Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

62 24K 70
Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Bài 1.a: Không gian mẫu là Sx={hóa đơn $1,hóa đơn $5, hóa đơn $50}b: Tập hợp A là A={2,4,6}c: Tập hợp Ac là Ac={1,2,3} Ac=1-ABài 2.Một nguồn thông tin được sản sinh ra các ký tự S = {a , b, c, d, e}. Hệ thống nén số mã hóa các chữ cái thành các dãy nhị phân như sau.a 1b 01c 001d 0001e 0000Với Y là biến ngẫu nhiên bằng độ dài dãy nhị phân ở đầu ra của hệ thống như vậy ta có không gian mẫu là SY = { 1 , 2 , 3 , 4}Ta có giá trị của các xác suất tại các điểm đó là P[Y = 1] = p(a) = ½P[Y = 2] = p(b) = ¼P[Y = 3] = p(c) = 1/8P[Y = 4] = P[Y = 5] = p(d) + p(e) = 1/16 + 1/16 = 1/8Bài 3a. Không gian mẫuSy={1,3,5… ,n} với n lẻ Sy={0,2,4,… ,n} với n chẵnb. Gọi Z là biến cố tương đương với {Y=0}Z : Sz  SSz ∈ w  S(z) = 0 Z là biến cố số lần xuất hiện mặt sấp ngửa bằng nhauc. W : Sw  SSw ∈w  W(w) <= k (k nguyên dương )W là biến cố độ sai khác giữa số lần xuất hiện mặt sấp và số lần xuất hiện mặt ngửa <= k không nguyên dương.Bài 5a.Không gian mẫu SZ của ZSZ={0,1,2,3,….2b} = { (0,0),(0,1), .(0,b),(1,1),(1,2)…(1,b)…(b,0),(b,1),(b,2)….(b,b)}b.c. P[Z≤z]=1-P[Z>z]Bài 07.Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên y trong bài tập 2Ta có:Trang1 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 Đồ thị hàm Fy(y) có dạng:Bài 8Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên trong bài 3+ trường hợp 1 với n = 4Ta coi các đồng được gieo là cân đối nên biến ngẫu nhiên Y lấy các giá trị 0,1,2,3,4 với các xác suất tương ứng là 161,162,163,164,163,162,161bởi vậy hàm )(xFy một cách đơn giản là tổng xác suất của tổng các kết cục từ {0,1,2,3,4} vì vậy hàm phân phối được là hàm gián đoạn tại các điểm 0,1,2,3,4Xét hàm phân phối tại lân cận của điểm x= 1 , cho δlà một số dương nhỏ ta có ::PYPFy=−≤=− ]1[)1(δδ[0 lân xuất hiện mặt sấp] = 161bởi vậy giới hạn của hàm phân phối khi x tiến tới 1 từ bên phải là 161 vàPYPxFy=≤= ]1[)([0 hoặc 1 lần xuất hiện mặt sấp] = 161 + 162 = 163Và ]1[)1(δδ+≤=+ YPFy = P[0 hoặc 1 lần sấp] = 163Trang2 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Như vậy hàm phân phối liên tục bên phải và bằng 163 tại điểm x = 1. Độ nhảy tại điểm x = 1 là bằng P[ Y = 1 ] = 163-161 = 81Hàm phân phối có thể được biểu diễn theo hàm bậc thang đơn vị ≥<=0100)(khixkhixxuKhi đó hàm )(xFy là )(xFy = 161)(xu + 162)(xu + 163)(xu + 164)(xu + 163)(xu + 162)(xu + 161)(xu+ trường hợp với n = 5Tương tự như trường hợp n = 4)(xFy = 321)(xu + )(323)(322xuxu + + ……….+ 3216)(xu + …… + 321)(xu + )(323)(322xuxu +Bài 9. Công thức hàm phân phối:Bài 10. Phác hoạ hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Z trong ví dụ 5. Chỉ ra dạng của ZThời gian truyền Z của một tin nhắn trong một hệ truyền thông tuân theo quy luật phân phối mũ với tham số , nghĩa làPhác hoạ dạng đồ thị:Bài 11 P(x = k) = knkknqpC− k=0,1,…, nTrang3 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324q=1-pVới n=8 Xét p=1/8 => q = 7/8808080810.96,587.81.!8!.0!8)8(−==== qpCxP617171810.34,387.81.!1!.7!8)7(−==== qpCxP526262810.18,887.81.!2!.6!8)6(−==== qpCxP335353810.14,187.81.!3!.5!8)5(−==== qpCxP01,087.81.!4!.4!8)4(444448==== qpCxP056,087.81.!5!.3!8)3(535358==== qpCxP196,087.81.!6!.2!8)2(626268==== qpCxP39,087.81.!7!.1!8)1(717178==== qpCxP34,087.81.!0!.8!8)0(808088==== qpCxPVới p=1/2 => q=1/2380808810.9,321.21.!0!.8!8)8()0(−====== qpCxPxP317171810.25,3121.21.!7!.1!8)7()1(−====== qpCxPxP326262810.375,10921.21.!6!.2!8)6()2(−====== qpCxPxP335353810.75,21821.21.!5!.3!8)5()3(−====== qpCxPxP344444810.4375,27321.21.!4!.4!8)4(−==== qpCxPĐồ thị : Trang4 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Với p = 9/10 => q = 1/1043,0101.109.!8!.0!8)8(080808==== qpCxP383,0101.109.!1!.7!8)7(171718==== qpCxP149,0101.109.!2!.6!8)6(262628==== qpCxP033,0101.109.!3!.5!8)5(353538==== qpCxP344444810.59,4101.109.!4!.4!8)4(−==== qpCxP453535810.1,4101.109.!5!.3!8)3(−==== qpCxP562626810.268,2101.109.!6!.2!8)2(−==== qpCxP671717810.72,0101.109.!7!.1!8)1(−==== qpCxP880808810101.109.!0!.8!8)0(−==== qpCxPĐồ thị :Trang5 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Bài 12:Vì U là biến ngẫu nhiên phân phối đều trên khoảng [-1;1] nên:P[U] = P[U-0] = P[U+0]P[U>0] = P[0<U<1] = F[1] - F[0] = 1 - 12 = 12 P[|U|<13] = P[13−<U<13] = F[13] – F[13−] = 46 - 26 = 13P[|U|34≥] = P[-1<U<34−] + P[34<U<1] = F[34−] - F[-1] + F[1] - F[34] = 18 - 0 + 1 - 78 = 14P[U<5] = 0P[13<U<12] = F[12] - F[13]Trang6 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 = 34 - 46 = 112Bài 13:• → P[A] = 0• → P[B] = = = • → P[C] = • → P[D] = Bµi 14:a. BiÕn ngÉu nhiªn x lµ BNN liªn tôc( )>≤≤−=1 n 110 4141nnnFxb. [ ]021==−<φρρX614112131;0[31 −=−==<ρρX[ ]{ }[ ]4100 ==≤ρρXTrang7 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203241631;41141==<≤ρρX{ }[ ]16301631141141=+=+<≤=≤≤ρρρXX[ ]( )871211),1(1;2121=+−=+∞+=>XXFFXρρρ[ ]15 =≥Xρ[ ]( )[ ] [ ][ ]( )( )430111;05;15 =−+=+=<−XxFFXρρρBài 15:0( 1)( )1 ( 1)YnyF yy y−<=− ≥•{ } { }[ ]{ }0 1 0 2 (0,1) 1,2Y Yk P Y P P≤ ≤ ⇔ < ≤ = + 0 (2) (1 0) 1 2kY YF F−= + − − = −•{ } { }1 1 ( , 1]Yk P k Y k P k k> ⇔ < ≤ + = + ( 1) ( )Y YF k F k= + − 1 ( 1) (1 ) ( 1)k k k kk k k k− − − −= − + − − = − +Bài 17: Biến cố ngẫu nhiên Rayleigh có hàm phân phối )(rFR=≥−<−0100222khirrerσTìm P[σσ2≤≤ R][σσ2≤≤ R]=[R=σ]∪[σσ2≤≤ R]P[σσ2≤≤R]=)(σRF-)(−σRF+)2(σRF-)(σRF=)2(σRF-)(−σRF =(1-er222/4σ−) –(1-er222/σ−)=ee22/1 −−−P[R>σ3]=1-P[Rσ3≤] =1-)3(σFR=1-e2/9−Bài 18. X là biến ngẫu nhiên mũ với tham số λ ta có hàm mật độ xác suất của hàm biến mũ là nếu x 0≥ nếu x < 0Vậy ta có hàm phân phối mũ làTrang8=−0)(xXexfλλ Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324( ) ( ) ( )( )xxtxtxXxXXxXXeexedtedxxfdxxfdxxfdxxfxFλλλλλ−−−−∞−∞−−=−−=−===+==∫∫∫ ∫∫110)()(0000Vậy giá trị của hàm phân phối được viết là Nếu x 0≥Nếu x < 0Với giá trị d > 0 , k nguyên dương Tính P[dX≤] = dXedFλ−−=1)(P[( )dkXkd 1+≤≤]=dkkdkddkXXeeeekdFdkF)1()1()1(1)())1((+−−−+−−=−−−=−+λλλλHay P[( )dkXkd 1+≤≤] =( )∫∫++−−−−+−=+−==dkkddkkdxxdkkdXeekddkedxedxxf)1()1()1()1()(λλλλλP[X>kd] = 1 - P[X≤kd] = 1 - FX(kd) = 1 – (1- ekdλ−) = ekdλ−b.Hãy chia phần dương của đường thẳng thực thành năm khoảng không có điểm chung đồng xác suất.P[( )dkXkd 1+≤≤] 0 d kd (k+1)dCác giá trị xác suất tại các điểm là không có điểm chung đồng xác suấtP[0<X<d] = FX(d) – FX(0)P[d<X<kd] = FX(kd) – FX(d)P[kd<X<(k+1)d] = FX(kd) – FX((k+1)d)P[X > (k+1)d] = 1 – FX((k+1)d)Bài 19:a. Áp dụng tính chất ( ) 1fx x dx∞−∞=∫Mặt khác ( )fx x dx∞−∞∫= 0( )fx x dx−∞∫ + 10( )fx x dx∫ + 1( ) 1fx x dx+∞=∫Trang9( )−=−01xXexFλ Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324⇔00−∞∫ + 10(1 )Cx x dx−∫ + 10∞∫ = 1⇔10(1 )Cx x dx− ≤∫ = 1⇔ C(22x- 3x3) |10 =1⇔ C(12 - 34)= 1⇔ C= 6Vậy fx(x)= 6x(1-x) nếu 0 ≤x ≤1 0 nếu khác c. Hàm phân phối xác suất 0 nếu x< 0 Fx(x) = 3x2 – 2x3 nếu 0 ≤x ≤1 1 nếu x>1 b. P[12<x≤34 ] = Fx(34) – Fx(12) = ( 3 (34)2 - 2 (34)3 ) – [3(12)2 – 2(12)3] = 0,34375Bài 21.a.Tìm fx(x).fx(x) =0 neu x a (x+c) neu – a x 0( ) neu 00 cacx c x aaneu x a< −≤ <−− ≤ <≥b.Tìm Fx(x)Fx(x)=( )xFx t dt−∞∫ Fx(x)=( )xact c dta−+∫=ca(t-c)2xa−=ca[(x+c)2 – (c-a)2] = ca(x+c)2 - ca(c-a)2Fx(x) =( )axat c dtc−−∫ = ac−(t-c)2 ax = ac−[ (a-c)2 - (x-c)2] Trang10 [...]... K=0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 0. 430 0 .38 3 0.149 0. 033 0.005 0.408.10 -3 0.022. 10 -2 0.72.10 -6 0.01.10 -6 1 2 0.004 0. 031 0.109 0.219 0.2 73 0.219 0.109 0. 031 0.004 9 10 0.01.10 -6 0.72.10 -6 0.22.10 -3 0.408.10 - 3 0.005 0. 033 0.149 0 .38 3 0.0 43 Với P= 1 10 : n=8 => kỳ vọng (trung bình) E[X]= ( ) 0. 130 k x k x P x = ∑ ⇒ D 2 = 2 2 6 2 (0. 43 0. 13) (0 .38 3 0. 13) (0.01.10 0. 13) 1, 83 0. 13 0. 13 0. 13 − − −... thức Trang 33 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Chi phí cho n lần tung là : nd $ Chi phí cho X lần ngửa là bXaX + 2 Chi phí cho n-X lần xấp là nd – ( bXaX + 2 )  Kì vọng cho tổng chi phí : E(X) = ∫∫ − +−++ Xn X dtbtatndtdtbtatt 0 2 0 2 )](.[).( = XnX btatndtbtat − −−++ 0 34 2 0 34 |) 34 2 (|) 34 ( = 3 )( 4 )( 2 )( 34 34 2 34 XnbXnaXnnd bXaX − − − − − ++ = 3 ])([ 4 ])([ 2 )( 33 442 XnXbXnXaXnnd... σ +∞ − −∞ − ∞ → + −∞ ∫ = 2 2 2 0 2 π π σ σ + = → σ x = [x]=V σ Bài 71 Bài 73 Chứng minh các hệ thức (3. 68), (3. 69)và (3. 70) + hệ thức (3. 68) VAR[c] = 0 Trang 36 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 q=1-p Với n=8 Xét p=1/8 => q = 7/8 8 08 080 8 10.96,5 8 7 . 8 1 . !8!.0 !8 )8( − =             === qpCxP 6 17 171 8 10 .34 ,3 8 7 . 8 1 . !1!.7 !8 )7( − =             ===... (đpcm) ii) Trang 11 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Đồ thị hàm F y (y) có dạng: Bài 8 Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên trong bài 3 + trường hợp 1 với n = 4 Ta coi các đồng được gieo là cân đối nên biến ngẫu nhiên Y lấy các giá trị 0,1,2 ,3, 4 với các xác suất tương ứng là 16 1 , 16 2 , 16 3 , 16 4 , 16 3 , 16 2 , 16 1 bởi vậy hàm )(x F y một cách đơn giản là tổng xác suất. .. có E(Y) = = Bài 77: Giới hạn tử Y = g(X) được xác định : Trang 38 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 ⇔ 0 0 −∞ ∫ + 1 0 (1 )Cx x dx− ∫ + 1 0 ∞ ∫ = 1 ⇔ 1 0 (1 )Cx x dx− ≤ ∫ = 1 ⇔ C( 2 2 x - 3 x 3 ) | 1 0 =1 ⇔ C( 1 2 - 3 4 )= 1 ⇔ C= 6 Vậy f x (x)= 6x(1-x) nếu 0 ≤ x ≤ 1 0 nếu khác c. Hàm phân phối xác suất 0 nếu x< 0 F x (x) = 3x 2 – 2x 3 nếu 0 ≤ x... =Γ=+Γ =)(x f X π 2. 2 1 2 1 e x x Trang 24 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Với p = 9/10 => q = 1/10 43, 0 10 1 . 10 9 . !8!.0 !8 )8( 08 080 8 =             === qpCxP 38 3,0 10 1 . 10 9 . !1!.7 !8 )7( 17 171 8 =             === qpCxP 149,0 10 1 . 10 9 . !2!.6 !8 )6( 26 262 8 =             === qpCxP 033 ,0 10 1 . 10 9 . !3! .5 !8 )5( 35 35 3 8 =             ===... nguyên dương. Bài 5 a.Không gian mẫu S Z của Z S Z ={0,1,2 ,3, ….2b} = { (0,0),(0,1), (0,b),(1,1),(1,2)…(1,b)…(b,0),(b,1),(b,2)….(b,b)} b. c. P[Z ≤ z]=1-P[Z>z] Bài 07. Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên y trong bài tập 2 Ta có: Trang 1 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 16 3 1; 4 1 1 4 1 =             =       <≤ ρρ X { } [ ] 16 3 0 16 3 11 4 1 1 4 1 =+=+       <≤=       ≤≤ ρρρ XX [... T t T R t e e t T t T λ λ δ λ λ − − − − = − = ⇒ = ⇒ = − − − ⇒ = + Bài 106 Một thiết bị có hàm tốc độ hỏng: Tìm hàm độ tin cậy và hàm mật độ xác suất của thiết bị Với Với Với Hàm độ tin cậy: Hàm mật độ xác suất: Trang 49 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Kỳ vọng và phương sai từ hàm sinh xác suất: Bài 95: [ ] r E X p = với 1 .(1 ) 1 r k r k p p p r − −   = − ... đĩa bán kính X chính là diện tích của đường trịn S = X = Đặt Y= S Ta có : P y (Y ) = P y ( ) = Ta có hàm phân phối xác suất được tính theo bài 19 là F y (Y) = 3Y 2 – 2Y 3 = 3 – 2( ) 3/ 2 Đạo hàm hai vế ta có Trang 30 Xác suất thống –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Để nơi nhận mắc lỗi nếu 0 đã được gửi đi thì điện áp là khơng âm, tức là hay Khi đó: Tương tự, để nơi nhận mắc... => q=1/2 3 80 808 8 10.9 ,3 2 1 . 2 1 . !0!.8 !8 )8()0( − =             ===== qpCxPxP 3 17 171 8 10.25 ,31 2 1 . 2 1 . !7!.1 !8 )7()1( − =             ===== qpCxPxP 3 26 262 8 10 .37 5,109 2 1 . 2 1 . !6!.2 !8 )6()2( − =             ===== qpCxPxP 3 35 35 3 8 10.75,218 2 1 . 2 1 . !5! .3 !8 )5( )3( − =             ===== qpCxPxP 3 44 444 8 10. 437 5,2 73 2 1 . 2 1 . !4!.4 !8 )4( − =             === . qpCxPxP 335 3 538 10.75,21821.21.!5! .3! 8)5( )3( −====== qpCxPxP344444810. 437 5,2 732 1.21.!4!.4!8)4(−==== qpCxPĐồ thị : Trang4 Xác suất thống kê. ngẫu nhiên y trong bài tập 2Ta có:Trang1 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Đồ thị hàm Fy(y) có dạng :Bài 8Phác họa hàm phân

Ngày đăng: 12/09/2012, 22:29

Hình ảnh liên quan

Cho X là biến ngẫu nhiên hình học. Tìm và phác hoạ FX(n/A) nếu. - Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

ho.

X là biến ngẫu nhiên hình học. Tìm và phác hoạ FX(n/A) nếu Xem tại trang 16 của tài liệu.
Theo bảng Q-hàm ta cú - Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

heo.

bảng Q-hàm ta cú Xem tại trang 21 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan