Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4

Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4

Chương 4:

BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Bài 2.

X = I1 + I2 + I3 + I4

Y = min(I1 , I2 , I3 , I4)

Z = max(I I I I )1, , ,2 3 4

Ta có giá trị của x nhận các giá trị X = {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}

Mặt khác ta có X (4, )1

4





Vậy ta có

 

0 4 0

4

1 3 1

4

2 2 2

4

3 1 3

4

4 0 4

4

P P P P

   

   

   



   

   

   



   

   

   



   

   

   



   

    Vậy ta có P[X = 0 , Y = 0 , Z = 0 ] = P[X = 0]P[Y=0/X=0] P[Z = 0/X=0 , Y = 0] = P[X=0] = 0.316

P[X=0 , Y = 1 , Z = 0] = P[X = 0 , Z = 1 , Y = 0] = P[X = 0, Y = 1 , Z = 1] = 0

Tương tự ta cũng có các giá trị

P [X = 1 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 1] = 0.421

Các trường hợp khác = 0

X = 2

P[X =2 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 2] = 0.21

X = 3

P[X = 3, Y = 0 , Z = 1] = P[X = 3] = 0.046

X = 4

P[X = 4 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 4] = 0.0039

Câu b , khi rút các quả bóng ra nhưng không trả lại vào hộp ta có

Các giá trị của X = {0 ,1 , 2, 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}

Bài 3

a, P[|X|< 5, Y<2, Z2 2] = A

Do X, Y , Z là biến ngẫu nhiên độc lập

 A = P[|X|< 5] P[Y.2].P[Z2 2]

= [Fx (5-) – Fx(-5)] [Fy(2-)].P([-,- 2 ]  [ 2 ,+)

= [Fx(5) - Fx(-5)].[Fy(2)].[Fz( 2 ) + (1-Fz( 2 )]

b, Tương tự ta có

P[X<5, Y<0, Z=1] = P[X<5].P[Y<0].P[Z=1]

= Fx(5-) Fy(0-).[Fz(1-)- Fz(1)]

C,P[min(X,Y,Z)>2] = P[X<2, Y>2, Z>2]

= [1-Fx(2+)].[1-Fy(2+)].[1-Fz(2+)]

d, P[Max(X, Y, Z)<6]=P[X<6, Y<6, Z<6]

=Fx(6-) Fy(6-) Fz(6-)

Bài 4:

a hàm xác suất đồng thời cho (X1,X2)

Vì các lần tung là độc lập và các kết cục của mỗi lần tung là đồng khả năng, ta có

X1

X2

Ta có:

36

1

1

36







a

a

Vậy ta có:

X1

X2

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36 1

2

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36 1

3

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36 1

4

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36 1

5

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36 1

6

36

1

36

1

36

1

36

1

36

1

36 1

b với   





2 1 2 1

, max

, min

X X Y

X X X

Bài 9:

2 2

f x y  axe bye x > 0, y > 0, a > 0, b > 0

a)

0

2

x

X

ax

F x   axe dx    e d   e   e

Tương tự:

0

X

F y bye dy  e

Suy ra

2 2

1 1 x > 0, y > 0 ( , )

0 u

by ax

X

F x y

ne





 b) Tìm P[X > Y]

2

2

0

P X axe dx





x x





2 2

c) Tìm các hàm mật độ biên

2

0 0

( )

(1 0)

X

f x axe bye dy abxe ye dy

by





2

0

X



  

Bài 10

a

b Nếu hoặc thì hàm mật độ

Nếu

Nếu

Nếu

Nếu

c Hàm mật độ biên của X

Hàm mật độ biên của Y

Bài 11.

Miền giới hạn bởi : 2 2 1



y x

Đặt x  rcos

y  rsin 

Định thức Jacobi

r r

r d

dy dr

dx dr

dx













cos sin

sin cos







2

0

1

1

o

dr r k d









1 1

1 2

2

0











Hàm mật độ biên :





1 1

)

(

1

0



x

f X





1 1

)

(

1

0



y

Miền giới hạn bởi :

(1) y = x +1

(2) y = -x + 1

(3) y = x – 1

(4) y = -x - 1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0







 

  













x

x x

x

kdy dx

kdy dx

kdy dx

kdy

dx

k dx x dx

x dx x dx

x) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1

1

(

0

1

1

0

1

0

0

1





















2

1 1

k

Miền giới hạn bởi : y = -x + 1

1

1

0

1

0



 

x

kdy

dx

1 2

1 1 )

1

(

1

0













Bài 12:

Vecto ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời

2 , ( , ) 2 x y

X Y

f x y e e 

 x0,y0 Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau:

a.{X Y 8}

Ta có :

P[{X Y 8}] =

8

0

x

e dx e dy e dx e



2ex( e x 1)dx 2e ex x dx 2e dxx

16

2 e x dx 2 e dxx

e  e e e e e e

b X Y

0

y

2

3

c X Y 

P[{X Y 10}]

10

10

0

y



2

3

Bài 13:

Cho X, Y có hàm mật độ xác suất đồng thời:

fX,Y(x,y) = xe-x(1+y) x > 0, y > 0 Hàm mật độ biên của X và củaY:

Bài 14 :

Lúc  0 ta có :

 

 2 2

2 , , 1

2

X Y

f x y e



 

 Lúc này p X 2Y2 R2 bằng 4 lần tích phân của hàm

 

, ,

X Y

f x y Trên miền D1

2 2

1 2

4

2

x y

D



 

Chuyển sang tạo độ cực ta được

0

2









2

2

2

2

R R

e







 



Bài 24:

X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong đoạn [0,1]

a.Tính P[X

2 < 1/2, |Y - 1| < 1/2]

2 2

1

Y

P Y

b Tính P[X/2 < 1, Y > 0]

1

2

P X  Y  P  X  P Y  

c Tính P[XY < 1/2]

d Tính P[min(X,Y) > 1/3]

[min( , ) 1/ 3] [ 1/ 3] [ 1/ 3]

3 3 9

P X Y  P X  P Y   

Bài 25

a , ta có:

Mặt khác:

Suy ra:

Vậy X và Y là độc lập (đpcm)

b Ta có:

Trong đó:

Bài 40

Một điểm X, Y, Z được chọn ngẫu nhiên trong hình cầu đơn vị

a Tìm hàm mật độ đồng thời biên của X vàY:

Nếu khác:

b Tìm hàm mật độ biên của X:

Nếu khác:

c Cho trước Z, tìm hàm mật độ đồng thời có điều kiện của X và Y:

Nếu khác: không xác định

d X, Y, Z có độc lập hay không:

Suy ra X, Y, Z không độc lập

Bài 53

a,Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời của các hàm sau :

3 2 1

2 1

1

X X

X

W

X

X

V

X

U













Ta có ma trận































































3 2

1

1 1 1

0 1 1

0 0 1

X X X

W

V

U



V W X

U V X

U X











3

2

1

Ma trận Jacibian của phép biến đổi ngược là :





























1 1 0

0 1 1

0 0 1

|

Ta có hàm mật độ xác suất đồng thời được xác định theo công thức sau

| ) , , (

|

)) , , ( );

, , ( );

, , ( ( )

, ,

,

w v u h w v u h w v u h w

v

W

V

= f X,Y,Z(h1(u,v,w);h2(u,v,w);h3(u,v,w)).|)(u,v,w)|

Ta có với X1 ,X2 ,X3 là các biến ngẫu nhiên có hàm phân phối đồng thời Gauss





2 )

, , (

) 2

1 2 (

3 2 1 ,

,

2 2 1 2 2

3

2

1

e









 (*)

Do đó hàm mật độ xác suất của U,V,W là

) , , ( )

, , (

3 2 1 3

2

Bằng việc thay thế x,y,z bởi u,v,w trong biến lũy thừa đi đến

] ) (

2

1 ) (

2 ) (

)

[(u 2  uv 2  u uv  vw 2



] )

2 2 ( 2 2

3 ) 2 2

[(

] 2 2 2 2 2

[

2 2 2

2 2 2 2

2 2

vw uv w

v u

vw w v u uv

uv v u

u





































Thay vào ( * ) ta được







2 )

, , (

] ) 2 2 ( 2 2

3 ) 2 2 [(

) 2

1 2 (

3 2 1 ,

,

2 2 2 2

2 1 2 2

3

2

1

e e

w v u x

x x x x X

X



























Bài 54:

Hàm mật độ xác suất đồng thời của X1 và X2 là:

1 2

2

  

2

M    X  X  M  X  M  X

Thay vào V ta có:



1 2

( 2 ) 2





  





 

 



1 1

1 2

2

2

2

1

( 2 ) 2









 



Bài 55

a

b Vì X và Y là những biến ngẫu nhiên mũ độc lập nên:

Bài 59 :

a tìm EX Y 2

,

2

X Y

E

 

   





b phương sai của (X+Y)

             

2 2

2

2

X Y E X Y E X Y

E X X Y Y E X E Y

E X E X Y E Y E X E X E Y E Y

V

E X E Y

E X E Y

c phương sai của tổng bằng tổng các phương sai riêng biệt

trong trường hợp X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập

             

         

           

   

2 2

2

2

E X X Y Y E X E Y

E X E X Y E Y E X E X E Y E Y

V X V Y

V

E X E Y

E X E Y

E X E Y





Bài 61:

Do X,Y là độc lập

=>

4

1 2 ) ( )

( )

,

,

2



e f

f f

x y

x y

x

Y X

Y

X





 Vậy

E[ X2Y

x

y e

x 14

2 3

1

2 2

2







 





x

e x

y e

x



















3 1

2 2

2

2

64

1

| 2

2

4

1



 Đặt I= x2 e x2 dx

2



2 2 2

1 4

2

2

0

3 2

2

2













dx

x

2 64

1 ]





Y

E X

Bài 66:

Hệ số tương quan và hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X,Y trong bài 11:

f(x,y)=k

a Trường hợp 1 k=1/π

Giả sử là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên (0,2π).Giả sử X=cos ,Y=sin Từ

ví dụ 4.42,ta có X,Y là 2 biến ngẫu nhiên phụ thuộc và không tương quan,E[X]=E[Y]=0

 E[XY]=0 COV(X,Y)=E[XY]-E[Y].E[X]=0

b.Trường hợp 2:

+Với -1≤x≤0 và 0≤y≤1,khi đó k= ½

 Tương quan của X và Y là: E[XY]=

=

=0- ¼ (1/4-2/3+1/2)= ¼ (3/4-2/3)=-1/48

Có:

E[Y l x]=

 E[Y] =

 VAR[Y]=E[

E[X l y]=

 E[X]=

E[

 VAR[X]=E[

Hiệp phương sai:

Hệ số tương quan được cho bởi:

pX,Y=

+ Với -1 , -1≤y≤0 ,khi đó k= ½ :

 Tương quan của X và Y là: E[XY]=

=

=0- ¼ (1/4-2/3+1/2)= ¼ (3/4-2/3)=-1/48

Có:

E[Y l x]=

 E[Y] =

 E[ =

 VAR[Y]=E[

Có:

E[X l y]=

 E[X]=

E[

 VAR[X]=E[

Hiệp phương sai:

Hệ số tương quan được cho bởi:

pX,Y=

+ Với 0

 Tương quan của X và Y là: E[XY]=

=

=1/48

Có:

E[Y l x]=

 E[Y] =

 VAR[Y]=E[

Có:

E[X l y]=

 E[X]=

E[

 VAR[X]=E[

Hiệp phương sai:

Hệ số tương quan được cho bởi:

pX,Y=

+ Với 0≤x≤1 , 0≤y≤1 , k=1/2 :

 Tương quan của X và Y là: E[XY]=

=

=1/48

Có:

E[Y l x]=

 E[Y] =

 VAR[Y]=E[

Có:

E[X l y]=

 E[X]=

E[

 VAR[X]=E[

Hiệp phương sai:

Hệ số tương quan được cho bởi:

pX,Y=

c.Trường hợp 3 :

+ Với 0≤x≤1 , 0≤y≤1 , k=2 :

 Tương quan của X và Y là: E[XY]=

=

=1/12

Có:

E[Y l x]=

 E[Y] =

 VAR[Y]=E[

Có:

E[X l y]=

 E[X]=

E[

 VAR[X]=E[

Hiệp phương sai:

Hệ số tương quan được cho bởi:

pX,Y=

Bµi 68:

Hoµn thµnh nèt c¸c tÝnh to¸n ë vÝ dô 4.43

Ta có và

Bài 69:

X là đầu vào của một kênh thông tin X nhận giá trị ±1 với các khả năng như nhau Giả sử đầu ra của kênh là Y = X + N, với N là biến ngẫu nhiên Laplace với hàm mật độ:

| | 1

2

z N

 

Tìm hệ số tương quan giữa X và Y

E[X] = 0

VAR[X] = E[X2] = 1

Y = X + N → E[Y] = E[X + N] = E[X] + E[N] = 0 (do N là BNN Laplace)

2

2

E X 2E XN E N 1 2E XN



Hệ số tương quan giữa X và Y

2

=

VAR X VAR Y

