Bài tập xác suất thống kê - chương 2 và 3 - phần 2

Tài liệu ôn tập, tài liệu học, tài liệu ôn thi môn xác suất thống kê

Xác định biến ngẫu nhiên. Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng a) [ ][ ]Ax khi x 0,1f (x)0 khi x 0,1∈=∉ b) [ ][ ]A sin x khi x 0,f (x)0 khi x 0,∈ π=∉ π c) [ ][ ]1212A cos x khi x 0,f (x)0 khi x 0,π ∈=∉ d) 41A khi x 1f (x)x0 khi x 1≥=< Hãy xác định A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính µX, σ2X, nếu có. Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ như sau 2kx (4 x) khi 0 x 4f (x)0 khi x [0, 4]− ≤ ≤=∉ a) Tìm k và vẽ đồ thị f(x). b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi. Bài 3. Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là Kg) có hàm mật độ 2k (x 1) khi 1 x 3f (x)0 khi x [1, 3]− ≤ ≤=∉ a) Tìm k. b) Với k tìm được, tìm (i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi, (ii) hàm phân phối xác suất của X, (iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng nhỏ hơn 2Kg. Bài 4. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng 2 22 2a cos x khi x ,f (x)0 khi x ,π ππ π∈ −  =∉ −   a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X. b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ,4π π  . Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối π< −π π= + − ≤ ≤π>0 k hi x ,2F(x) a b sin x k hi x ,2 21 khi x2 với a, b là hằng số. a) Tìm a và b. b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X; [ ]M od x; [ ]M e x; P X4π >  . Vectơ ngẫu nhiên. Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất là X 0 1 2 3 P 0,4 0,3 0,2 0,1 Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất là Y 0 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Giả sử rằng X và Y độc lập. a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y. b) Tính P(X > Y). Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau : Y X 4 5 1 0,1 0,06 2 0,3 0,18 3 0,2 0,16 a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y. b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y. c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y. Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau Y X 1 2 3 1 0,12 0,15 0,03 2 0,28 0,35 0,07 a) Chứng minh rằng X và Y độc lập. b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng E(Z) E(X)E(Y)=. Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau Y X -1 1 -1 16 14 0 16 18 1 16 18 Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và (X, Y)ρ. Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau Y X -1 0 1 -1 415 115 415 0 115 215 115 1 0 215 0 a) Tìm µX, µY, cov(X,Y) và (X, Y)ρ. b) X và Y có độc lập không ? Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của ( )V X, Y=. b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y. c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y. d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan. Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y là số lần mặt lẻ xuất hiện. a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y. b) Tính hệ số tương quan (X, Y)ρ. Nhận xét? Đáp án Bài 1. a) =A 2, µ =X23, σ =2X0.055, ( )≤ ≤= <>2x khi 0 x 1F x 0 khi x 01 khi x 1. b) =A 0.5, πµ =X2, πσ = −22X24, ( )( )− ≤ ≤ π= <> π11 cos x khi 0 x2F x 0 khi x 01 k hi x. c) = πA, µ = −πX1 12, π −σ =π2X23, ( )( )π ≤ ≤= <>1sin x khi 0 x2F x 0 khi x 011 khi x2. d) =A 3, µ =X32, σ =2X34, ( )− ≥=<311 khi x 1F xx0 k hi x 1. Bài 2. a) =3k64, 1 2 3 40.10.20.30.4. b) 0.0508. Bài 3. a) =3k20. b) (i) µ =X2.4kg. (ii) ( )− +≤ ≤= <>3x 3x 2khi 1 x 320F x 0 khi x 11 khi x 3. (iii) 0.2. Bài 4. a) =1a2, ( )+ π π− ≤ ≤π= < −π>si n x 1khi x2 2 2F x 0 khi x21 khi x2. b) 0.1465. Bài 5. a) =1a2, =1b2. b) [ ]=Mod x 0, [ ]=Me x 0, π > =  P X 0.14654, ( ) π π ∈ −   =π π ∉ −  1cos x khi x ,2 2 2f x0 khi x ,2 2. Vectơ ngẫu nhiên. Bài 6. a) Y X 0 1 2 3 4 0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02 1 0.03 0.09 0.12 0.045 0.015 2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01 3 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005 b) 0.19. Bài 7. a) X 1 2 3 PX 0.16 0.48 0.36 Y 4 5 PY 0.6 0.4 b) Y X 4 5 1 0.17 0.15 2 0.5 0.45 3 0.33 0.4 X Y 1 2 3 4 0.625 0.625 0.56 5 0.375 0.375 0.44 c) =cov(X, Y) 0.02, ρ =(X, Y) 0.059. Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Bài 8. b) Z 1 2 3 4 6 P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07 ( )=E Z 2.89, ( )=E X 1.7, ( )=E Y 1.7. Bài 9. µ = −X18, µ =Y0, = −cov(X, Y) 0.125, ρ = −(X, Y) 0.1502. Bài 10. a) µ = −X0.467, µ =Y0, =cov(X, Y) 0, ρ =(X, Y) 0. b) X và Y độc lập. Bài 11. a) Y X 1 2 3 1 236 336 136 2 436 636 236 3 636 936 336 b) X 1 2 3 PX 136 236 336 Y 1 2 3 PY 236 336 136 c) µ =X2.33, µ =Y1.83, σ =2X0.555, σ =2Y0.472. d) =cov(X, Y) 0.0139, ρ =(X, Y) 0.027. Bài 12. a) X 0 1 2 3 PX 0.125 0.375 0.375 0.125 Y 0 1 2 3 PY 0.125 0.375 0.375 0.125 b) ρ = −(X, Y) 1, X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến. . X và Y độc lập. Bài 11. a) Y X 1 2 3 1 23 6 33 6 136 2 436 636 23 6 3 636 936 33 6 b) X 1 2 3 PX 136 23 6 33 6 Y 1 2 3 PY 23 6 33 6 136 c) µ =X2 .33 ,. =Y1. 83, σ =2X0.555, σ =2Y0.4 72. d) =cov(X, Y) 0.0 139 , ρ =(X, Y) 0. 027 . Bài 12. a) X 0 1 2 3 PX 0. 125 0 .37 5 0 .37 5 0. 125 Y 0 1 2 3 PY 0. 125 0 .37 5