Hướng dẫn giải bài tập Toán tài chính

Toán tài chính (tiếng Anh: mathematical finance) là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Nói chung, tài chính toán học sẽ thừa kế và mở rộng các mô hình toán học hay con số mà không cần phải thiết lập một liên kết đến lý thuyết tài chính, bằng cách lấy giá cả thị trường quan sát như đầu vào. Tính thống nhất toán học là cần thiết, chứ không phải là tính phù hợp với lý thuyết kinh tế.

Trang 1

Toán Tài Chính

Nhóm 1 : Tìm lãi suất trung bình T

Một người cho vay 3 khoản vốn M, N, P với l/s tương ưng i, j, k và thời hạn vay m, n, p.

Hướng dẫn giải :

Có P khoản vốn Ci cho vay

Lãi suất t tương ứng

Thời hạn cho vay : ni tương ứng

-> lãi suất trung bình T được tính theo công thức sau :

VD :

M=150, N=155, P=160 ; i=13%, j=12%, k=11%

1 m=151 , n=155 , p=159 * Đáp số : 11,96%

3 m=159 , n=155 , p=151 * Đáp số : 12%

5 i=11%, j=12%, k=13% * Đáp số : 12.04%

4 M=150, N=160, P=159 * Đáp số : 11.97%

7 M=150, N=160, P=165 * Đáp số : 11.95%

2 M=155, N=160, P=150 * Đáp số : 11.99%

6 M=250, N=260, P=270 ; * Đáp số : i = 10, 11, 12% ;

m=120, 140, 160 * Đáp số : i = 11.12%

8 M=260, 250, 270 ; i ; m * Đáp số : 11.11%

9 M ; i ; m=120, 140, 130 * Đáp số : 11.05%

10 M ; i=13, 11, 12% ; m * Đáp số : 11.94%

Nhóm 2 :

Hai khoản vốn có tổng số là A usd đem cho vay Khoản vốn thứ 1 (C 1 ) lãi đơn với lãi suấti% /

năm, khoản thứ 2 (C 2 ) theo theo lãi gộp với lãi suấtj% / năm Sau N năm, hai số tiền thu được bằng nhau Tìm khoản vốn thứ nhất, khoản vốn thứ 2 ( Tìm C1, C2 )

VD : Hai khoản vốn có tổng số là 10.000 USD đem cho vay Khoản vốn thứ 1 theo lãi đơn với lãi suất 9% /năm, khoản thứ 2 theo lãi gộp với lãi suất 8% /năm Sau 11 năm, hai số tiền thu được bằng nhau Tìm khoản vốn thứ 1 và khoản vốn thứ 2 ?

- Gọi khoản vốn thứ 1 là C1 ; khoản vốn thứ 2 là C2

- Tổng số 2 khoản vốn : (C1 + C2) = 10.000 (1)

- Số tiền thu được của khoản vốn 1 theo lãi đơn với lãi suất = 9% sau 11 năm là :

C'1 = C1 + I1 = C1 x ( 1 + n x t1 ) = C1x ( 1 + 11 x 0.09 ) = 1.99 x C1

- Số tiền thu được của khoản vốn 2 theo lãi gộp với lãi suất = 8% sau 11 năm là :

Cn = Co (1+i)n => C2 (1+8%)11 = C2 (1,08)11 (2)

+ Ta có hệ phương trình :

+ Giải hệ pt trên ta được : C1 = 6.395,27 - C 2 = 4.604,73

∑ C i t i n i

T =

-∑ C i n i

(M.m.i) + (N.n.j) + (P.p.k)

T =

M.m + N.n + P.p

C 1 + C 2 = 10.000 1.99C 1 - (1,08) 11 C 2 = 0

Trang 2

x + y + z = 3.000.000

1,087x - 1,085 y = 0

1,087x - 1,081 z = 0

Tương tự với các bài khác :

Nhóm 3 :

Một khoản tiền thua kế 3.000.000 USD được chia cho 3 người con.

Gọi số tiền chia cho người con thứ 1 (11 tuổi) là : x

Số tiền chia cho người con thứ 2 (13 tuổi) là : y

Số tiền chia cho người con thứ 3 (17 tuổi) là : z

Ta có sơ đồ sau :

7 năm

5 năm

1 năm

Con 3 : z 18 tuổi

+ Tổng tiền thừa kế : x + y + z = 3.000.000 (1)

+ Đến năm 18 tuổi, ssos tiền {3 người con nhân được với l/s 8% là :

Con 1 : Cn1 = Co1 (1+i)^n1 = x 1,087

Con 2 : Cn2 = Co2 (1+i)n2 = y 1,085

Con 3 : Cn3 = Co3 (1+i)n3 = z 1,081

+ Với số tiền 3 người con nhận được đến 18 tuổi là bằng nhau, nên ta có hệ phương trình sau :

Ví dụ :

* i=8% , Tuổi : 11, 13, 17 –

Đ/s: Con 1: 799.302,09 ; Con 2: 932.305,95 ; Con 3: 1.268.391,96

* i=8% , Tuổi : 10, 13, 16

-Đáp số : Con 1: 779.912,30 - 982.464,89 ; Con 3: 1.237.622,81

* i=6% , Tuổi : 9, 12, 15

-Đáp số : Con 1: - 831.131,96 ; Con 2: 989.891.47 ; Con 3 : 1.178.976,57

* i=7% , Tuổi : 10, 12, 14 –

Đáp số : Con 1: 868.131,92 ; Con 2: 993.924,23 ; Con 3: 1.137.943,85

Nhóm 4 :

Một khoản nợ 1.000.000 USD phải được thanh toán vào ngày 15/1/2005 Số tiền được chia bằng

3 lần trả, ấn định vào ngày 15/1/2007, 08, 2010.

Gọi số tiền lần trả thứ 1 là x

Gọi số tiền lần trả thứ 2 là y

Đáp số : Số tiền chia cho Người con 1 : x = 799.302,09 USD Người con 2 : y = 932.305,95 USD Người con 3 : z = 1.268.392 USD

Trang 3

y - x = 60.000

z - y = 60.000

1,08-2x + 1,08-3 y + 1,08-5 z = 1.000.000

y – 1.5x = 60.000

z – 1.5y = 60.000 1,08-1x + 1,08-3 y + 1,08-5 z = 1.000.000

Gọi số tiền lần trả thứ 3 là z

+ Ta có : y - x = z - y = 60.000

+ Tổng số tiền phải trả lần 1 : Co1 = x (1+8%) -2

- ,, - ,, - 2 : Co2 = y 1,08 -3

- ,, - ,, - 3 : Co3 = z 1,08 -5

+ Tổng số tiền phải trả cả 3 lần là 1.000.000 nên ta có pt :

1,08-2x + 1,08-3 y + 1,08-5 z = 1.000.000

» Ta có hệ pt sau :

Giải hệ pt trên ta được :

X = 373.409,88

Y = 433.409,88

Z = 493.409,88

* i=8% , Số tiền sau hon 60.000 số t trc

- Đáp số : x = 373.409,88 ; y = 433.409,88 ; z = 493.409,88

* i=7% , Số tiền sau hon kém số tiền trước : 40.000

- Đáp số : x = 378.965,68 ; y = 418.865,68 ; z = 485.865,68

* i=10% , hon kém nhau : 55.000 USD

- Đáp số : x = 404.959,05 ; y = 459.959,05 ; z = 514.959,05

* i=9% , hon kém nhau : 65.000 USD

- Đáp số : x = 382.241,97 ; y = 447.241,79 ; z = 512.241,79

Nhóm 5 :

Một khoản nợ 1.000.000 USD phải được thanh toán bằng 3 lần trả Vào ngày 15/1/2007, 08, 2010.

Cơ bản là giống nhóm 4 chỉ khác là tỷ lệ khoản tiền sau nhiều - ít hơn khoản tiền trước là 15% Gọi số tiền lần trả thứ 1 là x

Gọi số tiền lần trả thứ 2 là y

Gọi số tiền lần trả thứ 3 là z

+ Ta có : y = 1.5x ; z =1.5 y

+ Tổng số tiền phải trả lần 1 : Co1 = x (1+8%) -1

- ,, - ,, - 2 : Co2 = y 1,08 -3

- ,, - ,, - 3 : Co3 = z 1,08 -5

+ Tổng số tiền phải trả cả 3 lần là 1.000.000 nên ta có pt :

» Ta có hệ pt sau :

X = 374.478,35

Trang 4

Y = 430.600,45

Z = 495.259,52

* i=8% ; hơn kém : 15%

- Đáp số : x = 374.487,35 ; y = 430.660,45 ‘ z = 495.259,52

* i=10% ; hơn kém : 20%

- Đáp số : x = 381.366,33 ; y = 457.639,59 ; z = 549.167,51

* i=9% ; hơn kém' : 15%

- Đáp số : 386.215,91 - 444.148,30 - 510.770,55

* i=11% ; hơn kém' : 20%

- Đáp số : 393.140,18 - 471.768,22 - 566.121,86

Nhóm 6 :

Tính giá trị tại thời điểm 0 của n dãy niên kim cố định, mọi niên kim a $ được thực hiện cách nhau 1 năm Niên kim đầu được thực hiện sau b năm với L/s i.

Ta có trục tọa độ thời gian

+ Áp dụng công thức giá trị của 1 dãy niên kim tại thới điểm bất kỳ (thời điểm p) ta có :

Vậy

V(-1) = 900.000 [ 1 - (1+0.12)-11 / 0.12 ] (1+0.12) -1

V (-1) = 900.000 x 5.937699 x 1.12 -1 = 4.771.365

Vậy giá trị tại thời điểm 0 là : 4.771.365

* i=12%, n=11 , a=900.000 ,

- b=2 năm Đ/s: 4.771.365

- b=3 năm Đ/s : 4.260,148

3:* i=11%, n=12 niên kim, a=900.000 ,

- b=3 năm Đ/s : 4.742.408

- b=4 năm Đ/s : 4.441.902

5:* i=10%, n=14 niên kim, a=900.000

- b=4 năm Đ/s : 4.981.231

- n=15 niên kim, b=5 năm Đ/s : 4.675.549

7: i=9%, n=16 niên kim, a=800.000, b=5 năm Đ/s : 4.711.061

8: i=8%, n=17 niên kim, b=6 năm

Đ/s : 4.966.427

9: i=7%, n=18 niên kim, a=600.000, b=6 năm Đ/s : 4.303.194

10: i=6%, n=19 niên kim, b=7 năm

Đ/s : 4.719.619 USD

Nhóm 7:

a [ 1 - (1+i) -n ]

Vp = Vo (1+i) p <=> Vp = - (1+i) -p

i

Trang 5

Một dãy 10 niên kim cố định, mọi niên kim 2.000 Euro được thực hiện cách nhau 1 năm b niên kim đầu có lãi suất i %, sau do có L/s la j % Tính giá trị thu được của dãy niên kim khi thực hiện n/kim cuối.

Ta có tọa độ thời gian

6 niên kim đầu với l/s: 8% 4 nk sau l/s: 9%/năm

- Giá trị thu được của 6 niêm kim đầu là :

» V6 = 2.000 [ (1+0.08)6- 1 / 0.08 ] = 14.672

- Giá trị thu được của 4 niêm kim sau là :

V4 = 2.000 [ (1+0.09)4- 1 / 0.09 ] = 9146

+ Giá trị thu được của dãy niên kim khi thực hiện niên kim cuối cùng

Vp = V6 (1+0.09)4 + V4 = 29.857

Đáp số : 29.857

* i=8%, j=9%

1:- n=10, b=6 Đ/s : 29.857

- n=11, b=7 Đ/s : 34.337

- n=12, b=8 Đ/s : 39.175

- n=13, b=9 Đ/s : 44.401

5:- n=14, b=10 Đ/s : 50.044

- n=15, b=6 Đ/s : 86.862

- n=16, b=7 Đ/s : 64.801

- n=17, b=8 Đ/s : 72.245

9:* a=1.000 n=18, b=9 Đ/s : 40.143

10: - n=19, b=10 Đ/s : 44.484

Nhóm 8:

1 khoản vay 100.000 USD được thanh toán bằng n dãy niên kim L/s la 9% A niên kim đầu = b

USD Niên kim cuối se hoàn tất việc t/toán Tìm niên kim cuối.

+ Ta có tọa độ thời gian : Gọi x là niên kim cuối cùng

+ Giá trị của khoản nợ được thanh toán bằng dãy niêm kim là :

[ (1 - 1.09-9 )]

<=> 100.000 = 16.000 x - +x 1.09-10

9 %

<=>x = 9.649,49

a [ (1+i) n – 1 ]

Vn =

-i

V = Vo 9+ Vo10

Trang 6

Vậy số tiền niên kim cuối cùng là : 9.649,49

* n=17 , a=16 , b=12.000 - Đ/s : 1.078,89

1:* n=10 , a=9 , b=16.000 - Đ/s : 9.649,49

* n=11 , a=10 , b=15.000 - Đ/s : 9.638,24

* n=12 , a=11 , b=14.000 - Đ/s : 13.296,40

* n=13 , a=12 , b=13.000 - Đ/s : 21.186,46

5:* n=14 , a=13 , b=13.000 - Đ/s : 8.932,24

* n=15 , a=14 , b=12.000 - Đ/s : 23.917,25

* n=16 , a=15 , b=11.000 - Đ/s : 44.993,20

* n=18 , a=17 , b=11.000 - Đ/s : 28.397,32

10:* n=19 , a=18 , b=11.000 - Đ/s : 18.963,08

Nhóm 9 :

Một khoản vay 1.000.000 Euro với lãi suất i %/năm được thanh toán hang năm bằng n dãy niên kim Niên kim đầu được thực hiện sau 1 năm Tính khoản nợ gốc cuối cùng ?

Từ công thức, số tiền vay nợ ban đầu :

<=> a = 179.135,02 = a7

+ Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng là :

<=> mn =

Đáp số : m7 = 168.995,30 euro

1: * i=6% , n=7 - Đ/s : 168.995,30

* i=6% , n=8 - Đ/s : 151.920,70

* i=6% , n=9 - Đ/s : 138.700,22

* i=6% , n=10 - Đ/s : 128.177,22

5: * i=6% , n=11 - Đ/s : 119.615,98

* i=7% , n=6 - Đ/s : 196.074,84

* i=8% , n=6 - Đ/s : 200.292,02

* i=9% , n=6 - Đ/s : 204.513,56

* i=10% , n=6 - Đ/s : 208.733,98

10: * i=11 % , n=6 - Đ/s : 212.951,86

Nhóm 10 :

an

Mn = - = a n (1+i)-1= an-1

(1+i)

( 1 + i )n- 1 D0xix(1 + i)n

Do = a - a =

i ( 1 + i )n ( 1 + i )n- 1

Trang 7

Một dãy niên kim cố định, mọi niên kim bằng a USD, va được thực hiện vào thời điểm 1, 2, 3, ,

n Tim giá trị thu được của dãy niên kim do vào thời điểm (n+k) biết :

Toạ độ thời gian :

Ví dụ :

Một dãy niên kim cố định, mọi niên kim bằng 1.000 USD, va được thực hiện vào thời điểm 1, 2, 3, ,

10 Tim giá trị thu được của dãy niên kim do vào thời điểm(n+k) biết : k = 9, i = 5%

(1 + 0.05)10 - 1

V19 = 1.100x - x (1 + 0.05)9 = 21.643,68 $

0.05

1: i=5% , n=10 , a=1.000 , k=10 - Đ/s : 20.488,06

* , , a=1.100 , k=9 - Đ/s : 21.643,68 $

* i=5% , n=9 , a=1.100 , k=8 - Đ/s : 17.920,38 $

* , , a=1.300 , k=7 - Đ/s : 20.170,13 $

5: , n=8 , a=1.400 , k=6 - Đ/s : 17.915,40 $

* , , a=1.500 , k=5 - Đ/s : 18.281,03 $

* , n=7 , a=1.600 , k=4 - Đ/s : 15.834,66 $

* , , a=1.700 , k=3 - Đ/s : 16.023,17 $

* , n=6 , a=1.800 , k=2 - Đ/s : 13.498,40 $

10: , , a=1.900 , k=2 - Đ/s : 14.248,30 $

Nhóm 11 :

Một thương phiếu mệnh giá C, thời hạn 10 năm được đem chiết khấu theo lãi gộp với lãi suất i, tìm số tiền chiết khấu biết : C = 19.000 ; i = 5%

=» Số tiền chiết khấu : E = C - I = C - C (1 + i)n = C [ 1 – (1 + i)-n]

Vậy :

E= 19.000 x [1 - (1 + 0.05)-10 ] = 7.335,65

Nhóm 12 :

Một dãy niên kim được thực hiện vào các thời điểm 1, 2, 3, 20 Từ thời kỳ thứ nhất đến thời kỳ thứ

k, lãi suất 1 thời kỳ là 8% Từ thời kỳ thứ k + 1 trở đi, lãi suất một thời kỳ 9% Tính giá trị của dãy niên kim tại thời điểm gốc biết : a = 2.000 ; k = 11

1 – ( 1 + 0.08)-11 1 – (1 + 0.09)-9

Vo = [ 2.000 x - ] + [ 2.000x - x (1 + 0.08)-11] = 25.383,50

(1 + i)n - 1

V = ax - x (1 + i)k

i

Trang 8

0.08 0.09

Nhóm 13 :

Một người mua Một lô hàng có 3 phuong an trả tiền A : Trả ngày ;

B: trả bằng 1 dãy n niên kim cố định Mọi n/k bằng b USD L/s mọi thời kỳ là 5% ;

C: trả bằng 1 dãy m niên kim, với c USD L/s : 5% Sắp xếp 3 phương án theo thứ tự tăng dần biết : * S=10.000 , b=900 ,

+ Trả tiền theo phương án 2 :

1 - (1 + 0.05)-16 V0b = 900 x - = 9.754

0.05 + Trả tiền theo phương án 2 :

1 - (1 + 0.05)-21 V0c = 800 x - = 10.256,9

0.05

=» Sắp xếp : B ; A ; C

n=16 , m=21 , c=800 - Đ/s : B, A, C

n=16 , m=22 , c=800 - Đ/s : B, A, C

n=17 , m=20 , c=800 - Đ/s : C, A, B

n=17 , m=21 , c=800 - Đ/s : A, B, C

5: n=17 , m=22, c=800 - Đ/s : A, B, C

* S=20.000 , b=1.800 , c=1.600

n=16 , m=20 - Đ/s : B, C, A

n=16 , m=21 - Đ/s : B, A, C

n=17 , m=20 - Đ/s : C, A, B

n=17 , m=21 - Đ/s : A, B, C

n=16 , m=21 - Đ/s : B, A, C

Nhóm 14 : Hướng dẫn giải : Giống nhóm 11

Một khoản nợ D được th/toán bằng n niên kim cố định với L/s i Tính khoản vay nợ gốc thứ k Biết :

Hướng dẫn giải

+ Giá trị khoản nợ gốc đầu tiên là :

M1 = D x - = 10.000 x - = 2.320,12

(1 + i)n– 1 (1 + 0.05)4- 1

M2 = M1 x (1 + i)k - 1 = 2.320,12 (1 + 0.05)2 - 1 = 2.436,42

Trang 9

Ví dụ :

* D=10.000 , n=4

i= 5% , k=2 - M2= 2.436,42

i= 6% , k=3 - M2= 2.568,91

i= 8% , k=3 - M2= 2.588,5

N=5 , i= 7% , k=2 - M2= 1.860,63

N=5 , i= 9% , k=4 - M2= 2.163,90

* D=20.000 ,

n=4 , i=5% , k=2

- Đ/s : 4.872,25

n=4 , i=6% , k=3

- Đ/s : 5.136,90

n=5 , i=7,5 % , k=2

- Đ/s : 3.701,54

n=5 , i=8 % , k=3

- Đ/s : 3.976,40

n=5 , i=9 % , k=4

- Đ/s : 4.327,79

Nhóm 16 :

Một khoản nợ D được thanh toán bằng n niên kim cố định có khả năng thanh toán nợ gốc cố định với lãi suất i Tính niên kim thứ 2 Biết : D = 10.000 ; n = 5 ; i = 5%

Từ đề bài : m 1 = = m 5 = 10.000 / 5 = 2.000

I 1 = Do x i = 10.000 x 5% = 500

D 1 = Do – m 1 = 8.000

+ Có : a 2 = I 2 + m 2 = D 1 i + m 2

- Mà :

D 2 = D 1 – m 2 = 6.000

I 2 = D 1 x i = 400

=» a2 = 2.400

Nhóm 17 :

Thay thế hai khoản nợ Khoản nợ thứ nhất 10.000, trả sau 1 năm Khoản nợ thứ hai 20.000 trả sau 3 năm bằng một khoản nợ duy nhất S trả sau n năm Lãi suất là i%

Tính S với n = 1 ; i = 6%

+ Phương trình tại thời điểm 0 :

Sx (1 + 0.06)-1 = 10.000x (1 + 0.06)-1 + 20.000x (1 + 0.06)-1

==> S = 27.799,93

Nhóm 18 :

Giá trị hiện tại của số tiền C thu được sau n năm tư bản hoá liên tục là V Tìm lãi suất i Biết : C = 10.000 ; V = 9.048,374 ; n = 2

Trang 10

- Do tư bản hoá liên tục nên :V = C e-in

+Ta có : 9.048,374 = 10.000 x e-21

<=> - 2i = ln 0.9048374 / ln e

Hay :

=» i = 0.05 = 5%

Nhóm 19 :

Một dự án đầu tư có lượng tiền như sau :

CF0= 100.000, 10.000, 30.000 , 50.000 , CF4: 70.000 Tính NPV với lãi suất :

NPV = - CF0+ - + - + + - +

(1 + i)-1 (1 + i)-2 (1 + i)-3 (1 + i)-k (1 + i)-n

Ví dụ :

i= 11% - 16.028,42 _ i= 16%

- Đ/s : 1.608,84

i= 12% - 12.919,67 _ i= 17%

- Đ/s : 963,55

i= 13% - 9.928,78 _ i= 18%

- Đ/s : 3.433,13

i= 14% - 7.050,15 _ i= 19%

- Đ/s : 5.834,09

i= 15% - 4.278,50 _ i= 20%

- Đ/s : 8.140,43

Nhóm 20 :

Một khoản tiền có tổng là 30.000 USD được đem đầu tư theo lãi đơn Khoản thứ nhất với lãi suất năm t%, khoản thứ 2 với lãi suất (t+2)% Khoản thứ nhất đem lại thu nhập hàng năm là 2040, khoản thứ 2 :

1820 USD Tìm khoản tiền thứ nhất

C1lãi đơn C1’ = 2.040

- Có : C1’ = C1x(1 + n t%) 2.040 = C1x(1 + 1 t / 100) 204.000 = C1x(100 + t )

C2lãi kép C2’ = 1.820

- Có : C2’ = C2x (1 + t)n C2x (1 + t)1= 1.820

ln C - ln V

i =

-n

Trang 11

Mà : C1 + C2 = 30.000 C2 = 30.000 - C1 ( thay vào pt trên ta có)

(30.000 - C1) (1 + t) = 1.820

(100 + t )xC1= 204.000

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Nhóm 21 :

Một người gửi đều đặn vào ngân hàng một số tiền theo cách sau : hàng năm, vào ngày 15/ gửi một số tiền a euro, vào ngày 15/7 gửi một số tiền b euro Lần gửi đầu tiên : 15/1/2000, lần gửi cuối cùng 15/1/2010 Hỏi số tiền mà người đó thực hiện sao khi gửi lần cuối cùng Biết :

a = 2000, b = 1500 và lãi suất hằng năm là i = 6% ( Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị )

Nhóm 22 :

Một khoản nợ D được thanh toán bằng n niêm kim cố định với lãi suất i Niên kim đầu tiên được thực hiện sau khi vay một thời kỳ Tính khoản thanh toán nợ gốc k ( Mk = ? ) Biết :

D = 10.000 USD, n = 5, i = 9%, k = 3 ( Làm tròn số lẻ sau dấu phẩy )

Note : Mấy nhóm sau các bạn tụ giải nhé Thê mới kiếm điểm 10 được Nếu ko ai cũng 10 hết thì ………… ☺☺

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	86,85 KB