Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

Bài tập Xác suất thống kê –Chương 3

Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Bài 1.a: Không gian mẫu là Sx={hóa đơn $1,hóa đơn $5, hóa đơn $50}b: Tập hợp A là A={2,4,6}c: Tập hợp Ac là Ac={1,2,3} Ac=1-ABài 2.Một nguồn thông tin được sản sinh ra các ký tự S = {a , b, c, d, e}. Hệ thống nén số mã hóa các chữ cái thành các dãy nhị phân như sau.a 1b 01c 001d 0001e 0000Với Y là biến ngẫu nhiên bằng độ dài dãy nhị phân ở đầu ra của hệ thống như vậy ta có không gian mẫu là SY = { 1 , 2 , 3 , 4}Ta có giá trị của các xác suất tại các điểm đó là P[Y = 1] = p(a) = ½P[Y = 2] = p(b) = ¼P[Y = 3] = p(c) = 1/8P[Y = 4] = P[Y = 5] = p(d) + p(e) = 1/16 + 1/16 = 1/8Bài 3a. Không gian mẫuSy={1,3,5… ,n} với n lẻ Sy={0,2,4,… ,n} với n chẵnb. Gọi Z là biến cố tương đương với {Y=0}Z : Sz  SSz ∈ w  S(z) = 0 Z là biến cố số lần xuất hiện mặt sấp ngửa bằng nhauc. W : Sw  SSw ∈w  W(w) <= k (k nguyên dương )W là biến cố độ sai khác giữa số lần xuất hiện mặt sấp và số lần xuất hiện mặt ngửa <= k không nguyên dương.Bài 5a.Không gian mẫu SZ của ZSZ={0,1,2,3,….2b} = { (0,0),(0,1), .(0,b),(1,1),(1,2)…(1,b)…(b,0),(b,1),(b,2)….(b,b)}b.c. P[Z≤z]=1-P[Z>z]Bài 07.Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên y trong bài tập 2Ta có:Trang1 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 Đồ thị hàm Fy(y) có dạng:Bài 8Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên trong bài 3+ trường hợp 1 với n = 4Ta coi các đồng được gieo là cân đối nên biến ngẫu nhiên Y lấy các giá trị 0,1,2,3,4 với các xác suất tương ứng là 161,162,163,164,163,162,161bởi vậy hàm )(xFy một cách đơn giản là tổng xác suất của tổng các kết cục từ {0,1,2,3,4} vì vậy hàm phân phối được là hàm gián đoạn tại các điểm 0,1,2,3,4Xét hàm phân phối tại lân cận của điểm x= 1 , cho δlà một số dương nhỏ ta có ::PYPFy=−≤=− ]1[)1(δδ[0 lân xuất hiện mặt sấp] = 161bởi vậy giới hạn của hàm phân phối khi x tiến tới 1 từ bên phải là 161 vàPYPxFy=≤= ]1[)([0 hoặc 1 lần xuất hiện mặt sấp] = 161 + 162 = 163Và ]1[)1(δδ+≤=+ YPFy = P[0 hoặc 1 lần sấp] = 163Trang2 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Như vậy hàm phân phối liên tục bên phải và bằng 163 tại điểm x = 1. Độ nhảy tại điểm x = 1 là bằng P[ Y = 1 ] = 163-161 = 81Hàm phân phối có thể được biểu diễn theo hàm bậc thang đơn vị ≥<=0100)(khixkhixxuKhi đó hàm )(xFy là )(xFy = 161)(xu + 162)(xu + 163)(xu + 164)(xu + 163)(xu + 162)(xu + 161)(xu+ trường hợp với n = 5Tương tự như trường hợp n = 4)(xFy = 321)(xu + )(323)(322xuxu + + ……….+ 3216)(xu + …… + 321)(xu + )(323)(322xuxu +Bài 9. Công thức hàm phân phối:Bài 10. Phác hoạ hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Z trong ví dụ 5. Chỉ ra dạng của ZThời gian truyền Z của một tin nhắn trong một hệ truyền thông tuân theo quy luật phân phối mũ với tham số , nghĩa làPhác hoạ dạng đồ thị:Bài 11 P(x = k) = knkknqpC− k=0,1,…, nTrang3 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324q=1-pVới n=8 Xét p=1/8 => q = 7/8808080810.96,587.81.!8!.0!8)8(−==== qpCxP617171810.34,387.81.!1!.7!8)7(−==== qpCxP526262810.18,887.81.!2!.6!8)6(−==== qpCxP335353810.14,187.81.!3!.5!8)5(−==== qpCxP01,087.81.!4!.4!8)4(444448==== qpCxP056,087.81.!5!.3!8)3(535358==== qpCxP196,087.81.!6!.2!8)2(626268==== qpCxP39,087.81.!7!.1!8)1(717178==== qpCxP34,087.81.!0!.8!8)0(808088==== qpCxPVới p=1/2 => q=1/2380808810.9,321.21.!0!.8!8)8()0(−====== qpCxPxP317171810.25,3121.21.!7!.1!8)7()1(−====== qpCxPxP326262810.375,10921.21.!6!.2!8)6()2(−====== qpCxPxP335353810.75,21821.21.!5!.3!8)5()3(−====== qpCxPxP344444810.4375,27321.21.!4!.4!8)4(−==== qpCxPĐồ thị : Trang4 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Với p = 9/10 => q = 1/1043,0101.109.!8!.0!8)8(080808==== qpCxP383,0101.109.!1!.7!8)7(171718==== qpCxP149,0101.109.!2!.6!8)6(262628==== qpCxP033,0101.109.!3!.5!8)5(353538==== qpCxP344444810.59,4101.109.!4!.4!8)4(−==== qpCxP453535810.1,4101.109.!5!.3!8)3(−==== qpCxP562626810.268,2101.109.!6!.2!8)2(−==== qpCxP671717810.72,0101.109.!7!.1!8)1(−==== qpCxP880808810101.109.!0!.8!8)0(−==== qpCxPĐồ thị :Trang5 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Bài 12:Vì U là biến ngẫu nhiên phân phối đều trên khoảng [-1;1] nên:P[U] = P[U-0] = P[U+0]P[U>0] = P[0<U<1] = F[1] - F[0] = 1 - 12 = 12 P[|U|<13] = P[13−<U<13] = F[13] – F[13−] = 46 - 26 = 13P[|U|34≥] = P[-1<U<34−] + P[34<U<1] = F[34−] - F[-1] + F[1] - F[34] = 18 - 0 + 1 - 78 = 14P[U<5] = 0P[13<U<12] = F[12] - F[13]Trang6 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324 = 34 - 46 = 112Bài 13:• → P[A] = 0• → P[B] = = = • → P[C] = • → P[D] = Bµi 14:a. BiÕn ngÉu nhiªn x lµ BNN liªn tôc( )>≤≤−=1 n 110 4141nnnFxb. [ ]021==−<φρρX614112131;0[31 −=−==<ρρX[ ]{ }[ ]4100 ==≤ρρXTrang7 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203241631;41141==<≤ρρX{ }[ ]16301631141141=+=+<≤=≤≤ρρρXX[ ]( )871211),1(1;2121=+−=+∞+=>XXFFXρρρ[ ]15 =≥Xρ[ ]( )[ ] [ ][ ]( )( )430111;05;15 =−+=+=<−XxFFXρρρBài 15:0( 1)( )1 ( 1)YnyF yy y−<=− ≥•{ } { }[ ]{ }0 1 0 2 (0,1) 1,2Y Yk P Y P P≤ ≤ ⇔ < ≤ = + 0 (2) (1 0) 1 2kY YF F−= + − − = −•{ } { }1 1 ( , 1]Yk P k Y k P k k> ⇔ < ≤ + = + ( 1) ( )Y YF k F k= + − 1 ( 1) (1 ) ( 1)k k k kk k k k− − − −= − + − − = − +Bài 17: Biến cố ngẫu nhiên Rayleigh có hàm phân phối )(rFR=≥−<−0100222khirrerσTìm P[σσ2≤≤ R][σσ2≤≤ R]=[R=σ]∪[σσ2≤≤ R]P[σσ2≤≤R]=)(σRF-)(−σRF+)2(σRF-)(σRF=)2(σRF-)(−σRF =(1-er222/4σ−) –(1-er222/σ−)=ee22/1 −−−P[R>σ3]=1-P[Rσ3≤] =1-)3(σFR=1-e2/9−Bài 18. X là biến ngẫu nhiên mũ với tham số λ ta có hàm mật độ xác suất của hàm biến mũ là nếu x 0≥ nếu x < 0Vậy ta có hàm phân phối mũ làTrang8=−0)(xXexfλλ Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324( ) ( ) ( )( )xxtxtxXxXXxXXeexedtedxxfdxxfdxxfdxxfxFλλλλλ−−−−∞−∞−−=−−=−===+==∫∫∫ ∫∫110)()(0000Vậy giá trị của hàm phân phối được viết là Nếu x 0≥Nếu x < 0Với giá trị d > 0 , k nguyên dương Tính P[dX≤] = dXedFλ−−=1)(P[( )dkXkd 1+≤≤]=dkkdkddkXXeeeekdFdkF)1()1()1(1)())1((+−−−+−−=−−−=−+λλλλHay P[( )dkXkd 1+≤≤] =( )∫∫++−−−−+−=+−==dkkddkkdxxdkkdXeekddkedxedxxf)1()1()1()1()(λλλλλP[X>kd] = 1 - P[X≤kd] = 1 - FX(kd) = 1 – (1- ekdλ−) = ekdλ−b.Hãy chia phần dương của đường thẳng thực thành năm khoảng không có điểm chung đồng xác suất.P[( )dkXkd 1+≤≤] 0 d kd (k+1)dCác giá trị xác suất tại các điểm là không có điểm chung đồng xác suấtP[0<X<d] = FX(d) – FX(0)P[d<X<kd] = FX(kd) – FX(d)P[kd<X<(k+1)d] = FX(kd) – FX((k+1)d)P[X > (k+1)d] = 1 – FX((k+1)d)Bài 19:a. Áp dụng tính chất ( ) 1fx x dx∞−∞=∫Mặt khác ( )fx x dx∞−∞∫= 0( )fx x dx−∞∫ + 10( )fx x dx∫ + 1( ) 1fx x dx+∞=∫Trang9( )−=−01xXexFλ Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324⇔00−∞∫ + 10(1 )Cx x dx−∫ + 10∞∫ = 1⇔10(1 )Cx x dx− ≤∫ = 1⇔ C(22x- 3x3) |10 =1⇔ C(12 - 34)= 1⇔ C= 6Vậy fx(x)= 6x(1-x) nếu 0 ≤x ≤1 0 nếu khác c. Hàm phân phối xác suất 0 nếu x< 0 Fx(x) = 3x2 – 2x3 nếu 0 ≤x ≤1 1 nếu x>1 b. P[12<x≤34 ] = Fx(34) – Fx(12) = ( 3 (34)2 - 2 (34)3 ) – [3(12)2 – 2(12)3] = 0,34375Bài 21.a.Tìm fx(x).fx(x) =0 neu x a (x+c) neu – a x 0( ) neu 00 cacx c x aaneu x a< −≤ <−− ≤ <≥b.Tìm Fx(x)Fx(x)=( )xFx t dt−∞∫ Fx(x)=( )xact c dta−+∫=ca(t-c)2xa−=ca[(x+c)2 – (c-a)2] = ca(x+c)2 - ca(c-a)2Fx(x) =( )axat c dtc−−∫ = ac−(t-c)2 ax = ac−[ (a-c)2 - (x-c)2] Trang10 [...]... K=0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 0. 430 0 .38 3 0.149 0. 033 0.005 0.408.10 -3 0.022. 10 -2 0.72.10 -6 0.01.10 -6 1 2 0.004 0. 031 0.109 0.219 0.2 73 0.219 0.109 0. 031 0.004 9 10 0.01.10 -6 0.72.10 -6 0.22.10 -3 0.408.10 - 3 0.005 0. 033 0.149 0 .38 3 0.0 43 Với P= 1 10 : n=8 => kỳ vọng (trung bình) E[X]= ( ) 0. 130 k x k x P x = ∑ ⇒ D 2 = 2 2 6 2 (0. 43 0. 13) (0 .38 3 0. 13) (0.01.10 0. 13) 1, 83 0. 13 0. 13 0. 13 − − −... thức Trang 33 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Chi phí cho n lần tung là : nd $ Chi phí cho X lần ngửa là bXaX + 2 Chi phí cho n-X lần xấp là nd – ( bXaX + 2 )  Kì vọng cho tổng chi phí : E(X) = ∫∫ − +−++ Xn X dtbtatndtdtbtatt 0 2 0 2 )](.[).( = XnX btatndtbtat − −−++ 0 34 2 0 34 |) 34 2 (|) 34 ( = 3 )( 4 )( 2 )( 34 34 2 34 XnbXnaXnnd bXaX − − − − − ++ = 3 ])([ 4 ])([ 2 )( 33 442 XnXbXnXaXnnd... σ +∞ − −∞ − ∞ → + −∞ ∫ = 2 2 2 0 2 π π σ σ + = → σ x = [x]=V σ Bài 71 Bài 73 Chứng minh các hệ thức (3. 68), (3. 69)và (3. 70) + hệ thức (3. 68) VAR[c] = 0 Trang 36 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 q=1-p Với n=8 Xét p=1/8 => q = 7/8 8 08 080 8 10.96,5 8 7 . 8 1 . !8!.0 !8 )8( − =             === qpCxP 6 17 171 8 10 .34 ,3 8 7 . 8 1 . !1!.7 !8 )7( − =             ===... (đpcm) ii) Trang 11 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Đồ thị hàm F y (y) có dạng: Bài 8 Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên trong bài 3 + trường hợp 1 với n = 4 Ta coi các đồng được gieo là cân đối nên biến ngẫu nhiên Y lấy các giá trị 0,1,2 ,3, 4 với các xác suất tương ứng là 16 1 , 16 2 , 16 3 , 16 4 , 16 3 , 16 2 , 16 1 bởi vậy hàm )(x F y một cách đơn giản là tổng xác suất. .. có E(Y) = = Bài 77: Giới hạn tử Y = g(X) được xác định : Trang 38 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 ⇔ 0 0 −∞ ∫ + 1 0 (1 )Cx x dx− ∫ + 1 0 ∞ ∫ = 1 ⇔ 1 0 (1 )Cx x dx− ≤ ∫ = 1 ⇔ C( 2 2 x - 3 x 3 ) | 1 0 =1 ⇔ C( 1 2 - 3 4 )= 1 ⇔ C= 6 Vậy f x (x)= 6x(1-x) nếu 0 ≤ x ≤ 1 0 nếu khác c. Hàm phân phối xác suất 0 nếu x< 0 F x (x) = 3x 2 – 2x 3 nếu 0 ≤ x... =Γ=+Γ =)(x f X π 2. 2 1 2 1 e x x Trang 24 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Với p = 9/10 => q = 1/10 43, 0 10 1 . 10 9 . !8!.0 !8 )8( 08 080 8 =             === qpCxP 38 3,0 10 1 . 10 9 . !1!.7 !8 )7( 17 171 8 =             === qpCxP 149,0 10 1 . 10 9 . !2!.6 !8 )6( 26 262 8 =             === qpCxP 033 ,0 10 1 . 10 9 . !3! .5 !8 )5( 35 35 3 8 =             ===... nguyên dương. Bài 5 a.Không gian mẫu S Z của Z S Z ={0,1,2 ,3, ….2b} = { (0,0),(0,1), (0,b),(1,1),(1,2)…(1,b)…(b,0),(b,1),(b,2)….(b,b)} b. c. P[Z ≤ z]=1-P[Z>z] Bài 07. Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên y trong bài tập 2 Ta có: Trang 1 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 16 3 1; 4 1 1 4 1 =             =       <≤ ρρ X { } [ ] 16 3 0 16 3 11 4 1 1 4 1 =+=+       <≤=       ≤≤ ρρρ XX [... T t T R t e e t T t T λ λ δ λ λ − − − − = − = ⇒ = ⇒ = − − − ⇒ = + Bài 106 Một thiết bị có hàm tốc độ hỏng: Tìm hàm độ tin cậy và hàm mật độ xác suất của thiết bị Với Với Với Hàm độ tin cậy: Hàm mật độ xác suất: Trang 49 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Kỳ vọng và phương sai từ hàm sinh xác suất: Bài 95: [ ] r E X p = với 1 .(1 ) 1 r k r k p p p r − −   = − ... đĩa bán kính X chính là diện tích của đường trịn S = X = Đặt Y= S Ta có : P y (Y ) = P y ( ) = Ta có hàm phân phối xác suất được tính theo bài 19 là F y (Y) = 3Y 2 – 2Y 3 = 3 – 2( ) 3/ 2 Đạo hàm hai vế ta có Trang 30 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Để nơi nhận mắc lỗi nếu 0 đã được gửi đi thì điện áp là khơng âm, tức là hay Khi đó: Tương tự, để nơi nhận mắc... => q=1/2 3 80 808 8 10.9 ,3 2 1 . 2 1 . !0!.8 !8 )8()0( − =             ===== qpCxPxP 3 17 171 8 10.25 ,31 2 1 . 2 1 . !7!.1 !8 )7()1( − =             ===== qpCxPxP 3 26 262 8 10 .37 5,109 2 1 . 2 1 . !6!.2 !8 )6()2( − =             ===== qpCxPxP 3 35 35 3 8 10.75,218 2 1 . 2 1 . !5! .3 !8 )5( )3( − =             ===== qpCxPxP 3 44 444 8 10. 437 5,2 73 2 1 . 2 1 . !4!.4 !8 )4( − =             === . qpCxPxP 335 3 538 10.75,21821.21.!5! .3! 8)5( )3( −====== qpCxPxP344444810. 437 5,2 732 1.21.!4!.4!8)4(−==== qpCxPĐồ thị : Trang4 Xác suất thống kê. ngẫu nhiên y trong bài tập 2Ta có:Trang1 Xác suất thống kê –Chương 3 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902 032 4 Đồ thị hàm Fy(y) có dạng :Bài 8Phác họa hàm phân