 30.000 đ/xe và số tiền bảo hiểm trung bình cho một vụ tai nạn là 3.000.000 đ Hỏi lợi nhuận công ty kỳ vọng thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu biết rằng chi phí cho quản lý và các chi phí khác chiếm 30% số tiền bán bảo hiểm

Câu 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Chọn c a c b d

HD 6.1:

X= số khách trên 1 chuyến xe

E(X)= (25)(0,15)+ +(45)(0,1)= 34,75

Quy định giá vé là a ngàn

Y= số tiền lời của mỗi chuyến xe (ngàn đ)

Y= aX-200  E(Y)= aE(X)-200 = a(34,75)-200 = 100  a= 8,633

HD 6.2:

X: số khách đến ăn trưa

E(X)= 20*(0,1)+…+50*0,4 = 40

Y: số tiền lời mỗi buổi ăn trưa (ngàn đ)

Giá vé mỗi buổi ăn là a ngàn đ

E(Y)= E(aX-5000) = aE(X)-5000 = a40-5000 = 1000  a= 150 ngàn đ

HD 6.3:

X= số tiền trúng giải khi mua 1 vé số (ngàn đ)

P 898230/900000 1600/900000 150/900000 20/900000 E(X)= 3350000/900000 = 3,72

Y= số tiền lời khi mua 1 vé số (ngàn đ)

Y= 3,5X-20

Y>=8  3,5X-20>=8  X>=8

P(Y>=8) = P(X>=8) = 3/11

HD 6.5:

X= lợi nhuận công ty thu được đối với 1 hợp đồng bảo hiểm (ngàn đ)

* Trường hợp không có tai nạn

* 7.1: Một hộp có 5 sản phẩm hoàn toàn không biết rõ chất lượng của các sản phẩm trong hộp

Mọi giải thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong hộp để kiểm tra thì thấy cả 2 sản phẩm đều là loại tốt Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm còn lại trong hộp Tính kỳ vọng toán của X

* 7.2: Một hộp có 5 sản phẩm hoàn toàn không biết rõ chất lượng của các sản phẩm trong hộp

Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong hộp để kiểm tra thì thấy có 1 sản phẩm tốt Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm còn lại trong hộp Tìm Mod(X)

a) 0 ; 1 b) 1 ; 3

c) 2 ; 3 d) 1 ; 2

* 7.3: Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm trong hộp này

Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 1 sản phẩm tốt Tìm số sản phẩm tốt tin chắc nhất có trong 4 sản phẩm còn lại trong hộp

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

* 7.4: Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm trong hộp này

Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra thì thấy cả hai sản phẩm đều tốt Tìm số sản phẩm tốt tin chắc nhất có trong 4 sản phẩm còn lại trong hộp

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

Câu 7.1 7.2 7.3 7.4 Chọn c d b d